小學(xué)奧數(shù)7 7 4容斥原理之?dāng)?shù)論問(wèn)題專項(xiàng)練習(xí)及答案解析

1、7-7-4.容斥原理之?dāng)?shù)論問(wèn)題.題庫(kù)Page of 7教師版目m歸教學(xué)目標(biāo)1. 了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內(nèi)容；2. 掌握容斥原理的在組合計(jì)數(shù)等各個(gè)方面的應(yīng)用.目unit知識(shí)要點(diǎn)一、兩量重疊問(wèn)題在一些計(jì)數(shù)問(wèn)題中，經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素個(gè)數(shù)的計(jì)算.求兩個(gè)集合并集的元素的個(gè)數(shù)，不能簡(jiǎn)單 地把兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相加，而要從兩個(gè)集合個(gè)數(shù)之和中減去重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù)，即減去交集的元素個(gè)數(shù)，用式子可表示成：AUB=A+B-AnB（其中符號(hào)“ U ”讀作“并”，相當(dāng)于中文“和”或者包含與排除原理告訴我們，要計(jì)算兩個(gè)集合 第一步：分別計(jì)算集合A B的元素個(gè)數(shù), 含”進(jìn)來(lái)，加在一起）；第二步：從上面的和中減

2、去交集的元素個(gè)數(shù),“或”的意思；符號(hào)“ n ”讀作“交”，相當(dāng)于中文“且”的意思.）則稱這一公式為包含與排除原理， 簡(jiǎn)稱容斥原理.圖示如下：A表示小圓部分，B表示大圓部分，C表示大圓與小圓的公共部分，記為： aRb ,即陰影面積圖示如下：A表示小圓部分， B表示大圓部分， C表示大圓與小圓的公共部分， 記為：aRb ,即陰影面積.1. 先包含一一A + B重疊部分AriB計(jì)算了 2次，多加了 1次;2. 再排除一一A+BaPIB把多加了 1次的重疊部分 Apl B減去.A B的并集aUB的元素的個(gè)數(shù)，可分以下兩步進(jìn)行： 然后加起來(lái)，即先求A+B（意思是把 A B的一切元素都“包即減去C =An

3、 B（意思是“排除” 了重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù)）.二、三量重疊問(wèn)題A類、B類與C類元素個(gè)數(shù)的總和 =A類元素的個(gè)數(shù)+B類元素個(gè)數(shù) 十C類元素個(gè)數(shù)-既是A類又是 B類的元素個(gè)數(shù) -既是B類又是C類的元素個(gè)數(shù) -既是A類又是C類的元素個(gè)數(shù) +同時(shí)是A類、B類、C類的元素個(gè)數(shù).用符號(hào)表示為：AUBUC=A + B+ C-A riB-BPlC-A門C +B C 圖示如下: 圖中小圓表示 A的元素的個(gè)數(shù)，中圓表示 B的元素的個(gè)數(shù), 大圓表示C的元素的個(gè)數(shù).cfV41bHc1 .先包含：重疊部分2 .再排除：重疊部分A+B +CAPI B、BP|C、CpIA重疊了 2次，多加了 1 次.A+B +C -AnB

4、-BnC-APlCApiBpiC重疊了 3次，但是在進(jìn)行A+B+C-AriB-Bnc-Anc計(jì)算時(shí)都被減掉了.再包含： A+B +C - APlB - BpIC - A C + A Bpl C【例11【解析】【鞏固1【解析1【鞏固1【解析1如圖，用長(zhǎng)方形表示1100的全部自然數(shù)，A圓表示1 100中3的倍數(shù)，B圓表示1100中5 的倍數(shù)，長(zhǎng)方形內(nèi)兩圓外的部分表示既不是3的倍數(shù)也不是5的倍數(shù)的數(shù).由100-3=33川1可知，1100中3的倍數(shù)有33個(gè)；由100-5=20可知，1100中5的倍數(shù)有20個(gè)；由 100 （3X5）=61）110可知，1100既是3的倍數(shù)又是5的倍數(shù)的數(shù)有6個(gè).由包含排

5、除法，3或5的倍數(shù)有：33 + 20-6 = 47（個(gè)）.從而不是 3的倍數(shù)也不是 5的倍數(shù)的數(shù)有100 _47 =53（個(gè)）.【答案153在自然數(shù)1100中，能被3或5中任一個(gè)整除的數(shù)有多少個(gè)？【考點(diǎn)1容斥原理之?dāng)?shù)論問(wèn)題【難度1 2星【題型1解答100斗3 =331）11 , 100 -5 =20, 100 （5） = 6H10 .根據(jù)包含排除法，能被3或5中任一個(gè)整除的數(shù)有 33 +20 6 =47（個(gè)）.【答案147在前100個(gè)自然數(shù)中，能被 2或3整除的數(shù)有多少個(gè)？【考點(diǎn)1容斥原理之?dāng)?shù)論問(wèn)題【難度1 2星【題型1解答如圖所示，A圓內(nèi)是前100個(gè)自然數(shù)中所有能被 2整除的數(shù)，B圓內(nèi)是前1

6、00個(gè)自然數(shù)中所有 能被3整除的數(shù)，C為前100個(gè)自然數(shù)中既能被2整除也能被3整除的數(shù).前100個(gè)自然數(shù)中能被 2整除的數(shù)有：100-2=50（個(gè)）.由10 31111知，前100個(gè)自然數(shù)中能被3整 除的數(shù)有：33個(gè).由100 （2咒3） =16川4知，前100個(gè)自然數(shù)中既能被 2整除也能被3整除的數(shù)有16個(gè).所以A中有50個(gè)數(shù)，B中有33個(gè)數(shù)，C中有16個(gè)數(shù).因?yàn)锳 , B都包含C ,根據(jù)包含排除法得到，能 被2或3整除的數(shù)有：50 +33 -16 =67 （個(gè)）.【答案167在解答有關(guān)包含排除問(wèn)題時(shí)，我們常常利用圓圈圖（韋恩圖）來(lái)幫助分析思考.【例2】在從1至1000的自然數(shù)中，既不能被5

7、除盡，又不能被 7除盡的數(shù)有多少個(gè)？【考點(diǎn)】容斥原理之?dāng)?shù)論問(wèn)題【難度】2星 【題型】解答【解析】11000之間，5的倍數(shù)有P000 1=200個(gè)，7的倍數(shù)有000 1=142個(gè)，因?yàn)榧仁?的倍數(shù),57又是7的倍數(shù)的數(shù)一定是 35的倍數(shù)，所以這樣的數(shù)有 ri001=28個(gè).L 35所以既不能被5除盡，又不能被7除盡的數(shù)有1000-200-142+-28=686個(gè).【答案】686【例7】3-7-4.容斥原理之?dāng)?shù)論問(wèn)題.題庫(kù)Page of 7教師版【鞏固】【解析】求在1至100的自然數(shù)中能被 3或7整除的數(shù)的個(gè)數(shù).【考點(diǎn)】容斥原理之?dāng)?shù)論問(wèn)題【難度】2星【題型】解答記 A： 1100中3的倍數(shù)，100

8、子3=33川丨|1，有33個(gè)；B: 1100中7的倍數(shù)，100-7 =14川|2，有14個(gè)；An B ： 1100中3和7的公倍數(shù)，即21的倍數(shù)，100斗21 =4川川16，有4個(gè).依據(jù)公式，1100中3的倍數(shù)或7的倍數(shù)共有33 +14 4 =43個(gè)，則能被3或7整除的數(shù)的個(gè)數(shù)為 個(gè).【答案】4343【例3】【解析】以105為分母的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)共有多少個(gè)？它們的和為多少？【考點(diǎn)】容斥原理之?dāng)?shù)論問(wèn)題【難度】4星【題型】解答以105為分母的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)的分子與105互質(zhì)，105=3X 5X 7,所以也是求1到105不是3、7倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)，5、的3的倍數(shù)有35個(gè)，5的倍數(shù)有21個(gè)，7的倍數(shù)有15個(gè)，

9、15的倍數(shù)有7個(gè)，21 以內(nèi)與105互質(zhì)的數(shù)有 n互質(zhì)，所以以105為分母倍數(shù)有5個(gè)，35的倍數(shù)有3個(gè)，105的倍數(shù)有1個(gè)，105-35-21-15+7+5+3-1=48 個(gè)，顯然如果 n與105互質(zhì)，那么（的48個(gè)最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)可兩個(gè)兩個(gè)湊成1，所以它們的和為【答案】48個(gè)，和24所以105105-n ）與【鞏固】【解析】【例4】【解析】【解析】24.分母是385的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)有多少個(gè)？并求這些真分?jǐn)?shù)的和.【考點(diǎn)】容斥原理之?dāng)?shù)論問(wèn)題【難度】4星 【題型】解答385=5X 7 X 11,不超過(guò)385的正整數(shù)中被 5整除的數(shù)有77個(gè)；被整除的數(shù)有35個(gè)；被77整除的數(shù)有5個(gè)；被35整除的數(shù)有11個(gè)；被

10、55整除的數(shù)有 除的數(shù)有1個(gè)；最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240.簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)的話，那么（385-a ） /385也是最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)，所以最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)可以每?jī)蓚€(gè)湊成整數(shù) 些真分?jǐn)?shù)的和為120.【答案】240個(gè)，120個(gè)7整除的數(shù)有55個(gè)；被117個(gè)；被385整a/385如果是最1,所以這對(duì)于某個(gè)分?jǐn)?shù)在1至2008這2008個(gè)自然數(shù)中，恰好是 3、5、7中兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)的數(shù)共有【考點(diǎn)】容斥原理之?dāng)?shù)論問(wèn)題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】西城實(shí)驗(yàn)個(gè).閉=95個(gè),1到2008這2008個(gè)自然數(shù)中，3和5的倍數(shù)有 型8 =133 個(gè), 3和7的倍數(shù)有L 155和7的倍數(shù)有20

11、0157個(gè)，3、5和7的倍數(shù)有（哋卜伯個(gè).所以，恰好是 3、5、7中兩個(gè)數(shù)的L 35M05倍數(shù)的共有 133 19 +95 19 +57 19 =228 個(gè).【答案】228個(gè)求1到100內(nèi)有個(gè)數(shù)不能被2、3、7中的任何一個(gè)整除?！究键c(diǎn)】容斥原理之?dāng)?shù)論問(wèn)題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯， 4年級(jí)，第12題被2整除的有50個(gè)，被3整除的有33個(gè)，被7整除的有14個(gè)【例6】【解析】【例7】【解析】【例8】【解析】同時(shí)被同時(shí)被【答案】2和3整除的有16個(gè)，同時(shí)被2和7整除的有7個(gè)，同時(shí)被3和7整除的有4個(gè)2 和 3 和 7 整除的有 2 個(gè)，100 -（50+33+14-16-7 - 4

12、+ 2 ）=100-72 =28 個(gè) 28個(gè)。在從1到1998的自然數(shù)中，能被 2整除，但不能被 3或7整除的數(shù)有多少個(gè)？【考點(diǎn)】容斥原理之?dāng)?shù)論問(wèn)題【難度】3星【題型】解答a 表示取商的整數(shù)部分例如，要注意的是，符號(hào)與+、-也是一種運(yùn)算，叫取整運(yùn)算.本題中，先求出能被 2整除的數(shù)有多少個(gè)，再分別求出能被2和3、能被2和7分別整除的數(shù)的個(gè)數(shù),那么用能被2整除的數(shù)的個(gè)數(shù)減去能被 2和3整除的數(shù)的個(gè)數(shù)，再減去能被 2和7整除的 數(shù)的個(gè)數(shù)，所得的差是不是所求的得數(shù)呢？仔細(xì)想想你會(huì)發(fā)現(xiàn)不是的，因?yàn)樗鄿p了能同時(shí)被 整除的數(shù).故能被2整除的有：1998-2 =999（個(gè)）.能被能被能被2和3同時(shí)整除的有：

13、2和7同時(shí)整除的有：2、3、7同時(shí)整除的有：1998 (2x3) =333(個(gè)).1998 (2x7) =142 .1998 (2x3x7) =47(個(gè)).【答案】X、斗符號(hào)一樣,所以，能被2整除，但不能被 3或7整除的數(shù)有999 333 142 + 47 =571 （個(gè)）.571個(gè)50名同學(xué)面向老師站成一行老師先讓大家從左至右按 4的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)， 接著又讓報(bào)數(shù)是讓報(bào)數(shù)是有多少名【考點(diǎn)】容斥原理之?dāng)?shù)論問(wèn)題【難度】3星【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第13題在轉(zhuǎn)過(guò)兩次后，面向老師的同學(xué)分成兩類： 第一類是標(biāo)號(hào)既不是 4的倍數(shù)，又不是6的倍數(shù)； 150之間，4的倍數(shù)有C50 1=12, 6的倍數(shù)有h

14、2、3、71, 2, 3,，49, 50依次報(bào)數(shù)；再6的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn).問(wèn)：現(xiàn)在面向老師的同學(xué)還【題型】解答第二類是標(biāo)號(hào)既是 4的倍數(shù)又是6的倍數(shù).徑1=8，即是4的倍數(shù)又是6的倍數(shù)的數(shù)一定是h12的倍數(shù)，所以有輕1=4 .于是，第一類同學(xué)有50-12-8+4=34人，第二類同學(xué)有4人，所以12現(xiàn)在共有34+4=38名同學(xué)面向老師.【答案】38名體育課上，60名學(xué)生面向老師站成一行，按老師口令，從左到右報(bào)數(shù)：1, 2, 3，60,然后，老師讓所報(bào)的數(shù)是 4的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，接著又讓所報(bào)的數(shù)是5的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，最后讓所報(bào)的數(shù)是6的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，現(xiàn)在面向老師的學(xué)生有 人?！究键c(diǎn)】容斥原

15、理之?dāng)?shù)論問(wèn)題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級(jí)，二試，第15題，4分可知其中4的倍數(shù)有15個(gè)，5的倍數(shù)有12個(gè)，6的倍數(shù)有10個(gè)，同時(shí)是4和5的倍數(shù)的有 6的倍數(shù)的數(shù)有 轉(zhuǎn)過(guò)兩次的有：個(gè)，同時(shí)是5和6的倍數(shù)的有2個(gè)，同時(shí)是4和6的倍數(shù)的有5個(gè)，同時(shí)是4、5、 個(gè)，現(xiàn)在背向老師的有 15+12+10-3-2-5+1=28 個(gè)，面向老師的學(xué)生有 60-28=32人。 1+2- 1+5- 1 = 7。最后面向老師的學(xué)生數(shù) =32+7= 39個(gè)。【答案】39個(gè)有2000盞亮著的電燈，各有一個(gè)拉線開關(guān)控制著，現(xiàn)按其順序編號(hào)為 然后將編號(hào)為2的倍數(shù)的燈線拉一下， 再將編號(hào)為3的倍數(shù)的燈線拉一

16、下， 線拉一下，三次拉完后，亮著的燈有多少盞？2, 3，2000 ,最后將編號(hào)為5的倍數(shù)的燈【例9】1,7- 7-4.容斥原理之?dāng)?shù)論問(wèn)題.題庫(kù)Page of 7教師版【解析】【鞏固】【解析】【鞏固】【解析】【考點(diǎn)】容斥原理之?dāng)?shù)論問(wèn)題三次拉完后，亮著的燈包括不是 2、3、5的倍數(shù)的數(shù)以及是6、10、15的倍數(shù)但不是30的倍數(shù)的數(shù).12000這2000個(gè)正整數(shù)中，2的倍數(shù)有1000個(gè)，3的倍數(shù)有666個(gè),5的倍數(shù)有400個(gè)，6的倍數(shù)有333個(gè)，10的倍數(shù)有200個(gè)，15的倍數(shù)有133個(gè)，30的倍數(shù)有 66 個(gè)，亮著的燈一共有 2000-1000-666-400+2 x( 333+200+133 -

17、4 X 66=1002盞.【答案】1002盞2006盞亮著的電燈，各有一個(gè)拉線開關(guān)控制，按順序編號(hào)為1，2，3，2006。將編號(hào)為2的倍數(shù)的燈的拉線各拉一下； 再將編號(hào)為3的倍數(shù)的燈的拉線各拉一下， 最后將編號(hào)為5的倍數(shù)的 燈的拉線各拉一下。拉完后這著的燈數(shù)為（）盞?！究键c(diǎn)】容斥原理之?dāng)?shù)論問(wèn)題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，五年級(jí)，第11題，六年級(jí)，第11題因?yàn)闊粼陂_始的時(shí)候是亮著的，所以拉了兩次或者沒(méi)拉的燈最后還是亮的.這道題實(shí)際上是求1到2006中不能被2、3、5整除的數(shù)和只能同時(shí)被 2、3、5中2個(gè)數(shù)整除的數(shù)的總個(gè)數(shù).我們可以求得被 2整除的數(shù)有2006-2 =1003（盞），

18、 被3整除的數(shù)有2006-3 =6681）12，共668（盞）， 被5整除的數(shù)有2006 -5=401川1，共401（盞）.其中，同時(shí)被 2、3整除的數(shù)有2006子（2咒3）=334山2，共334（盞）； 同時(shí)被 3、5 整除的有 2006 +（3x5）=13311）11，共 133（盞）； 同時(shí)被2、5整除的數(shù)有2006子（2咒5） =200山6，共200（盞）；同時(shí)被2、3、5整除的數(shù)有2006 -（2X3X5） =66山26，共66（盞），所以，只能同時(shí)被 2、3、5中2個(gè) 數(shù)整除的數(shù)的個(gè)數(shù)為 334 +133+200 -3x66 =469（盞），不能被2、3、5整除的數(shù)的個(gè)數(shù)為2006

19、 （1003+668+401 ）（334+133+200）+66）=535 （盞）.所以， 最后亮 著的燈一共為 469+535 =1004 （盞）.【答案】1004盞寫有1到100編號(hào)的燈100盞，亮著排成一排，每一次把編號(hào)是3的倍數(shù)的燈拉一次開關(guān)， 二次把編號(hào)是5的倍數(shù)的燈拉一次開關(guān)，那么亮著的燈還有多少盞？【考點(diǎn)】容斥原理之?dāng)?shù)論問(wèn)題【難度】3星【題型】解答因?yàn)闊粼陂_始的時(shí)候是亮著的，所以拉了兩次或者沒(méi)拉的燈最后還是亮的.沒(méi)拉的燈有100 （罟+ 層一隠卜 00 （33 +20 一 62 53（盞） ，拉兩次的有 隠卜6（盞）， 最后亮著的燈 一共為 53+6 =59（盞）【答案】59盞2

20、00名同學(xué)編為1至200號(hào)面向南站成一排第 1次全體同學(xué)向右轉(zhuǎn)（轉(zhuǎn)后所有的同學(xué)面朝西）；第2次編號(hào)為2的倍數(shù)的同學(xué)向右轉(zhuǎn)；第 3次編號(hào)為3的倍數(shù)的同學(xué)向右轉(zhuǎn)；第 200次編 號(hào)為200的倍數(shù)的同學(xué)向右轉(zhuǎn)；這時(shí)，面向東的同學(xué)有 名.【考點(diǎn)】容斥原理之?dāng)?shù)論問(wèn)題【難度】3星【題型】填空【例10】5-8-4.容斥原理之?dāng)?shù)論問(wèn)題.題庫(kù)Page of 7教師版【解析】【關(guān)鍵詞】迎春杯，五年級(jí)，初賽，只有約數(shù)個(gè)數(shù)被3的數(shù)有22、7的數(shù)有26， 15的數(shù)有32約數(shù)個(gè)數(shù)為約數(shù)個(gè)數(shù)為約數(shù)個(gè)數(shù)為10題4除余3的數(shù)，最后面向東.32、52、72、112、132，共 8個(gè)數(shù).1個(gè)，.24 =144，1 個(gè)7-7-4.容

21、斥原理之?dāng)?shù)論問(wèn)題.題庫(kù)Page of 7教師版一共有8個(gè)滿足條件的編號(hào).【答案】8名【例11】【解析】下編號(hào)是1、2、3、36號(hào)的36名學(xué)生按編號(hào)順序面向里站成一圈.第一次，編號(hào)是1的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，第二次，編號(hào)是2、3的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，第三次，編號(hào)是4、5、6的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，第36次，全體同學(xué)向后轉(zhuǎn).這時(shí)，面向里的同學(xué)還有 名.【考點(diǎn)】容斥原理之?dāng)?shù)論問(wèn)題【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，中年級(jí)，復(fù)試， 10題整個(gè)過(guò)程中一共轉(zhuǎn)了 1+2+3+4+36=666人次，每轉(zhuǎn)過(guò)72人次所有學(xué)生的朝向就會(huì)和原來(lái)一樣， 那么666- 72=918，于是應(yīng)該有18名同學(xué)面朝里，18名同學(xué)面朝外?！敬鸢浮?8

22、名【例12】在游藝會(huì)上,有100名同學(xué)抽到了標(biāo)簽分別為1至100的獎(jiǎng)券.按獎(jiǎng)券標(biāo)簽號(hào)發(fā)放獎(jiǎng)品的規(guī)【解析】【例13】【解析】【例14】則如下:(1)(2)(3)(4)標(biāo)簽號(hào)為標(biāo)簽號(hào)為標(biāo)簽號(hào)既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)可重復(fù)領(lǐng)獎(jiǎng); 其他標(biāo)簽號(hào)均獎(jiǎng)1支鉛筆.2的倍數(shù)，獎(jiǎng)2支鉛筆;3的倍數(shù)，獎(jiǎng)3支鉛筆;那么游藝會(huì)為該項(xiàng)活動(dòng)準(zhǔn)備的獎(jiǎng)品鉛筆共有多少支？【考點(diǎn)】容斥原理之?dāng)?shù)論問(wèn)題【難度】4星 【題型】解答1100，2的倍數(shù)有 徑0，3的倍數(shù)有 徑1=33個(gè)，因?yàn)榧仁?的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)H 2 3的數(shù)一定是6的倍數(shù)，所以標(biāo)簽為這樣的數(shù)有rl=16個(gè)于是，既不是2的倍數(shù)，又不是3的倍數(shù)h的數(shù)在1100中有100

23、-50-33+16=33 .所以，游藝會(huì)為該項(xiàng)活動(dòng)準(zhǔn)備的獎(jiǎng)品鉛筆共有：50X 2+33X 3+33X 1=232 支.【答案】232支在一根長(zhǎng)木棍上，有三種刻度線，第一種刻度線將木棍分成十等份；第二種將木棍分成十二等份；第三種將木棍分成十五等份；如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，則木棍總共被鋸成段.【考點(diǎn)】容斥原理之?dāng)?shù)論問(wèn)題【難度】3星【題型】填空假設(shè)木棍長(zhǎng)60cm，則沿第一種刻度線鋸成的木棍每段長(zhǎng)60-10= 6cm，沿第二種刻度線鋸成的木棍每段長(zhǎng)60m12=5cm，沿第三種刻度線鋸成的木棍每段長(zhǎng)6014 =4cm.因?yàn)椋厝N刻度線可將木棍分別鋸成10、12、15段；沿第一、二種重合的刻度線可將

24、木棍鋸成60和6,5 =2段，沿第一、三種重合的刻度線可將木棍鋸成60子6,4 =5段，沿第二、三種重合的刻度線可將木棍鋸成60-5,4 =3段；沿三種刻度重合的刻度線可將木棍鋸成6 6,5,4 =1段.應(yīng)該減去重復(fù)計(jì)算的沿任意兩種重合的刻度線鋸成的段數(shù)，應(yīng)加上多減去的沿三種刻度重合的刻度線鋸成的段 數(shù).所以，沿每條刻度線將木棍鋸斷，則木棍總共被鋸成10 +12 +15 2 5 3 +1 =28 段.【答案】28段一根101厘米長(zhǎng)的木棒，從同一端開始，第一次每隔 2厘米畫一個(gè)刻度，第二次每隔3厘米畫一個(gè)刻度，第三次每隔 5厘米畫一個(gè)刻度，如果按刻度把木棒截?cái)?，那么可【解析】以截出?【考點(diǎn)】容斥原理之?dāng)?shù)論問(wèn)題【關(guān)鍵詞】101中學(xué)要求出截出的段數(shù)，應(yīng)當(dāng)先求出木