小學奧數7 7 4容斥原理之數論問題專項練習及答案解析

1、7-7-4.容斥原理之數論問題.題庫Page of 7教師版目m歸教學目標1. 了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內容；2. 掌握容斥原理的在組合計數等各個方面的應用.目unit知識要點一、兩量重疊問題在一些計數問題中，經常遇到有關集合元素個數的計算.求兩個集合并集的元素的個數，不能簡單 地把兩個集合的元素個數相加，而要從兩個集合個數之和中減去重復計算的元素個數，即減去交集的元素個數，用式子可表示成：AUB=A+B-AnB（其中符號“ U ”讀作“并”，相當于中文“和”或者包含與排除原理告訴我們，要計算兩個集合 第一步：分別計算集合A B的元素個數, 含”進來，加在一起）；第二步：從上面的和中減

2、去交集的元素個數,“或”的意思；符號“ n ”讀作“交”，相當于中文“且”的意思.）則稱這一公式為包含與排除原理， 簡稱容斥原理.圖示如下：A表示小圓部分，B表示大圓部分，C表示大圓與小圓的公共部分，記為： aRb ,即陰影面積圖示如下：A表示小圓部分， B表示大圓部分， C表示大圓與小圓的公共部分， 記為：aRb ,即陰影面積.1. 先包含一一A + B重疊部分AriB計算了 2次，多加了 1次;2. 再排除一一A+BaPIB把多加了 1次的重疊部分 Apl B減去.A B的并集aUB的元素的個數，可分以下兩步進行： 然后加起來，即先求A+B（意思是把 A B的一切元素都“包即減去C =An

3、 B（意思是“排除” 了重復計算的元素個數）.二、三量重疊問題A類、B類與C類元素個數的總和 =A類元素的個數+B類元素個數 十C類元素個數-既是A類又是 B類的元素個數 -既是B類又是C類的元素個數 -既是A類又是C類的元素個數 +同時是A類、B類、C類的元素個數.用符號表示為：AUBUC=A + B+ C-A riB-BPlC-A門C +B C 圖示如下: 圖中小圓表示 A的元素的個數，中圓表示 B的元素的個數, 大圓表示C的元素的個數.cfV41bHc1 .先包含：重疊部分2 .再排除：重疊部分A+B +CAPI B、BP|C、CpIA重疊了 2次，多加了 1 次.A+B +C -AnB

4、-BnC-APlCApiBpiC重疊了 3次，但是在進行A+B+C-AriB-Bnc-Anc計算時都被減掉了.再包含： A+B +C - APlB - BpIC - A C + A Bpl C【例11【解析】【鞏固1【解析1【鞏固1【解析1如圖，用長方形表示1100的全部自然數，A圓表示1 100中3的倍數，B圓表示1100中5 的倍數，長方形內兩圓外的部分表示既不是3的倍數也不是5的倍數的數.由100-3=33川1可知，1100中3的倍數有33個；由100-5=20可知，1100中5的倍數有20個；由 100 （3X5）=61）110可知，1100既是3的倍數又是5的倍數的數有6個.由包含排

5、除法，3或5的倍數有：33 + 20-6 = 47（個）.從而不是 3的倍數也不是 5的倍數的數有100 _47 =53（個）.【答案153在自然數1100中，能被3或5中任一個整除的數有多少個？【考點1容斥原理之數論問題【難度1 2星【題型1解答100斗3 =331）11 , 100 -5 =20, 100 （5） = 6H10 .根據包含排除法，能被3或5中任一個整除的數有 33 +20 6 =47（個）.【答案147在前100個自然數中，能被 2或3整除的數有多少個？【考點1容斥原理之數論問題【難度1 2星【題型1解答如圖所示，A圓內是前100個自然數中所有能被 2整除的數，B圓內是前1

6、00個自然數中所有 能被3整除的數，C為前100個自然數中既能被2整除也能被3整除的數.前100個自然數中能被 2整除的數有：100-2=50（個）.由10 31111知，前100個自然數中能被3整 除的數有：33個.由100 （2咒3） =16川4知，前100個自然數中既能被 2整除也能被3整除的數有16個.所以A中有50個數，B中有33個數，C中有16個數.因為A , B都包含C ,根據包含排除法得到，能 被2或3整除的數有：50 +33 -16 =67 （個）.【答案167在解答有關包含排除問題時，我們常常利用圓圈圖（韋恩圖）來幫助分析思考.【例2】在從1至1000的自然數中，既不能被5

7、除盡，又不能被 7除盡的數有多少個？【考點】容斥原理之數論問題【難度】2星 【題型】解答【解析】11000之間，5的倍數有P000 1=200個，7的倍數有000 1=142個，因為既是5的倍數,57又是7的倍數的數一定是 35的倍數，所以這樣的數有 ri001=28個.L 35所以既不能被5除盡，又不能被7除盡的數有1000-200-142+-28=686個.【答案】686【例7】3-7-4.容斥原理之數論問題.題庫Page of 7教師版【鞏固】【解析】求在1至100的自然數中能被 3或7整除的數的個數.【考點】容斥原理之數論問題【難度】2星【題型】解答記 A： 1100中3的倍數，100

8、子3=33川丨|1，有33個；B: 1100中7的倍數，100-7 =14川|2，有14個；An B ： 1100中3和7的公倍數，即21的倍數，100斗21 =4川川16，有4個.依據公式，1100中3的倍數或7的倍數共有33 +14 4 =43個，則能被3或7整除的數的個數為 個.【答案】4343【例3】【解析】以105為分母的最簡真分數共有多少個？它們的和為多少？【考點】容斥原理之數論問題【難度】4星【題型】解答以105為分母的最簡真分數的分子與105互質，105=3X 5X 7,所以也是求1到105不是3、7倍數的數有多少個，5、的3的倍數有35個，5的倍數有21個，7的倍數有15個，

9、15的倍數有7個，21 以內與105互質的數有 n互質，所以以105為分母倍數有5個，35的倍數有3個，105的倍數有1個，105-35-21-15+7+5+3-1=48 個，顯然如果 n與105互質，那么（的48個最簡真分數可兩個兩個湊成1，所以它們的和為【答案】48個，和24所以105105-n ）與【鞏固】【解析】【例4】【解析】【解析】24.分母是385的最簡真分數有多少個？并求這些真分數的和.【考點】容斥原理之數論問題【難度】4星 【題型】解答385=5X 7 X 11,不超過385的正整數中被 5整除的數有77個；被整除的數有35個；被77整除的數有5個；被35整除的數有11個；被

10、55整除的數有 除的數有1個；最簡真分數的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240.簡真分數的話，那么（385-a ） /385也是最簡真分數，所以最簡真分數可以每兩個湊成整數 些真分數的和為120.【答案】240個，120個7整除的數有55個；被117個；被385整a/385如果是最1,所以這對于某個分數在1至2008這2008個自然數中，恰好是 3、5、7中兩個數的倍數的數共有【考點】容斥原理之數論問題【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】西城實驗個.閉=95個,1到2008這2008個自然數中，3和5的倍數有 型8 =133 個, 3和7的倍數有L 155和7的倍數有20

11、0157個，3、5和7的倍數有（哋卜伯個.所以，恰好是 3、5、7中兩個數的L 35M05倍數的共有 133 19 +95 19 +57 19 =228 個.【答案】228個求1到100內有個數不能被2、3、7中的任何一個整除?！究键c】容斥原理之數論問題【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】學而思杯， 4年級，第12題被2整除的有50個，被3整除的有33個，被7整除的有14個【例6】【解析】【例7】【解析】【例8】【解析】同時被同時被【答案】2和3整除的有16個，同時被2和7整除的有7個，同時被3和7整除的有4個2 和 3 和 7 整除的有 2 個，100 -（50+33+14-16-7 - 4

12、+ 2 ）=100-72 =28 個 28個。在從1到1998的自然數中，能被 2整除，但不能被 3或7整除的數有多少個？【考點】容斥原理之數論問題【難度】3星【題型】解答a 表示取商的整數部分例如，要注意的是，符號與+、-也是一種運算，叫取整運算.本題中，先求出能被 2整除的數有多少個，再分別求出能被2和3、能被2和7分別整除的數的個數,那么用能被2整除的數的個數減去能被 2和3整除的數的個數，再減去能被 2和7整除的 數的個數，所得的差是不是所求的得數呢？仔細想想你會發(fā)現不是的，因為它多減了能同時被 整除的數.故能被2整除的有：1998-2 =999（個）.能被能被能被2和3同時整除的有：

13、2和7同時整除的有：2、3、7同時整除的有：1998 (2x3) =333(個).1998 (2x7) =142 .1998 (2x3x7) =47(個).【答案】X、斗符號一樣,所以，能被2整除，但不能被 3或7整除的數有999 333 142 + 47 =571 （個）.571個50名同學面向老師站成一行老師先讓大家從左至右按 4的倍數的同學向后轉， 接著又讓報數是讓報數是有多少名【考點】容斥原理之數論問題【難度】3星【關鍵詞】華杯賽，初賽，第13題在轉過兩次后，面向老師的同學分成兩類： 第一類是標號既不是 4的倍數，又不是6的倍數； 150之間，4的倍數有C50 1=12, 6的倍數有h

14、2、3、71, 2, 3,，49, 50依次報數；再6的倍數的同學向后轉.問：現在面向老師的同學還【題型】解答第二類是標號既是 4的倍數又是6的倍數.徑1=8，即是4的倍數又是6的倍數的數一定是h12的倍數，所以有輕1=4 .于是，第一類同學有50-12-8+4=34人，第二類同學有4人，所以12現在共有34+4=38名同學面向老師.【答案】38名體育課上，60名學生面向老師站成一行，按老師口令，從左到右報數：1, 2, 3，60,然后，老師讓所報的數是 4的倍數的同學向后轉，接著又讓所報的數是5的倍數的同學向后轉，最后讓所報的數是6的倍數的同學向后轉，現在面向老師的學生有 人?！究键c】容斥原

15、理之數論問題【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】希望杯，六年級，二試，第15題，4分可知其中4的倍數有15個，5的倍數有12個，6的倍數有10個，同時是4和5的倍數的有 6的倍數的數有 轉過兩次的有：個，同時是5和6的倍數的有2個，同時是4和6的倍數的有5個，同時是4、5、 個，現在背向老師的有 15+12+10-3-2-5+1=28 個，面向老師的學生有 60-28=32人。 1+2- 1+5- 1 = 7。最后面向老師的學生數 =32+7= 39個?！敬鸢浮?9個有2000盞亮著的電燈，各有一個拉線開關控制著，現按其順序編號為 然后將編號為2的倍數的燈線拉一下， 再將編號為3的倍數的燈線拉一

16、下， 線拉一下，三次拉完后，亮著的燈有多少盞？2, 3，2000 ,最后將編號為5的倍數的燈【例9】1,7- 7-4.容斥原理之數論問題.題庫Page of 7教師版【解析】【鞏固】【解析】【鞏固】【解析】【考點】容斥原理之數論問題三次拉完后，亮著的燈包括不是 2、3、5的倍數的數以及是6、10、15的倍數但不是30的倍數的數.12000這2000個正整數中，2的倍數有1000個，3的倍數有666個,5的倍數有400個，6的倍數有333個，10的倍數有200個，15的倍數有133個，30的倍數有 66 個，亮著的燈一共有 2000-1000-666-400+2 x( 333+200+133 -

17、4 X 66=1002盞.【答案】1002盞2006盞亮著的電燈，各有一個拉線開關控制，按順序編號為1，2，3，2006。將編號為2的倍數的燈的拉線各拉一下； 再將編號為3的倍數的燈的拉線各拉一下， 最后將編號為5的倍數的 燈的拉線各拉一下。拉完后這著的燈數為（）盞?！究键c】容斥原理之數論問題【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】走美杯，五年級，第11題，六年級，第11題因為燈在開始的時候是亮著的，所以拉了兩次或者沒拉的燈最后還是亮的.這道題實際上是求1到2006中不能被2、3、5整除的數和只能同時被 2、3、5中2個數整除的數的總個數.我們可以求得被 2整除的數有2006-2 =1003（盞），

18、 被3整除的數有2006-3 =6681）12，共668（盞）， 被5整除的數有2006 -5=401川1，共401（盞）.其中，同時被 2、3整除的數有2006子（2咒3）=334山2，共334（盞）； 同時被 3、5 整除的有 2006 +（3x5）=13311）11，共 133（盞）； 同時被2、5整除的數有2006子（2咒5） =200山6，共200（盞）；同時被2、3、5整除的數有2006 -（2X3X5） =66山26，共66（盞），所以，只能同時被 2、3、5中2個 數整除的數的個數為 334 +133+200 -3x66 =469（盞），不能被2、3、5整除的數的個數為2006

19、 （1003+668+401 ）（334+133+200）+66）=535 （盞）.所以， 最后亮 著的燈一共為 469+535 =1004 （盞）.【答案】1004盞寫有1到100編號的燈100盞，亮著排成一排，每一次把編號是3的倍數的燈拉一次開關， 二次把編號是5的倍數的燈拉一次開關，那么亮著的燈還有多少盞？【考點】容斥原理之數論問題【難度】3星【題型】解答因為燈在開始的時候是亮著的，所以拉了兩次或者沒拉的燈最后還是亮的.沒拉的燈有100 （罟+ 層一隠卜 00 （33 +20 一 62 53（盞） ，拉兩次的有 隠卜6（盞）， 最后亮著的燈 一共為 53+6 =59（盞）【答案】59盞2

20、00名同學編為1至200號面向南站成一排第 1次全體同學向右轉（轉后所有的同學面朝西）；第2次編號為2的倍數的同學向右轉；第 3次編號為3的倍數的同學向右轉；第 200次編 號為200的倍數的同學向右轉；這時，面向東的同學有 名.【考點】容斥原理之數論問題【難度】3星【題型】填空【例10】5-8-4.容斥原理之數論問題.題庫Page of 7教師版【解析】【關鍵詞】迎春杯，五年級，初賽，只有約數個數被3的數有22、7的數有26， 15的數有32約數個數為約數個數為約數個數為10題4除余3的數，最后面向東.32、52、72、112、132，共 8個數.1個，.24 =144，1 個7-7-4.容

21、斥原理之數論問題.題庫Page of 7教師版一共有8個滿足條件的編號.【答案】8名【例11】【解析】下編號是1、2、3、36號的36名學生按編號順序面向里站成一圈.第一次，編號是1的同學向后轉，第二次，編號是2、3的同學向后轉，第三次，編號是4、5、6的同學向后轉，第36次，全體同學向后轉.這時，面向里的同學還有 名.【考點】容斥原理之數論問題【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】迎春杯，中年級，復試， 10題整個過程中一共轉了 1+2+3+4+36=666人次，每轉過72人次所有學生的朝向就會和原來一樣， 那么666- 72=918，于是應該有18名同學面朝里，18名同學面朝外。【答案】18

22、名【例12】在游藝會上,有100名同學抽到了標簽分別為1至100的獎券.按獎券標簽號發(fā)放獎品的規(guī)【解析】【例13】【解析】【例14】則如下:(1)(2)(3)(4)標簽號為標簽號為標簽號既是2的倍數，又是3的倍數可重復領獎; 其他標簽號均獎1支鉛筆.2的倍數，獎2支鉛筆;3的倍數，獎3支鉛筆;那么游藝會為該項活動準備的獎品鉛筆共有多少支？【考點】容斥原理之數論問題【難度】4星 【題型】解答1100，2的倍數有 徑0，3的倍數有 徑1=33個，因為既是2的倍數，又是3的倍數H 2 3的數一定是6的倍數，所以標簽為這樣的數有rl=16個于是，既不是2的倍數，又不是3的倍數h的數在1100中有100

23、-50-33+16=33 .所以，游藝會為該項活動準備的獎品鉛筆共有：50X 2+33X 3+33X 1=232 支.【答案】232支在一根長木棍上，有三種刻度線，第一種刻度線將木棍分成十等份；第二種將木棍分成十二等份；第三種將木棍分成十五等份；如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，則木棍總共被鋸成段.【考點】容斥原理之數論問題【難度】3星【題型】填空假設木棍長60cm，則沿第一種刻度線鋸成的木棍每段長60-10= 6cm，沿第二種刻度線鋸成的木棍每段長60m12=5cm，沿第三種刻度線鋸成的木棍每段長6014 =4cm.因為，沿三種刻度線可將木棍分別鋸成10、12、15段；沿第一、二種重合的刻度線可將

24、木棍鋸成60和6,5 =2段，沿第一、三種重合的刻度線可將木棍鋸成60子6,4 =5段，沿第二、三種重合的刻度線可將木棍鋸成60-5,4 =3段；沿三種刻度重合的刻度線可將木棍鋸成6 6,5,4 =1段.應該減去重復計算的沿任意兩種重合的刻度線鋸成的段數，應加上多減去的沿三種刻度重合的刻度線鋸成的段 數.所以，沿每條刻度線將木棍鋸斷，則木棍總共被鋸成10 +12 +15 2 5 3 +1 =28 段.【答案】28段一根101厘米長的木棒，從同一端開始，第一次每隔 2厘米畫一個刻度，第二次每隔3厘米畫一個刻度，第三次每隔 5厘米畫一個刻度，如果按刻度把木棒截斷，那么可【解析】以截出段.【考點】容斥原理之數論問題【關鍵詞】101中學要求出截出的段數，應當先求出木