2019-2020學(xué)年高中北師大版數(shù)學(xué)選修2-2學(xué)案：2.5簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 含解析

1、祝學(xué)子學(xué)業(yè)有成，取得好成績5簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則q 一個(gè)復(fù)雜事物的背后往往有一個(gè)簡單的本質(zhì)，之所以復(fù)雜，多是我們自己主觀的把簡單本質(zhì)包裹起來，使清晰而簡單的本質(zhì)變得復(fù)雜難解法國著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家笛卡爾說過：“我只會做兩件事,一件是簡單的事，一件是把復(fù)雜的事情變簡單那么，對于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，是否也有簡單的方法呢?x 1復(fù)合函數(shù)的概念一般地,對于兩個(gè)函數(shù)yf(u）和u(x），給定x的一個(gè)值，就得到了u的值，進(jìn)而確定了y的值，這樣y可以表示成x的函數(shù)，我們稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)yf（u）和u（x)的復(fù)合函數(shù)，記作yf（(x)）其中u為中間變量2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)yf（(x）)的導(dǎo)數(shù)為yx

2、f（x)f(u）（x)說明：yx表示y對x的導(dǎo)數(shù)3求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的步驟求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一般按以下三個(gè)步驟進(jìn)行:（1）適當(dāng)選定中間變量,正確分解復(fù)合關(guān)系，即說明函數(shù)關(guān)系yf(u），u(x）；（2）分步求導(dǎo)(弄清每一步求導(dǎo)是哪個(gè)變量對哪個(gè)變量求導(dǎo)），要特別注意中間變量對自變量求導(dǎo)，即先求f（u)，再求（x)；(3)計(jì)算f(u）（x)，并把中間變量代回原自變量的函數(shù)y 1下列函數(shù)不可以看成是復(fù)合函數(shù)的是(a)ayxcosxbycy(2x3)4dysin(x)解析b中函數(shù)y是由函數(shù)f（u）和函數(shù)u（x）lnx復(fù)合而成的，其中u是中間變量；c中函數(shù)y（2x3）4是由函數(shù)f（u)u4和函數(shù)u(x)2x3

3、復(fù)合而成的，其中u是中間變量;d中函數(shù)ysin(x)是由函數(shù)f(u)sinu和函數(shù)u(x)x復(fù)合而成的,其中u是中間變量故選a.2函數(shù)ye2x4在點(diǎn)x2處的切線方程為(a)a2xy30b2xy30cexy2e10dexy2e10解析y2e2x4,則當(dāng)x2時(shí)，y2e02，斜率為2。又當(dāng)x2時(shí),ye2241，切點(diǎn)為(2,1）切線方程為2xy30.3函數(shù)f(x）(2x1）5,則f(0）的值為10.解析f（x）5(2x1)4(2x1)10（2x1)4,f（0)10。4(2019太原高二檢測）設(shè)函數(shù)f（x）cos(x)（0），若f(x）f （x)是奇函數(shù)，則。解析f （x）sin(x），f（x)f (x

4、)cos（x)sin（x)2sin。若f（x)f (x)為奇函數(shù),則f（0）f (0）0，即02sin，k(kz）又（0，)，。h 命題方向1復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)典例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1）y；（2）y；（3）yeax2bx。思路分析求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)首先必須弄清函數(shù)是怎樣復(fù)合而成的，然后再按復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)解析（1）yu4，u13x.yyuux(u4）(13x)4u5(3)12u512（13x)5。（2）yu，uax2bxc。yyuuxu（2axb）(ax2bxc)(2axb) 。(3)yeu，uax2bx.yyuuxeu（ax2bx）eu(2axb)eax2bx（2axb）規(guī)律總結(jié)求復(fù)合函

5、數(shù)的導(dǎo)數(shù)要處理好以下環(huán)節(jié)：中間變量的選擇應(yīng)是基本函數(shù)結(jié)構(gòu)；關(guān)鍵是正確分析函數(shù)和復(fù)合層次；一般是從最外層開始，由外及里,一層層地求導(dǎo);善于把一部分表達(dá)式作為一個(gè)整體；最后要把中間變量換成自變量的函數(shù)跟蹤練習(xí)1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yxsincos；（2）y（25x）10。解析(1）yxsincosxcos2x(sin2x）xsin4x，所以ysin4xcos4x4sin4x2xcos4x。(2)y（25x）1010（25x）95。x 巧用函數(shù)的求導(dǎo)法則減少運(yùn)算量 應(yīng)用和、差、積、商的求導(dǎo)運(yùn)算法則和常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)數(shù)時(shí)，在可能的情況下,應(yīng)盡量少用甚至不用積、商的求導(dǎo)法則，應(yīng)在求導(dǎo)之前,先利

6、用代數(shù)、三角恒等變形對函數(shù)進(jìn)行化簡，然后再求導(dǎo),這樣可以減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度,避免出錯(cuò)典例2函數(shù)ysin2（2x)的導(dǎo)數(shù)為2sin(4x）.思路分析可先用降冪公式將式子化簡后，再求導(dǎo)解析ysin2（2x)1cos(4x)，ycos(4x）0sin（4x)(4x）2sin(4x）規(guī)律總結(jié)在求導(dǎo)數(shù)時(shí),有些函數(shù)雖然表面形式上為函數(shù)的商或積，但在求導(dǎo)前可將函數(shù)先化簡(可能會化去商或積）,然后進(jìn)行求導(dǎo),有時(shí)可避免使用積、商的求導(dǎo)法則，減少運(yùn)算量,跟蹤練習(xí)2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）y1sincos；（2)ysin4cos4。解析（1)y1sincos1sinx,ycosx。(2）ysin4cos4(si

7、n2cos2)22sin2cos21sin2x1cos2x，ysin2x。y 對復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)不完全而致誤 在對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，恰當(dāng)?shù)剡x擇中間變量及分析函數(shù)的復(fù)合層次是關(guān)鍵一般從最外層開始，由外及里,一層層地求導(dǎo),最后要把中間變量變成自變量的函數(shù)典例3函數(shù)yxe12x的導(dǎo)數(shù)為_錯(cuò)解ye12xx(e12x)e12xxe12x(1x)e12x.辨析錯(cuò)解中對e12x求導(dǎo)數(shù)，沒有按照復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行，導(dǎo)致求導(dǎo)不完全正解ye12xx(e12x)e12xxe12x(12x）e12xxe12x（2）(12x）e12x。點(diǎn)評復(fù)合函數(shù)yf（x)）的導(dǎo)數(shù)為yxf（(x)f(u)(x),即對自變量的導(dǎo)數(shù)等于已

8、知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法關(guān)鍵在于分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，適當(dāng)選定中間變量，分步計(jì)算中的第一步都要明確是對哪個(gè)變量求導(dǎo)，而其中要特別注意的是中間變量的系數(shù)跟蹤練習(xí)3求函數(shù)yln（x)的導(dǎo)數(shù)解析令ux，則ylnu。故y（lnu）(x）(1）（1)。k 1曲線yln(x2)在點(diǎn)p（1,0）處的切線方程是（a)ayx1byx1cy2x1 dy2x1解析yln(x2),y,切線斜率kyx11，切線方程為y01（x1），即yx1。2函數(shù)f（x)（2x1）2在x1處的導(dǎo)數(shù)值是(d）a6b8c10d12解析f(x)2（2x1）24（2x1）8x4。f（1）12,故選d。3若曲線yex上點(diǎn)p處的切線平行于直線2xy10，則點(diǎn)p的坐標(biāo)是(ln2，2)解析依題意,設(shè)p點(diǎn)為(x0，y0)，又yex，所以y|xx0ex02，解得x0ln2，y02，即p（ln2,2）4求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：yecosx1;ylog2（2x1）；y2sin(3x)；y .