2019-2020學年高中北師大版數(shù)學選修2-3學案：2.4二項分布 含解析

1、祝學子學業(yè)有成，取得好成績 - 1 - / 12 4二項分布二項分布 q 在學校組織的高二籃球比賽中，通過小組循環(huán)，甲、乙兩班順利進入最后的決賽在每一場比 賽中，甲班取勝的概率為 0.6,乙班取勝的概率是 0.4，比賽既可以采用三局兩勝制,又可以采用五局 三勝制如果你是甲班的一名同學 你認為采用哪種賽制對你班更有利? x 1n次獨立重復試驗 (1）定義 一般地，在相同條件下_重復地做n次試驗_,各次試驗的結果相互獨立，稱為n次獨立重復試 驗 (2)公式 一般地,在n次獨立重復試驗中，設事件a發(fā)生的次數(shù)為x,在每次試驗中事件a發(fā)生的概率為 p，那么在n次獨立重復試驗中，事件a恰好發(fā)生k次的概率為

2、pn（k）_cpk(1p） nk,（k0，1，2，n）_. 2二項分布 若將事件a發(fā)生的次數(shù)設為x，發(fā)生的概率為p，不發(fā)生的概率q1p，那么在n次獨立重 復試驗中，事件a恰好發(fā)生k次的概率是p(xk）_cerror!error!pkqnk_(k0，1，2，n)， 于是得到x的分布列 x01kn p cp 0qn cp1qn 1n 1 cpk k，n qnk cp nq0 祝學子學業(yè)有成，取得好成績 - 2 - / 12 由于表中第二行恰好是二項式展開式 (qp)ncerror!error!p0qncerror!error!p1qn1cerror!error!pkqnkcpnq0各對應項的值，

3、稱這樣的離散型隨機變量x服從參數(shù)為n，p的二項分布，記作_xb(n，p）_. y 1投籃測試中，每人投 3 次,至少投中 2 次才能通過測試已知某同學每次投籃投中的概率為 0。6,且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為(a） a0.648b0。432 c0.36 d0。312 解析考查獨立重復試驗、互斥事件和概率公式 根據(jù)獨立重復試驗公式得，該同學通過測試的概率為pc0。620.40.630。648，故 選 a 2口袋里放有大小相同的兩個紅球和一個白球，有放回地每次摸取一個球，定義數(shù)列an： anerror!error!如果sn為數(shù)列an的前n項和，那么s73 的概率為（b） a

4、cerror!error!error!error!2error!error!5 bc 2error! error!5 ccerror!error!2 5 dc 2error! error!2 解析由s73 知,在 7 次摸球中有 2 次摸取紅球,5 次摸取白球,而每次摸取紅球的概率為 error!error!，摸取白球的概率為,則s73 的概率為 cerror!error!2error!error!5，故選 b 3甲,乙，丙 3 人投籃，投進的概率分別是 、. 1 3 (1）現(xiàn) 3 人各投籃 1 次，求 3 人都沒有投進的概率； (2)用x表示乙投籃 3 次的進球數(shù)，求隨機變量x的分布列 解析

5、(1）記“甲投籃 1 次投進”為事件a1， “乙投籃 1 次投進為事件a2， “丙投籃 1 次投 進”為事件a3,“3 人都沒有投進”為事件a，則 p(a1)error!error!，p（a2）,p（a3） . 1 2 p（a)p()p()p() a3 1p（a1）1p(a2）1p（a3) 祝學子學業(yè)有成，取得好成績 - 3 - / 12 (1 )（1error!error!)(1）error!error!。 1 3 3 人都沒有投進的概率為error!error!. (2)隨機變量x的可能值為 0、1、2、3,則 p(xk)c（）k(error!error!)3k（k0、1、2、3） k，3

6、 x的分布列為: x0123 p errorerror ! ! h ， 命題方向 1獨立重復試驗概率的求法 典例 1某氣象站天氣預報的準確率為 80，計算（結果保留到小數(shù)點后面第 2 位） （1)5 次預報中恰有 2 次準確的概率； （2）5 次預報中至少有 2 次準確的概率； (3)5 次預報中恰有 2 次準確，且其中第 3 次預報準確的概率 思路分析由于 5 次預報是相互獨立的，且結果只有兩種(準確或不準確） ，符合獨立重復試驗 模型 解析（1）記預報一次準確為事件a，則p(a）0.8。 5 次預報相當于 5 次獨立重復試驗， 2 次準確的概率為pcerror!error!0。820。23

7、0。051 20。05， 因此 5 次預報中恰有 2 次準確的概率約為 0。05. (2） “5 次預報中至少有 2 次準確”的對立事件為“5 次預報全部不準確或只有 1 次準確， 其概率為 pc (0.2)5cerror!error!0。80。240。006 720.01. 0 5 所以所求概率為 1p10。010.99。 所以 5 次預報中至少有 2 次準確的概率約為 0。99. (3)說明第 1,2，4，5 次中恰有 1 次準確 祝學子學業(yè)有成，取得好成績 - 4 - / 12 所以概率為pc0.80。230.80。020 480.02， 所以恰有 2 次準確，且其中第 3 次預報準確的

8、概率約為 0。02。 規(guī)律總結1。運用獨立重復試驗的概率公式求概率，首先要分析問題中涉及的試驗是否為 n次獨立重復試驗，若不符合條件，則不能應用公式求解； 2解決這類實際問題往往需把所求的概率的事件分拆為若干個事件，而這每個事件均為獨立重 復試驗； 3在解題時，還要注意“正難則反”的思想的運用，即利用對立事件來求其概率 跟蹤練習 1 甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標的概率分別是和error!error!,假設每次射擊是否擊中目標,相互之 間沒有影響 （結果須用分數(shù)作答） （1)求甲射擊 3 次,至少 1 次未擊中目標的概率； （2)求兩人各射擊 2 次，甲恰好擊中目標 2 次且乙恰好擊中目標 1

9、 次的概率 解析（1）記“甲射擊 3 次至少有 1 次未擊中目標”為事件a1，由題意，射擊 3 次，相當于 3 次獨立重復試驗，故p（a1）1p( 1)1( )3error!error!。 （2）記“甲射擊 2 次，恰有 2 次擊中目標為事件a2， “乙射擊 2 次，恰有 1 次擊中目標為事 件b2，則p（a2)c(）2 ，p(b2)c （)1(1）error!error!,由于甲、乙射擊 4 91 2 相互獨立,故p(a2b2)error!error! error!error!。 3 8 命題方向 2二項分布 典例 2在一次數(shù)學考試中，第 14 題和第 15 題為選做題規(guī)定每位考生必須且只需

10、 在其中選做一題設 4 名考生選做這兩題的可能性均為。 (1)求其中甲、乙 2 名考生選做同一道題的概率； （2）設這 4 名考生中選做第 15 題的考生人數(shù)為x，求x的分布列 思路分析(1)設出事件,利用獨立事件求概率；(2)按照求分布列的步驟寫出分布列即可 解析(1)設事件a表示“甲選做第 14 題” ，事件b表示“乙選做第 14 題” ，則甲、乙 2 名考 生選做同一道題的事件為“ab ” ，且事件a,b相互獨立 a 所以p(ab ）p（a）p（b）p（error!error!)p(） a 祝學子學業(yè)有成，取得好成績 - 5 - / 12 error!error!error!error!

11、（1error!error!)(1）. (2)隨機變量x的可能取值為 0,1，2,3，4.且xb（4,error!error!） 所以p（xk)c（error!error!)k(1 )4k k，4 1 2 c (）4（k0,1，2，3，4） k4 所以變量x的分布列為： x01234 p 1 4 errerr or!or! errerr or!or! erroerro r!r! 規(guī)律總結解決二項分布問題的兩個關注點 （1）對于公式p(xk)cpk（1p)nk（k0，1，2，,n)必須在滿足“獨立重復試驗” 時才能運用，否則不能應用該公式 （2）判斷一個隨機變量是否服從二項分布,關鍵有兩點：一是

12、對立性,即一次試驗中，事件發(fā)生 與否兩者必有其一；二是重復性,即試驗獨立重復地進行了n次 跟蹤練習 2 某學生在上學路上要經(jīng)過 4 個路口，假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，每個路口遇到 紅燈的概率都是error!error!，遇到紅燈時停留的時間都是 2min. （1)求這名學生在上學路上到第三個路口時首次遇到紅燈的概率； (2）求這名學生在上學路上因遇到紅燈停留的總時間的分布列 解析（1）設這名學生在上學路上到第三個路口時首次遇到紅燈為事件a因為事件a等 價于事件“這名學生在第一和第二個路口沒有遇到紅燈,在第三個路口遇到紅燈,所以事件a的概率 為p（a）error!error!. 4

13、27 (2)由題意，可得可能的取值為 0,2，4，6，8（單位：min)事件“2k”等價于事件“該 學生在上學路上遇到k次紅燈(k0，1，2，3，4)， p(2k)cerror!error!kerror!error!4k（k0,1,2,3，4） k，4 的分布列是: 02468 祝學子學業(yè)有成，取得好成績 - 6 - / 12 p erroerro r!r! 1 81 命題方向 3二項分布的應用 典例 3高二(1）班的一個研究性學習小組在網(wǎng)上查知，某珍稀植物種子在一定條件下 發(fā)芽成功的概率為error!error!，該研究性學習小組又分成兩個小組進行驗證性試驗 （1)第一小組做了 5 次這種植

14、物種子的發(fā)芽試驗（每次均種下一粒種子）,求他們的試驗中至少 有 3 次發(fā)芽成功的概率; (2）第二小組做了若干次發(fā)芽試驗(每次均種下一粒種子） ，如果在一次試驗中種子發(fā)芽成功就停 止試驗，否則將繼續(xù)進行下次試驗，直到種子發(fā)芽成功為止，但試驗的次數(shù)最多不超過 5 次求第 二小組所做種子發(fā)芽試驗的次數(shù)的概率分布列 解析（1)至少有 3 次發(fā)芽成功，即有 3 次、4 次、5 次發(fā)芽成功 設 5 次試驗中種子發(fā)芽成功的次數(shù)為隨機變量x, 則p(x3)cerror!error!（error!error!)3(error!error!)2error!error!，p(x4）c(error!error!)4

15、 ， 2 3 p(x5）c（)5(error!error!)0。 所以至少有 3 次發(fā)芽成功的概率 pp（x3）p(x4）p（x5)error!error!。 (2)隨機變量的可能取值為 1,2，3,4，5. p(1）,p（2)error!error!， p（3)（）2error!error!，p(4）(error!error!）3error!error!，p(5)（) 41error! error!。 所以的分布列為： 12345 p 1 3 errerr or!or! erroerro r!r! 8 81 規(guī)律總結1.二項分布的簡單應用是求n次獨立重復試驗中事件a恰好發(fā)生k次的概 率解題的

16、一般思路是：根據(jù)題意設出隨機變量分析出隨機變量服從二項分布找到參數(shù)n，p 寫出二項分布的分布列將k值代入求解概率 祝學子學業(yè)有成，取得好成績 - 7 - / 12 2利用二項分布求解“至少“至多”問題的概率，其實質是求在某一取值范圍內的概率,一般 轉化為幾個互斥事件發(fā)生的概率的和，或者利用對立事件求概率 跟蹤練習 3 在一次抗洪搶險中，準備用射擊的辦法引爆從上游漂流而下的一個巨大汽油罐,已知只有 5 發(fā)子 彈,第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射擊是相互獨立的，且命中的概率都是 error!error!. (1)求油罐被引爆的概率; （2)如果引爆或子彈打光則停止射擊，設射擊次

17、數(shù)為x,求x不小于 4 的概率 解析(1）油罐引爆的對立事件為油罐沒有引爆，沒有引爆的可能情況是：射擊 5 次只擊中一 次或一次也沒有擊中，故該事件的概率為 c error!error!（)4（error!error!)5, 1 5 所以所求的概率為 1cerror!error!（error!error!)4()5. (2)當x4 時記為事件a, 則p（a）c （)2error!error!. 1，3 2 3 當x5 時，意味著前 4 次射擊只擊中一次或一次也未擊中，記為事件b 則p（b)cerror!error!error!error!（）3（)4， 射擊次數(shù)不小于 4 的概率為error!

18、error!error!error!。 x 二項分布中的概率最值問題 ， 一般地，若隨機變量x服從二項分布，即xb（n，p)，其中 0p1，則有1 (1kn)，當且僅當k(n1)p時，p（xk）p（xk1）,所以p(xk)在（n1）p的 左側嚴格遞增，右側嚴格遞減，故有： (1)如果（n1)pn，則當k取n時，p(xk)最大 (2)如果（n1)p是不超過n的正整數(shù)，則當k（n1)p1 和（n1）p時，p（xk）都 達到最大值 （3）如果(n1）p是不超過n的非整數(shù)，那么當k(n1）p時(n1）p表示不超過 (n1）p的最大整數(shù))，p（xk）最大 祝學子學業(yè)有成，取得好成績 - 8 - / 12

19、 典例 4某一批產(chǎn)品的合格率為 95%，那么在取出其中的 20 件產(chǎn)品中，最有可能有幾 件產(chǎn)品合格？ 思路分析設在取出的 20 件產(chǎn)品中,合格產(chǎn)品有件，則服從二項分布,比較 p（k1）與p(k)的大小得出結論 解析設在取出的 20 件產(chǎn)品中，合格產(chǎn)品有件，則服從二項分布,即b(20,0.95)，于 是恰好有k件產(chǎn)品合格的概率為p(k)c0.95k0。0520k（0k20，kn n） 又 pk pk1 20k1 0。95 k 0.05 1(1k20，kn n） 于是當k19.95 時，p（k1)19.95 時，p(k1） p(k） 從而可知在取出的 20 件產(chǎn)品中，最有可能有 19 件合格品 規(guī)

20、律總結求二項分布的最值的方法：根據(jù)b(n,p),列出分布列p(k） cpk(1p）nk,k0，1，2，3,，n.利用比較法(作差或作商)比較p（k1)和p(k) 的大小令p（k）p(k1)0 或error!error!1，求出k的取值區(qū)間，此區(qū)間即為p(k)的 單調增區(qū)間，它的補集即為單調減區(qū)間結合p(k）的單調性確定p（k）的最大值和對應 的k的值 跟蹤練習 4 一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需要擊鼓三次,每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出 現(xiàn)音樂;每盤游戲擊鼓三次后,出現(xiàn)一次音樂獲得 10 分，出現(xiàn)兩次音樂獲得 20 分,出現(xiàn)三次音樂獲得 100 分,沒有出現(xiàn)音樂則扣除 200 分（

21、即獲得200 分） 設每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為error!error!，且各 次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立 (1）設每盤游戲獲得的分數(shù)為x,求x的分布列； (2)玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？ 解析（1)x可能的取值為:10，20,100,200。 根據(jù)題意，有p(x10)c()1(1 ）2error!error!, 1 2 祝學子學業(yè)有成，取得好成績 - 9 - / 12 p(x20)c（）2（1）1， p(x100）cerror!error!（)3(1）0error!error!, p（x200)c（）0（1)3。 0，3 所以x的分布列為： x1020100 200 p erre

22、rr or!or! (2）設“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件ai（i1，2，3)，則 p（a1)p（a2）p(a3)p(x200）error!error!. 所以， “三盤游戲中至少有一次出現(xiàn)音樂”的概率為 1p(a1a2a3)1( )31. 1 8 因此，玩三盤游戲至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是。 y 審題不清致誤 典例 59 粒種子分種在 3 個坑內,每坑放 3 粒，每粒種子發(fā)芽的概率為 0.5，若一個坑 內至少有 1 粒種子發(fā)芽，則這個坑不需要補種，若一個坑內的種子都沒發(fā)芽，則這個坑需要補 種假定每個坑至多補種一次，求需要補種坑數(shù)的分布列 錯解設需要補種的坑數(shù)為x,則x的可能取值為 0，1，

23、2，3. 由獨立重復試驗知p(x0）c(）3 ， 0，3 1 8 p（x1）c（error!error!）（error!error!)2error!error!， p（x2)c(error!error!)2 ，p(x3)c ()3。 3 83 3 則所求分布列為： x0123 p errerr or!or! errerr or!or! 辨析每粒種子發(fā)芽的概率與每坑不需要補種的概率混淆致誤 祝學子學業(yè)有成，取得好成績 - 10 - / 12 正解因為單個坑內的 3 粒種子都不發(fā)芽的概率為（10。5）3 ,所以單個坑不需補種的 1 8 概率為 1error!error!。 設需要補種的坑數(shù)為x，則

24、x的可能取值為 0，1，2，3，這是三次獨立重復試驗, p(x0)c(）0(）3, p（x1)c（）1()2error!error!, p（x2）c（ ）2(error!error!）1， 1 8 p(x3）c（）3(error!error!)0error!error!. 所以需要補種坑數(shù)的分布列為: x0123 p 343 512 errorerror ! ! 點評審題不細是解題致誤的主要原因之一，審題時要認真分析，弄清條件與結論，發(fā)掘一切 可用的解題信息 跟蹤練習 5 某公司是否對某一項目投資，由甲、乙、丙三位決策人投票決定,他們三人都有“同意“中立” “反對”三類票各一張，投票時,每人必

25、須且只能投一張,每人投三類票中的任何一類的概率都是， 他們的投票相互沒有影響，規(guī)定：若投票結果中至少有兩張“同意票，則決定對該項目投資；否則， 放棄對該項目的投資 （1）求該公司決定對該項目投資的概率; （2）求該公司放棄對該項目投資且投票結果中最多有一張“中立”票的概率 解析（1）該公司決定對該項目投資的概率為pc(error!error!)2(）c (error!error!）3 3 3 . （2）該公司放棄對該項目投資且投票結果中最多有一張“中立”票，有以下四種情形: “同意”票張數(shù)“中立票張數(shù)“反對”票張數(shù) 事件a 003 祝學子學業(yè)有成，取得好成績 - 11 - / 12 事件b 1

26、02 事件c 111 事件d 012 p（a）cerror!error!（error!error!）3， p（b)c（)3， p（c)cc（error!error!）3error!error!， p（d)c(error!error!）3 . 1 9 a，b,c，d互斥， p（abcd）p（a)p(b）p(c）p(d）error!error!. k 課堂達標驗收 ， e tang da biao yan shou 1下列隨機變量x不服從二項分布的是（b) a投擲一枚均勻的骰子 5 次，x表示點數(shù)為 6 出現(xiàn)的次數(shù) b某射手射中目標的概率為p，設每次射擊是相互獨立的，x為從開始射擊到擊中目標所需要 的射擊次數(shù) c實力相等的甲、乙兩選手進行了 5 局乒乓球比賽，x表示甲獲勝的次數(shù) d某星期內,每次下載某網(wǎng)站數(shù)據(jù)被病