高等幾何試題及答案

1、試卷類型：A 高等兒何 使用專業(yè)年級 考試方式：開卷（）閉卷（J）共6頁題號一一二四五六合計得分填空題（每小題4分，共20分）1、設(shè)A（l）, 4（-1）, Pj（8）為共線三點，則2、寫出徳薩格定理的對偶命題:3、若共點四直線a,b,c,d的交比為（ab, cd）=-b則交比（ad, bc） =4、平面上4個變換群，射影群，仿射群，相似群，正交群的大小關(guān)系為:5、二次曲線的點坐標方程為4X內(nèi)-卅=0,則其線坐標方程為選擇題（每小題2分，共10分）1.下列哪個圖形是仿射不變圖形（A圓 B直角三角形C矩形D平行四邊形2. M +2嘰-8諺=0表示（A.以-1/4為方向的無窮遠點和以1/2為方向的

2、無窮遠點B. 以-4為方向的無窮遠點和以2為方向的無窮遠點C. 以4為方向的無窮遠點和以-2為方向的無窮遠點D. 以1/4為方向的無窮遠點和以-1/2為方向的無窮遠點 3兩個不共底且不成透視的射影點列至少可以由兒次透視對應組成（A. 一次B兩次C三次D四次4. 下而的名稱或定理分別不于仿射兒何學有（B.梯形A.三角形的垂心C.在平面內(nèi)無三線共點的四條直線有六個交點D橢圓5. 二次曲線按射影分類總共可分為（三、判斷題（每小題2分，共10分） 1.仿射對應不一定保持二直線的平行性。（） 2兩直線能把射影平面分成兩個區(qū)域。（） 3當正負號任意選取時，齊次坐標（hhl）表示兩個相異的點。（） 4.在一

3、維射影變換中，若己知一對對應元素（非H對應元素）符合對合條件，則射影變換一定是對合。（） 5配極變換是一種非奇線性對應。（）四、作圖題（8分）己知線束中三直線a, be,求作直線d,使（aU cd）=-lo （畫圖，寫出作法過程和根據(jù)）五、證明題（10分）如圖，設(shè)FGH是完全四點形ABCD對邊三點形，過F的兩直線TQ與SP分別交AB, BC, CD, DA FT, S, Q,匕試利用徳薩格定理（或逆定理）證明：TS與QP的交點M在直線GH上。A.計算題（42分） 1（6分）平面上經(jīng)過A （-3, 2）和B （6, 1）兩點的直線被直線x+3y-6=0截 fP點，求單比（ABP）2. （6分）已

4、知仿射平面上直線1的非齊次坐標方程為x-2y+l=0,求（1）1的齊次坐標方程;（2）1上無窮遠點的坐標;（3）1上無窮遠點的方程。3. （8分）在直線上取笛氏坐標為2, 0, 3的三點作為射影坐標系的P*,P0,E, （i）求此直線上任一點P的笛氏坐標X與射影坐標A的關(guān)系；（ii）問有沒有一點，它的兩種坐標相等4. （8分）求點列上的射影變換，它將參數(shù)為1,2,3的點分別變?yōu)閰?shù)為1,3,2的點，并求出此射影變換的自對應元素的參數(shù)。5. （6分）求由兩個射影線束龍廠加3=,勺-心=0, 34才=0所構(gòu)成的二階曲線 的方程。6. （8分）試求二次曲線+佔勺+ 3球+2x1x3-4x2x3二0的

5、中心與漸近線。填空題（每小題4分，共20分）1 (4 分)如果兩個三線形對應邊的交點在一條直線上，則對應頂點的連線交于一點。（4分）2 (4 分)射影群包含仿射群，仿射群包含相似群，相似群包含正交群（4分）選擇題（每小題2分，共10分）1. ( D),2(0,3. (B), 4. ( A), 5. ( B)判斷題（每小題2分，共W分）1. ( X),2. ( 7),3. ( X),4(V),5. ( 7)作圖題（8分）第1頁共45作法過程:K設(shè)a, b, c交于點A,在c上任取一點C, （2分）2、過C點作兩直線分別與a交于B、E,與b交于F, D, （2分）3. BD與EF交于G,4、AG即

6、為所求的d。（2分）根據(jù)：完全四點形的調(diào)和共覘性（2分）證明題（10分）證明：在三點形BTS與三點形DQP中（4分）對應頂點的連線BD, TQ, SP三線共點，（2分）由徳薩格定理的逆定理知，（2分）對應邊的交點BT與DQ的交點G, TS與QP的交點M以及BS與DP的交點H三點共線，即TS與QP的交點M在直線GH上。（2分）六、計算題（42分）（6分）解J設(shè)P點的坐標為（xO, yo）BP PB （分割比）,（2分）且P在直線x+3y-6=0上,解得入=1,（2分）即P是AB中點，且（ABP） =-1（2分）（6分）(1) x,-2x,+x,=O（2分）(2) (1, 1/2, 0)（2分）(

7、3) 5+uJ/2 = 0（2分）（8分）解：笛氏坐標0射影坐標:P*P0（1）由定義入=(P*PO, EP)=(20, 3x)(3-2)(/-0)_ X二 Cy-2)(3-0) = 3x-6=6工0（4分）3x-6 ,即 3x2 X =（ii）若有一點它的兩種坐標相等，即X二入則有 7x=07/.當x=0及x=3時兩種坐標相等。（8分）設(shè)射影變換的方程為：a/t/T + bQ + M + d =0由題意知：a+b + e + d=O,6t/ + 2/7 + 3c+t/=O , 6a+3b+2c+d=0得到：:C: M = 3: 5 : -5 :7故射影變換方程為：3/1/1-52-5/1+7 = 0二重元素滿足：3才-102 + 7 = 0得2二7/3或幾=1（4分）（2分）（4分）（2分）（6分） 3Axy = 0（2分）由上式得： 坯馮（2分）故所求方程即為3也-3產(chǎn)0（2分）6. (8 分)解：二次曲線的齊次方程為:xl2+3xlx2-4x22+2xlx310x2x3=0設(shè)中心則中心為總-4 -5-5 0=-36工0二次曲線為常態(tài)的,2625（4分）求漸近線方程：allX2+2al2XY+a22Y2=0, X二x &