“定區(qū)間動(dòng)軸法”求區(qū)間最值[教學(xué)材料]

1、“定區(qū)間動(dòng)軸法”求區(qū)間最值所謂“定區(qū)間動(dòng)軸法”，就是將自變量所在區(qū)間（或）標(biāo)在數(shù)軸上，無(wú)論該區(qū)間是動(dòng)的還是靜的，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性，都將其看作“靜止”的，然后分對(duì)稱軸、三種情況進(jìn)行討論，特別地，如果二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上求區(qū)間最大值或二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下求區(qū)間最小值時(shí)，只需分和兩種情況進(jìn)行討論.這樣讓區(qū)間標(biāo)在數(shù)軸上不動(dòng)，而讓二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸移動(dòng)，分類(lèi)方法非常明確、思路清晰、條理性強(qiáng)，這樣可做到不重不漏，并且簡(jiǎn)捷易行.1條件中給出區(qū)間，直接采用“定區(qū)間動(dòng)軸法”求區(qū)間最值例1已知，函數(shù)、表示函數(shù)在區(qū)間上的最小值，最大值，求、表達(dá)式.分析：此題屬于區(qū)間最值問(wèn)題，結(jié)合圖形，將區(qū)間在數(shù)軸上相對(duì)固定，讓對(duì)

2、稱軸的區(qū)間內(nèi)外移動(dòng)，即分成；三種情況進(jìn)行討論，結(jié)合圖形便可輕松求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值.而只需分與兩種情況討論便可求出在區(qū)間上的最大值.解：由，知圖象關(guān)于對(duì)稱，結(jié)合圖象知，當(dāng)，即時(shí)，；而當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，.當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，.評(píng)注：本題采用了“定區(qū)間動(dòng)軸法”， 分；三種情況和；兩種情況進(jìn)行討論，使本來(lái)因分類(lèi)討論帶來(lái)的繁瑣、思維混亂，變得脈絡(luò)清晰、思維流暢、條理性強(qiáng)，降低了分類(lèi)討論中因分類(lèi)不清帶來(lái)的難度.此法是解決區(qū)間最值的一種非常有效的方法.該法是數(shù)形結(jié)合是重要體現(xiàn)，是研究數(shù)學(xué)的一個(gè)重要手段，是解題的一個(gè)有效途徑，用數(shù)形結(jié)合法解題，直觀、便于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，啟發(fā)思考，有助于培養(yǎng)我們綜合運(yùn)用數(shù)

3、學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.應(yīng)用分類(lèi)討論思想的前提是：審題準(zhǔn)確、切入方向正確、分類(lèi)嚴(yán)謹(jǐn).引起分類(lèi)討論的原因主要有：字母的符號(hào)、字母的大小、函數(shù)圖象對(duì)稱軸的位置等.有時(shí)分類(lèi)討論思想應(yīng)用的很隱蔽，需要我們仔細(xì)發(fā)掘.在討論時(shí)，要做到盡量簡(jiǎn)捷、不重不漏.當(dāng)然，有時(shí)也可采用轉(zhuǎn)化思想避開(kāi)分類(lèi)討論，這需要有較強(qiáng)的轉(zhuǎn)化能力與轉(zhuǎn)化意識(shí).例2已知二次函數(shù)的定義域?yàn)镽，且在處（R）取得最值，若為一次函數(shù)，且(1)求的解析式(2)若時(shí)，恒成立，求的取值范圍分析：（2）若時(shí)，恒成立，條件的實(shí)質(zhì)即為：當(dāng)時(shí)的最小值在于或等于，從而將問(wèn)題歸結(jié)為區(qū)間最值問(wèn)題.作出函數(shù)的大致圖象，借助函數(shù)圖象的直觀性讓區(qū)間定，對(duì)稱軸動(dòng)，分三種情況進(jìn)行

4、討論.解：(1)設(shè)，為一次函數(shù)， 又， (2)即當(dāng)時(shí)，=，得當(dāng)時(shí)，=，得當(dāng)時(shí)，得 由，得：. 評(píng)注：給定自變量區(qū)間求解最值問(wèn)題時(shí)，最重要的策略就是結(jié)合二次函數(shù)圖象，利用對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，可直觀顯示相應(yīng)的最值.2通過(guò)化歸轉(zhuǎn)化將問(wèn)題歸結(jié)為區(qū)間最值問(wèn)題，再采用“定區(qū)間動(dòng)軸法”求解例3設(shè)函數(shù).當(dāng)時(shí)，求證：在區(qū)間上，的圖像位于函數(shù)圖像的上方.分析：通過(guò)轉(zhuǎn)化思想，將文字語(yǔ)言的圖像位于函數(shù)圖像的上方，轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，當(dāng)時(shí)恒成立.而當(dāng)時(shí)，恒成立只需，所以，本題的實(shí)質(zhì)為區(qū)間最值問(wèn)題.解：當(dāng)時(shí)，.， ，. 又， 當(dāng)，即時(shí)，取，.，則. 當(dāng)，即時(shí)，取， .由 、可知，當(dāng)時(shí)，.因此，在區(qū)間上，的圖像位于函數(shù)圖像

5、的上方. 評(píng)注：因?yàn)闂l件的限制，降低了問(wèn)題的難度，使討論的情況減少.很多問(wèn)題通過(guò)轉(zhuǎn)化思想都可以達(dá)到化生為熟、化未知為已知、化繁雜為簡(jiǎn)單的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的重要性.本題就是轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用的一個(gè)典型，通過(guò)轉(zhuǎn)化將本來(lái)抽象的問(wèn)題歸結(jié)到區(qū)間最值的求解，讓我們有一種豁然開(kāi)朗的感覺(jué).例4設(shè)為實(shí)數(shù)，記函數(shù)的最大值為 （）設(shè)，求的取值范圍，并把表示為的函數(shù)，求和表達(dá)式及的取值范圍（）求.分析：本題看似與區(qū)間最值無(wú)關(guān)，但通過(guò)換元、轉(zhuǎn)化思想，可將問(wèn)題化歸為區(qū)間最值.解：（I），要使有意義，必須且，即，的取值范圍是由得，（II）由題意知即為函數(shù)，的最大值注意到直線是拋物線的對(duì)稱軸，分以下幾種情況討論（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)

6、，的圖像是開(kāi)口向上的拋物線的一段，由知在上單調(diào)遞增，（2）當(dāng)時(shí)，（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，的圖像是開(kāi)口向下的拋物線的一段若，即，則若，即，則若，即，則綜上有評(píng)注：此題也給我們啟發(fā)：遇陌生或比較棘手的問(wèn)題時(shí)，可采用化歸、轉(zhuǎn)化思想，將其轉(zhuǎn)化為熟知的問(wèn)題、簡(jiǎn)單的問(wèn)題，從“數(shù)”方面難以入手時(shí)，可考慮借助形來(lái)說(shuō)理.例5求函數(shù)的最值.分析：由已知條件的形式特點(diǎn)，可采用配方法，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間最值問(wèn)題，但要注意的條件限制，在此條件限制下，其實(shí)質(zhì)即為區(qū)間最值問(wèn)題，采用“定”區(qū)間“動(dòng)”軸法，結(jié)合圖形便可求出函數(shù)在區(qū)間上的最值.解：(1)若，即，則當(dāng)時(shí)，；最大值在或時(shí)取得.(2)若，即，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.(3)若，即，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.如圖所