誤差理論與數(shù)據(jù)處理第5版

1、第一章緒論1 1測得某三角塊的三個角度之和為18000 02” ,試求測量的絕對誤差和相對誤差解：絕對誤差等于:相對誤差等于:18000 02 -180 =2218022180 60 60 _ 648000=0.00000308641 ： 0.000031%1-4在測量某一長度時，讀數(shù)值為2.31m，其最大絕對誤差為20m，試求其最大相對誤差相對誤差max二絕對誤差max測得值100%20 1062.31100%= 8.66 10-4%1 6檢定2.5級（即引用誤差為 2.5%）的全量程為I00V的電壓表，發(fā)現(xiàn) 50V刻度點的 示值誤差2V為最大誤差，問該電表是否合格？解：依題意，該電壓表的示

2、值誤差為2V由此求出該電表的引用相對誤差為2/100 = 2%因為2% 2.5%所以，該電表合格。1-6檢定2.5級（即引用誤差為2.5%）的全量程為100V的電壓表，發(fā)現(xiàn)50V刻度點的示值誤差2V為最大誤差，問該電壓表是否合格?最大引用誤差某量程最大示值誤差測量范圍上限100%2100100% =2% : 2.5%該電壓表合格1- 8用兩種方法分別測量 L1=50mm，L2=80mm。測得值各為50.004mm,80.006mm。試評定兩種方法測量精度的高低。相對誤差L1:50mm,50.004 -50 cc/ c “cc/11100% - 0.008%50L2：80mm80.006 -80

3、丨2100% = 0.0075%80I1 1 2所以L2=80mm方法測量精度咼。1 9多級彈導火箭的射程為 10000km時，其射擊偏離預定點不超過0.1km ,優(yōu)秀射手能在距離50m遠處準確地射中直徑為 2cm的靶心，試評述哪一個射擊精度高？解：多級火箭的相對誤差為:10000 “00001 “001%射手的相對誤差為:1cm 0.01m50m50m= 0.0002 = 0.002%多級火箭的射擊精度高。1-10若用兩種測量方法測量某零件的長度 L1=110mm,其測量誤差分別為-1Vlm和丄9 m ;而用第三種測量方法測量另一零件的長度L2=150mm其測量誤差為-12m，試比較三種測量

4、方法精度的高低。相對誤差1111m0.01%110mm9 Am0.00 8 2 %1 1 mm12 m= 0.008%150mmI2 ：I1第三種方法的測量精度最高第二章誤差的基本性質(zhì)與處理2 4 測量某電路電流共 5 次,測得數(shù)據(jù)（單位為mA）為168.41，168.54，168.59，168.40，168.50。試求算術平均值及其標準差、或然誤差和平均誤差。解：、Ti= 168.49(mA) (li -丨)=i =45-1= 0.082 (|j)2351O。8054()4”5【,108062 5在立式測長儀上測量某校對量具，重復測量5次，測得數(shù)據(jù)（單位為mm為20.0015,定測量結(jié)果。解

5、：求算術平均值20.0016 , 20.0018 , 20.0015 , 20.0011。若測量值服從正態(tài)分布，試以99%的置信概率確n7 lix = - = 20.0015mmn求單次測量的標準差n Vi2n126 10、2.55 10，mm4求算術平均值的標準差CJ2.55 10*x 5= 1.14 10*mm確定測量的極限誤差因n = 5較小，算術平均值的極限誤差應按t分布處理?，F(xiàn)自由度為：v = n 1 = 4;a = 1 0.99 = 0.01 ,查t 分布表有：ta = 4.60極限誤差為寫出最后測量結(jié)果、iimx =： t：匚x 4.60 1.14 105.24 10，mmL 二

6、x 、|imx = 20.0015 -5.24 10, mm2-4測量某電路電流共5次，測得數(shù)據(jù)（單位為 mA）為168.41, 168.54,168.59, 168.40, 168.50。試求算術平均值及其標準差、或然誤差和平均誤-168.41168.54 168.59168.40 168.50x =5= 168.488( mA)J W2二；一 0.082(mA)a 0.082或然誤差：R 二 0.6745；匕二 0.6745 0.037 二 0.025( mA)平均誤差：T = 0.7979=0.7979 0.037 = 0.030(mA)2- 5在立式測長儀上測量某校對量具，重量測量 5

7、次，測得數(shù)據(jù)（單位 為 mm 為 20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若測量值服 從正態(tài)分布，試以99%的置信概率確定測量結(jié)果。20.0015 20.0016 20.0018 20.001520.0011x =5二 20.0015（ mm）止態(tài)分布p=99%寸，t =2.58lim xx二 0.000252.580.。0025V5=0.0003(mm)測量結(jié)果：X =x J佔=(20.0015 _0.0003)mm2-7用某儀器測量工件尺寸，在排除系統(tǒng)誤差的條件下，其標準差0.004mm,若要求測量結(jié)果的置信限為一 0.005mm,當置信概率為99%

8、 時，試求必要的測量次數(shù)。正態(tài)分布 p=99%時，t=2.582.58 0.004 cc、n2.0640.005n =4.26取 n =52-8用某儀器測量工件尺寸，已知該儀器的標準差 誤差為土 0.0015mm,而置信概率 解：根據(jù)極限誤差的意義，有(T = 0.001mm,若要求測量的允許極限 P為0.95時，應測量多少次？一垸乂 二一t 二：0.0015、n根據(jù)題目給定得已知條件，有t 0.0015,1.5 .n 0.001查教材附錄表3有若 n = 5, v= 4, a = 0.05 ,有 t = 2.78 ,278空8 242.236若 n = 4, v= 3, a = 0.05 ,

9、有 t = 3.18 ,t =3.18- n 4壬592即要達題意要求，必須至少測量5次。2-10某時某地由氣壓表得到的讀數(shù)(單位為 Pa)為 102523.85, 102391.30,102257.97, 102124.65, 101991.33,101858.01, 101724.69, 101591.36,其權(quán)各為1, 3, 5, 7, 8, 6, 4, 2,試求加權(quán)算術平均值及其標準差。8_ Z PiK殳=14102028.34(Pa) Pii 4、PiVxi2cx:-86.95(Pa)(8-1廣 Pi2- 11測量某角度共兩次，測得值為- 24 13 36 , 2 =24 1324，

10、其標準差分別為G =3.1 2 =13.8 ,試求加權(quán)算術平均值及其標準差。P1： P2 匸= 19044: 9611X =24 132019044 16 961 419044 961=24 1335-3.119044.19044 961:3.02-12甲、乙兩測量者用正弦尺對一錐體的錐角得值如下：:-各重復測量5次，測:甲 :7 220 ,7 3 0 ,7 2 35 ,7 2 20 ,7 2 15 ;:乙 :7 225 ,7 2 25 ,7 2 20 ,7 2 50 ,7 2 45 ;試求其測量結(jié)果甲: X甲=7 2 20 60 35 20 15,230= 18.4”-甲5 二18.4=8.

11、2311 :2 :CJ -rax甲1 : 18.232 6.042二 3648: 67733648 30 6773 333648 + 677372 7232CF-xP甲P甲 P乙、3648=4.87.3648 6773乙：x乙 =7 2 25 25 20 50 45“233X =x_3=7 232_15 2-14重力加速度的20次測量具有平均值為9.811m/s2、標準差為 0.014m/s2。另夕卜30次測量具有平均值為9.802m/s2，標準差為 0.022m/s2。假設這兩組測量屬于同一正態(tài)總體。試求此 50次測量的平均值和標準差。1 1 1 1p1 : p2 二 TT : TT 二2

12、:2 = 2 4 21 4 7x210.014 ； 10.022 ；2:9.808(m/s )-242 9.811 147 9.802x =242 +1470.01424220242 147:0.002(m/s2)2-15對某量進行10次測量，測得數(shù)據(jù)為14.7, 15.0, 15.2, 14.8, 15.5,14.6, 14.9, 14.8, 15.1, 15.0，試判斷該測量列中是否存在系統(tǒng)誤差。X =14.96按貝塞爾公式 G二0.263310Z Vi按別捷爾斯法 匕二1.25 i -0.2642J1O(1O_1)由=1 u 得 u 二-1 =0.0034.1 . 12u = =0.67

13、所以測量列中無系差存在。2-16對一線圈電感測量10次，前4次是和一個標準線圈比較得到的，后6次是和另一個標準線圈比較得到的，測得結(jié)果如下(單位為mH：50.82, 50.83, 50.87, 50.89;50.78, 50.78, 50.75, 50.85, 50.82, 50.81。試判斷前4次與后6次測量中是否存在系統(tǒng)誤差。使用秩和檢驗法：排序：序號12345第一組第二組50.7550.7850.7850.8150.82序號678910第一組50.8250.8350.8750.89第二組50.85T=5.5+7+9+10=31.5 查表T= 14 T = 30T T-所以兩組間存在系差2

14、- 19對某量進行兩組測量，測得數(shù)據(jù)如下:Xi0.620.861.131.131.161.181.201.211.221.301.341.391.411.57yi0.991.121.211.251.311.311.381.411.481.591.601.601.841.95ni (nn21)=(-2) =203 ；212=474求出:T -aCJ=-0.1試用秩和檢驗法判斷兩組測量值之間是否有系統(tǒng)誤差。解：按照秩和檢驗法要求，將兩組數(shù)據(jù)混合排列成下表：T12345678910Xi0.620.861.131.131.161.181.20yi0.991.121.21T111213141516171

15、81920Xi1.211.221.301.341.391.41yi1.251.311.311.38T2122232425262728Xi1.57yi1.411.481.591.601.601.841.95現(xiàn)nx= 14, ny = 14，取x的數(shù)據(jù)計算T,得T= 154。由現(xiàn)取概率2建)=0.95 ,即(t) =0.475 ,查教材附表1有r =1.96。由于t t.因此,可以認為兩組數(shù)據(jù)間沒有系統(tǒng)誤差。第三章誤差的合成與分配3- 1相對測量時需用54.255mm的量塊組做標準件，量塊組由四塊量塊研合而成，它們 的基本尺寸為h =40mm , l2 =12mm , l 1.25mm ,I4 =

16、1.005mm。經(jīng)測量，它們的尺寸偏差及其測量極限誤差分別為計1 二0.7m, J 二 05b ,仏=0.3m,也= 0.1m, rmh = 0.35miiml2 = 0.25m,、伽丨3 = 0.20m,nml-0.20Jm。試求量塊組按基本尺寸使用時的修正值及給相對測量帶來的測量誤差。修正值=（./ .仏* .仏.訂4）=-(-0.70.5 -0.30.1) =0.4 (m)測量誤差:2lim hlim I2lim I32lim I4=_ . (0.35)2(0.25)2(0.20)2(0.20)2 =二 0.51( Jm)3- 2 為求長方體體積V ,直接測量其各邊長為 161.6mm

17、,b =44.5mm,c =11.2mm,已知測量的系統(tǒng)誤差為：a = 1.2mm，厶b - -0.8mm ,c = 0.5mm，測量的極限誤差為=0.8mm，： 0.5mm，： 0.5mm，試求立方體的體積及其體積的極限誤差V 二 abc V = f (a, b, c)V0 二 abc=161.6 44.5 11.23=80541.44( mm )體積V系統(tǒng)誤差V為：=V =bc=a ac=b ab=c33=2745.744(mm ) ： 2745.74(mm )立方體體積實際大小為：V =V V =77795.70(mm3)益丄：打2宀2 行2r2f 22 limV 二 ()( )-b (

18、 )-c、O比cc= (be)2 叮 (ac)2、b2 (ab)2、c2=：3729.11(mm3)測量體積最后結(jié)果表示為：V 二Vo - ：V 、iimv =(77795.70 _3729.11)mm33 3長方體的邊長分別為 a 1, a 2, a 3測量時：標準差均為(T ；標準差各為(T 1、(T 2、 (T 3。試求體積的標準差。解：長方體的體積計算公式為：V = a1 a2 a3體積的標準差應為:V 2 2V 2()w+()2 (N、2 C )-*3ca2；:VeV-a1 a3 ；-=a1a 2:a2&3-V2 2-3eV現(xiàn)可求出：a2 a3 ；cai若:則有：二V丁 ,(a2a3

19、)2(da?)2(ca?)2右：；r =匚2 =匚3i1222222則有：-V = . 2&3)1 1&3)2 舊2)-33-4 測量某電路的電流I = 22.5mA，電壓U =12.6V，測量的標準差分別為G = 0.5mA , % =0.1V ,求所耗功率P=UI及其標準差二PP =UI -12.6 22.5 =283.5(mw)P二f (U,l)； U、I成線性關系 5胡%U2 +(什)22 +2(f )(專)56cIcU cIfU.:UI =l；u U；| = 22.5 0.1 12.6 0.5J= 8.55( mw)3 9 按公式V=n r2h求圓柱體體積，若已知 r約為2cm, h

20、約為20cm,要使體積的相對 誤差等于1%,試問r和h測量時誤差應為多少？解：若不考慮測量誤差，圓柱體積為V =感 r2 h =3.14 2220 = 251.2cm3根據(jù)題意，體積測量的相對誤差為1%,即測定體積的相對誤差為：c1%V即：；二V 1% =251.2 1% =2.51現(xiàn)按等作用原則分配誤差，可以求出 測定r的誤差應為：CT 1Cr2 :V / ；：r測定h的誤差應為： 1h2 :V / ;h1.412.512-hr二 0.007 cm打=0.142cm1.41 二 r3-11對某一質(zhì)量進行4次重復測量，測得數(shù)據(jù)（單位g）為428.6, 429.2, 426.5, 430.8。已

21、知測量的已定系統(tǒng)誤差= - -2.6g,測量的各極限誤差分量 及其相應的傳遞系數(shù)如下表所示。若各誤差均服從正態(tài)分布，試求該質(zhì)量 的最可信賴值及其極限誤差。序號極限誤差/g誤差傳遞系數(shù)隨機誤差未定系統(tǒng)誤差12.1一12一1.513一1.014一0.5154.5一16一2.21.471.0一2.28一1.81-428.6429.2426.5430.8x =4=428.775(g)428.8(g)最可信賴值 x = X - 厶=428.8 - 2.6 = 431.4(g)4(S5(f)n i -Xj4 i m4 1 某圓球的半徑為r，若重復10次測量得r d r =(3.132 0.005)cm，試

22、求該圓球 最大截面的圓周和面積及圓球體積的測量不確定度，置信概率P=99%。解：求圓球的最大截面的圓周的測量不確定度已知圓球的最大截面的圓周為：D =2二丁:-4.9(g)測量結(jié)果表示為：x = X廣；訂x =(431.4 _4.9)g第四章測量不確定度=0.0314cm確定包含因子。查t 分布表 10.01 (9)= 3.25，及 K= 3.25其標準不確定度應為:故圓球的最大截面的圓周的測量不確定度為：u= Ku= 3.25 X 0.0314 = 0.102求圓球的體積的測量不確定度43圓球體積為：Vr3其標準不確定度應為：u = J 幷2 =J(4 燈 r2 2r： =U16x3.141

23、592 X3.1324 X 0.0052 = 0.616確定包含因子。查 t分布表to.oi ( 9)= 3.25，及K= 3.25最后確定的圓球的體積的測量不確定度為U= Ku= 3.25 X 0.616 = 2.0024- 4某校準證書說明，標稱值 10門的標準電阻器的電阻 R在20 C時為10.0007420 129嗆(P=99%),求該電阻器的標準不確定度，并說明屬于哪一類評定的不確定度。T由校準證書說明給定-屬于B類評定的不確定度vR在10.000742門-129丄,10.000742門+129山范圍內(nèi)概率為99% 不為100%-不屬于均勻分布，屬于正態(tài)分布a =129當 p=99%

24、時，Kp =2.58Kp1292.58=50（山）4- 5在光學計上用52.5mm的量塊組作為標準件測量圓柱體直徑，量塊組由三塊量塊研合而成，其尺寸分別是：h = 40mm， l2 =10mm，l3 = 2.5mm，量塊按“級”使用，經(jīng)查手冊得其研合誤差分別不超過_0.45m、 -0.30m、_0.25m(取置信概率P=99.73%的正態(tài)分布)，求該量塊組引起的測量不確定度L = 52.5mm h=40mm l2=10mml3 = 2.5mmL =li I2 I3p =99.73%心=3iia 0.45kP = 0.15(m)U|2a 0.30kP =0.10(m)U |3 = = 0.08(

25、 .Lm)kp 3U L =，:u 廠U 廠 h Jo.lX 0.102 0.082= 0.20( Jm)4 6某數(shù)字電壓表的說明書指出，該表在校準后的兩年內(nèi)，其2V量程的測量誤差不超過土 （14 X 10-6讀數(shù)+1 X 10-6 X量程）V，相對標準差為20 %，若按均勻分布，求1V測量時電壓表的標準不確定度； 設在該表校準一年后， 對標稱值為1V的電壓進行16次重復測量， 得觀測值的平均值為 0.92857V，并由此算得單次測量的標準差為0.000036V，若以平均值作為測量的估計值，試分析影響測量結(jié)果不確定度的主要來源，分別求出不確定度分量， 說明評定方法的類別，求測量結(jié)果的合成標準不

26、確定度及其自由度。622202220101412064822336113x y =2.95- 1測量方程為x -2y =0.9試求x、y的最小二乘法處理及其相應精度。誤差2x -3y =1.9V1 =2.9 -(3x y) 方程為 v2 =0.9 -(x-2y)v3 =1.9 (2x 3y)nnai1ai1x吃ai1ai2yai =!i =innai2ai1 x+zai2ai2yai2i ir nz列正規(guī)方程心n.i彳代入數(shù)據(jù)得0.962y =0.015MX513.4 解得-5x 14y - -4.6W =2.9 -(3 0.9620.015-0.001將 X、y 代入誤差方程式v2 =0.9

27、 -(0.962 -2 0.015) =-0.032v3=1.9 -(2 0.962 -3 0.015)=0.021測量數(shù)據(jù)的標準差為二 0.038求解不定乘數(shù)d:14dn - 5d12 = 1d12_5dn 14d12 = 0d2214d21 _5d22 =0-5d2i 14d22 =1解得 = d 22 = 0.082x、y 的精度分別為二x -；d11 =0.01 二 yd22 =0.01x -3y = -5.6, P1 = 15-5不等精度測量的方程組如下：4x= 8.1, p2 22x - y 二 0.5, P3 = 3試求x、y的最小二乘法處理及其相應精度。V1 二-5.6 -(x -3y), P1 =1歹U誤差方程 v2 =8.1 -(4xy), p2 =2V3 二 0.5 _(2xy), P3 =33正規(guī)方程為 ：二33卩匚玄也低亠二Piai1ai2y= 苗征i =1i=l33Piai2a1x 亠一 Piai2ai2 P