基于離散時間的短生命周期產品動態(tài)定價

1、基于離散時間的短生命周期產品動態(tài)定價第13卷第2期工業(yè)工程Vol.13 No.2 2010年4月Apri12010 Industrial Engineering Journal 基于離散時間的短生命周期產品動態(tài)定價劉海林(紹興文理學院經濟與管理學院，紹興312旺的)摘要:研究了零售商銷售短生命周期產品時的最優(yōu)定價策略。零售商試圖在一個有限計劃期內將固定的存貨全部售出，剩余存貨在銷售季節(jié)結束時價值變?yōu)榱?。提出了一個以顧客到達為泊松過程的連續(xù)時間最優(yōu)定價模型?？紤]到連續(xù)最優(yōu)定價策略在實際中難以執(zhí)行，提出了種簡化的離散時間最優(yōu)定價策略。該策略允許零售商按預定的間隔周期調整價格，與實際生活中時裝類商品

2、零售商定期降價做法非常相似。分析了零售商最優(yōu)初始存貨水平決策問題，該問題可通過前面的連續(xù)時間模型較容易求解。關鍵詞:動態(tài)定價;收益管理:易逝性產品中圖分類號:F224.1文獻標i只碼:A文章編號:1007-7375 (2010 )02舶49-04Discrete-Time Dynamic Pricing Model for Short-Iife-cycle Products Liu Hai-lin (College Economics and Management, Shaoxing University, Shaoxing 312淚,China) Abstract: Optimal pric

3、ing strategy for short-life-cycle products is discussed. A retailer wants to empty the inventory during a sale season due to that the salvage value of any unsold item is zero. For such situation, assume that the arrival of customers follows a Poisson distribution, a continuous time model of the opti

4、mal pricing policy is developed. To make it applicable to the real-world, this model is discretized such that a retailer can change the price at a number of time points, which is consistent with the pricing process of fashion-like goods. However, to obtain an optimal initial inventory level, the con

5、tinuous time model should be used. Key words: dynamic pricing; revenue management; perishable products 生命周期產品環(huán)境中，如時裝、新玩具、滑雪服、DVD1 問題提出及研究范圍及其他類似的產品，則動態(tài)定價能顯著提升企業(yè)的短生命周期產品具有易逝性、能力受約束性強、利潤。需求不確定性高以及產品更新快等特點，零售商元本文研究了短生命周期產品的最優(yōu)定價策略，法用傳統(tǒng)的靜態(tài)定價手段對該類產品的供應與需求對零售商在有限銷售計劃期內銷售某種短生命周期進行平衡，這就要求零售商應以一種新思維來看待產品的最優(yōu)定價

6、問題建立了數(shù)學模型。在短生命周定價及動態(tài)定價的作用。定價策略的好壞關系到企期產品情況下，產品只能在有限計劃期內銷售，零售業(yè)整體盈利能力的成敗。好的定價策略可以改變消商在期初訂貨，并盡力在銷售期內將存貨全部售出，費者對產品的需求，從而使零售商從消費者剩余中銷售季節(jié)結束時存貨價值為零，剩余存貨無法轉到獲得最大收益，這正是收益管理的基本思想。下期，因此初始存貨是;沉沒;成本。零售商的目標動態(tài)定價(DynamicPricing)作為收益管理的同是在考慮顧客具有異質性支付意愿的條件下，決定義詞，曾在航空和酒店業(yè)長期推行并取得巨大效益，銷售期內最優(yōu)定價策略，以最大化期望總利潤。如今正開始在零售及其它行業(yè)，

7、如制造、醫(yī)院、游輪、本文研究的最優(yōu)寇價問題具有以下幾個特征:廣播、電信等，顯示出出色的盈利能力。若應用于短1 )在到達商店之前，顧客不具有關于產品價格的完收稿日期:29-09-10 作者簡介:劉海林(1978-)，男，浙江省人，講師，主要研究方向為物流與供應鏈管理、收益管理等.工業(yè)工程第13卷50 全信息(即沒有事先廣告)，因此零售商無法進行完深入而廣泛的研究。文獻4J是這一研究領域的最全掠脂定價;2)假定顧客保留價為隨機變量，而且零早文獻之一，作者分析了個有限終止時間的單產售商根據(jù)以往銷售信息只知道顧客保留價概率分布品連續(xù)時間動態(tài)定價問題，提出了最優(yōu)策略的充分信息;3)零售商在存貨能力受約束

8、條件下最大化期條件。他們的模型包含2個函數(shù)，第1個描述了潛望總利潤。在顧客到達商店的過程，第2個描述了潛在顧客愿首先提出了一個連續(xù)時間最優(yōu)定價模型，并提意按零售商索價支付的概率。這樣，零售商期望銷出了最優(yōu)解的求解算法?？紤]到連續(xù)改變價格在實售量就等于期望潛在顧客數(shù)乘以這些顧客愿意購買際執(zhí)行中的困難，頻繁改變價格會導致管理成本上產品的概率。這-分析框架成為后續(xù)研究的基礎。升和協(xié)調問題增加，因此，零售商更易采取的一種做Lazear5研究了需求確定、單位產品銷售收益最大化法就是類似于庫存控制中的定期檢查策略。論文在的最優(yōu)定價問題?？紤]了一個簡單的兩期模型，假連續(xù)時間模型的基礎上考慮了一個零售商定期修

9、訂設每期需求確定，顧客具有同質性的估價，零售商只價格的策略，在該策略下零售商以定期的價格修訂知道顧客估價概率分布信息。如果產品第1期未售來代替連續(xù)時間定價，例如，日一次或一周次出，表明售價高于顧客保留價，因此，零售商有機會等。該策略簡化了連續(xù)最優(yōu)價格模型，且更容易被在第2期降低售價。Gallego和vanRyzin6用價格顧客接受。此外，本文還討論了最優(yōu)初始庫存決策敏感的泊松過程建立了顧客到達的模型，將動態(tài)定問題。價問題變?yōu)?個最優(yōu)強度控制問題，并得出最優(yōu)馬爾科夫策略具有結構化單調性的結果。而在考慮價2 動態(tài)定價文獻回顧格之外，Smith和Achabal7考慮了存貨水平、時間2.1 動態(tài)定價的

10、適用性(季節(jié)性)對需求的影響。在零售或時尚業(yè)中，需求動態(tài)定價，也被理解為收益管理，指的是一套旨很容易受到架上保有量及展示空間的影響，太低的在增加利潤的定價策略1。動態(tài)定價策略對現(xiàn)行價存貨水平通常會降低銷售速率，因此零售商往往會格實時更新以應對消費者購買模式的變化，從而使針對每一個商品設定最小存貨水平來維持架上保企業(yè)獲得更高的收益2。有量。過去企業(yè)往往在-個相對長的時間里固定產品與對需求作某種假設的文獻不同，Lin8提出或服務的價格，也即企業(yè)的標價是靜態(tài)的。這主要個序列動態(tài)定價模型，作者不去關注顧客的到達時是由于缺乏準確的需求信息，與改變價格相關的交間，而借由顧客的相繼到達建立動態(tài)規(guī)劃模型，其優(yōu)

11、易成本較高，以及實施動態(tài)定價技術需要對軟件和點為到達率并不依賴任何一種特定的假設，而根據(jù)硬件的大筆投入等原因所致。動態(tài)標價也是一種已經出現(xiàn)的顧客來決定未來的存貨分配。Elmaghra?;要么接受要么離開;( take-it-or-leave-it)的價格(與by和Keskinocak3根據(jù)3個市場環(huán)境特征對動態(tài)定競價機制不同)，不同的是，在動態(tài)標價中，企業(yè)可根價文獻作了詳細的回顧。據(jù)銷售時間、需求信息以及可供應量等因素的變化動態(tài)改變價格3。已有的文獻主要從連續(xù)時間方面分析了零售商的最優(yōu)定價策略，考慮到連續(xù)模型在實際執(zhí)行時的動態(tài)定價技術在以下兩種特性同時具備的場合困難，特別是對傳統(tǒng)的實體零售商來

12、說，頻繁改變價中非常有效。1)產品具有易逝性。產品在將來某一格不僅增加管理和協(xié)調成本，而且還容易遭到購物時點到期，價值變?yōu)榱?，如酒店客房、航班座位、電力者的反感，本文討論了一種定期改變價格的離散型公司輸送的電流或定期銷售的產品。2)短期能力固最優(yōu)策略。定。能力在銷售開始前固定，并且能力擴張的邊際成本非常高。這兩種特性為動態(tài)權衡產品銷售的機3 動態(tài)定價模型會成本提供了一種可能性，因為現(xiàn)期銷售一件產品的機會成本是將來銷售該產品的收益。在產品短缺考慮一家銷售短生命周期產品的零售商在有限的情況下，一個單位產品的價值就是顧客對該產品計劃期內利用價格來調節(jié)需求。假定潛在顧客到達所能給出的最高估價。如果給定

13、當前需求信息和可商店的過程為泊松過程，為簡化分析，假定顧客到達供應量，那么預測這一產品價值就是動態(tài)定價。率為常數(shù)。2.2 文獻回顧用保留價(ReservationPrice)描述潛在顧客的購許多文獻對有限期內易逝品動態(tài)定價問題作了買行為。保留價就是顧客愿意為某產品支付的最高第2期劉海林:基于離散時間的短生命周期產品動態(tài)定價51 價格。因此，如果產品的售價低于其保留價，顧客將意義。下面2個命題描述了最優(yōu)定價策略的單調性購買該產品?？紤]零售商只知道顧客保留價的概率特征。定義p，(x)為t期存貨量為z時的最優(yōu)價格。分布信息。這樣，零售商需要權衡因定高價而造成命題1給定銷售期為t期，最優(yōu)價格是存貨量的

14、非遞增函數(shù)6J。的銷售損失與因定低價而造成的消費者剩余減少損失。銷售計劃期可被分為若干銷售階段，在每一銷p,(x) 二三p，(x+l)，Vt，x。售階段開始，零售商需要根據(jù)現(xiàn)有存貨信息以及顧命題2給定存貨量耳，最優(yōu)價格是剩余銷售時間的非遞減函數(shù)6J?？捅Ａ魞r概率分布信息決定該階段產品售價，以最大化整個銷售期期望利潤。由于銷售旺季的持續(xù)時p,(x) 丸_l(X)，Vt，x。間一般來說不超過兩到三個月，因此存貨續(xù)訂非?？紤]最優(yōu)解的一階條件。方程(1)中最優(yōu)價格困難。這樣，考慮零售商在銷售計劃期初訂貨，且不的必要條件是零售商在該價格處沒有調整價格的積允許存貨續(xù)訂。極性，按照邊際分析法，即在最優(yōu)價格處

15、零售商的邊先提出一個決定最優(yōu)定價策略的連續(xù)時間模際收益等于邊際損失。零售商從價格增加一個微小型，允許在銷售期內價格可任意改變。在第2個模量dp中所獲得的額外期望收益等于顧客保留價大于型中，將定期價格調整策略考慮進來，零售商可按固或等于現(xiàn)行價的概率乘以價格增量:(I-F(p)dpo定的時間間隔期，如每日、每周或每月，修改價格。零售商調整價格dp的期望損失包括兩部分。第1先對模型符號做出如下定義:為單位時間顧部分是可能會流失的部分現(xiàn)有顧客的銷售損失。它客平均到達率;C為計劃期初始庫存;L為計劃期時等于顧客保留價與現(xiàn)行價相等的概率(f(p)dp)乘以長;f(p)為顧客保留價概率密度函數(shù);F(p)為顧

16、客現(xiàn)行價，即pf(p)dp。第2部分是考慮到現(xiàn)階段因顧客流失而未出售的產品可能會在將來以更高的價格保留價累積概率分布函數(shù)。3. 1 連續(xù)時間模型出售，因此零售商的期望損失會被抵消一部分。被在連續(xù)時間模型中，考慮價格出于各種實際情抵消的損失等于(V_l(x) -飛l(x-l)f(p)dp，這況而隨銷售時間連續(xù)變化。為此，需將銷售計劃期樣，方程(1)最優(yōu)解的一階條件為劃分為足夠小的時間段，使得每一時間段內最多只P-(V_l(X) -幾1(X -1) lf(p) = 1 -F(p) 0 (2) 可通過逆序求解非線性方程(2)得到最優(yōu)定價有一位顧客到達。令這些小時間段趨于0并取極限，就能得到連續(xù)時間動

17、態(tài)方程。策略。定義函數(shù)飛(x)為給定t期初始存貨x，從t期進一步研究可以發(fā)現(xiàn)，連續(xù)時間最優(yōu)定價模型到銷售期結束的最大期望利潤。t期目標函數(shù)等于t有這樣一個特性:當零售商期初存貨C足夠大時，最優(yōu)定價策略為常值價格。這是因為如果初始存貨C期銷售一個單位產品的期望收益加上從t-1期到足夠大，零售商在每一銷售階段開始時面臨的就是銷售期結束的最大期望收益(從銷售期結束時點向一個元約束定價問題，此時最優(yōu)價格即為該階段期后倒推計劃期各階段，也就是說，1表示最后一個銷望收益最大化的價格。如果將銷售計劃期分為n售階段)0 t期以價格p售出一個單位產品的概率等期，那么顧客訂購需求數(shù)的上界為n(考慮到在每于恰好有一

18、位顧客到達的概率乘以顧客保留價大于期最多只有一位顧客到達)。因此，對任意大于或等或等于現(xiàn)價p的概率。為簡化分析，假定產品的殘于n的初始存貨C，模型最優(yōu)解可通過求解一個單值為0。定義?.t為最多只有一位顧客到達的階段期問題得到m缸i?.t(1-F(p)pf。( ?.t的值取決于顧客平均到達率)。則計劃期劃分的銷售階段數(shù)就等于n= L/?.t。最優(yōu)定價的數(shù)學模3.2 離散時間模型型由下面的貝爾曼方程給出。接下來，考慮上面提出的連續(xù)模型中引人零售Ve(z)=?gi?.t(1-F(p)(p+V_l(x-l) + 商定期價格調整策略。定期價格調整策略是指為減少頻繁改變定價而導致的管理成本和協(xié)調問題，零(

19、1-?.t(1 -F(p) ) )飛_l(x)fo(1) 售商在計劃期內按一個固定(或不固定)的間隔期，邊界條件為如每日、每周或每月，調整銷售價格。令K表示計劃V,(O) =0, Vt;凡(x)=O，Vx。期內價格修訂次數(shù)，?.T表示第k次修訂的間隔期時研究最優(yōu)價格的單調性對求解方程(1)有重要kAAtA?t?te?tO，e1，則有一位顧客到達的概率即為?L1t。根據(jù)自松分布定義，有一位顧客到達的概率等于。令1第13卷工業(yè)工程52 配置水平下，零售商將獲得最大期望收益。該模型長(k= 1表示最后一次修訂)，這樣，:lTk = L(如比較簡單，由下面的方程給出:圖1所示)。由于不要求IlT相等，

20、因此，這種劃分計kmfx|Vn(C)-bcl。劃期的方法為零售商提供了臨近銷售期終止時更頻其中b為單位存貨訂購成本?？梢宰C明，函數(shù)飛(C) ，繁改變價格的靈活性。定期價格調整策略允許每一9-10是C的凹函數(shù)。按邊際分析法，最優(yōu)初始存貨間隔期內有多位顧客到達。水平應滿足Pk- b V( C -V(C)+ 1) 。= n n p, 通過上面的方程可解出最優(yōu)初始存貨水平。I I p, 5 結論f I ;阿IAO同I !.T, !.只It _.k ，_k-l 本文研究了短生命周期產品的最優(yōu)定價策略，L 研究發(fā)現(xiàn)最優(yōu)價格是時間和現(xiàn)有存貨量的函數(shù)。給圖1定期價格調整策略定銷售階段，最優(yōu)價格隨現(xiàn)有存貨量非遞

21、增;給定現(xiàn)定義函數(shù)V:(x)為給定初始存貨Ck，從期到銷有存貨量，最優(yōu)價格隨剩余銷售時間非遞減。通過售終止時最大期望利潤。為區(qū)別潛在購買顧客，稱對連續(xù)模型的修正，得到了一個簡化的離散型的最已到達商店且保留價大于或等于現(xiàn)行售價的顧客為優(yōu)定價策略。零售商定期調整價格可大大降低頻繁實際購買顧客。顯然，實際購買顧客的到達過程也改變價格的成本和管理復雜性，易于實際操作。是一個泊松過程，其到達率(p)(1 =-F(p)。參考文獻:-F(p)為簡化公式表達，(p)代替(1。因此，最 1 McAfee R, Velde V. Handbook of Economics and Infonnation 優(yōu)方程為

22、Systems M . Amsterdam: Elsevier ，26:529-536. 2 Anjos M F, Cheng R C H, Currie C S M. Optimal pricing pol?V:(x) =Tf9f1zhmpm+vll(zf)+ J . European Joumal of Opera?icies for perishable products tional Rese町ch，2oo5，166(1) :246-254. px(1-Lh-ho) +hvi_l(X)f。m o3 Elmaghraby W, Keskinocak P. Dynamic pricing

23、in the pres?(p) IlT m(p) k 其中，hm=, e()k，m=0，1，表示ence of inventory considerations: research overview, cuent W川practices, and future directions J J. Management Science, 時間內有m率，ho= IlT個實際購買顧客到達的概k23，49(10) :1287-1309. e -A(川Tk。上面的方程經整理，改寫為 4 Kincaid W M, Darling D A. An inventory pricing problem J J. Joumal of Mathematical Analysis and Applications, (x)叮州ho) + =T351pzhmh-z)+-1963,7 (5) : 183-208. 5Laz陽EP. Retail pricing and clearance sales J . American V:_(3) (x-m)f Lhm1。Economics Review, 1986, 76( 1) : 14-32. 邊界條件為 6 Gallego G, Ryzin G van. Optimal dynamic pricing of invento