2015級(jí)碩士研究生凝聚態(tài)物理導(dǎo)論測(cè)驗(yàn)考試題目及答案自己整理

1、 年“凝聚態(tài)物理導(dǎo)論”課程考試題目2015 月）級(jí)碩士研究生，2016年1（2015 字）30分，要求給出簡(jiǎn)潔和準(zhǔn)確的解答，字?jǐn)?shù)不少于1000一、簡(jiǎn)答題（合計(jì) 固體物理學(xué)的范式？1. ）固體比熱理論，涉及晶2（1）晶體學(xué)研究，涉及晶體的周期性結(jié)構(gòu)（答：1 ）鐵磁性研究相關(guān)內(nèi)容。3）金屬導(dǎo)電的自由電子理論 （4格振動(dòng)的研究（ 2. 凝聚態(tài)物理學(xué)的新范式？研究相互作用多粒子系統(tǒng)組成的凝聚答：凝聚態(tài)物理學(xué)是從微觀(guān)角度出發(fā)，經(jīng)態(tài)物質(zhì)的結(jié)構(gòu)和動(dòng)力學(xué)過(guò)程以及其與宏觀(guān)物理性質(zhì)之間關(guān)系的一門(mén)科學(xué)。為核心概念所建立的凝聚態(tài)物過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的發(fā)展，如進(jìn)行成了以“對(duì)稱(chēng)破缺”等4）臨界區(qū)域 （3）缺陷 （理學(xué)新范式，包括了

2、（1）基態(tài) （2）元激發(fā) 2 。四個(gè)不同的層次，而且這些層次之間又彼此相互關(guān)聯(lián) Hartree-Fock近似？3. 近似是一種對(duì)“原子核和周?chē)c其保持電中答：總的來(lái)看，Hartree-Fock它這一系統(tǒng)哈密頓量的一種簡(jiǎn)化處理，以實(shí)現(xiàn)單電子近似。性的一組電子”這種簡(jiǎn)化并“電子之間的相互作用勢(shì)”這一項(xiàng)的簡(jiǎn)化與修正。主要涉及到對(duì)假設(shè)每個(gè)電子運(yùn)動(dòng)于其他Hartree的自洽場(chǎng)近似，非是一蹴而就的，首先是2）所決定的場(chǎng)里，引入電子之間的相互 所有電子構(gòu)成的電荷分布（通過(guò) 作用勢(shì)：?22re1?ji?Vdrr? （1） ji?i4r?rij?0ji 量中的電子之間的相互作用勢(shì)。之所以稱(chēng)為“自洽”Hamilt

3、on來(lái)代替原先 是因?yàn)樽罱K的方程組可以通過(guò)自洽的方式求解。另外一方面，如果考慮電子的自旋，總波函數(shù)相對(duì)于互換一對(duì)電子應(yīng)是每對(duì)平行自旋電反對(duì)稱(chēng)的，最終求解出的電子系統(tǒng)的總能量還要增加一項(xiàng)： 子的交換能。21e? （2） rrr?r?drdEr j?iij?rr8?j?i0結(jié)合以上兩種處理就是Hartree-Fock近似。 4. 密度泛函理論？ 答：密度泛函理論的含義從其英文“Density functional theory”更能直觀(guān)的反映出來(lái)，它應(yīng)用“電子密度泛函數(shù)”來(lái)處理多體問(wèn)題。而泛函數(shù)通常指一種定義域?yàn)楹瘮?shù)，而值域?yàn)閷?shí)數(shù)的函數(shù)，換句話(huà)說(shuō)，是一種函數(shù)組成的3。泛函數(shù)常用來(lái)尋找某個(gè)能量泛函的

4、最小系統(tǒng)向量空間到實(shí)數(shù)的一個(gè)映射狀態(tài)，這為密度泛函理論的應(yīng)用提供了一個(gè)基礎(chǔ)。下面對(duì)密度泛函理論的理當(dāng)我們把原子或者離一般在固體周期性結(jié)構(gòu)中，論基礎(chǔ)做一些初步的解釋?zhuān)簥W本海默近似）的時(shí)候，那么靜態(tài)電子態(tài)的波動(dòng)方子實(shí)看作是不動(dòng)（波恩-? 將滿(mǎn)足下面的靜態(tài)薛定爾方程：程)(r,.,rN1?2?NNN?2?UHTV 3）（U?r,?V?r?r?E? jiiim2?ijii?i 方解決多體薛定諤的方法很多都非常復(fù)雜，其中最簡(jiǎn)單的事 Hartree-Fock 更加復(fù)雜的法，但是這類(lèi)方法的計(jì)算量都非常大，使得難以處理粒子更多，Hohenberg-Kohn表示）則提供了一種從系統(tǒng)。而密度泛函理論（以下DFT4

5、出發(fā)，通過(guò)自洽迭代求定理,即體系的基態(tài)唯一的決定于電子密度的分布利用電子密度可以使得原先獲得電子密度分布。解單電子多體薛定諤方程，這是因?yàn)殡娮用?。?N個(gè)空間變量直接減少到3（N為體系中電子的個(gè)數(shù)）中最主要的DFT度本身只具有三個(gè)參量，這顯然大大降低了計(jì)算的難度。在? 有：變量是粒子密度，對(duì)于一個(gè)歸一化的)n(r?33? （4）rn,rr?Nrdrd,rr,r,r,?N2N22N 通過(guò)一系列變換與計(jì)算，可以得出單粒子有效勢(shì)為：? 2?ren?3?s ）（5 rrnr?V?rV?dV?sXCs?r?r描述的是電子與電子之間的庫(kù)倫斥力作用，項(xiàng)，第二項(xiàng)叫做 Hartree其中， -關(guān)聯(lián)勢(shì)。最后一項(xiàng)是

6、交換 絕熱近似？5. 近似與密度泛函理論，絕熱近似Hartree-Fock答：相比于前兩個(gè)問(wèn)題中的量由五項(xiàng)組是一種更加基礎(chǔ)的近似。我們知道，固體晶格陣列的Hamilton 成，具體形式如下：?2222?NeZ1?22?H? ip?m822MRR?ip?qpip0qp ?2211Zee?）（6? ?48rr?Rr?pi?ij,00?jiip 在固體物理學(xué)問(wèn)題中在許多問(wèn)題中，起作用的只是最外層電子，即價(jià)電子，應(yīng)將這些電子的質(zhì)量其余的電子將和電子與原子核一起運(yùn)動(dòng)，構(gòu)成離子實(shí)，值，其次由于離子實(shí)的質(zhì)量要遠(yuǎn)比電子大得多，而相應(yīng)的調(diào)整歸入MZp相應(yīng)的，其特征速度要比電子速度慢得多，所以不妨將離子實(shí)視為靜止

7、的，5在這種近似下，上述的薛定“Born-Oppenheimer絕熱近似”這就是著名的諤方程的第一項(xiàng)（為0），第二項(xiàng)（為常數(shù)）都可以被略去，于是只剩下下面簡(jiǎn)化得多的Hamilton 量： ?222?NZe1e1?2? 7）（?H? ?i?482mr?rRr?jiipi,?00i?jiip 6. 元激發(fā)？ 答：對(duì)于能量靠近基態(tài)的低激發(fā)態(tài)，可以認(rèn)為是一些獨(dú)立基本激發(fā)單元的集合，它們具有確定的能量和波矢，這些基本激發(fā)單元就是元激發(fā)，有時(shí)也稱(chēng)為準(zhǔn)粒子。引進(jìn)元激發(fā)的概念，可以使復(fù)雜的多體問(wèn)題簡(jiǎn)化為接近于理想氣體的準(zhǔn)粒子系統(tǒng)，從而使固體理論的大部分問(wèn)題得以用簡(jiǎn)單統(tǒng)一的觀(guān)點(diǎn)和方法加以闡述。 二、論述題（合計(jì)

8、70分，要求給予充分的論述，字?jǐn)?shù)不少于6000字） 1. 相變和臨界現(xiàn)象 答：（一）相變： 相是物理性質(zhì)和化學(xué)性質(zhì)完全相同且均勻的部分。具有特點(diǎn)：（1）相6與相之間有分界面，可以用機(jī)械方法將他們分開(kāi)。（2）系統(tǒng)中存在的相可以是穩(wěn)定、亞穩(wěn)或不穩(wěn)定的（當(dāng)某相的自由能最低時(shí)，該相處于平衡態(tài)；若自由能不是最低，但是與最低自由能態(tài)之間有能壘相分隔，則該相處于亞穩(wěn)態(tài)；若不存在這種能壘，則該系統(tǒng)處于非穩(wěn)定態(tài)，這種狀態(tài)是不穩(wěn)定的，一定會(huì)向平衡態(tài)或者亞穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變）。（3）系統(tǒng)在某一熱力學(xué)的條件下，只有當(dāng)能量具有最小值的相才是最穩(wěn)定的。（4）系統(tǒng)的熱力學(xué)條件改變時(shí)，7。 自由能會(huì)發(fā)生變化，相的結(jié)構(gòu)也相應(yīng)發(fā)生變化 隨

9、著自由能的變化而發(fā)生的相的結(jié)構(gòu)的變化稱(chēng)為相變，它指在外界條件發(fā)生變化的過(guò)程中，系統(tǒng)的相于某一特定條件下發(fā)生突變。 相變的表現(xiàn)為：（1）從一種結(jié)構(gòu)變?yōu)榱硪环N結(jié)構(gòu)。（2）化學(xué)成分的不連續(xù)變化 。（3）某些物理性質(zhì)的突變。 相變的分類(lèi): 我們從熱力學(xué)角度（從其他角度也可進(jìn)行分類(lèi)），根據(jù)相變前后熱力學(xué)函數(shù)的變化，可將相變分為一級(jí)相變、二級(jí)相變和高級(jí)相變 其中，一級(jí)相變指在臨界溫度、壓力時(shí)，兩相化學(xué)位相等，但化學(xué)位的一階偏導(dǎo)數(shù)不相等的相變，這里兩相共存的條件是化學(xué)位相等。二級(jí)相變指的是在臨界溫度、臨界壓力時(shí)，兩相化學(xué)勢(shì)相等，其化學(xué)位的一階偏導(dǎo)數(shù)相等，而二階偏導(dǎo)數(shù)不相等的相變。在臨界溫度、臨界壓力時(shí)，一階

10、，二階偏導(dǎo)數(shù)相等，而三階偏導(dǎo)數(shù)不相等的相變稱(chēng)為三級(jí)相變，以此類(lèi)推，對(duì)于二級(jí)以上的相變?nèi)藗兎Q(chēng)為高級(jí)相變。波色-愛(ài)因斯坦凝聚就是一種三級(jí)相變。 （二）臨界現(xiàn)象 一般的人們把一級(jí)相變的終點(diǎn)稱(chēng)為臨界點(diǎn)，與臨界點(diǎn)有關(guān)的現(xiàn)象統(tǒng)稱(chēng)為臨界現(xiàn)象，也稱(chēng)作連續(xù)相變。除此之外另一種表述是，連續(xù)相變的相變點(diǎn)稱(chēng)為臨界點(diǎn)，而臨界現(xiàn)象則是物質(zhì)系統(tǒng)連續(xù)相變臨界點(diǎn)鄰域的行為。大部分的臨界現(xiàn)象產(chǎn)生于臨界點(diǎn)關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度的發(fā)散性，漲落相關(guān)長(zhǎng)度過(guò)大，除此之外還8有動(dòng)力降低。臨界現(xiàn)象包括不同量之間的標(biāo)度關(guān)系，由臨界指數(shù)描述的標(biāo)度律的發(fā)散，普適性，分形行為，遍歷破缺等。臨界現(xiàn)象一般發(fā)生在二級(jí)相變中，不過(guò)也不全是如此。 2. 有序相、無(wú)序相、序參

11、量 答：（一）有序相和無(wú)序相： 某些置換固溶體（固相溶劑中部分質(zhì)點(diǎn)被溶質(zhì)質(zhì)點(diǎn)取代而成的固態(tài)溶液9），當(dāng)溫度較低時(shí)，不同種類(lèi)的原子在點(diǎn)陣位置上呈規(guī)則的周期型排列，10；而在某一溫度以上，這種規(guī)律性就完全不存在了，稱(chēng)為無(wú)序相。 稱(chēng)有序相 對(duì)于體積恒定的系統(tǒng)，平衡態(tài)要求自由能： FF?E?TS（8 ） S為系統(tǒng)的熵），在高溫時(shí)的極小值與系統(tǒng)取極小值（為熱力學(xué)溫度，F(xiàn)T最大熵值有關(guān)，因而趨向于無(wú)序態(tài)；而在低溫下，中內(nèi)能占優(yōu)勢(shì)，平衡態(tài)F11。系統(tǒng)處于有序態(tài)而有序和無(wú)序的轉(zhuǎn)變溫度決定于上由內(nèi)能極小值決定，式中兩相的相對(duì)重要性。 晶體由有序相轉(zhuǎn)變?yōu)闊o(wú)序相稱(chēng)為有序-無(wú)序相變。有序化轉(zhuǎn)變包括：位置有序化，位向有

12、序化，電子旋轉(zhuǎn)態(tài)的有序化和結(jié)構(gòu)中缺陷引起的有序化。 （二）序參量 Landau 在描述二級(jí)相變理論的過(guò)程中引入了一個(gè)熱力學(xué)平衡條件決定8來(lái)描述有序-無(wú)序相變。序參order parameter）的宏觀(guān)變量序參量（量描述了與物質(zhì)有關(guān)的有序化程度和伴隨的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，在相變點(diǎn)，序參量從零（無(wú)序）連續(xù)地變?yōu)榉橇阒担ㄓ行颍?。序參量的?shù)值大小表示這個(gè)相的有序程度，數(shù)值越大，有序度越高，對(duì)稱(chēng)性越差，反之則有序性越低，對(duì)稱(chēng)性越高。對(duì)于二級(jí)相變，溫度大于臨界溫度時(shí)，也就是說(shuō)在高對(duì)稱(chēng)相中，序參量一般是選為零的，無(wú)所謂空間取向；當(dāng)溫度小于臨界溫度時(shí)，也就是在低對(duì)稱(chēng)相中，序參量不為零，它的可能的取向由相變過(guò)程中體系丟失

13、的對(duì)稱(chēng)性決定。所以，序參量反映的是低對(duì)稱(chēng)相的對(duì)稱(chēng)性。 自由能可以用序參量的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)，根據(jù)自由能極小和相變的穩(wěn)定性條2： 件要求，奇次冪系數(shù)為零，且四次方項(xiàng)系數(shù)大于零?42?（9） ?TTBF?,T?FT?A 0因?yàn)樵诟邷貢r(shí)，系統(tǒng)處于無(wú)序相，所以也是正的，隨著溫度下降，A(T)A(T)TA(T)?0。通過(guò)一些計(jì)算，可以得處，有應(yīng)改變符號(hào)；而在某個(gè)臨界溫度cc?的關(guān)系如圖1和序參量所示： 到自由能F ? 和序參量圖1. 自由能的關(guān)系示意圖F當(dāng)有序固溶體升溫時(shí)，它向無(wú)序狀態(tài)的改變，并不都是在臨界溫度下完成的，在接近臨界溫度時(shí)，有序相逐漸降低，離臨界溫度愈近轉(zhuǎn)變愈快，到臨界點(diǎn)，長(zhǎng)程有序度完全消失；但

14、是也有一些情況是，在臨界溫度以下，有后者則基本是前者對(duì)應(yīng)二階相變，而在臨界溫度驟降為零，序度下降不多，12快速降溫會(huì)引起。一階相變另一方面有序化過(guò)程是通過(guò)原子擴(kuò)散實(shí)現(xiàn)的，這種滯后的程度和合金的種類(lèi)之后，甚至不能達(dá)到該溫度下的平衡有序度，13 有關(guān)。有序度又分為長(zhǎng)程有序度和短程有序度，這里不作詳述。 臨界指數(shù)和標(biāo)度規(guī)律。3. 答：（一）臨界指數(shù)用冪指數(shù)來(lái)描述一些熱力學(xué)量在臨界點(diǎn)鄰域內(nèi)的特性，其冪（負(fù)冪次）14。人們實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，在臨界點(diǎn)附近物）稱(chēng)為臨界指數(shù)（Critical exponent ?TT?稱(chēng)為臨界指數(shù)。之間的關(guān)系均可以寫(xiě)成，質(zhì)特性的物理量與溫度Tc）概念這些指數(shù)與平均場(chǎng)理論不符，之后卡達(dá)

15、諾夫指出標(biāo)度律（Power Law 的重要性，在臨界點(diǎn)附近粒子之間的關(guān)聯(lián)、漲落起重要作用。盡管沒(méi)得到完全證明，人們認(rèn)為臨界指數(shù)具有普適性，它不依賴(lài)于物理of dimension 1）系統(tǒng)的尺寸（the 系統(tǒng)的細(xì)節(jié)，而和下面幾個(gè)條件有關(guān)：（）；interactionrange of the the system）；（2）相互作用的范圍（the ）。the spin dimension（3）自旋維度（這些臨界指數(shù)的性質(zhì)得到了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)支持，并且在高維數(shù)（維數(shù)大于等系統(tǒng)，（一維或二維）系統(tǒng)中，可以用平均場(chǎng)理論解釋。而對(duì)于低維度于四）就不再適應(yīng)了，這時(shí)，需要借助重整化Mean field theory平

16、均場(chǎng)理論（）才能合理的說(shuō)明。相變和臨界指theoryRenormalization group 群理論（: 數(shù)同樣可以出現(xiàn)在滲流系統(tǒng)以及隨機(jī)圖等中。下面將給出一個(gè)數(shù)學(xué)解釋?zhuān)藗兿霃臉?biāo)度規(guī)律的角相變發(fā)生在一個(gè)特定的溫度，稱(chēng)為臨界溫度 Tc）的變化行為。Specific free energy度研究臨界溫度附近的比自由能（f?TT?c）TemperatureReduced 可以看出因此我們引入了約化溫度（?: Tc?0? ：時(shí)，發(fā)生相變，定義臨界指數(shù)當(dāng)?flogdef（10） lim?k?log?0? ?k?0?f0?f?,的漸時(shí)， 而我們要尋找，值得注意的是，當(dāng) 進(jìn)行為。 更加普遍地，我們可以得

17、到：?kk?1f?b?A? （11）1（二）標(biāo)度規(guī)律 15在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，標(biāo)度規(guī)律（Power law）描述了兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，具體地說(shuō)就是一個(gè)量的某個(gè)相關(guān)改變導(dǎo)致另一個(gè)量的成比例變化，這種關(guān)聯(lián)與這些量的原始尺寸無(wú)關(guān)，只是一個(gè)量按另一個(gè)量變化的規(guī)律來(lái)變化。舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子：當(dāng)一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍時(shí)，面積將變?yōu)樵鹊乃谋丁?標(biāo)度規(guī)律具有以下幾條重要的性質(zhì)，這為我們研究物質(zhì)及物質(zhì)的變化規(guī)律提供了非常簡(jiǎn)便的方法： ?kaxx?f，（1Scale invariance）標(biāo)度不變性（）：我們考慮一個(gè)關(guān)系cx，這對(duì)于上述關(guān)系本身，只會(huì)起到比例縮乘以參數(shù)如果我們用一個(gè)常數(shù)?k?k? 放的作用，因?yàn)?/p>

18、：xcxc?xcxf?af?fa?2?a時(shí)，只有當(dāng)mean（2）缺乏定義很好的平均值（）： 一個(gè)標(biāo)度規(guī)律x?,x?13a?時(shí)才可能有有限而且，在只有當(dāng)上才能有定義很好的平均值，大多數(shù)的在自然界中確定的標(biāo)度律都有一個(gè)平均值可的方差（variance），以很好定義但方差不能很好定義的指數(shù)，這意味著它們滿(mǎn)足“黑天鵝行為16”。這導(dǎo)致了我們?cè)谘芯繕?biāo)度行為時(shí)，基于方）（black swan behavior 差和標(biāo)準(zhǔn)差的傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)學(xué)將不再適應(yīng)。）：具有著特定指數(shù)的標(biāo)度律等式在動(dòng)力學(xué)過(guò)（3）普適性（Universality熱力學(xué)系統(tǒng)中的程中有深層次的形成原因，這些原因?qū)е铝藰?biāo)度律的產(chǎn)生。這里面的指數(shù)就是相變

19、過(guò)程就是與一些特定量的標(biāo)度規(guī)律分布的產(chǎn)生有關(guān)，幾乎所有的金屬相變都是用很小的一組通用類(lèi)來(lái)描述的，事實(shí)上，臨界指數(shù)。）。這種相通的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的attractor在這里，系統(tǒng)的臨界點(diǎn)是吸引子（人們將它們歸入對(duì)于具有完全相同的臨界點(diǎn)的系統(tǒng)，正式的稱(chēng)呼為普適性， ）。同一個(gè)普適類(lèi)（Universality Class 相變理論 平均場(chǎng)理論和Landau4. ）答：（一）平均場(chǎng)理論（Mean field theory17，同時(shí)也被稱(chēng)為自洽場(chǎng)理論）在物理和概率論中，平均場(chǎng)理論（MFT平均場(chǎng)是通過(guò)研究一個(gè)簡(jiǎn)單得多的模型來(lái)處理大而復(fù)雜的隨機(jī)模型的理論。而把其他單元對(duì)于這理論考慮的是大量的相互之間有相互作用的小

20、的單元，因此這樣有效地將多體問(wèn)題簡(jiǎn)化些單元的作用通過(guò)一個(gè)平均場(chǎng)來(lái)近似處理，事實(shí)上個(gè)體之間存在相互作用的多體問(wèn)題一般情況下很難精確為單體問(wèn)題。 求解，除了一些極為簡(jiǎn)單的模型（如隨機(jī)場(chǎng)模型和一維Ising模型）。借助選擇一個(gè)合適的外場(chǎng)，用一個(gè)單體問(wèn)題來(lái)取代這種歸納起來(lái)，MFT多體問(wèn)題，這種外場(chǎng)的作用取代了所有其他的粒子與任何粒子的相互作用。量中最難處理的問(wèn)題就是由Hamiltonian當(dāng)我們把所有狀態(tài)歸結(jié)在一起時(shí)，將所有這些相互作用簡(jiǎn)化為一MFT中，各個(gè)量相互作用表示的組合問(wèn)題，在在）。 個(gè)平均的或有效的作用，有時(shí)人們稱(chēng)之為分子場(chǎng)（molecular field就可以看MFTHamiltonian

21、場(chǎng)論中，可以用平均場(chǎng)周?chē)牟▌?dòng)振幅展開(kāi)，而中沒(méi)有波動(dòng)，但是這卻和“平均場(chǎng)”的意義MFT成是零級(jí)展開(kāi)，這也意味著為研究一階，二階波動(dòng)方程提供了一個(gè)很好MFT相符合。在波動(dòng)的形式中， 的起點(diǎn)。維度在決定一種平均場(chǎng)近似是否適合某種情況時(shí)起到重要一般情況下，如果原先系統(tǒng)中的場(chǎng)或者粒子表現(xiàn)了非常多這里面有一條規(guī)律就是，作用，這在處理高緯度這時(shí)MFT能夠較精確的描述這個(gè)真實(shí)的系統(tǒng)。的相互作用， 系統(tǒng)或者有長(zhǎng)程力的系統(tǒng)時(shí)，都很適應(yīng)。 描述一個(gè)波動(dòng)時(shí)適合程度的標(biāo)準(zhǔn)，就是描述用MFTGinzburg criterion 它依據(jù)的就是所處理系統(tǒng)的粒子維度。下面給出平均場(chǎng)理論的數(shù)學(xué)描述：對(duì)平均場(chǎng)理論的正式描述是基于

22、是為：HamiltonianBogoliubov inequality的，一個(gè)系統(tǒng)的自由能的H?H?H ，存在上界：0def?TS?F?FH ）12（ 000是熵，平均值取自Hamiltonian為的輔助系統(tǒng)的平衡系綜。這里所選HS00取的輔助系統(tǒng)是無(wú)相互作用的，因此 N?（13） hH?i0i 1i?是統(tǒng)計(jì)系統(tǒng)（原子，自旋等）中一個(gè)單獨(dú)部分的自由度的簡(jiǎn)寫(xiě)，我這里i們可以通過(guò)最小化不等式右邊項(xiàng)來(lái)銳化上限。用無(wú)關(guān)聯(lián)自由度（non-correlated degrees of freedom）的最小參考系統(tǒng)（minimizing reference system）能最接近真實(shí)系統(tǒng)，這被稱(chēng)為平均場(chǎng)近似

23、。 對(duì)于最一般的情況，目標(biāo)Hamiltonian只含有兩兩的相互作用 ? 14） （,?VHijij?i,j?P?fTr為可觀(guān)測(cè)量這里是相互作用對(duì)，定義在所有單個(gè)組成部分的自fPii由度的和（對(duì)于離散變量取和，連續(xù)變量則求積分）?？梢缘玫剑咏淖杂赡転椋??N?,.,HF?Tr,.,P, N21,.,N0N21102?NN?logPkTTrP,.,., （15）11,22,.,NN012N0?N?是找到特定參考系統(tǒng)的概率，它通過(guò)這里Boltzmann ,.P,N021factor來(lái)歸一化： NN11def?h,?,.,H?iN?P?,.,Pe?e, ）16 （i20Ni1? i2N010NZ

24、Z11?ii?00Z里為配分函數(shù)，那么 這0N?jii?PlogkT,TrPPTrF?（17） ij0i00iji,ij0? ?jPii?1,?i取導(dǎo)數(shù)，使用為了實(shí)現(xiàn)最小化，我們對(duì)單個(gè)組成部分的自由度概率P0拉格朗日乘子來(lái)確保歸一化，最終的結(jié)果是一個(gè)自洽的等式： 1?MF?h?i? ） （18e?PN,.,1i?,2ii i0Z0平均場(chǎng)為： ?jMF?PhV,?Tr （19） ji,jiji0ij? ji,j?P（二）Landau相變理論（Landau theory） 18的提出是為了闡述一般連續(xù)相變（或二階相變）過(guò)相變理論Landau 程。 ）是解析的1提出任何系統(tǒng)的自由能必需滿(mǎn)足以下兩個(gè)條

25、件：（Landau ）（symmetry of Hamiltoniananalytic） （2）滿(mǎn)足Hamiltonian 的對(duì)稱(chēng)性（根據(jù)這兩個(gè)條件，就可以寫(xiě)出自由能在序參量下的泰勒展開(kāi)形式。下面 模型為例做一個(gè)簡(jiǎn)單說(shuō)明：以Ising 模型中，相變點(diǎn)附近的自由能可以寫(xiě)為以下的形式：在Ising 42 （20）?sHaF?r?），我們是自旋的粗粒子場(chǎng)（這里coarse-grained field of spins為了使熱力學(xué)系一般可以省略4次冪以后的高階項(xiàng)而不失相變的物理性質(zhì)。0s?，因統(tǒng)穩(wěn)定，具有最高冪的序參量的系數(shù)必須大于零，在這種情況下T可以發(fā)現(xiàn)自由能的序參在相變發(fā)生的臨界溫度，此我們發(fā)現(xiàn)

26、自由能受限。c表示成溫0變?yōu)榉橇懔?，?dāng)參量的符號(hào)改變時(shí)，我們可以用把參量量從rr?arr?rTT?也度的函數(shù) 是一個(gè)與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù)，同時(shí)常數(shù) ，其中0c0 可以被省略。s值的情況下，臨和Landau相變理論的應(yīng)用十分廣泛，在不知道參量rIsing界指數(shù)仍能被簡(jiǎn)單計(jì)算出，它只依賴(lài)于對(duì)稱(chēng)性和解析性的假設(shè)，在 模型中，序參量為：?TT?r?c0? （21）s2 ）的情況，對(duì)以上考慮的是無(wú)長(zhǎng)程關(guān)聯(lián)（no long-range correlation 我們還用上）的情況,于包含長(zhǎng)程關(guān)聯(lián)（including long-range correction Ising 模型來(lái)做說(shuō)明：述?那么系統(tǒng)的自由能就會(huì)被

27、修和外加磁場(chǎng)假設(shè)序參量存在空間變化，H 正為：?24D2? ?x?x?:F?sdxaTf?rTTTx?46? 22） （?xhx?; 這里面是總的空間變化維度，最終可以得到：D?H?exTr?:?x （23） Z5. 普適類(lèi)（Universality class） 19是一類(lèi)數(shù)學(xué)模型的集合，普適類(lèi)該集合中各個(gè)模型答：在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中，滿(mǎn)足在重整化群流的過(guò)程中具有共同的標(biāo)度不變性極限，在有限的標(biāo)度下，類(lèi)中的一些模型可能會(huì)有很大的區(qū)別，然而當(dāng)越來(lái)越接近極限標(biāo)度時(shí)，它們的變化行為逐漸趨于一致。值得特別注意的是，這些漸進(jìn)行為，例如同一個(gè)臨界指數(shù),對(duì)于同一類(lèi)中的所有模型都是適應(yīng)的。由于關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度趨于無(wú)窮，2

28、0。臨界點(diǎn)附近不同體系的共性掩蓋了個(gè)性的差異 六十年代后期，在總結(jié)實(shí)驗(yàn)事實(shí)的基礎(chǔ)上，人們提出了關(guān)于普適性的假設(shè)：各種物理系統(tǒng)按若干特征分為不同的普適類(lèi),同一體系具有相同的臨界dn，內(nèi)部自由度數(shù)目指數(shù)和臨界行為。區(qū)分普適類(lèi)的主要特征是空間維數(shù)d起到主要作用，二維和力程的長(zhǎng)短。人們還發(fā)現(xiàn)，對(duì)于三維以上的維度，n更加重要。臨界行為與晶體的對(duì)稱(chēng)、相互作用的性質(zhì)等因素都沒(méi)有以下，關(guān)系。在這樣的論述下，可以看出平均場(chǎng)理論是過(guò)分普適的理論，因?yàn)樗膎d及力程的長(zhǎng)短均無(wú)關(guān)，甚至不存在相變的情況下也預(yù)言了相，結(jié)果與數(shù)同的結(jié)果，這是和實(shí)驗(yàn)不相符的。而在實(shí)驗(yàn)上，人們能很好的區(qū)分不同的普?1nMnF?為為例，對(duì)于0.

29、335適類(lèi)。以臨界指數(shù)，對(duì)于液氦超流相變2?212?n3n?CrBr。 ，對(duì)于為0.368為0.3543分形維數(shù)和空間維數(shù)是已經(jīng)提出來(lái)的影響臨界指數(shù)的重要參量，換句話(huà)說(shuō)，我們能問(wèn)一個(gè)系統(tǒng)是否有Hamiltonian 量 ?2?z （24） S?D?J?SSH?iij iji,模型具有相同的臨界指數(shù)。Heisenberg空間維度為3的這個(gè)系統(tǒng)和同性?1n?的Ising模型有相同的臨界行為。這表明這個(gè)模型和Jasnow 和 Wortis 證明了空間維數(shù)是一個(gè)很重要的參數(shù)，他們研究了經(jīng)典轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的Hamiltonian ?zz? （25） SS?H?J?SS?jiiji,j?n?31n?，當(dāng)任意，當(dāng)

30、中，當(dāng)在基態(tài)Hamiltonian時(shí)，時(shí)，0?0?22?；鶓B(tài) 時(shí)變成了Ising6. 標(biāo)度不變性（Scale invariance） 23指，當(dāng)物體或者某種規(guī)律適應(yīng)的尺寸，能量或者其他的一答：標(biāo)度不變性些參量以變化為之前的常數(shù)倍時(shí)，其本身呈現(xiàn)出某種不變性（一種簡(jiǎn)單示意的數(shù)學(xué)形式在問(wèn)題3中已經(jīng)給出,這里不再描述）下面動(dòng)態(tài)圖所呈現(xiàn)Wiener process 就是一種標(biāo)度不變現(xiàn)象。 2 Wiener process 圖）這個(gè)術(shù)語(yǔ)來(lái)描述這些變化，而擴(kuò)張可以形成更我們常用擴(kuò)張（dilatation ）。大的共形對(duì)稱(chēng)性（conformal symmetry在數(shù)學(xué)中，標(biāo)度不變性常常指單個(gè)公式或者曲線(xiàn)線(xiàn)形的

31、不變性，一個(gè)非），滿(mǎn)足自相似性的公式或者常相關(guān)的概念是自相似性（Self-similarityprobability 對(duì)于概率分布（曲線(xiàn)線(xiàn)形在離散子集擴(kuò)張的條件下保持不變性。）都有可能存在某種標(biāo)度random processdistributions）或者隨機(jī)過(guò)程（ 不變性或者自相似性。標(biāo)度不變性應(yīng)用最廣泛的是擴(kuò)張下的整體理論的不變性。在經(jīng)典場(chǎng)論中， 這種理論往往描述了不考慮特征長(zhǎng)度尺度下的經(jīng)典物理過(guò)程。在量子場(chǎng)論中，標(biāo)度不變性有基于粒子物理的理論解釋。在量子標(biāo)度不 變性理論中，粒子相互作用力不依賴(lài)于參與其中的粒子。在統(tǒng)計(jì)力學(xué)中，標(biāo)度不變性是相變的一個(gè)重要特點(diǎn)。其中，最主要的發(fā)現(xiàn)是，在臨近相變

32、或者說(shuō)是在臨界點(diǎn)附近，在所有的標(biāo)度上都會(huì)發(fā)生漲落，所以人們需要需找一個(gè)嚴(yán)格的標(biāo)度不變理論來(lái)描述這種現(xiàn)象。這種理論就是標(biāo)度不變性統(tǒng)計(jì)場(chǎng)理論（Scale-invariant statistical field theory）。是事實(shí)上，這和標(biāo)度不變量子場(chǎng)論很相似。 普適性的發(fā)現(xiàn)告訴我們一些很不相同的微觀(guān)系統(tǒng)在一個(gè)相變過(guò)程中有著一樣的行為。因此，在許多不同系統(tǒng)中的相變過(guò)程可以在一個(gè)共同的更加根本的標(biāo)度不變性理論下進(jìn)行描述。 一般情況下，無(wú)量綱量（dimensionless quantities）都是換標(biāo)不變量（scale invariant）。統(tǒng)計(jì)物理中相似的概念有標(biāo)準(zhǔn)化力矩（standardize

33、d moments），它們是變量統(tǒng)計(jì)下的換標(biāo)不變量，而非標(biāo)準(zhǔn)化力矩則不屬于其中。除此之外，標(biāo)度不變性還有其他很多應(yīng)用，如：不施加外力條件下的牛頓流體力學(xué)，計(jì)算機(jī)視覺(jué)技術(shù)（Computer vision）等. 7. 重整化群理論（Renormalization group ） 24是一種數(shù)學(xué)工具，它允許在不同RG）答：在理論物理中，重整化群理論（的距離標(biāo)度下研究物理系統(tǒng)的變化（allows systematic investigation of the changes of physical system as viewed at different distance scales）。在粒子物理

34、中，它反映了基本力學(xué)規(guī)律（在量子場(chǎng)論中明確了該定義）的變化：處于物理過(guò)程發(fā)生變化的能量標(biāo)度時(shí)，能量/動(dòng)量以及分辨距離標(biāo)度在測(cè)不準(zhǔn)原理下的有效共軛。 標(biāo)度上的一個(gè)變化叫做“標(biāo)度轉(zhuǎn)換（scale transformation）”。重整化群理論與標(biāo)度不變性，共形不變性以及自相似性有著緊密的關(guān)聯(lián)（我們要知道標(biāo)度轉(zhuǎn)換事實(shí)上屬于共形轉(zhuǎn)換）。當(dāng)標(biāo)度變化時(shí)，就像是改變了觀(guān)察系統(tǒng)的顯微鏡放大倍率。在所謂的重整化群理論中，在一個(gè)標(biāo)度下的系統(tǒng)一般可以看成是由一個(gè)更小的標(biāo)度下看到的自相似的副本組成，同時(shí)在描述各個(gè)組成部分時(shí)，需要不同的參量。這些組成部分，或者是基本的一些變量可能會(huì)與原子，基本粒子，原子自旋有關(guān)聯(lián)。它們

35、可能是可變的耦合量，用來(lái)測(cè)試各種各樣力的大小或者質(zhì)量參數(shù)本身。當(dāng)一個(gè)組成部分去了更近的距離時(shí)，這些組成部分可能更多地由相同的組成部分構(gòu)成（The component themselves may appear to be composed of more of the self-same components when one goes to shorter distance）。這里舉一個(gè)例子，在量子電動(dòng)力學(xué)中（quantum electrodynamics），一個(gè)電子可以由電子群，正電子和光子組成，當(dāng)我們?cè)诜浅６痰木嚯x,以一個(gè)更高的分辨率去觀(guān)察它的時(shí)候，在如此短距離下的電子與在遠(yuǎn)距離觀(guān)察下的

36、“裹電子（dressed electron）”相比，電量有一些不同，這種在電量上的變化可以由重整化群25給出。下面給出一種重整化 Renormalization group equation）等式（群等式的具體形式。 Wilson 具體重整化群公式從概念上講是最簡(jiǎn)單的一種重整化群公式，但遺憾的是，它幾乎無(wú)法應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中去。在芯旋轉(zhuǎn)（wick rotation）到歐幾里得空間中后，再用傅里葉變化變換到動(dòng)量空間，由動(dòng)量的臨界值知22?p?，因此只存在小于的自由度，因此配分函數(shù)為： ? ? 26 ） （SZ?Dexp?22?p?22?S?0?（一個(gè)在傅里葉變換滿(mǎn)足，的定義對(duì)于任意滿(mǎn)足的?p?的配

37、置域上）為： def? ）（27 SD?exp?Sexp?p 得到配分函數(shù)：那么，我們就可以? （28）SDexpZ?22?p 8. 列出物理學(xué)中三種典型的相變和臨界過(guò)程First-order phase 答：三種典型的相變和臨界過(guò)程分別為：一級(jí)相變（），無(wú)限Second-order phase transitiontransformation），二級(jí)相變（8 相變（infinite-order phase transition）的問(wèn)題，在一級(jí)相變heat1）一級(jí)相變：一級(jí)相變涉及到潛熱（latent （過(guò)程中，系統(tǒng)單位體積吸收或放出固定量（一般是比較大）的能量。而且在系統(tǒng)處于一個(gè)混合的狀在相變點(diǎn)，吸熱的的同時(shí)，系統(tǒng)溫度是保持不變的，但還有一些相沒(méi)有完成其中有些部分已經(jīng)完成相變變?yōu)榱似渌啵瑧B(tài)之中，在氣液轉(zhuǎn)化以及液固轉(zhuǎn)化的水的三相變化就屬于一級(jí)相變，相變過(guò)程。液，下表列出來(lái)氣，過(guò)程中，相變點(diǎn)水的相分別為氣液混合太和固液混合態(tài)。固（以及等離子體）之間的相變過(guò)程）： 固體 液體 氣體 等離子體 固體 固態(tài)相變 熔化 升華 液體 凝固 汽化 氣體 凝華 液化 電離等離子重 表1 相變 相變條件下圖所示： 3 Phase transition 圖（2）二級(jí)相變：二級(jí)相變也稱(chēng)連續(xù)相變（continuous ph