10.4直線與平面垂直

1、10.5 直線與平面垂直知識網(wǎng)絡(luò)】1、直線與平面垂直的性質(zhì)與判定；2、點到平面的距離，直線到平面的距離； 3、直線與平面的所成角及直線在平面內(nèi)的射影?！镜湫屠}】例 1：（ 1）平面 過 ABC 的重心， B、C 在 的同側(cè)， A 在 的另一側(cè)，若 A、B、C 到平面 的距離分別為 a、 b、 c，則 a、 b、c 間的關(guān)系為（ ）（ A）2a=b+c；（B）a=b+c；（C）2a=3（b+c） ；（D）3a=2（b+c）b c a b c答案： B 解析： B、C 中點到平面 的距離為 ， 即 a b c2 2 2（2） 已知正 ABC 的邊長為 4 3 ，則到三個頂點的距離都為 1 的平面

2、有（ ）3（A）1個；（B）3 個；（C）5個；（D）7個答案： C解析：三點在同一側(cè)的有 2個，過兩邊的中點且垂直第三邊上的中線的平面有3 個，共 5 個。（ 3）設(shè) a， b， c 表示三條直線， , 表示兩個平面，則下列命題中逆命題不成立的是（）A、c ，若 c ，則 / B、b ，c ，若 c/ ，則 b/cC、b，若 b ，則D、b，c是 在 內(nèi)的射影， 若b c ，則 b答案： C解析： C的逆命題是 b,若，則b a顯然不成立。（4）已知 PA垂直平行四邊形 ABCD 所在平面，若PC BD ，平行則四邊形 ABCD 定是 .答案： 菱形 解析：顯然 AC BD ，即平行四邊形

3、ABCD 一定是菱形（5）P是ABC 所在平面外一點， O是P點在平面 上的射影若 P到ABC 三邊的 距離相等，則 O 是 ABC 的 心；若 P 到 ABC 三個頂點的距離相等，則 O 是 ABC 的 心；若 PA、PB、PC 兩兩互相垂直，則 O 是ABC 的心答案：內(nèi)心、外心、垂心；解析：由內(nèi)心、外心、垂心的性質(zhì)可知。例 2：已知 ABC中 ACB 90 ，SA 面 ABC ，AD SC ，求證： AD 面SBC答案：證明： ACB 90 BC AC又 SA 面 ABCSA BCBC AD ， 又 SC AD,SC BC C， AD 面 SBCBBC 面 SAC例 3如圖，已知 CD是

4、異面直線 CA、 DB的公垂線， CA 于 A，DB 于B， =EF 求證： CD EF答案：證明：設(shè)CD、CA 確定平面 ，E =AA1 CA 于 A， CA AA1又 CA CD， =BB1同理有 CDBB1，CCCA、 CD、 AA1都在平面 內(nèi)， CD AA1設(shè) CD、 DB確定平面BB1 CD AA1 AA1 ， BB1 ， BB1 BB1， =EF， EF CD例 4：如圖， PA、 PB、 PC兩兩垂直， PA=PB=PC，1G是 PAB的重心， E 是 BC上的一點，且 BE= BC，31F 是 PB 上的一點，且 PF= PB3求證：（ 1）GF 平面 PBC；（2）FE B

5、C；（ 3）GE是異面直線 PG與 BC的公垂線證明：（1）連結(jié) BG和 PG，并延長分別交 PA、 AB 于 M1和 D，在 PBM中， PF= PB，G 是 PAB 的重心，31MG= BM， GFPM又 PA PB,PA PC， PA 平面 PBC，3則 GF 平面 PBC112）在 EC上取一點 Q 使 CQ=1 BC，連結(jié) FQ，又 PF=1 PB，331FQPC PB=PC， FB=FQ BE= BC， E是BQ的中點， FE BQ，即 FE BC3（3）連結(jié) GE GF 平面 PBC，易得 GE BC取 BF中點 N，連結(jié) EN，則 EN FQPC PC 平面 PAB， EN 平

6、面 PAB又 NGDB， NG PD，易 EG PD， GE是異面直線 PG與 BC的公垂線【課內(nèi)練習(xí)】1如果平面 外一條直線 l與 內(nèi)的兩條直線垂直， 那么l與 的位置關(guān)系是 （ ）Al Bl Cl 與 相交且不垂直D不能確定答案： D。 解析：因兩條直線的位置不能確定。2. 若斜線和平面所成的角為 ，此斜線與此平面內(nèi)任一直線所成的角為 ，則（ ）A. B. = C. D. 與 的大小關(guān)系不確定 答案： A. 解析：直線與平面的所成角為斜線與平面任一直線所成角的最小角 .3 A,B,C 表示不同的點， a,l 表示不同的直線， , 表示不同的平面，下列推理 錯誤的是 （ ）A A l,A ,

7、B l,B lBAB, ,l ,l AB lC l , A l A D.A,B,C ，A,B,C ，且 A,B,C 不共線 與重合 答案： C 解析：作圖分析即可知。4AC 是平面 的斜線，且 AO=a ， AO 與 成 60o角， OC ，AA 于 A，A OC=45o，則 A 到直線 OC 的距離是， AOC 的余弦值是.答案： 14 a 、 2 ；解析：由三余弦定理可得 .445.已知 ABC 中，A ，BC ，BC=6， BAC=90 ，AB 、AC 與平面 分別成 30 、 45 的角則 BC 到平面 的距離為 答案：6 ；解析：設(shè) BC 到平面 的距離為 h，則 (2h)2 ( 2

8、h)2 3b h 6 .6. AB CD ，它們都在平面 內(nèi)，且相距 28EF ，且相距 15EFAB ，且相距 17則EF 和 CD 間的距離為答案：25或 39；解析： EF在內(nèi)的射影可以在 AB、CD 之間或在 AB 、CD的外面 .7已知：如圖 , PA 矩形ABCD所在的平面 , M、N分別是 AB 、PC的中點 求證： MN AB ；P若 MN 為 AB 、PC的公垂線，求 PD 與面 ABCD 的所成角。答案：連 AC ，取AC中點E，連 ME、NE， 則NEPA，NE 平面ABCD ， NEAB，ME AB ， MN AB 若 MN 為 AB ，PC 的公垂線 則 PM = M

9、C PA=AD=BC即 PD 與面 ABCD 的所成角為 45C1C答案：證明： (1)連結(jié) A1C1，設(shè) A1C1 B1D1 O1 PDA= 45連結(jié) AO1 ， ABCD A1B1C1D1 是正方體A1 ACC1是平行四邊形A1C / AC 且 A1C1 AC 又 O1,O 分別是 A1C1, AC 的中點， O1C/ AO 且 O1C1 AOAOC1O1是平行四邊形 , C1O / AO1,AO1 面 AB1D1 ， C1O 面 AB1D1 , C1O /面 AB1D1（2）CC1面 A1B1C1D1CC1B1D!又A1C1B1D1，B1 D1面 A1C1C即 A1C B1D1同理可證

10、A1C AB1 ， 又 D1B1 AB1 B1A1C 面 AB1D19如圖，已知 ABCD 是矩形， AB=a ， AD= b ，PA 平面 ABCD ，PA=2c，Q 是 PA 的 中點求（ 1）Q 到 BD 的距離；（2） P 到平面 BQD 的距離答案：解：（ 1）在矩形 ABCD 中，作 AE BD 于 E，連結(jié) QE QA 平面 ABCD ，QE BE ， QE 的長是 Q 到 BD 的距離在矩形ABCD 中， AB=a ，ab1AD=b ， AE=在 Rt QAE 中， QA= PA=c，AD=b ， AE= a2 b22 PA=c，QE= QA2 AE2 c2 aa2 bb2 Q

11、到 BD 的距離為 c2 aa2 bbD（2）平面 BQD 經(jīng)過線段 PA的中點，P到平面 BQD 的距離等于 A 到平面 BQD 的距離在 AQE 中，作 AH QE 于 E BD AE ，BD QE， 面 BQE ，即 AH 為 A 到平面 BQD 的距離 BD 平面 AQE BD AH ， AH 平ab在 RtAQE 中， AQ=c ，AE=，AH=a2 b2abca2b2 b2c2 c2a2P 到平面 BQD 的距離為abc a2b2 b2c2 c2a2作業(yè)本】A組1. 直線 a 與平面 斜交，則在平面 內(nèi)與直線 a 垂直的直線（ ）A. 沒有 B. 有一條 C. 有無數(shù)條 D. 內(nèi)所

12、有直線 答案： C. 解析：一組平行線 .2如圖， AB AC BD 1，AB 平面M，AC 平面M，BD AB，BD 與平面M 成300角，則 C、 D間的距離為A1答案：C.B2解析：D2.3已知平面 及 外一條直線 l ，下列命題中（1）若 l 垂直于 內(nèi)的兩條平行線，則 l ；（2）若 l 垂直于 內(nèi)的所有直線，則 l ；（ 3）若 l 垂直于 內(nèi)的兩條相交直線，則 l；（4）若 l 垂直于 內(nèi)的任意一條直線，則 l；正確的有A0 個B1 個C2 個D 3 個答案： D 。解析：正確。4邊長為 a的正六邊形 ABCDEF 在平面 內(nèi)，PA ，PA=a，則P到CD 的距離為 P 到 BC

13、 的距離為.答案： 2a、 7 a ；解析：過 A分別向 CD、BC 作垂線構(gòu)成直角三角形即可。25AB 垂直于 BCD 所在的平面， AC 10,AD 17,BC :BD 3:4，當(dāng) BCD的面積最大時，點 A 到直線 CD 的距離為答案：135。解析：設(shè) BC 3x ，BD 4x ，則 10 9x2 17 16x2到 CD 的距離 d1 (152)2136已知：點 O是 ABC 的垂心，PO 平面ABC ，垂足為 O，求證： PA BC 答案：證明：點 O是 ABC 的垂心， AD BC 又 PO 平面ABC ，垂足為 O ， POBCBC 面 APO BCPA7在棱長為 4 的正方體 A

14、BCD-A 1B1C1D1中，O 是正方形 A 1B1C1D 1的中心，點 P在棱 CC1 上，且 CC1=4CP.（）求直線 AP 與平面 BCC1B1 所成的角的正切；（）設(shè) O點在平面 D1AP上的射影是 H，求證： D1HAP； （）求點 P到平面 ABD 1的距離 .答案：（1）連 BP，在 RtABP 中， AB=4 ， BP17 tan APB4174 1717APB 為直線 AP 與 BCC 1B1的所成角（2） D1B1AC，D1B1CP D1B1面 ACPD1B1AP，又 OH面 AD1P OHAP ， AP面 D1OH D1HAP3（ 3）用體積法2 。28. 在ABC

15、所在平面外有點 S，斜線 SA AC ，SB BC ，且斜線 SA、SB 與平面 ABC 所成角相等 .（ I ）求證： AC=BC ；（ II ）又設(shè)點 S到平面 ABC 的距離為 4cm，AC BC且AB=6c m，求 S與AB 的距離.答案：（1）證明：過 S作SO面 ABC 于OS到 AB的距離 d 5 cmB組1. 如圖 BC 是 RtABC 的斜邊，過 A 作 ABC 所在平面 垂線 AP，連 PB、 PC，過 A 作AD BC于D，連 PD ，那么圖 中直角三角形的個數(shù)是A4個 B6個 C7 個 D8個答案： D 解析： RtPAB，RtPAC，RtABC ， RtABDA_B_

16、DRtADC ，RtPAD，RtPDC ，RtPDB2 下列說法正確的是( )A直線 a 平行于平面 M，則 a平行于 M 內(nèi)的任意一條直線B直線 a與平面 M相交，則 a不平行于 M 內(nèi)的任意一條直線C直線 a 不垂直于平面 M，則 a不垂直于 M 內(nèi)的任意一條直線D直線 a 不垂直于平面 M，則過 a 的平面不垂直于 M 答案： B. 解析：根據(jù)平行和垂直的性質(zhì)即可得.3直三棱柱 ABCA1B1C1中， ACB=90， AC=AA1=a，則點 A到平面 A1BC 的距離是 ( )A.a B. 2 a C. 2 a D. 3a2答案： C解析：取 A 1C的中點 O，則 AO 就是 A 到面

17、 A1BC 的距離。4已知 PA、PB 、PC 是從點 P 發(fā)出的三條射線，每兩條射線的夾角都是 60 ，則直線PC與平面 PAB 所成的角的余弦值為3答案： 3 . 解析：特殊化處理，構(gòu)成正四面體。35平面 外有兩點 A,B ，它們與平面 的距離分別為 a,b，線段 AB 上有一點 P，且 AP:PB=m:n ，則點 P 到平面 的距離為 .na mb mb na 答案： 或 | | 解析：分 A、 B 在的同側(cè)和異側(cè)。m n m n6在三棱錐 P-ABC 中，三條側(cè)棱 PA， PB，PC兩兩垂直， H 是ABC 的垂心 求證： PH 底面 ABC ABC 是銳角三角形 .答案： 證明： P

18、A PB PA PC 且 PB PC=P PA 側(cè)面 PBC又 BC 平面 PBD PA BCH 是 ABC 的垂心 AH BCPAAH=A BC 截面 PAH又 PH 平面 PAH BC PH同理可證： AB PH 又 AB BC=B PH 面 ABC 設(shè) AH 與直線 BC 的交點為 E，連接 PE，PBC由知 PH 底面 ABC PE BC PB PC 即 BPC 是直角三角形， BC 為斜邊E在BC邊上 由于 AE BC，故 BC都是銳角 同理可證： A 也是銳角 ABC 為銳角三角連結(jié) BM、CM、DM 7如圖，已知 AO 是正四面體 ABCD 的高， M 是 AO 的中點， 求證： BM 、CM 、DM 兩兩垂直答案：證明：設(shè)正四面體的棱長為連結(jié)OD, 則 OD= 2 3 a32中,AO=3CM= 2 a2 CM DMDBCD 的中心aAO 是高,O 是正三角形3a36 a ,OM= 6 a ；在 Rt MOD 中，6在 Rt AODDDM= 2 a 同理2 CM 2+DM 2=CD2同理 BM CM，DM BM BM、CM、 8已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1，底面邊長為 CD1交 DD 1于 M.（1）求證： BD1平面 A1C