2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 單元素養(yǎng)評(píng)價(jià) 第二章 變化率與導(dǎo)數(shù)北師大版選修2-2

1、2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 單元素養(yǎng)評(píng)價(jià) 第二章 變化率與導(dǎo)數(shù)北師大版選修2-22020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 單元素養(yǎng)評(píng)價(jià) 第二章 變化率與導(dǎo)數(shù)北師大版選修2-2年級(jí)：姓名：?jiǎn)卧仞B(yǎng)評(píng)價(jià)(二)(第二章)(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.函數(shù)y=x2+x在x=1到x=1+x之間的平均變化率為()a.x+2b.2x+(x)2c.x+3d.3x+(x)2【解析】選c.y=(1+x)2+1+x-1-1=(x)2+3x，所以=x+3.2.下列式子不正確的是()a.(3x2+cos x)=6x-sin x

2、b.(ln x-2x)=-2xln 2c.(2sin 2x)=2cos 2xd.=【解析】選c.對(duì)于選項(xiàng)a，(3x2+cos x)=6x-sin x成立，故a正確；對(duì)于選項(xiàng)b，(ln x-2x)=-2xln 2成立，故b正確；對(duì)于選項(xiàng)c，(2sin 2x)=4cos 2x2cos 2x，故c不正確；對(duì)于選項(xiàng)d，=成立，故d正確.3.(2019全國(guó)卷)已知曲線y=aex+xln x在點(diǎn)(1，ae)處的切線方程為y=2x+b，則()a.a=e，b=-1 b.a=e，b=1c.a=e-1，b=1 d.a=e-1，b=-1【解析】選d.令f(x)=aex+xln x，則f(x)=aex+ln x+1，

3、f(1)=ae+1=2，得a=e-1.f(1)=ae=2+b，可得b=-1.【加練固】已知曲線y=2ax2+1過點(diǎn)(，3)，則該曲線在該點(diǎn)處的切線方程為()a.y=-4x-1b.y=4x-1c.y=4x-11d.y=-4x+7【解析】選b.因?yàn)榍€過點(diǎn)(，3)，所以3=2a2+1，所以a=1，所以切點(diǎn)為(1，3).由導(dǎo)數(shù)定義可得y=4ax=4x，所以該點(diǎn)處切線斜率k=4，所以切線方程為y-3=4(x-1)，即y=4x-1.4.若曲線f(x)=x4-x在點(diǎn)p處的切線平行于直線3x-y=0，則點(diǎn)p的坐標(biāo)為()a.(1，3)b.(1，-3)c.(1，0)d.(-1，0)【解析】選c.設(shè)p點(diǎn)坐標(biāo)為(x

4、0，y0)，則k=f(x0)=4-1=3，解得x0=1，此時(shí)y0=0.5.曲線y=x3+11在點(diǎn)p(1，12)處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是()a.-9b.-3c.9d.5【解析】選c.因?yàn)閒(x)=3x2，切點(diǎn)p(1，12)，所以切線的斜率k=312=3.故切線方程為y-12=3(x-1)，即3x-y+9=0，令x=0，得y=9.6.函數(shù)y=(x+1)2(x-1)在x=1處的導(dǎo)數(shù)等于()a.1b.2c.3d.4【解析】選d.y=(x+1)2(x-1)+(x+1)2(x-1)=2(x+1)(x-1)+(x+1)2=3x2+2x-1，所以當(dāng)x=1時(shí)，y=4.7.已知函數(shù)y=f(x)，y=g(x)的

5、導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，那么y=f(x)，y=g(x)的圖像可能是()【解析】選d.由導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖像可知y=f(x)在(0，+)上單調(diào)遞減，說明函數(shù)y=f(x)的圖像上任意一點(diǎn)切線的斜率為單調(diào)遞減，故可排除a，c.又由圖像知y=f(x)與y=g(x)在點(diǎn)x=x0處相交，說明y=f(x)與y=g(x)的圖像在x=x0處的切線斜率相同，故可排除b.8.設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=f(x)的圖像如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖像可能為()【解析】選a.由f(x)的圖像判斷可得，從左到右函數(shù)在y軸左側(cè)先增，再減，在y軸的右側(cè)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖像可能在區(qū)間(-，0

6、)內(nèi)，先有f(x)0，再有f(x)0，在(0，+)有f(x)0.9.在下列四個(gè)函數(shù)中，滿足性質(zhì)：“對(duì)于區(qū)間(1，2)上的任意x1，x2(x1x2)，|f(x2)-f(x1)|x2-x1|恒成立”的只有()a.f(x)=b.f(x)=|x|c.f(x)=2xd.f(x)=x2【解析】選a.由已知得1，則|1(k指斜率)，即曲線在(1，2)上任意兩點(diǎn)連線的斜率在區(qū)間(-1，1)內(nèi).a中f(x)=-，當(dāng)x(1，2)時(shí)，f(x)，滿足題意；b中在(1，2)上k=1，不滿足題意；c中(2x)=2xln 2，不滿足題意；d中(x2)=2x，不滿足題意.10.已知曲線f(x)=ln x在點(diǎn)(2，f(2)處的

7、切線與直線ax+y+1=0垂直，則實(shí)數(shù)a的值為()a.b.-2c.2d.-【解析】選c.f(x)=ln x的導(dǎo)數(shù)為f(x)=，可得曲線f(x)=ln x在點(diǎn)(2，f(2)處的切線斜率為，切線與直線ax+y+1=0垂直，可得-a=-1，解得a=2.11.如圖是二次函數(shù)f(x)=x2-bx+a的部分圖像，則函數(shù)g(x)=ex+f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()a.(-1，0)b.(0，1)c.(1，2)d.(2，3)【解析】選b.由圖像可知，0f(0)=a1，f(1)=0，即1-b+a=0，由可得1b2，g(x)=ex+2x-b，且g(0)=1-b0，又g(x)的圖像連續(xù)不斷且g(x)為增函數(shù)，所以g

8、(x)在(0，1)上必存在零點(diǎn).12.若函數(shù)f(x)=-eax(a0，b0)的圖像在x=0處的切線與圓x2+y2=1相切，則a+b的最大值是()a.4b.2c.2d.【解析】選d.f(x)=-eax，因此切線的斜率k=f(0)=-，切點(diǎn)為，切線方程為y+=-(x-0)，即ax+by+1=0，由于與圓相切，所以=1，則a2+b2=1，由，得a+b，當(dāng)僅且當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)把答案填在題中的橫線上)13.曲線c：f(x)=sin x+ex+2在x=0處的切線方程為_.【解析】因?yàn)閒(x)=cos x+ex，所以k=f(0)=cos 0+e0=2，

9、且f(0)=sin 0+e0+2=3，所以所求切線方程為y-3=2(x-0)，即2x-y+3=0.答案：2x-y+3=014.已知f(x)=x2+2xf(1)，則f(0)=_.【解析】f(x)=x2+2xf(1)=2x+2f(1)，則f(1)=21+2f(1)，所以f(1)=-2，所以f(0)=20+2f(1)=-4.答案：-4【加練固】已知函數(shù)f(x)=x3-f(1)x2+x+5，則f(1)=_.【解析】因?yàn)閒(x)=x3-f(1)x2+x+5，所以f(x)=x2-2f(1)x+1，令x=1，得f(1)=1-2f(1)+1，得f(1)=.答案：15.已知函數(shù)f(x)=aex+e-x的導(dǎo)函數(shù)f

10、(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則a=_.【解題指南】先求導(dǎo)，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可求出a的值.【解析】函數(shù)f(x)=aex+e-x的導(dǎo)函數(shù)f(x)=aex-e-x的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f(-x)=-f(x)，所以ae-x-ex=-aex+e-x，所以a=1.答案：116.已知函數(shù)g(x)=a-x2xe，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)與h(x)=2ln x的圖像上存在關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=a-x2xe，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)與h(x)=2ln x的圖像上存在關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，所以方程a-x2=-2ln x，即-a=2ln x-x2在上有解.令f(x)=2ln x-x2

11、，則f(x)=-2x=，因?yàn)閤e，所以f(x)在x=1處有唯一的極大值點(diǎn).因?yàn)閒=-2-，f(e)=2-e2，f(x)的極大值為f(1)=-1，且f(e)0，故f單調(diào)遞增，注意到f=0，故當(dāng)x時(shí)，f0，f單調(diào)遞增.(2)由fx3+1得，ex+ax2-xx3+1，其中x0，當(dāng)x=0時(shí)，不等式為：11，顯然成立，符合題意；當(dāng)x0時(shí)，分離參數(shù)a得，a-，記g=-，g=-，令h=ex-x2-x-1，則h=ex-x-1，h=ex-10，故h單調(diào)遞增，hh=0，故函數(shù)h單調(diào)遞增，hh=0，由h0可得：ex-x2-x-10恒成立，故當(dāng)x時(shí)，g0，g單調(diào)遞增；當(dāng)x時(shí)，g0，g單調(diào)遞減，因此，=g=，綜上可得，

12、實(shí)數(shù)a的取值范圍是.21.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=aexln x+，(1)求導(dǎo)函數(shù)f(x).(2)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為y=e(x-1)+2，求a，b.【解析】(1)由f(x)=aexln x+，得f(x)=(aexln x)+=aexln x+.(2)由于切點(diǎn)既在函數(shù)曲線上，又在切線上，將x=1代入切線方程得：y=2.將x=1代入函數(shù)f(x)得：f(1)=b，所以b=2.將x=1代入導(dǎo)函數(shù)，則f(1)=ae=e.所以a=1.22.(12分)求滿足下列條件的函數(shù)f(x).(1)f(x)是三次函數(shù)，且f(0)=3，f(0)=0，f(1)=-3，f(2)=0.(2)f(x)是二次函數(shù)，且x2f(x)-(2x-1)f(x)=1.【解析】(1)由題意設(shè)f(x)=ax3+bx2+cx+