【最新整理】北師大初中數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)：數(shù)與式綜合復(fù)習(xí)--知識講解(提高)11頁

1、中考總復(fù)習(xí)：數(shù)與式綜合復(fù)習(xí)知識講解（提高）【考綱要求】(1) 借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對值的意義，會求有理數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)與絕對值理解有理數(shù)的運(yùn)算律，并能運(yùn)用運(yùn)算律簡化運(yùn)算；（2）了解平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，了解無理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念，知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)；會用根號表示數(shù)的平方根、立方根了解二次根式的概念及其加、減、乘、除運(yùn)算法則，會用它們進(jìn)行有關(guān)實(shí)數(shù)的簡單四則運(yùn)算；（3）了解整式、分式的概念，會進(jìn)行簡單的整式加、減運(yùn)算；會進(jìn)行簡單的整式乘法運(yùn)算會利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分，會進(jìn)行簡單的分式加、減、乘、除運(yùn)算【知識網(wǎng)絡(luò)】 【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、實(shí)數(shù)的有關(guān)概念、性質(zhì)1實(shí)數(shù)及其分類

2、 實(shí)數(shù)可以按照下面的方法分類： 實(shí)數(shù)還可以按照下面的方法分類：要點(diǎn)詮釋：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù) 有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)2數(shù)軸 規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸每一個實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點(diǎn)來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個點(diǎn)都表示一個實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的關(guān)系要點(diǎn)詮釋： 實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)的這種一一對應(yīng)的關(guān)系是數(shù)學(xué)中把數(shù)和形結(jié)合起來的重要基礎(chǔ)3相反數(shù) 實(shí)數(shù)a和-a叫做互為相反數(shù)零的相反數(shù)是零 一般地，數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩個點(diǎn)，分別在原點(diǎn)的兩旁，并且離原點(diǎn)的距離相等要點(diǎn)詮釋：兩個互為相反數(shù)的數(shù)的運(yùn)算特征是它們的和等于零，即如果a和b互為相反數(shù)，那么a+b

3、0；反過來，如果a+b0，那么a和b互為相反數(shù)4絕對值 一個實(shí)數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表示這個數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離 一個正實(shí)數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)實(shí)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；零的絕對值是零，即 如果a0，那么|a|a； 如果a0，那么|a|-a； 如果a0，那么|a|0要點(diǎn)詮釋：從絕對值的定義可以知道，一個實(shí)數(shù)的絕對值是一個非負(fù)數(shù)5實(shí)數(shù)大小的比較（1）在數(shù)軸上表示兩個數(shù)的點(diǎn)，右邊的點(diǎn)所表示的數(shù)較大（2）正數(shù)都大于0；負(fù)數(shù)都小于0，兩個負(fù)數(shù)絕對值大的那個負(fù)數(shù)反而小.（3）對于實(shí)數(shù)要點(diǎn)詮釋：常用方法：數(shù)軸圖示法；作差法；作商法；平方法等.6有理數(shù)的運(yùn)算 (1)運(yùn)算法則(略) (2)運(yùn)算律： 加法交換律

4、 a+bb+a； 加法結(jié)合律 (a+b)+ca+(b+c)； 乘法交換律 abba； 乘法結(jié)合律 (ab)ca(bc)； 分 配 律 a(b+c)ab+ac (3)運(yùn)算順序：在加、減、乘、除、乘方、開方這六種運(yùn)算中，加、減是第一級運(yùn)算，乘、除是第二級運(yùn)算，乘方、開方是第三級運(yùn)算在沒有括號的算式中，首先進(jìn)行第三級運(yùn)算，然后進(jìn)行第二級運(yùn)算，最后進(jìn)行第一級運(yùn)算，也就是先算乘方、開方，再算乘、除，最后算加、減 算式里如果有括號，先進(jìn)行括號內(nèi)的運(yùn)算 如果只有同一級運(yùn)算，從左到右依次運(yùn)算7平方根 如果x2a，那么x就叫做a的平方根(也叫做二次方根)要點(diǎn)詮釋：正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；零的平方根是

5、零；負(fù)數(shù)沒有平方根8算術(shù)平方根 正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根零的算術(shù)平方根是零要點(diǎn)詮釋： 從算術(shù)平方根的概念可以知道，算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)9近似數(shù)及有效數(shù)字 近似地表示某一個量準(zhǔn)確值的數(shù)，叫做這個量準(zhǔn)確值的近似數(shù)一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位這時，從左邊第一個不是0的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位止，所有的數(shù)字都叫這個數(shù)的有效數(shù)字10科學(xué)記數(shù)法 把一個數(shù)記成a的形式(其中n是整數(shù)，a是大于或等于1而小于10的數(shù))，稱為用科學(xué)記數(shù)法表示這個數(shù)考點(diǎn)二、二次根式、分式的相關(guān)概念、性質(zhì)1二次根式的概念 形如(a0) 的式子叫做二次根式2最簡二次根式和同類二次根式的概念 最簡二

6、次根式是指滿足下列條件的二次根式： (1)被開方數(shù)不含分母； (2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式要點(diǎn)詮釋：把分母中的根號化去，分式的值不變，叫做分母有理化.兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，若它們的積不含二次根式，則這兩個代數(shù)式互為有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：（1）互為有理化因式；（2）互為有理化因式；一般地互為有理化因式；（3）互為有理化因式；一般地互為有理化因式.3二次根式的主要性質(zhì)（1）；（2）；（3）；（4）積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：；（5）商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：.4 二次根式的運(yùn)算 (1)

7、二次根式的加減 二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把同類二次根式分別合并 (2)二次根式的乘除二次根式相乘除，把被開方數(shù)相乘除，根指數(shù)不變要點(diǎn)詮釋：二次根式的混合運(yùn)算：1.明確運(yùn)算順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號先算括號里面的；2.在二次根式的混合運(yùn)算中，原來學(xué)過的運(yùn)算律、運(yùn)算法則及乘法公式仍然適用；3.在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能收到事半功倍的效果.5代數(shù)式的有關(guān)概念 (1)代數(shù)式：用運(yùn)算符號(加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子，叫做代數(shù)式 用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計算后

8、所得的結(jié)果，叫做代數(shù)式的值代數(shù)式的分類：(2)有理式：只含有加、減、乘、除、乘方運(yùn)算(包含數(shù)字開方運(yùn)算)的代數(shù)式，叫做有理式 (3)整式：沒有除法運(yùn)算或者雖有除法運(yùn)算但除式里不含字母的有理式叫做整式 整式包括單項(xiàng)式和多項(xiàng)式 (4)分式：除式中含有字母的有理式，叫做分式分式的分母取值如果為零，分式?jīng)]有意義 6整式的運(yùn)算(1)整式的加減：整式的加減運(yùn)算，實(shí)際上就是合并同類項(xiàng)在運(yùn)算時，如果遇到括號，根據(jù)去括號法則，先去括號，再合并同類項(xiàng)(2)整式的乘法： 正整數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：；(a0，mn)其中m、n都是正整數(shù)整式的乘法：單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，用它們的系數(shù)的積作為積的系數(shù)，對于相同字母，用它們的指數(shù)的和作

9、為積里這個字母的指數(shù)，對于只在一個單項(xiàng)式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個因式 單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加 多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，先用一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加乘法公式：；零和負(fù)整數(shù)指數(shù)：在(a0，m，n都是正整數(shù))中，當(dāng)mn時，規(guī)定；當(dāng)mn時，如m-n-p(p是正整數(shù))，規(guī)定7因式分解（1）因式分解的概念 把一個多項(xiàng)式化成幾個整式的積的形式，叫做多項(xiàng)式的因式分解 在因式分解時，應(yīng)注意： 在指定數(shù)(有理數(shù)、實(shí)數(shù))的范圍內(nèi)進(jìn)行因式分解，一定要分解到不能再分解為止，題目中沒有指定數(shù)的范圍，一般是指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解 因式分解以后，如果

10、有相同的因式，應(yīng)寫成冪的形式，并且要把各個因式化簡 （2）因式分解的方法 提公因式法：ma+mb+mcm(a+b+c) 運(yùn)用公式法：；十字相乘法：運(yùn)用求根公式法：若的兩個根是、，則有：. （3）因式分解的步驟 多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式時，應(yīng)先提取公因式； 考慮所給多項(xiàng)式是否能用公式法分解要點(diǎn)詮釋： 因式分解時應(yīng)注意:在指定數(shù)（有理數(shù)、實(shí)數(shù)）的范圍內(nèi)進(jìn)行因式分解，一定要分解到不能再分解為止，若題目中沒有指定數(shù)的范圍，一般是指在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解；因式分解后，如果有相同因式，應(yīng)寫成冪的形式，并且要把各個因式化簡，同時每個因式的首項(xiàng)不含負(fù)號；多項(xiàng)式的因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆變形.8分式（1）分式的概念

11、 形如的式子叫做分式，其中A和B均為整式，B中含有字母，注意B的值不能為零 （2）分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母都乘(或除以)同一個不等于零的整式，分式的值不變，(其中M是不等于零的整式)要點(diǎn)詮釋：分式有意義分母0； 分式無意義分母=0；分式值為0 分式值為1分式值為正分子、分母同號.分式值為負(fù)分子、分母異號. （3）分式的運(yùn)算 加減法：，乘法： 除法：乘方：（n為正整數(shù)）要點(diǎn)詮釋： 解分式方程的注意事項(xiàng)：（1）去分母化成整式方程時不要與通分運(yùn)算混淆；（2）解完分式方程必須進(jìn)行檢驗(yàn)，驗(yàn)根的方法是將所得的根帶入到最簡公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解列分式方程解應(yīng)

12、用題的基本步驟：(1)審仔細(xì)審題，找出等量關(guān)系；(2)設(shè)合理設(shè)未知數(shù)；(3)列根據(jù)等量關(guān)系列出方程；(4)解解出方程；(5)驗(yàn)檢驗(yàn)增根；(6)答答題【典型例題】類型一、實(shí)數(shù)的概念、運(yùn)算及因式分解1在數(shù)軸上表示a、b、c三個數(shù)的點(diǎn)的位置如圖所示化簡：|a-b|+|a-c|-|b+c|【思路點(diǎn)撥】通過觀察數(shù)軸得到a、b、c的符號，通過確定絕對值里的式子的符號，來去掉絕對值符號.【答案與解析】由上圖可得bc0a， a-b0，a-c0，b+c0 |a-b|+|a-c|-|b+c|(a-b)+(a-c)-(-b-c)2a【總結(jié)升華】由絕對值的定義我們知道： 如果m0，那么|m|m；如果m0，那么|m|-

13、m；如果m0，那么|m|0要去掉絕對值符號，首先要弄清m的值是正、是負(fù)，還是零舉一反三：【變式】閱讀下面的材料，回答問題：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為當(dāng)A、B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時，不妨設(shè)點(diǎn)A在原點(diǎn)，如圖1-1，；當(dāng)A、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時：（1）如圖1-2，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右邊，；O（A）0bB圖1-1O0bB圖1-2 aA（2）如圖1-3，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊， ；（3）如圖1-4，點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的兩邊，BbaA圖1-3O0BbaA圖1-4O0綜上，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是 ；數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之

14、間的距離是 ；數(shù)軸上表示1和3的兩點(diǎn)之間的距離是 （2）數(shù)軸上表示x和1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是 如果，那么x= 【答案】（1）3，3，4；（2）或依據(jù)閱讀材料，所獲得的結(jié)論為，結(jié)合各問題分別代入求解（1）；（2）；因?yàn)?，所以，所以或所以?（2014春當(dāng)涂縣校級期中）分解因式（1）18x2y2+9x46x3y（2）1m2n2+2mn（3）a+2a2a3【思路點(diǎn)撥】如果多項(xiàng)式各項(xiàng)含有公因式，就先提出這個公因式，再進(jìn)一步分解因式分解因式必須進(jìn)行到每一個因式都不能再分解為止【答案與解析】解：（1）18x2y2+9x46x3y=3x2（6y23x2+2xy）；（2）1m2n2+2mn=1（mn）2=

15、（1+mn）（1m+n）；（3）a+2a2a3=a（12a+a2）=a（1a）2【總結(jié)升華】(1)如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)，一般要提出負(fù)號，使括號內(nèi)的第一項(xiàng)系數(shù)是正數(shù)，以便于觀察是否可以進(jìn)一步分解因式 (2)在提取公因式時，一是要真確確定公因式，二是要注意一步到位；分解因式一定要徹底舉一反三：【變式】分解因式：= 【答案】本題是四項(xiàng)，應(yīng)采用分組分解法，分組分解法主要有兩種，一是二二分組，另一種是一三分組，本題應(yīng)采用一三分組法進(jìn)行分解原式類型二、分式的有關(guān)運(yùn)算3我們把分子為1的分?jǐn)?shù)叫做單位分?jǐn)?shù)如，任何一個單位分?jǐn)?shù)都可以拆分成兩個不同的單位分?jǐn)?shù)的和，如，（1）根據(jù)對上述式子的觀察，你會發(fā)現(xiàn)，請

16、寫出，所表示的數(shù)；（2）進(jìn)一步思考，單位分?jǐn)?shù)（n是不小于2的正整數(shù)），請寫出，所表示的式，并加以驗(yàn)證【思路點(diǎn)撥】等式右邊的第一個分母是左邊的分母加1，第二個分母是前兩個分母的乘積，如果設(shè)左邊的分母為n，則右邊第一個分母為（n1），第二個分母為n（n1）【答案與解析】（1）表示的數(shù)為6，表示的數(shù)為30；（2）表示的式為，表示的式為驗(yàn)證：，所以上述結(jié)論成立【總結(jié)升華】通過對三組式子的觀察，不難找出規(guī)律舉一反三：【變式】若0x1，則的大小關(guān)系是( )A BC D【答案】C.4計算【思路點(diǎn)撥】在進(jìn)行分式的四則運(yùn)算時，一定要注意按運(yùn)算順序進(jìn)行，并注意結(jié)合題目的具體情況及時化簡，以便簡化運(yùn)算過程【答案與解

17、析】 【總結(jié)升華】在進(jìn)行分式的四則運(yùn)算時，要注意利用運(yùn)算律，尋找合理的運(yùn)算途徑舉一反三：【變式】計算【答案】 類型三、二次根式的運(yùn)算5已知【思路點(diǎn)撥】這是一道二次根式化簡題，在化為最簡二次根式的過程中，要注意a，b的符號，本題中沒明確告訴a，b的符號，但可從a+b=-9，ab=12中分析得到.【答案與解析】a+b=-9，ab=12，a0，b0.【總結(jié)升華】1.明確運(yùn)算順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號先算括號里面的；2.在二次根式的混合運(yùn)算中，原來學(xué)過的運(yùn)算律、運(yùn)算法則及乘法公式仍然適用；3.在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能

18、收到事半功倍的效果.舉一反三：【變式】估計+的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)在 （ ）A. 6到7之間B. 7到8之間C. 8到9之間D. 9到10之間【答案】本題應(yīng)計算出所給算式的結(jié)果，原式，由于，即. 故選C.6若a，b為實(shí)數(shù)，且b=，試求的值.【思路點(diǎn)撥】本題中根據(jù)b=可以求出a，b，再對的被開方數(shù)進(jìn)行配方、化簡. 【答案與解析】由二次根式的性質(zhì)得ab0， 當(dāng)【總結(jié)升華】對于形如形式的代數(shù)式都要變?yōu)榛虻男问剑?dāng)它們作為被開方式進(jìn)行化簡時，要注意舉一反三：【變式】(1) 若，且，則 (2)若，求的值【答案】(1)3；(2)-2.類型四、數(shù)與式的綜合運(yùn)用7（2014秋延平區(qū)校級月考）如圖，用相同規(guī)格的黑白兩色的正方形瓷磚鋪設(shè)矩形地面，請觀察下列圖形并解答有關(guān)問題：（1）在第n個圖中，共有瓷磚 塊，其中白色瓷磚 塊，黑色瓷磚 塊（均用含n的代數(shù)式表示）；（2）按上述鋪設(shè)方案，鋪設(shè)一塊這樣的矩形地面共用了1056塊瓷磚，求此時n的值；（3）若黑瓷磚每塊4元，白瓷磚每塊3元，則問題（2）中，共花多少元購買瓷磚？【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)第n個圖形的白瓷磚的每行有（n+1）個，每列有n個，即可表示白瓷磚的數(shù)量，再讓總數(shù)減去白瓷磚的數(shù)量即為黑瓷磚的數(shù)量；（2）當(dāng)y=1056時可以代入（1）中函數(shù)關(guān)系式求出n；（3）和（1）一樣可以推出白瓷磚的總塊