【最新】高中數(shù)學(xué)-提高 知識梳理

1、圓的方程【考綱要求】1.掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點，能根據(jù)所給有關(guān)圓心、半徑的具體條件準(zhǔn)確地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，2.能運用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程正確地求出其圓心和半徑，解決一些簡單的實際問題，并會推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.3.掌握圓的一般方程的特點，能將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程從而求出圓心的坐標(biāo)和半徑；4.能用待定系數(shù)法，由已知條件導(dǎo)出圓的方程【知識網(wǎng)絡(luò)】圓的方程圓的一般方程簡單應(yīng)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程點與圓的關(guān)系【考點梳理】【高清課堂：圓的方程405440 知識要點】考點一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中為圓心，為半徑.要點詮釋：(1)如果圓心在坐標(biāo)原點，這時，圓的方程就是.有關(guān)圖形特征與方程的轉(zhuǎn)化：圓心在x軸上：b=0；圓與y軸

2、相切時：；圓與x軸相切時：；與坐標(biāo)軸相切時：；過原點：.(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓心為，半徑為，它顯現(xiàn)了圓的幾何特點.(3)標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點在于明確指出了圓心和半徑.由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，確定一個圓的方程，只需要a、b、r這三個獨立參數(shù)，因此，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程常用定義法和待定系數(shù)法.考點二：點和圓的位置關(guān)系如果圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，則有(1)若點在圓上(2)若點在圓外(3)若點在圓內(nèi)考點三：圓的一般方程當(dāng)時，方程叫做圓的一般方程.為圓心，為半徑.要點詮釋：由方程得(1)當(dāng)時，方程只有實數(shù)解.它表示一個點.(2)當(dāng)時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形(3)當(dāng)時，可以看出方程表示以為圓心，為半徑

3、的圓.考點四：幾種特殊位置的圓的方程條件方程形式標(biāo)準(zhǔn)方程一般方程圓心在原點過原點圓心在x軸上圓心在y軸上圓心在x軸上且過原點圓心在y軸上且過原點與x軸相切與y軸相切要點詮釋：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程的轉(zhuǎn)化：標(biāo)準(zhǔn)方程一般方程.【典型例題】類型一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1.求滿足下列條件的各圓的方程：(1)圓心在原點，半徑是3；(2)已知圓經(jīng)過兩點，圓心在軸上，則的方程是 ；(3)經(jīng)過點，圓心在點【思路點撥】解析：(1)(2)線段的中垂線方程為，與軸的交點即為圓心的坐標(biāo)，所以半徑為 ，所以圓的方程為.(3)解法一：圓的半徑，圓心在點圓的方程是解法二：圓心在點，故設(shè)圓的方程為又點在圓上，所求圓的方程是.總結(jié)升

4、華：一般情況下，如果已知圓心或易于求出圓心，可用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來求解，用待定系數(shù)法，求出圓心坐標(biāo)和半徑.舉一反三：【變式1】若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線和軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）A. B. C. D. 解析：依題意，設(shè)圓心坐標(biāo)為，其中，則有，由此解得，因此所求圓的方程是，選A.類型二：圓的一般方程例2(1)求經(jīng)過點、,且圓心在直線上的圓的方程；(2)求以、為頂點的三角形的外接圓的方程【思路點撥】選用恰當(dāng)?shù)姆匠绦问接么ㄏ禂?shù)法求出，或數(shù)形結(jié)合，利用圓的垂徑定理：半弦、半徑和弦心距構(gòu)成的直角三角形解決。解析：(1)方法一：待定系數(shù)法設(shè)圓心,則有,解得，圓心，半徑, 所求圓的方

5、程為。方法二：數(shù)形結(jié)合由垂徑定理可知，圓心在線段的垂直平分線上即直線上由得， 圓心，半徑 所求圓的方程為。(2) 方法一：待定系數(shù)法設(shè)圓的方程為,將三個已知點的坐標(biāo)代入列方程組解得：，解方程組得：, , ，故圓的方程為，即方法二：數(shù)形結(jié)合由圖形知：三角形是以為斜邊的直角三角形，故圓心為的中點，直徑，故圓的方程為：?？偨Y(jié)升華：在解決求圓的方程這類問題時，應(yīng)當(dāng)注意以下幾點：（1）確定圓方程首先明確是標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程；（2）根據(jù)幾何關(guān)系（如本例的相切、弦長等）建立方程求得、或、；（3）待定系數(shù)法的應(yīng)用，解答中要盡量減少未知量的個數(shù)舉一反三：【變式1】求過直線和圓的交點,且面積最小的圓的方程。【答

6、案】：解法一：因為通過兩個交點的動圓中，面積最小的是以此二交點為直徑端點的圓，于是解方程組得交點,以為直徑的圓的方程: 。解法二: (運用曲線系方程)設(shè)過直線與圓的交點的圓的方程為, 配方得 要使圓面積最小，必須半徑最小，由于（當(dāng)且僅當(dāng)時，最?。?故所求圓的方程是【變式2】根據(jù)下列條件分別寫出圓的方程：(1)以A(4，9)、B(6，3)所連線段為直徑；(2)圓過點(0，0)和(1，2)，圓心在直線上；(3)圓過三個點(2，2)，(5，3)，(6，0)；(4)圓過點P(3，2)，圓心在直線，且與交于Q(3，6)；(5)與圓同圓心，且面積等于圓C面積的一半.【思路點撥】1充分利用平面幾何知識(圓的

7、性質(zhì))；2選擇適當(dāng)形式的圓方程.解析：(1)顯然AB中點C(5，6)為圓心. 圓方程為：；(2)設(shè)圓心為M(a，b)， 1，又圓過點(0，0)和(1，2)， 2，聯(lián)立12解得，所求圓的方程為：；(3)設(shè)圓的方程為：，解得： 所求圓方程為：；(4) 圓過點P、Q， 圓心為M(a，b)在PQ的中垂線y=4上， 所求圓方程；(5)圓心為(1，0)，半徑為，由已知，所求圓半徑為所求圓的方程為：.【變式3】方程表示圓，則a的取值范圍是 A或 B C D解析：D解析：方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0轉(zhuǎn)化為，所以若方程表示圓，則有， ， 總結(jié)升華：此題考查的為將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程的能

8、力.類型三：點與圓的位置關(guān)系例3.(2015 滑縣校級模擬)如果直線與圓有兩個不同的交點,那么點和圓C的位置關(guān)系是( ) A.在圓外 B.在圓上 C.在圓內(nèi) D.不能確定【思路點撥】求點與圓之間的距離是關(guān)鍵.【答案】A【解析】直線與圓有兩個不同的交點圓心到直線的距離 點在圓C的外部.故選總結(jié)升華：判斷點與圓的位置關(guān)系就是判斷點到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系.舉一反三：【變式】(2015 赤峰模擬)如果直線2ax-by+14=0(a0,b0)和函數(shù)的圖象恒過同一個定點，且該定點始終落在圓的內(nèi)部或圓上，那么的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】C【解析】當(dāng)即時函數(shù)的圖象恒過定點又直線2

9、ax-by+14=0過定點 ，又定點在圓的內(nèi)部或圓上，由得 故選C.類型四：與圓有關(guān)的軌跡問題【高清課堂：圓的方程405440 典型例題六】例4.已知點，點P是圓上的動點，求線段中點M的軌跡方程.【思路點撥】本題關(guān)鍵是找出點M與點P之間的聯(lián)系（實際是坐標(biāo)間的關(guān)系）解析：設(shè)，則，所以又因為點在圓上，所以即，整理得所以線段中點M的軌跡方程為.例5.已知正三角形的三個頂點都在拋物線上，其中為坐標(biāo)原點，設(shè)圓是的內(nèi)接圓（點為圓心）（I）求圓的方程；（II）設(shè)圓的方程為，過圓上任意一點分別作圓的兩條切線，切點為，求的最大值和最小值【解析】：（I）解法一：設(shè)兩點坐標(biāo)分別為，由題設(shè)知，解得，所以，或，設(shè)圓心的

10、坐標(biāo)為，則，所以圓的方程為解法二：設(shè)兩點坐標(biāo)分別為，由題設(shè)知，又因為，可得，即由，可知，故兩點關(guān)于軸對稱，所以圓心在軸上設(shè)點的坐標(biāo)為，則點坐標(biāo)為，于是有，解得，所以圓的方程為（II）設(shè)，則在中，由圓的幾何性質(zhì)得，所以，由此可得則的最大值為，最小值為舉一反三：【變式1】等腰ABC的底邊一個端點B(1，-3)，頂點A(0，6)，求另一個端點C的軌跡方程，并說明軌跡的形狀【思路點撥】可以判斷出C的軌跡以A為圓心，半徑為|AB|的圓.利用直接法求出方程.解析：由題意得|CA|=|AB|，則點C到定點A的距離等于定長|AB|，所以C的軌跡是圓.又，C的軌跡方程為除去點(-1，15)和點(1，-3)，即C的軌跡形狀是以點A(0，6)為圓心，半徑為的圓，其中去除點(-1，15)和點(1，-3).【變式2】如圖，直角三角形ABC的頂點坐標(biāo)A（-2，0），直角頂點，頂點C在x軸上，點P為線段OA的中點 （1）求BC邊所在直線方程； （2）M為直角三角形ABC外接圓的圓心，求圓M的方程；（3）若動圓N過點P且與圓M內(nèi)切，求動圓N的圓心N的軌跡方程解析：（1） ，ABBC， ， BC邊所在直線方程為