奧數(shù)數(shù)的整除講義練習(xí)含答案教學(xué)教材

1、奧數(shù)數(shù)的整除講義、練習(xí)含答案精品文檔數(shù)的整除（ 1）性質(zhì)、特征、奇偶性【知識(shí)要點(diǎn)】：整除性質(zhì)： （1）如果數(shù) a、b 都能被 c 整除，那么它們的和（ a+b） 或差（ a b）也能被 c 整除。（2）如果數(shù) a能被自然數(shù) b 整除，自然數(shù) b 能被自然數(shù) c 整除，則 數(shù) a 必能被數(shù) c 整除。（3）若干個(gè)數(shù)相乘，如其中有一個(gè)因數(shù)能被某一個(gè)數(shù)整除，那么， 它們的積也能被這個(gè)數(shù)整除。（4）如果一個(gè)數(shù)能被兩個(gè)互質(zhì)數(shù)中的每一個(gè)數(shù)整除，那么，這個(gè)數(shù) 能被這兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的積整除。反之，若一個(gè)數(shù)能被兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的積整 除，那么這個(gè)數(shù)能分別被這兩個(gè)互質(zhì)數(shù)整除。整除特征： （ 1）若一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)能被 4（

2、或 25）整除，則這個(gè) 數(shù)能被 4（或 25）整除。（ 2）若一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)能被 8（或 125）整除，則這個(gè)數(shù)能被 8（或 125）整除。（ 3）若一個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和能被 3（或 9）整除，則這個(gè)數(shù)能被 3（或 9）整除。（4）若一個(gè)數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)數(shù)字和之差（以大減?。┠鼙?1 整除，則這個(gè)數(shù)能被 11 整除。（5）若一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)字所表示的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所表示 的數(shù)之差（大數(shù)減小數(shù)）能被 7（或 13）整除，則這個(gè)數(shù)能被 7（或 13）整除。收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔奇偶性：（ 1）奇數(shù)奇數(shù) =偶數(shù)（ 2）偶數(shù)偶數(shù) =偶數(shù)（ 3）奇數(shù) 偶數(shù)=奇數(shù)（ 4

3、）奇數(shù)奇數(shù) =奇數(shù)（ 5）偶數(shù)偶數(shù) =偶數(shù)（ 6）奇數(shù) 偶數(shù)=偶數(shù)（ 7）奇數(shù)奇數(shù) =奇數(shù)（ 8）【典型例題】例 1 ：一個(gè)三位數(shù)能被 3 整除，去掉它的末尾數(shù)后，所得的兩位數(shù)是17 的倍數(shù)，這樣的三位數(shù)中，最大是幾？例 2：1 200這 200個(gè)自然數(shù)中，能被 6或 8整除的數(shù)共有多少個(gè)？收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔例 3 ：任意取出 1998 個(gè)連續(xù)自然數(shù)，它們的總和是奇數(shù)還是偶數(shù)？例 4 ：有“1”，2“”，3“”，4“”四張卡片，每次取出三張組成三位數(shù)， 其中偶數(shù)有多少個(gè)？收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔精英班】【競(jìng)賽班】例 6：某市舉辦小學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共

4、20 道題，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 是：答對(duì)一題給 5分，不答一題給 1分，答錯(cuò)一題倒扣 1 分，如果 1999人參賽，問(wèn)參賽同學(xué)的總分是奇數(shù)還是偶數(shù)？收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔【課后分層練習(xí)】 A 組：入門級(jí)1、判斷 306371 能否被 7 整除？能否被 13 整除？2、abcabc 能否被 7、11 和 13 整除 ?收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔3、六位數(shù) 7E36F5 是 1375 的倍數(shù)，求這個(gè)六位數(shù)。4、已知 108971能被 13 整除，求 中的數(shù)收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除7 個(gè)學(xué)生向后轉(zhuǎn)，A 代表多少？精品文檔5、有 8 個(gè)學(xué)生都面向南站成一排，每

5、次只有 最少要做多少次才能使 8 個(gè)學(xué)生都面向北？B組：進(jìn)階級(jí)1、有一個(gè)四位數(shù) 3AA1 ，它能被 9 整除，那么數(shù)收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔2、一個(gè)一百位數(shù)由 1個(gè) 1，2個(gè) 2，3個(gè) 3，4個(gè) 4，5個(gè) 5，6個(gè) 6，7 個(gè) 7，及 72個(gè) 0組成，問(wèn)這個(gè)百位自然數(shù)有可能是完全平方數(shù)嗎？3、某市舉辦小學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共 30 道題，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是：基礎(chǔ)分 15 分，答對(duì)一題給 5分，不答一題給 1分，答錯(cuò)一題倒扣 1 分，如果 199 人參賽，問(wèn)參賽同學(xué)的總分是奇數(shù)還是偶數(shù)？收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔4、已知 108971 能被 13 整除，求中的數(shù)。C組：挑

6、戰(zhàn)級(jí)1、能不能將從 1 到 10 的各數(shù)排成一行，使得任意相鄰的兩個(gè)數(shù)之 和都能被 3 整除？收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔2、對(duì)于左下表，每次使其中的任意兩個(gè)數(shù)減去或加上同一個(gè)數(shù)，能否經(jīng)過(guò)若干次后（各次減去或加上的數(shù)可以不同），變?yōu)橛蚁卤?？?、左下圖是一套房子的平面圖，圖中的方格代表房間，每個(gè)房 間都有通向任何一個(gè)鄰室的門。有人想從某個(gè)房間開始，依次不 重復(fù)地走遍每一個(gè)房間，他的想法能實(shí)現(xiàn)嗎？收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔【典型例題】例 1 ：一個(gè)三位數(shù)能被 3 整除，去掉它的末尾數(shù)后，所得的兩位數(shù)是17 的倍數(shù)，這樣的三位數(shù)中，最大是幾？解：在兩位數(shù)中，是 1

7、7 的倍數(shù)的數(shù)中最大的為 175=85(17 6=102) .于是所求數(shù)的前兩位數(shù)字為 85.因?yàn)?8+5=13，故所求數(shù)的個(gè) 位數(shù)字為 2、5、8 時(shí)，該數(shù)能被 3 整除，為使該數(shù)最大，其個(gè)位數(shù)字 應(yīng)為 8.最大三位數(shù)是 858.例 2：1 200這 200個(gè)自然數(shù)中，能被 6或 8整除的數(shù)共有多少個(gè)？ 解： 1 200中，能被 6 整除的數(shù)共有 33個(gè)( 2006=33)，能被 8 整除的數(shù)共有 25 個(gè)( 2008=25) .但 6， 8=24，20024=88， 即 1200中，有 8個(gè)數(shù)既被 6 整除，又被 8整除。故總共有： 33+25 8=50。例 3：任意取出 1998 個(gè)連續(xù)

8、自然數(shù)，它們的總和是奇數(shù)還是偶數(shù)？ 解：任意取出的 1998 個(gè)連續(xù)自然數(shù)，其中奇數(shù)、偶數(shù)各占一半，即 999個(gè)奇數(shù)和 999個(gè)偶數(shù)。 999 個(gè)奇數(shù)的和是奇數(shù)， 999 個(gè)偶數(shù)的和是 偶數(shù)，奇數(shù)加上偶數(shù)和為奇數(shù)，所以它們的和是奇數(shù)。例 4 ：有“1 ”，2“”，3“”，4“”四張卡片，每次取出三張組成三位數(shù)，其 中偶數(shù)有多少個(gè)？解：組成的三位數(shù)個(gè)位數(shù)字只能是 2或 4兩種情況，若個(gè)位數(shù)字是 2，百位、十位數(shù)字可從余下的數(shù)字中取，這樣可組成32=6(個(gè))收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔三位偶數(shù)；若個(gè)位數(shù)字是 4，同樣也可以組成 6 個(gè)三位偶數(shù)。這樣總 共 12 個(gè)精英班】 解：根據(jù)

9、能被 7整除的數(shù)的特征， 555555與 999999都能被 7因?yàn)樯鲜街械忍?hào)左邊 的數(shù)與等號(hào)右邊第一個(gè)數(shù)都能被 7 整除，所以等號(hào)右邊第二個(gè) 數(shù)也能被 7 整除，推知 5599 能被 7 整除。根據(jù)能被 7 整除的 數(shù)的特征， 99 - 55=44 也應(yīng)能被 7 整除。由 44 能被 7 整 除，易知內(nèi)應(yīng)是 6?！靖?jìng)賽班】例 6：某市舉辦小學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共 20 道題，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是：答 對(duì)一題給 5 分，不答一題給 1 分，答錯(cuò)一題倒扣 1 分，如果 1999人參賽， 問(wèn)參賽同學(xué)的總分是奇數(shù)還是偶數(shù)？解：對(duì)于每個(gè)學(xué)生來(lái)說(shuō)， 20 道題都答對(duì)，共得 520=100分（偶數(shù)）。若 該學(xué)生答錯(cuò)一題，

10、應(yīng)從 100分中扣（ 5+1=6）分，無(wú)論他答錯(cuò)多少道題， 扣分的總數(shù)應(yīng)是 6 的倍數(shù)，即扣分的總數(shù)也是偶數(shù)， 100分中扣除偶數(shù)分 仍得偶數(shù)分；同樣若他不答一題，應(yīng)從 100分中扣除（ 51=4）分，無(wú)論 他不答多少道題，扣分的總數(shù)應(yīng)是 4 的倍數(shù)，即扣分的總數(shù)也是偶數(shù)，所收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔以 100 分中減去偶數(shù)仍得偶數(shù)，每個(gè)學(xué)生得分?jǐn)?shù)是偶數(shù)，那么無(wú)論有多少 人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，學(xué)生得分的總數(shù)和一定是偶數(shù)?！菊n后分層練習(xí)】A組：入門級(jí) 1、判斷 306371能否被 7 整除？能否被 13整除？解：因?yàn)?371-306=65，65是 13的倍數(shù)，不是 7的倍數(shù)，所以 3

11、06371能 被 13 整除，不能被 7 整除。2、abcabc 能否被 7、11和 13整除?3、六位數(shù) 7E36F5 是 1375 的倍數(shù)，求這個(gè)六位數(shù)。解：因?yàn)?1375=55511=12511，根據(jù)能被 125 整除數(shù)的特征，這 個(gè)數(shù)的末三位能被 125整除，可知道 F=2，又因?yàn)檫@個(gè)數(shù)是 11 的倍 數(shù)，所以 7+3+2（ E+6+5） 1E是 11的倍數(shù)，那么 E=1.所以這 個(gè)六位數(shù)是 713625.4、已知 108971能被 13整除，求 中的數(shù)。解： 108-971=1008- 971+0=37+0。上式的個(gè)位數(shù)是 7，若是 13的倍數(shù)，則必是 13的 9倍，由 139- 3

12、7=80，推知 中的數(shù)是 8收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔5、有 8 個(gè)學(xué)生都面向南站成一排，每次只有 7 個(gè)學(xué)生向后轉(zhuǎn)，最少 要做多少次才能使 8 個(gè)學(xué)生都面向北？ 解：對(duì)于每個(gè)人只要向后轉(zhuǎn)奇數(shù)次，就能面向北。由于每一輪恰有 7 個(gè)學(xué)生向后轉(zhuǎn)， 8 個(gè)學(xué)生向后轉(zhuǎn)的次數(shù)總和為 78=56 （次）。因此最 少要做 567=8（次）才能使 8 個(gè)學(xué)生都面向北。B組：進(jìn)階級(jí)1、有一個(gè)四位數(shù) 3AA1 ，它能被 9整除，那么數(shù) A 代表多少？ 解： 3+A+A+1=4+2A ，根據(jù)能被 9整除數(shù)的特征， 4+2A 是 9的倍 數(shù)。因?yàn)?4+2A 是偶數(shù)，所以 4+2A=18 ，A=7.2

13、、一個(gè)一百位數(shù)由 1個(gè)1，2個(gè)2，3個(gè)3，4個(gè)4，5個(gè) 5，6個(gè) 6，7 個(gè) 7，及 72個(gè) 0組成，問(wèn)這個(gè)百位自然數(shù)有可能是完全平方數(shù)嗎？ 解：任何一個(gè)自然數(shù)的平方除以 3都余 1或 0.而這個(gè)一百位數(shù)的數(shù)字 和是 140，140除以 3余 2，所以這個(gè)一百位數(shù)不可能是完全平方數(shù)。3、某市舉辦小學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共 30 道題，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是：基礎(chǔ)分 15 分，答對(duì)一題給 5分，不答一題給 1分，答錯(cuò)一題倒扣 1 分，如果 199 人參賽，問(wèn)參賽同學(xué)的總分是奇數(shù)還是偶數(shù)？ 解：仿照例 6：這 199 位同學(xué)的得分總分是奇數(shù)。4、已知 108971 能被 13 整除，求中的數(shù)。解： 108-971=1

14、008- 971+0=37+0。上式的個(gè)位數(shù)是 7，若是 13的倍數(shù)，則必是 13的 9倍，由 139- 37=80，推知 中的數(shù)是 8C組：挑戰(zhàn)級(jí)收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔1、能不能將從 1到 10的各數(shù)排成一行，使得任意相鄰的兩個(gè)數(shù)之和 都能被 3 整除？ 解 ： 10 個(gè)數(shù)排成一行的方法很多，逐一試驗(yàn)顯然行不通。我們采用 反證法。假設(shè)題目的要求能實(shí)現(xiàn)。那么由題意，從前到后每?jī)蓚€(gè)數(shù)一 組共有 5組，每組的兩數(shù)之和都能被 3 整除，推知 1 10的和也應(yīng)能 被 3 整除。實(shí)際上， 1 10的和等于 55，不能被 3 整除。這個(gè)矛盾說(shuō) 明假設(shè)不成立，所以題目的要求不能實(shí)現(xiàn)。2、對(duì)于左下表，每次使其中的任意兩個(gè)數(shù)減去或加上同一個(gè)數(shù)，能否經(jīng)過(guò)若干次后（各次減去或加上的數(shù)可以不同），變?yōu)橛蚁卤?？為什么？解：因?yàn)槊看斡袃蓚€(gè)數(shù)同時(shí)被加上或減去同一個(gè)數(shù)，所以表中九個(gè)數(shù)碼的總和經(jīng)過(guò)變化后，等于原來(lái)的總和 加上或減去那個(gè)數(shù)的 2 倍，因此總和的奇偶性沒(méi)有改變。原來(lái)九個(gè)數(shù) 的總和為 1+2+9=45，是奇數(shù)，經(jīng)過(guò)若干次變化后，總和仍應(yīng)是奇 數(shù)，與右上表九個(gè)數(shù)的總和是 4