九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 1.4 角平分線(xiàn)試題資料 北師大版

1、九年級(jí)上第一章第四節(jié)九年級(jí)上第一章第四節(jié)角平分線(xiàn)角平分線(xiàn) 試題資料庫(kù)：試題資料庫(kù)： 例 1.如下圖，ap、bp 分別平分abo 的外角，aob40，則aop 。 解：20 例 2.如圖abc 中，abac，bd、ce 分別是abc 兩底角的平分線(xiàn)，求證：bdce。 證明：證明：abc 中abac abcacb. 又bd、ce 分別平分abc 和acb acbabc 2 1 2, 2 1 1 12 在bdc 與ceb 中 21 cbbc ebcdcb bdcceb（asa） bdce 例 3. 已知：如圖，c=90b=30，ad 是 rtabc 的角平分線(xiàn)。求證：bd=2cd。 分析：根據(jù)已知條

2、件可求出bac 的度數(shù)，再由 ad 是 abc 的角平分線(xiàn)，可分別求出上圖中其余 各角的度數(shù)，再證明結(jié)論就容易了。 證明：證明：由c=90，b=30，知bac=60。 因 ad 是 abc 的角平分線(xiàn)，故bad=cad=30。則b=bad?？芍?ad=bd。 在 adc 中，dac=30，c=90，則 ad=2cd。故 bd=2cd。 引申：該題中，若條件不變，如上圖，從 d 點(diǎn)向 ab 作垂線(xiàn)交 ab 于點(diǎn) e，請(qǐng)問(wèn)： adeadc 是否成立？bd=2de 是否成立？ 不難看出，因?yàn)?ad 是 abc 的角平分線(xiàn)，由角平分線(xiàn)的性質(zhì)可知 de=dc，則 ade 與 adc 全等 的條件可輕松找

3、到，bd=2de 顯然也成立。這是在特殊角三角形的情況下考慮的，若推廣到一般三角形 的情況，解答該題的主要依據(jù)“角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等”依然是一個(gè)重要的解題 條件。 例 4. 已知：如下圖，abc 的外角cbd 和bce 的平分線(xiàn)相交于點(diǎn) f。 求證：點(diǎn) f 在dae 的平分線(xiàn)上。 分析：分析：該題圖比較簡(jiǎn)單，單從上圖中很難看出應(yīng)該怎么證明結(jié)論。但問(wèn)題既然涉及角平分線(xiàn)，我 們很容易想到定理“在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線(xiàn)上” ，所以不妨 過(guò)點(diǎn) f 分別作 bd，bc，ce 的垂線(xiàn)段，這樣就找到了解決問(wèn)題的切入點(diǎn)。 證明：證明：如上圖，過(guò)點(diǎn) f 分別作

4、 bd，bc，ce 的垂線(xiàn)段 fg，fh，fm。 因 bf 是cbd 的平分線(xiàn)，所以 fg=fh。同理 fh=fm，則 fg=fm。 因點(diǎn) f 在dae 內(nèi)，且點(diǎn) f 到 ad，ae 的距離相等，故點(diǎn) f 在dae 的平分線(xiàn)上。 引申：該題中，若條件不變，請(qǐng)問(wèn)：a 與bfc 有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 請(qǐng)同學(xué)們進(jìn)一步探索。 例 5. 已知：如圖 1 所示，abc，acb 的平分線(xiàn)交于 f，過(guò) f 作 de/bc，交 ab 于 d，交 ac 于 e，求 證：（1）bd+ec=de a d e f 3 1 2 b c 圖 1 （2）若將已知改為過(guò)一內(nèi)角和一外角平分線(xiàn)交點(diǎn)作平行線(xiàn)，如圖 2 所示，那么 db

5、、ec 和 de 之間還存 在怎樣的關(guān)系。 a e d f b c 圖 2 （3）若將已知改為過(guò)兩個(gè)外角平分線(xiàn)交點(diǎn)作平行線(xiàn)如圖 3 所示，那么 db、ce、de 之間還存在什么關(guān) 系。 a b c d f e 圖 3 證明：證明：（1）de/bc，2=3 1=2，1=3 bd=df，同理 fe=ec bd+ec=df+fe=de （2）de=bdce （3）de=bd+ce 例 6. 如圖所示，abc 的邊 bc 的中垂線(xiàn) df 交bac 的外角平分線(xiàn) ad 于 d，f 為垂足，deab 于 e， 且 abac，求證：beac=ae d a e b f c 證明：證明：過(guò) d 作 dnac 垂

6、足為 n，連結(jié) db、dc 則 dn=de，db=dc 又deab，dnac rt dbert dcn becn adaddedn 又， rt deart dna anae beacanacae beacae d n a e b f c 例 7. 已知：如圖所示 pa、pc 分別是abc 外角mac 和nca 平分線(xiàn)，它們交于 p，pdbm 于 d，pfbn 于 f，求證：bp 為mbn 的平分線(xiàn)。 m d a p b c f n 證明：證明：過(guò) p 作 peac 于 e pa、pc 分別是mac 與nca 的平分線(xiàn)且 pdbm，pfbn pd=pe，pf=pe pd=pf 又pdbm，pfb

7、n 點(diǎn) p 在mbn 的平分線(xiàn)上 即 bp 為mbn 的平分線(xiàn) m d a p e b c f n 例 8. 如圖 de 是abc 的 ab 邊的垂直平分線(xiàn)，分別交 ab、bc 于 d、e，ae 平分 30bbac，若 ， 求c 的度數(shù)。 解答：解答：de 是 ab 的垂直平分線(xiàn) eaebabe1 30b 301 又 ae 平分bac 21 30 即bac 60 c 180bbac 90 例 9. 如圖 bd 是abc 的角平分線(xiàn)，de/bc 交 ab 于 e。求證：bed 是等腰三角形。 證明：證明：bd 是abc 的角平分線(xiàn) ebddbc de/bc edbdbc ebdedb ebed，

8、即bed 是等腰三角形 例 10. 已知：p 是aob 內(nèi)一點(diǎn)，pdoa，pe ob，d，e 分別是垂足，且 pdpe，則點(diǎn) p 在aob 的 平分線(xiàn)上，請(qǐng)說(shuō)明理由。 分析：分析：“點(diǎn)在線(xiàn)上”的另一種說(shuō)法是“線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)” 。直接說(shuō)明點(diǎn) p 在aob 的平分線(xiàn)上不易說(shuō)明， 可以反過(guò)來(lái)先過(guò) p 作射線(xiàn) op，說(shuō)明 op 平分aob，這樣就相當(dāng)于說(shuō)明了點(diǎn) p 在角的平分線(xiàn)上。此時(shí)問(wèn) 題就轉(zhuǎn)化為說(shuō)明dopeop。 解：解：作射線(xiàn) op。 pdoa，pe ob pdopeo90 pdpe，opop rtpdortpeo（hl） dopeop 即 p 點(diǎn)在aob 的平分線(xiàn)上。 歸納歸納：在直接說(shuō)明某個(gè)問(wèn)題有

9、困難時(shí)，我們常常把問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化成可以直接說(shuō)明的問(wèn)題來(lái)解決。 例如：請(qǐng)說(shuō)明三角形的三個(gè)角的平分線(xiàn)剛好相交于一點(diǎn)三角形的三個(gè)角的平分線(xiàn)剛好相交于一點(diǎn)。我們知道兩直線(xiàn)相交只有一個(gè)交點(diǎn)，于 是兩個(gè)角的平分線(xiàn) cd、be 相交于點(diǎn) o，想說(shuō)明第三個(gè)角的平分線(xiàn)也剛好經(jīng)過(guò) o 點(diǎn)不易，因此可轉(zhuǎn)化為 “連結(jié) oa，說(shuō)明 ao 平分cab” ，即說(shuō)明oaboac，就相當(dāng)于說(shuō)明了第三個(gè)角的平分線(xiàn)與前兩個(gè)角 的平分線(xiàn)相交于一點(diǎn)。 例 11. 如下圖，等腰直角abc 中，abac，bd 平分abc，debc 于 e。試說(shuō)明：abbe。 分析：分析：ab、be 分別屬于兩個(gè)直角三角形，要說(shuō)明它們相等，只要能夠說(shuō)明它們所

10、在的直角三角形 全等即可。 解解：等腰直角abc 中， a90，abac debc，bd 平分abc dade（角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等） adeb90，dade，bdbd rtadbrtedb（hl） abbe。 變式變式：說(shuō)明上題中 ab+adbc。你能說(shuō)明嗎？ 學(xué)習(xí)小結(jié)： 這節(jié)內(nèi)容要注意兩點(diǎn)：一是勾股定理與其逆定理表述上的區(qū)別；二是判定直角三角形全等時(shí)若使 用 hl，一定要強(qiáng)調(diào)直角三角形，若仍用 sas、asa、aas 或 sss 來(lái)判定直角三角形全等，則不需要強(qiáng)調(diào) 直角三角形。 例例 12.12. 如圖 1，在 rtabc 中，bac=90，b=30，c=60，at 平分b

11、ac，ahbc，垂足為 h，則tah=_。 圖 1 解析：因 ahbc，所以tah=90ath。 由三角形外角性質(zhì)可知，ath=bbat bat= 2 1 bac = 2 1 （180bc） =90 2 1 （bc） ath=b90 2 1 （bc） tah=90b90 2 1 （bc） = 2 1 （cb） =15 想一想，如果bac 是銳角或者鈍角，那么tah= 2 1 （cb）還成立嗎？自己動(dòng)手做做看。 2. 過(guò)三角形角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)上任一點(diǎn)向第三邊作垂線(xiàn)，角平分線(xiàn)與垂線(xiàn)的夾角等于三角形另外 兩角差的絕對(duì)值的一半。 例例 1313 如圖 2，在abc 中，bc，aq 平分bac，aq 交

12、 bc 于點(diǎn) q，點(diǎn) t 是 aq 延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)， thbc 于點(diǎn) h，試說(shuō)明hta= 2 1 （cb） 。 圖 2 解析：過(guò)點(diǎn) a 作 ahbc，則 ah/th。根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，可得hta=aqh 由上題的結(jié)論，可得qah= 2 1 （cb） 故hta= 2 1 （cb） 例例 14.14. 如圖 1，oc 平分aob，p 是 oc 上一點(diǎn)，d 是 oa 上一點(diǎn)，e 是 ob 上一點(diǎn)，且 pd=pe，求證： pdopeo180。 分析：分析：要證 pdopeo180，pdo、peo在圖形的不同位置，又無(wú)平行線(xiàn)使它們聯(lián) 系起來(lái)，但若考慮設(shè)法把其中的一個(gè)角轉(zhuǎn)化為另一個(gè)角的鄰補(bǔ)角，問(wèn)題便可以解

13、決。由于 oc 是角平分 線(xiàn)，故可過(guò) p 點(diǎn)作兩邊的垂線(xiàn)，構(gòu)造出兩個(gè)直角三角形，再證明這兩個(gè)三角形全等即可。 證明：證明：過(guò)點(diǎn) p 作pm oa，pn ob，垂足分別為 m、n 因 oc 是角平分線(xiàn)，pm oa，pn ob，故 pm=pn 由 pd=pe，pm=pn，得rt pmdrt pne mdpnep 則 peomdp，而 mdppdo180 pdopeo180 點(diǎn)撥：點(diǎn)撥：遇到角平分線(xiàn)問(wèn)題，我們可以過(guò)角平分線(xiàn)上的一點(diǎn)向這個(gè)角的兩邊引垂線(xiàn)，以便充分運(yùn)用角 平分線(xiàn)定理。 例例 15.15. 如圖 2，在abc中，bac的平分線(xiàn)與 bc 邊的垂直平分線(xiàn)相交于點(diǎn) p。過(guò)點(diǎn) p 作 ab、ac（或延長(zhǎng)線(xiàn)）的垂線(xiàn)，垂足分別是 m、n。求證：bm=cn。 分析：分析：要證 bm=cn，由圖形特征可構(gòu)造以 bm、cn 為邊的兩個(gè)三角形，并證明這兩個(gè)三角形全等。 考慮bac的平分線(xiàn)與 bc 邊的垂直平分線(xiàn)相交于點(diǎn) p，于是