二次型與其標(biāo)準(zhǔn)形

1、 nnnn nnnn xxaxxaxxa xaxaxaxxxf 1,131132112 22 222 2 11121 222 , 稱為二次型稱為二次型. . 的的二二次次齊齊次次函函數(shù)數(shù)個個變變量量含含有有定定義義 n xxxn, 1 21 ; , 稱稱為為是是復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)時時當(dāng)當(dāng)faij復(fù)二次型復(fù)二次型 . , 稱稱為為是是實實數(shù)數(shù)時時當(dāng)當(dāng)faij實二次型實二次型 只含有平方項的二次型只含有平方項的二次型 22 22 2 11nn ykykykf 稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（或法式）稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（或法式） 例如例如 31 2 3 2 2 2 1321 4542,xxxxxxxxf 都為二次型；都為

2、二次型； 2 3 2 2 2 1321 44,xxxxxxf 為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形. . 323121321 ,xxxxxxxxxf 1 1用和號表示用和號表示 nnnn nnnn xxaxxaxxa xaxaxaxxxf 1,131132112 22 222 2 11121 222 , 對二次型對二次型 , aa ijji 取取,2 xxaxxaxxa ijjijiijjiij 則則 于是于是 nn xxaxxaxaf 112112 2 111 . 1, xxa ji n ji ij nn xxaxaxxa 22 2 2221221 2 2211nnnnnnn xaxxaxxa

3、2 2用矩陣表示用矩陣表示 nn xxaxxaxaf 112112 2 111 nn xxaxaxxa 22 2 2221221 2 2211nnnnnnn xaxxaxxa )( )( )( 2211 22221212 12121111 nnnnnn nn nn xaxa xax xaxa xax xaxa x a x nnnnn nn nn n xaxa xa xaxa xa xaxa x a xxx 2211 2222121 1212111 21 ),( ., 為為對對稱稱矩矩陣陣其其中中則則二二次次型型可可記記作作AAx x f T , 2 1 21 22221 11211 nnnnn

4、 n n x x x x aaa aaa aaa A 記記 nnnnn n n n x x x aaa aaa aaa xxx 2 1 21 22221 11211 21 , 在二次型的矩陣表示中，任給一個二次型，在二次型的矩陣表示中，任給一個二次型， 就唯一地確定一個對稱矩陣；反之，任給一個對就唯一地確定一個對稱矩陣；反之，任給一個對 稱矩陣，也可唯一地確定一個二次型這樣，二稱矩陣，也可唯一地確定一個二次型這樣，二 次型與對稱矩陣之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系次型與對稱矩陣之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系 ; 的的矩矩陣陣叫叫做做二二次次型型對對稱稱矩矩陣陣fA ; 的的二二次次型型叫叫做做對對稱稱矩矩陣陣A

5、f . 的的秩秩的的秩秩叫叫做做二二次次型型對對稱稱矩矩陣陣fA 解解,a,a,a321 332211 ,aa2 2112 ,aa0 3113 .aa3 3223 . 330 322 021 A . 6432 3221 2 3 2 2 2 1 的的矩矩陣陣 寫寫出出二二次次型型 xxxxxxxf 例例 nnnnnn nn nn ycycycx ycycycx ycycycx 2211 22221212 12121111 , , 設(shè)設(shè) 對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求 可逆的線性變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形可逆的線性變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形 ),(cC i

6、j 記記 記作記作則上述可逆線性變換可則上述可逆線性變換可 Cyx Axxf T 有有將將其其代代入入, Ax x f T . yACCy TT CyACy T 。 ，： 合合同同與與則則稱稱矩矩陣陣使使 若若有有可可逆逆矩矩陣陣階階矩矩陣陣是是設(shè)設(shè)定定義義 BAAC,CB CnBA T .,ARBRBA 且且也也為為對對稱稱矩矩陣陣則則為為對對稱稱矩矩陣陣且且 說明說明 22 22 2 11nn T T y k y k y k ACy C y 就就是是要要使使 變變成成標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形經(jīng)經(jīng)可可逆逆變變換換要要使使二二次次型型, 2 Cyxf. ,),( 2 1 2 1 21 y y y k k

7、k yyy nn n .成成為為對對角角矩矩陣陣也也就就是是要要使使AC C T ; ,1 AC C BA fCyx. T 變變?yōu)闉榈牡木鼐仃囮囉捎?但但其其秩秩不不變變后后二二次次型型經(jīng)經(jīng)可可逆逆變變換換 有有型型 把把此此結(jié)結(jié)論論應(yīng)應(yīng)用用于于二二次次即即使使 總總有有正正交交矩矩陣陣陣陣由由于于對對任任意意的的實實對對稱稱矩矩 , ., , 1 AP P AP P PA T 化化為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形使使正正交交變變換換 總總有有任任給給二二次次型型定定理理 fPyx aaxxaf jiij n ji jiij , , 2 1, , 22 22 2 11nn yyyf ., 21 的的特特征征值

8、值的的矩矩陣陣是是其其中中 ijn aAf T PP 1 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟 ;,. 1AAx x f T 求求出出將將二二次次型型表表成成矩矩陣陣形形式式 ;,. 2 21n A 的的所所有有特特征征值值求求出出 ;,. 3 21n 征征向向量量求求出出對對應(yīng)應(yīng)于于特特征征值值的的特特 ;, ,. 4 2121 21 nn n C 記記 得得單單位位化化正正交交化化將將特特征征向向量量 . ,. 5 22 11nn yyf fCyx 的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形則則得得作作正正交交變變換換 解解1 1寫出對應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值寫出對應(yīng)的二次型

9、矩陣，并求其特征值 1442 4142 2217 A 1442 4142 2217 EA 918 2 ., 844141417 323121 2 3 2 2 2 1 化成標(biāo)準(zhǔn)形化成標(biāo)準(zhǔn)形通過正交變換通過正交變換 將二次型將二次型 Pyx xxxxxxxxxf 例例2 2 從而得特征值從而得特征值.18, 9 321 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系代入代入將將, 09 1 xEA 2 2求特征向量求特征向量 得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系代代入入將將, 018 32 xEA ,)0 , 1 , 2( 2 T .)1 , 0 , 2( 3 T 3 3將特征向量正交化將特征向量正交化 , 1 1 取取 .)1 , 1

10、, 21( 1 T , 22 , , , 2 22 32 33 得正交向量組得正交向量組 .)1 , 54, 52( 3 T ,)0 , 1 , 2( 2 T ,)1 , 1 , 21( 1 T ,3 , 2 , 1, i i i i 令令 得得 , 0 51 52 2 , 32 32 31 1 . 455 454 452 3 . 455032 4545132 4525231 P 所所以以 4 4將正交向量組單位化，得正交矩陣將正交向量組單位化，得正交矩陣P 于是所求正交變換為于是所求正交變換為 , 455032 4545132 4525231 3 2 1 3 2 1 y y y x x x

11、.18189 2 3 2 2 2 1 yyyf 且且有有 解解 例例3 3 . 22 2222 , 4342 32413121 化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形 把二次型把二次型求一個正交變換求一個正交變換 xxxx xxxxxxxx f Pyx 二次型的矩陣為二次型的矩陣為, 0111 1011 1101 1110 A 它的特征多項式為它的特征多項式為 . 111 111 111 111 EA 有有四列都加到第一列上四列都加到第一列上三三把二把二計算特征多項式計算特征多項式,: , 111 111 111 1111 )1( EA 有有四行分別減去第一行四行分別減去第一行三三把二把二, 1000 2120

12、 2210 1111 )1( EA 12 21 )1( 2 .)1 ( ) 3()32()1( 3 2 2 . 1, 3 4321 的的特特征征值值為為于于是是A , 0)3(,3 1 xEA解解方方程程時時當(dāng)當(dāng) , 1 1 1 1 1 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系 . 1 1 1 1 2 1 1 p單位化即得單位化即得 , 0)(,1 432 xEA解方程解方程時時當(dāng)當(dāng) , 1 1 1 1 , 1 1 0 0 , 0 0 1 1 232 可得正交的基礎(chǔ)解系可得正交的基礎(chǔ)解系 單位化即得單位化即得 21 21 21 21 , 21 21 0 0 , 0 0 21 21 432 ppp 于于是是正正交交

13、變變換換為為 y y y y x x x x 4 3 2 1 4 3 2 1 2121021 2121021 2102121 2102121 .3 2 4 2 3 2 2 2 1 yyyyf 且且有有 1.實二次型的化簡問題，在理論和實際中實二次型的化簡問題，在理論和實際中 經(jīng)常遇到，通過在二次型和對稱矩陣之間建立一經(jīng)常遇到，通過在二次型和對稱矩陣之間建立一 一對應(yīng)的關(guān)系，將二次型的化簡轉(zhuǎn)化為將對稱矩一對應(yīng)的關(guān)系，將二次型的化簡轉(zhuǎn)化為將對稱矩 陣化為對角矩陣，而這是已經(jīng)解決了的問題，請陣化為對角矩陣，而這是已經(jīng)解決了的問題，請 同學(xué)們注意這種研究問題的思想方法同學(xué)們注意這種研究問題的思想方法

14、2.實二次型的化簡，并不局限于使用正交實二次型的化簡，并不局限于使用正交 矩陣，根據(jù)二次型本身的特點，可以找到某種運矩陣，根據(jù)二次型本身的特點，可以找到某種運 算更快的可逆變換下一節(jié)，我們將介紹另一種算更快的可逆變換下一節(jié)，我們將介紹另一種 方法方法拉格朗日配方法拉格朗日配方法 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，其特點是保用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，其特點是保 持幾何形狀不變持幾何形狀不變 問題有沒有其它方法，也可以把二次型化問題有沒有其它方法，也可以把二次型化 為標(biāo)準(zhǔn)形？為標(biāo)準(zhǔn)形？ 問題的回答是肯定的。下面介紹一種行之有問題的回答是肯定的。下面介紹一種行之有 效的方法效的方法拉格朗日配方法拉格朗日

15、配方法 1.若二次型含有若二次型含有 的平方項，則先把含有的平方項，則先把含有 的乘積項集中，然后配方，再對其余的變量同的乘積項集中，然后配方，再對其余的變量同 樣進(jìn)行，直到都配成平方項為止，經(jīng)過非退化線樣進(jìn)行，直到都配成平方項為止，經(jīng)過非退化線 性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形; i x i x kk jij jii yx yyx yyx jiknk, 2 , 1 且且 拉格朗日配方法的步驟拉格朗日配方法的步驟 2.若二次型中不含有平方項，但是若二次型中不含有平方項，但是 則先作可逆線性變換則先作可逆線性變換 0 ij a ),(ji 化二次型為含有平方項的二次型，然后再按化二次型為

16、含有平方項的二次型，然后再按1中方中方 法配方法配方. 解解 323121 2 3 2 2 2 1 62252xxxxxxxxxf ., 62252 323121 2 3 2 2 2 1 并并求求所所用用的的變變換換矩矩陣陣為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形 化化二二次次型型 xxxxxxxxxf 例例1 1 3121 2 1 22xxxxx 32 2 3 2 2 652xxxx 的的項項配配方方含含有有x1 含有平方項含有平方項 2 321 xxx 32 2 3 2 2 652xxxx 32 2 3 2 2 2xxxx 去掉配方后多出來的項去掉配方后多出來的項 32 2 3 2 2 2 321 44xxxxx

17、xx .2 2 32 2 321 xxxxx 33 322 3211 2 xy xxy xxxy 令令 33 322 3211 2 yx yyx yyyx 3 2 1 3 2 1 100 210 111 y y y x x x 323121 2 3 2 2 2 1 62252xxxxxxxxxf . 2 2 2 1 yy 所用變換矩陣為所用變換矩陣為 .01, 100 210 111 CC , 33 212 211 yx yyx yyx 令令 解解 ,622 323121 xxxxxxf 代代入入 .8422 3231 2 2 2 1 yyyyyyf 得得 ., 622 323121 并并求求

18、所所用用的的變變換換矩矩陣陣成成標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形 化化二二次次型型 xxxxxxf 例例2 2 由于所給二次型中無平方項，所以由于所給二次型中無平方項，所以 y y y x x x 3 2 1 3 2 1 100 011 011 即即 再配方，得再配方，得 .6222 2 3 2 32 2 31 yyyyyf 33 322 311 2 yz yyz yyz 令令 ,2 33 322 311 zy zzy zzy .622 2 3 2 2 2 1 zzzf 得得 z z z y y y 3 2 1 3 2 1 100 210 101 即即 所用變換矩陣為所用變換矩陣為 100 210 101 100

19、 011 011 C . 100 111 311 .02 C 將一個二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，可以用正交變換將一個二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，可以用正交變換 法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法， 這取決于問題的要求如果要求找出一個正交矩這取決于問題的要求如果要求找出一個正交矩 陣，無疑應(yīng)使用正交變換法；如果只需要找出一陣，無疑應(yīng)使用正交變換法；如果只需要找出一 個可逆的線性變換，那么各種方法都可以使用個可逆的線性變換，那么各種方法都可以使用 正交變換法的好處是有固定的步驟，可以按部就正交變換法的好處是有固定的步驟，可以按部就 班一步一步地求解，但計算量通常較大；如

20、果二班一步一步地求解，但計算量通常較大；如果二 次型中變量個數(shù)較少，使用拉格朗日配方法反而次型中變量個數(shù)較少，使用拉格朗日配方法反而 比較簡單需要注意的是，使用不同的方法，所比較簡單需要注意的是，使用不同的方法，所 得到的標(biāo)準(zhǔn)形可能不相同，但標(biāo)準(zhǔn)形中含有的項得到的標(biāo)準(zhǔn)形可能不相同，但標(biāo)準(zhǔn)形中含有的項 數(shù)必定相同，項數(shù)等于所給二次型的秩數(shù)必定相同，項數(shù)等于所給二次型的秩 一個實二次型，既可以通過正交變換化為標(biāo)一個實二次型，既可以通過正交變換化為標(biāo) 準(zhǔn)形，也可以通過拉格朗日配方法化為標(biāo)準(zhǔn)形，準(zhǔn)形，也可以通過拉格朗日配方法化為標(biāo)準(zhǔn)形， 顯然，其標(biāo)準(zhǔn)形一般來說是不唯一的，但標(biāo)準(zhǔn)形顯然，其標(biāo)準(zhǔn)形一般來說

21、是不唯一的，但標(biāo)準(zhǔn)形 中所含有的項數(shù)是確定的，項數(shù)等于二次型的秩中所含有的項數(shù)是確定的，項數(shù)等于二次型的秩 下面我們限定所用的變換為實變換，來研究下面我們限定所用的變換為實變換，來研究 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形所具有的性質(zhì)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形所具有的性質(zhì) . , ,0 ,0 , , )(1 11 22 22 2 11 22 22 2 11 相相等等 中中正正數(shù)數(shù)的的個個數(shù)數(shù)中中正正數(shù)數(shù)的的個個數(shù)數(shù)與與則則 及及 使使 及及 有有兩兩個個實實的的可可逆逆變變換換為為 它它的的秩秩設(shè)設(shè)有有實實二二次次型型慣慣性性定定理理定定理理 rr irr irr T kk zzzf kykykykf PzxCyx r Ax

22、x f 222 164zyxf 為正定二次型為正定二次型 2 2 2 1 3xxf 為負(fù)定二次型為負(fù)定二次型 . , , 0)( 0;, ,00 0, 0 ,)( 1 是是負(fù)負(fù)定定的的 并并稱稱對對稱稱矩矩陣陣為為負(fù)負(fù)定定二二次次型型則則稱稱都都有有 如如果果對對任任何何是是正正定定的的并并稱稱對對稱稱矩矩陣陣次次型型 為為正正定定二二則則稱稱顯顯然然都都有有 如如果果對對任任何何設(shè)設(shè)有有實實二二次次型型定定義義 A fxf xA ffxfx Axxxf T 例如例如 .: 2 個個系系數(shù)數(shù)全全為為正正它它的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形的的件件是是 為為正正定定的的充充分分必必要要條條實實二二次次型型定定理

23、理 n Ax x f T 推論對稱矩陣推論對稱矩陣 為正定的充分必要條件是：為正定的充分必要條件是： 的特征值全為正的特征值全為正 AA , 0 11 a , 0 2221 1211 aa aa , ; 0 1 111 nnn n aa aa ., 2 , 1, 01 1 111 nr aa aa rrr r r 這個定理稱為霍爾維茨定理這個定理稱為霍爾維茨定理 定理定理3 3 對稱矩陣對稱矩陣 為正定的充分必要條件是：為正定的充分必要條件是： 的各階主子式為正，即的各階主子式為正，即 AA 對稱矩陣對稱矩陣 為負(fù)定的充分必要條件是：奇數(shù)階主為負(fù)定的充分必要條件是：奇數(shù)階主 子式為負(fù)，而偶數(shù)階主子式為正，即子式為負(fù)，而偶數(shù)階主子式為正，即 A 正定矩陣具有以下一些簡單性質(zhì)正定矩陣具有以下一些簡單性質(zhì) ; ,A, . 1 1T 定定矩矩陣陣 均均為為正正則則為為正正定定實實對對稱稱陣陣設(shè)設(shè) AA