根軌跡法習(xí)題和答案

1、第四章 根軌跡法習(xí)題及答案4-1 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s)K(s 1)(s 2)(s 4)試證明 s11 j 3在根軌跡上，并求出相應(yīng)的根軌跡增益 K *和開環(huán)增益 K 。解 若點(diǎn) s1 在根軌跡上，則點(diǎn) s1 應(yīng)滿足相角條件G(s)H(s)對于 s 1G(s1)H(s1)( 1 j 3(2k 1) ，如圖所示。 j 3 ，由相角條件 j 3 1) j 3 4)2)0236 滿足相角條件，因此 將 s1 代入幅值條件：s11 j 3 在根軌跡上。G(s1)H(s)1j31解出 ： K * 12KK8b 從零變化到無窮大時的根軌4-2 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試求參數(shù) 跡

2、方程，并寫出 b 2 時系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。1) G(s)20(s 4)(s b)2) G(s)10(s 2b)s(s 2)(s b)解 (1) G (s)b(s 4)2s* 2 4s 20b(s 4)(s 2 j4)(s 2 j4)(s)G(s)1 G(s)(2) G (s)G(s)1 G(s)b(s2 2s 20) b(s 1 j 19)(s 1 j 19) 2=s(s2 2s 10) s(s 1 j3)(s 1 j3)10(s 4)32s 4s 14s 404-3 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)2s(s 4)(s b)試?yán)L制參數(shù)b 從零變化到無窮大時的根軌跡，并寫出 s=-2 這

3、一點(diǎn)對應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。解 G (s) b(s 4)s(s 6)根軌跡如圖。s 2時 b 4，2s 2s(s) 2s2 10s 16 (s 2)(s 8)4-4 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試概略繪出系統(tǒng)根軌跡。 G(s)ks(0.2s 1)(0.5s 1)(2) G(s)k(s 1)s(2s 1)(3) G(s)k* (s 5)s(s 2)(s 3)(4) G(s)k* (s 1)(s 2)s(s 1)解 G(s)Ks(0.2s 1)(0.5s 1)10Ks(s 5)(s 2)三個開環(huán)極點(diǎn)：p10,p22 ,p3實(shí)軸上的根軌跡：, 5 , 2,00257漸近線：a33(2k1) ,a33

4、,分離點(diǎn)：1110dd5d2解之得： d1 與虛軸的交點(diǎn)：特征方程為0.88 ，d2 3.7863 (舍去)。32D(s) s3 7s2 10s 10k 02令 ReD( j ) 7 2 10k 0ImD(j ) 3 10 0解得10k7與虛軸的交點(diǎn)（ 0， 10 j ）。根軌跡如圖所示。K(s 1) G(s) s(2sK(s 1)根軌跡繪制如下： 實(shí)軸上的根軌跡： 分離點(diǎn)：1)解之得： d 0.293,d2s(s,1112)0.5,01d 0.51.707根軌跡繪制如下：實(shí)軸上的根軌跡：5,3,2,0023( 5)a0漸近線：2(2k1)a22分離點(diǎn)：1111dd2d3d5用試探法可得d0.

5、886。根軌跡如圖所示。根軌跡如圖所示。(4) 根軌跡繪制如下： 實(shí)軸上的根軌跡： 0, 1,-1,-21 111分離點(diǎn)： 1 111d d 1 d 1 d 2 求解得： d1 0. 37， d 21.37根軌跡如圖所示。4-5 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s) s(0.02s 1)(0.01s 1)要求： (1) 繪制系統(tǒng)的根軌跡； (2) 確定系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時開環(huán)增益 k 的值；(3) 確定系統(tǒng)臨界阻尼比時開環(huán)增益(1) G(s) s(0.02s 1)(0.01s 1)實(shí)軸上的根軌跡： 0, -50,-100,- 1 1 1 0100分離點(diǎn)：d d 50 dk 的值。5000k求解得

6、 d121.13， d 2 漸近線：50，根軌跡如圖所示。s(s 50)(s 100)78.8760o，180(2)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時 k750000， k 150(3)系統(tǒng)臨界阻尼比時 k48112.5， k 9.624-6已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 G(s)H(s)s(s2 8s 20) ，要求繪制根軌跡并確定系統(tǒng)階躍響應(yīng)無超調(diào)時開環(huán)增益 k 的取值范圍。解 G(s)H(s)2s(s2 8s 20) 實(shí)軸上的根軌跡：,0 漸近線：0 ( 4 j2) ( 4 j2) (2k 1)分離點(diǎn)：解之得：2,d4 j23.33d 4 j232s 8s 20s k與虛軸交點(diǎn)：D(s)0.84-7 單位反饋系統(tǒng)

7、的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)k(2s 1)(s 1)2(47s 1)k 值范圍。試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡，并確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的解 ：根軌跡繪制如下： 實(shí)軸上的根軌跡：0.5，7 / 4 漸近線：1 1 7/4 ( 0.5) 12 (2k 1) a2 與虛軸交點(diǎn)：閉環(huán)特征方程為D(s) 4s3 1s2 (2k 10)s把 s j 代入上方程，Re(D(j ) K 令I(lǐng)m( D( j ) (2K1127170)437解得：0根軌跡如圖所示。由圖可知使系統(tǒng)穩(wěn)定的 K 值范圍為4-8 已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡(要求求出起始角)G(s)H(s)K( s 2)22(s2 4s 9)2解 根軌跡繪

8、制如下： 實(shí)軸上的根軌跡： , 2 漸近線：2 j 5 2 j 5 ( 2)3(2k 1),33, 分離點(diǎn)：22d 2 j 5 d 2 j 51d2解之得： d 3.29 d 0.71 (舍去 )D(s) (s224s 9) 2 K(s 2) 0把 s j 代入上方程，令 Re(D(j) 434 281 2K0Im(D(j) (72K)8 3 0解得：21K96 起始角：90 (2 p1290 ) (2k 1)解出p145 , p2135根軌跡如圖所示。 與虛軸交點(diǎn)：閉環(huán)特征方程為已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試分別繪制以4-9a和 T 為變化參數(shù)的根軌跡。(1)G(s) 1/24(s a) s2

9、 (s 1)， a 0 ； (2) G(s)2.6s(0.1s 1)(Ts 1) ，T 0(1)G (s) a/4 2s(s 0.5) 2實(shí)軸上的根軌跡：，0)漸近線：1/3，分離點(diǎn)： d1/6根軌跡如圖所示。(2)Ts2(s10)G (s) s2 10s 2660o，180 實(shí)軸上的根軌跡： 起始角終止角：11 tg 1 ) 52(180o解得起始角tg，0)11 ( p 90o )180o78.7o2 z 0o( tg15 tg 1 15) 180o55解得終止角90o根軌跡如圖所示。G(s)H(s) k (s 1)(s21) 2(s 18)實(shí)軸上的根軌跡： 18，1分離點(diǎn)： d14.22

10、，d2a 與虛軸交點(diǎn)： s1,2 根軌跡如圖所示。漸近線：7.5， a1.86j，6.2890od1處k* 116.6 ， d2處k* 117.6，37.7k k /184-10 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試概略繪出相應(yīng)的根軌跡，k 的值。并求出所有根為負(fù)實(shí)根時開環(huán)增益 k 的取值范圍及系統(tǒng)穩(wěn)定時結(jié)論： 6.48 k 6.53時所有根為負(fù)實(shí)根， k 2.095 時系統(tǒng)穩(wěn)定。4-11 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試?yán)L制時間常數(shù) T 變化時系統(tǒng)的根軌跡，并分析參 數(shù)T 的變化對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響。解： G(s) Ts3 1s020 20s作等效開環(huán)傳遞函數(shù) G* (s)1 T(s2 20s 100)

11、根軌跡繪制如下： (注意：k* 1/T) 實(shí)軸上的根軌跡：(, 10 , 10,03 分離點(diǎn)： 32解得 d 30 。dd10根據(jù)幅值條件，對應(yīng)的T0.015 。 虛軸交點(diǎn)：閉環(huán)特征方程為D (s) Ts 3 s 2 20 s 100 0j 代入上方程，整理，令實(shí)虛部分別為零得：Re(D(j )10020Im(D(j )20T3010解得：T0.2起始角：p160把s參數(shù) T 從零到無窮大變化時的根軌跡如圖所示。(請注意根軌跡的方向！ )s右半從根軌跡圖可以看出，當(dāng) 0 T 0.015 時，系統(tǒng)階躍響應(yīng)為單調(diào)收斂過程； 0.015 T 0.2 時，階躍響應(yīng)為振蕩收斂過程； T 0.2 時，有兩

12、支根軌跡在 平面，此時系統(tǒng)不穩(wěn)定。若取另外一種等效開環(huán)傳遞函數(shù)則解題步驟如下：G (s)Ts32 s2 20s 100三條根軌跡中兩條起于 -10，一條起于，均終止于原點(diǎn) 實(shí)軸上的根軌跡： ( , 10 , 10,032-10 處為兩個開環(huán)極點(diǎn)，原點(diǎn)處為3 個開 分離點(diǎn)： d3 d 210 解得 d 30。其余步驟與上基本相同，根軌跡相同，只是環(huán)零點(diǎn)，根軌跡方向與圖中一樣。4-12 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示，試概略繪制其根軌跡(k* 0)。解 此系統(tǒng)為正反饋系統(tǒng)，應(yīng)繪零度根軌跡。 實(shí)軸上的根軌跡：3 分離點(diǎn)： 3d2, 2 ,1d11,解得 d 0.5 起始角：根據(jù)相角條件，p1ii160 ，j 2kj1p260 ，p3180 。根軌跡如圖所示。4-13 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s) ks(s(1 2s)，試?yán)L制其根軌跡， 并求出使系統(tǒng)產(chǎn)生重實(shí)根和純虛根的 k 值。解 由開環(huán)傳遞函數(shù)的表達(dá)式知需繪制 0 根軌跡。)； 分離點(diǎn)： 1 d11d2d1解得： d10.732, d22.732將 s d10.732 ,s d22.732 代 入幅值條件得：K d10.54,K d27.46 實(shí)軸上的根軌跡： 2,0, 1, 與虛軸交點(diǎn)：閉環(huán)特征方程為D (s) s(s 2) K