數(shù)列求和方法答案

1、高中數(shù)學(xué)系列復(fù)習(xí)資料111nnnn3nnnn數(shù)列求和方法總結(jié)設(shè)計(jì)人許東鵬數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。 在高考和各種數(shù)學(xué)競賽中都占有重要的地位。 數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧。 下面，就幾個(gè)歷屆高考數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)競賽試題來談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技巧。一、公式法利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法。1、 差數(shù)列求和公式：s =nn( a +a ) 1 n2=na +1n( n -1) 2d na2、等比數(shù)列求和公式： s =a (1 -qn 11 -qn) a -a q = 1 n1 -q(

2、 q =1)( q 1)3、s =k = n ( n +1)2k =14、s =nk =1k21= n( n +1)(2n +1) 64、s =nk =11k 3 = n( n +1) 22例 ：已知log x =3-1log 32，求x +x 2 +x 3 +xn+的前 n 項(xiàng)和.解：由-1log x = loglog 323x =-log 2 x =312由等比數(shù)列求和公式得sn=x +x 2 +x 3 +xn x(1 -x n )1 -x1 1(1 -2 2 n11 -1)112 n解析：如果計(jì)算過程中出現(xiàn)了這些關(guān)于 n 的多項(xiàng)式的求和形式，可以直接利用公式。二、錯(cuò)位相減這種方法是在推導(dǎo)

3、等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列a b 的前 n 項(xiàng)和，其中 a 、 b 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列。2nnnnnnn例：求數(shù)列 a,2a2,3a3,4a4,nan, (a 為常數(shù))的前 n 項(xiàng)和。解：若 a=0, 則 s =0 若 a=1,則 s =1+2+3+n=若 a0 且 a1n ( n +1) 2則 s =a+2a2+3a3+4a4+ nanas = a2+2 a3+3 a4+nan+1(1-a) s =a+ a2+ a3+an- nan+1=a -a n +1 1 -a-nan +1s =a -a n +1 na n +1- (a 1) (1 -a )

4、2 1 -a當(dāng) a=0 時(shí)，此式也成立。n ( n +1) 2( a =1)s =解析：數(shù)列a -a n +1 na n +1- (a 1)(1 -a ) 2 1 -anan是由數(shù)列n與an對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積構(gòu)成的，此類型的才適應(yīng)錯(cuò)位相減，（課本中的的等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式就是用這種方法推導(dǎo)出來的），但要注意應(yīng)按以上三種情況進(jìn)行討論，最后再綜合成 兩種情況。三、倒序相加這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到 n 個(gè)( a +a ) 1 n。例 5 求證： c0n+3c1n+5c2n+(2n+1)cnn=( n +1)2n證明：

5、 設(shè)s =cn0n+3c1n+5c2n+(2n+1)cnn. 把式右邊倒轉(zhuǎn)過來得s =(2n +1)c n +(2 n -1)c n -1 +3c1+c0 n n n n n（反序）又由cmn=cn -mn可得s =(2n +1)c n0n+(2 n -1)c1n+3cn -1n+cnn. 3nnnn+得2 s =(2n +2)(c n0n+c1n+cn -1n+cnn) =2( n +1) 2n（反序相加）s =( n +1) 2 nn解析：此類型關(guān)鍵是抓住數(shù)列中與首末兩端等距離的兩項(xiàng)之和相等這一特點(diǎn)來進(jìn)行倒序相加的。四、分組求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆

6、開，可分為幾個(gè)等差、等比或 常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可。例：s =-1+3-5+7-+(-1)n(2n-1)解法：按 n 為奇偶數(shù)進(jìn)行分組，連續(xù)兩項(xiàng)為一組。當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)：s =(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+(-2n+1)n -1=2 +(-2n+1)2=-n當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)：s =(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+(-2n+3)+(2n+1)n=22=nsn=-n (n 為奇數(shù))n （n 為偶數(shù)）五、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用。 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后 重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的通項(xiàng)分

7、解（裂項(xiàng)）如：（1）a = f ( n +1) - f ( n) n（2）sin1cos n cos( n +1)=tan(n +1) -tan n（3）a =n1 1 1= - n(n +1) n n +1（4）a =n(2n ) 2 1 1 1=1 + ( - )(2 n -1)(2 n +1) 2 2n -1 2 n +1（5）a =n1 1 1 1= -n(n +1)( n +2) 2 n( n +1) ( n +1)( n +2)(6)a =nn +2 1 2( n +1) -n 1 1 1 1 = = - , 則s =1 -n ( n +1) 2 n n ( n +1) 2 n n

8、 2n-1 ( n +1)2 n ( n +1)2n例：求數(shù)列1 1 1 1， ， ， ，的前 n 項(xiàng)和 s 13 2 4 3 5 n( n +2)解：1 1 1 1= ( -n( n +2) 2 n n +2）4nnn200220022002s =1 1 1 1 1 1 (1 - ) +( - ) +(- )2 3 2 4 n n +2 1 1 1 1(1 - - - )2 2 n +1 n +23 1 1- -4 2 n +2 2n +4解析：要先觀察通項(xiàng)類型，在裂項(xiàng)求和，而且要注意剩下首尾兩項(xiàng)，還是剩下象上例中的四項(xiàng)，后面 還很可能和極限、求參數(shù)的最大小值聯(lián)系。六、合并求和針對(duì)一些特殊的

9、數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這 些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求 s .例： 數(shù)列a ：a =1, a =3, a =2, a 1 2 3n +2=an +1-an，求 s .解：設(shè) s a +a +a +a 1 2 32002由a =1, a =3, a =2, a 1 2 3n +2=an +1-an可得a =-1, a =-3, a =-2,4 5 6a =1, a =3, a =2, a =-1, a =-3, a =-2, 7 8 9 10 11 12a6 k +1=1, a6 k +2=3, a6 k +3=2, a6 k +4=-1, a6

10、 k +5=-3, a6 k +6=-2a6 k +1+a6 k +2+a6 k +3+a6 k +4+a6 k +5+a6 k +6=0（找特殊性質(zhì)項(xiàng)） s a +a +a +a 1 2 32002（合并求和）( a +a +a +a)+(a +a +a)+(a 1 2 3 6 7 8 126 k +1+a6 k +2+a6 k +6)+(a1993+a1994+a 1998) +a1999+a2000+a2001+a2002a1999+a2000+a2001+a2002a6 k +1+a6 k +2+a6 k +3+a6 k +45七、拆項(xiàng)求和先研究通項(xiàng)，通項(xiàng)可以分解成幾個(gè)等差或等比數(shù)列的和或差的形式，再代入公式求和。5nnnnn例：求數(shù) 5，55，555，555 的前 n 項(xiàng)和 s5解： 因?yàn)?555= (10 -1)n 9所以 s =5+55+555+555nn=59(10 -1) +(102-1) +(10n-1)=5 10(10 n -1) 9 10 -1-n=50815 50 1