高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)講解：奇偶性與單調(diào)性(一)

1、a e21 xy1 xy 1 x 2難點(diǎn) 7奇偶性與單調(diào)性(一)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，考查內(nèi)容靈活多樣.本節(jié)主要幫助考生深 刻理解奇偶性、單調(diào)性的定義，掌握判定方法，正確認(rèn)識單調(diào)函數(shù)與奇偶函數(shù)的圖象. 難點(diǎn)磁場exa()設(shè) a0,f(x)= 函數(shù).案例探究x是 r 上的偶函數(shù)，(1)求 a 的值；(2)證明： f(x)在(0，+)上是增1例 1已知函數(shù) f(x)在(1，1)上有定義，f( )=1,當(dāng)且僅當(dāng) 0x1 時(shí) f(x)0,且對任意 x、yx y(1,1)都有 f(x)+f(y)=f( ),試證明：(1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(1，1)上單調(diào)遞減.命題意圖

2、：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判定以及運(yùn)算能力和邏輯推理能力 .屬 題目.知識依托：奇偶性及單調(diào)性定義及判定、賦值法及轉(zhuǎn)化思想.錯(cuò)解分析：本題對思維能力要求較高，如果“賦值”不夠準(zhǔn)確，運(yùn)算技能不過關(guān)，結(jié)果很難 獲得.技巧與方法：對于(1)，獲得 f(0)的值進(jìn)而取 x=y 是解題關(guān)鍵；對于(2)，判定 是焦點(diǎn).x yx xx x2 11 x x1 2的范圍證明：(1)由 f(x)+f(y)=f( ),令 x=y=0,得 f(0)=0,令 y=x,得 f(x)+f(x)=f( )=f(0)=0.f(x)= f(x).f(x)為奇函數(shù).(2)先證 f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減.x x2 1

3、1 x x令 0x1x21,則 f(x2)f(x1)=f(x2) x1)=f( 1 2 )0x1x20,1x1x20， 又(x2x1)(1x2x1)=(x2 1)(x1+1)0x2x10,0x x2 11 x x2 1x x2 11 x x1,由題意知 f( 1 2 )0即 f(x2)f(x1).f(x)在(0，1)上為減函數(shù)，又 f(x)為奇函數(shù)且 f(0)=0.作者: oh_卡布奇諾- 1 -22222 422222f(x)在(1，1)上為減函數(shù).例 2設(shè)函數(shù) f(x)是定義在 r 上的偶函數(shù)，并在區(qū)間(,0)內(nèi)單調(diào)遞增，f(2a2+a+1)f(3a212a+1).求 a 的取值范圍，并在

4、該范圍內(nèi)求函數(shù) y=( )a2-3a +1的單調(diào)遞減區(qū)間.命題意圖：本題主要考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的基本應(yīng)用以及對復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法. 本題屬于級題目.知識依托：逆向認(rèn)識奇偶性、單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的值域問題.錯(cuò)解分析：逆向思維受阻、條件認(rèn)識不清晰、復(fù)合函數(shù)判定程序紊亂.技巧與方法：本題屬于知識組合題類，關(guān)鍵在于讀題過程中對條件的思考與認(rèn)識，通過本題 會解組合題類，掌握審題的一般技巧與方法.解：設(shè) 0x1x2,則x2x10，f(x)在區(qū)間(,0)內(nèi)單調(diào)遞增，f(x2)f(x1),f(x)為偶函數(shù)，f(x2)=f(x2),f( x1)=f(x1),f(x2)0,3a -2 a +

5、1 =3( a - ) + 0.4 8 3 3由 f(2a2+a+1)3a22a+1.解之，得 0a3.3 5又 a23a+1=(a )2 .1 3函數(shù) y=( )a -3a +1的單調(diào)減區(qū)間是 ，+3 3結(jié)合 0a3,得函數(shù) y=( )a2-3a +1的單調(diào)遞減區(qū)間為 ，3).錦囊妙計(jì)本難點(diǎn)所涉及的問題及解決方法主要有：(1)判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性若為具體函數(shù)，嚴(yán)格按照定義判斷，注意變換中的等價(jià)性.若為抽象函數(shù)，在依托定義的基礎(chǔ)上，用好賦值法，注意賦值的科學(xué)性、合理性.同時(shí)，注意判斷與證明、討論三者的區(qū)別，針對所列的“磁場”及“訓(xùn)練”認(rèn)真體會，用好 數(shù)與形的統(tǒng)一.復(fù)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性.

6、問題的解決關(guān)鍵在于：既把握復(fù)合過程，又掌握基本函數(shù). (2)加強(qiáng)逆向思維、數(shù)形統(tǒng)一.正反結(jié)合解決基本應(yīng)用題目，下一節(jié)我們將展開研究奇偶性、單 調(diào)性的應(yīng)用.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1.()下列函數(shù)中的奇函數(shù)是( )x +1lg(1 -x2)a.f(x)=(x1)1 -xb.f(x)=| x2-2 | -2作者: oh_卡布奇諾- 2 -222)x +12 22 2c.f(x)=x2+x(x 0)d.f(x)=1 +sin x -cos x 1 +cos x +sin x2.()函數(shù) f(x)= a.關(guān)于 x 軸對稱c.關(guān)于原點(diǎn)對稱1 +x +x -1 1 +x +x +1的圖象( )b.關(guān)于 y

7、軸對稱d.關(guān)于直線 x=1 對稱二、填空題3.()函數(shù) f(x)在 r 上為增函數(shù)，則 y=f(|x+1|)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是_.4.()若函數(shù) f(x)=ax3+bx2+cx+d 滿足 f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0x11).(1) 證明：函數(shù) f(x)在(1，+)上為增函數(shù).(2) 用反證法證明方程 f(x)=0 沒有負(fù)數(shù)根.x2,+ 上單6.()求證函數(shù) f(x)=3x( x -1)在區(qū)間(1，+)上是減函數(shù).7.()設(shè)函數(shù) f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱且滿足：(i)f(x1x2)=f ( x ) f ( x ) +1 1 2f ( x ) - f ( x ) 2 1；(i

8、i)存在正常數(shù) a 使 f(a)=1.求證：(1) f(x)是奇函數(shù).(2) f(x)是周期函數(shù)，且有一個(gè)周期是 4a.8.()已知函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?r，且對 m、nr,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n)1,且 1 1f( )=0,當(dāng) x 時(shí)，f(x)0.(1) 求證：f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)；(2) 試舉出具有這種性質(zhì)的一個(gè)函數(shù)，并加以驗(yàn)證.作者: oh_卡布奇諾- 3 -xae x ax xxe( ex +xex +x222 2)x -xxa a2 11x x x x -x參考答案難點(diǎn)磁場(1)解：依題意，對一切 xr,有 f(x)=f(x),即 11e a 1+ =a e x

9、aex1+aex.整理，得(a )(ex )=0.因此，有 a =0,即 a2=1,又 a0,a=1(2)證法一：設(shè) 0x1x2,則 f(x1)f(x2)=ex1-ex2+1 1- =( ee 1 e 2x21-e 1 )( -1) x +x1 2=ex x -x1 2 1-1)1 -e 1 2x +x1 2由 x10,x20,x2x1,ex -x2 1-10,1e 1 20,f(x1)f(x2)0,即 f(x1)f(x2)f(x)在(0,+)上是增函數(shù)證法二：由 f(x)=ex+ex，得 f(x)=exex=ex(e2x1).當(dāng) x(0,+)時(shí)，ex0,e2x10. 此時(shí) f(x)0,所以

10、f(x)在0，+)上是增函數(shù).殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、1.解析：f(x)=x -x ( x 0) -(x =-x -x ( x 0) -(-x+x ) ( x 0)=f(x)，故 f(x)為奇函數(shù).答案：c2.解析：f(x)=f(x),f(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.答案：c二、3.解析：令 t=|x+1|,則 t 在(,1 上遞減，又 y=f(x)在 r 上單調(diào)遞增，y=f(|x+1|)在( ,1 上遞減.答案：(,14.解析：f(0)=f(x1)=f(x2)=0,f(0)=d=0.f(x)=ax(xx1)(xx2)=ax3a(x1+x2)x2+ax1x2x，b=a(x1+x2),又 f(x)在

11、x2,+ 單調(diào)遞增，故 a0.又知 0x1x,得 x1+x20, b=a(x1+x2)0.答案：(,0）三、5.證明：(1）設(shè)1x1x2+,則 x2x10, 1 且 0,a 2 -a 1 =a 1 ( a 2 1 -1)0,又 x1+10,x2+10作者: oh_卡布奇諾- 4 -xa02xa02 22 2342222222122112+1x -2 x -2 ( x -2)( x +1) -( x -2)( x +1) 3( x -x ) 2 - 1 = 2 1 1 2 = 2 1x +1 x +1 ( x +1)( x +1) ( x +1)( x +1) 2 1 1 2 1 20,于是 f

12、(x2)f(x1)=ax2-ax1x -2 x -2 2 - 1x +1 x +1 + 2 10f(x)在(1，+）上為遞增函數(shù).(2 ）證法一：設(shè)存在 x00(x01)滿足 f(x0)=0,則ax0=-x -20x +10且由 0 1 得 0 x -20x +1011,即 x02 與 x00 矛盾，故 f(x)=0 沒有負(fù)數(shù)根.證法二：設(shè)存在 x00(x01) 使 f(x0)=0,若1x00,則x -20x +102, 1,f(x0)1與 f(x0)=0 矛盾，若 x01,則x -20x +100,ax00，f(x0)0 與 f(x0)=0 矛盾，故方程 f(x)=0 沒有負(fù)數(shù)根.6.證明：

13、x0,f(x)=1 1=( x -1) x( x -1) x x=11x (1 - )x2,設(shè) 1x1x2+,則1x221x11 -1x10. x (1 -21x22) x (1 - 11x1) 0. 11x (1 -x22)2f(x2), f(x)在(1，+）上是減函數(shù).(本題也可用求導(dǎo)方法解決）7.證明：(1）不妨令 x=x1x2,則 f(x)=f(x2x1)= =f(x1x2)=f(x).f(x)是奇函數(shù).(2）要證 f(x+4a)=f(x),可先計(jì)算 f(x+a),f(x+2a).f ( x ) f ( x ) +1 f ( x ) f ( x ) +1=-f ( x ) - f (

14、x ) f ( x ) - f ( x ) 1 2 2 1f(x+a)=fx(a)=f ( -a) f ( x) +1 - f ( a) f ( x ) +1 f ( x) -1= = ( f ( a ) =1)f ( -a) - f ( -x) - f ( a) - f ( x ) f ( x ) +1. f ( x +2 a ) = f ( x +a ) +a =作者: oh_卡布奇諾f ( x ) -1-1f ( x +a ) -1 f ( x ) +1 1= =-f ( x +a ) +1 f ( x ) -1 f ( x ).f ( x ) +1- 5 -2 2 222f(x+4a)=f(x+2a