專升本高數(shù)二概念

1、第一章函數(shù)、極限和連續(xù) 1.1 函數(shù)一、主要內(nèi)容函數(shù)的概念1. 函數(shù)的定義：y=f(x), x D定義域:D(f),值域:Z(f).f(x) x D12. 分段函數(shù):g(x) x D23. 隱函數(shù)：F(x,y)= 014. 反函數(shù)：y=f(x) x= (y)=f - (y)y=f -1 (x)定理:如果函數(shù):y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y是嚴(yán)格單調(diào)增加(或減少)的；則它必定存在反函數(shù)：y=f-1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是嚴(yán)格單調(diào)增加(或減少)的。函數(shù)的幾何特性1. 函數(shù)的單調(diào)性：y=f(x),x D,X1、X2 D 當(dāng) X1 X2 時(shí)，若 f(x

2、1) f(x 2),則稱f(x)在D內(nèi)單調(diào)減少();若 f(x 1) V f(x 2),則稱f(x)在D內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加();若 f(x 1) f(x 2),則稱f(x)在D內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少()。2. 函數(shù)的奇偶性：D(f)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱偶函數(shù)：f(-x)=f(x)奇函數(shù)：f(-x)=-f(x)3. 函數(shù)的周期性：周期函數(shù)：f(x+T)=f(x), x (- %,)周期：T最小的正數(shù)4. 函數(shù)的有界性：|f(x)|0、a 1)4. 對(duì)數(shù)函數(shù)：y=log a x ,(a 0、a 1)5. 三角函數(shù)： y=sin x , y=con xy=ta n x , y=cot x y=secx , y=cscx

3、6. 反三角函數(shù)： y=arcsin x, y=arccon x y=arcta n x, y=arccot x復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)1. 復(fù)合函數(shù)：y=f(u) , u= (x)y=f (x) , x X2. 初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算（加、減、乘、除）和復(fù)合所構(gòu)成的，并且能用一個(gè)數(shù)學(xué) 式子表示的函數(shù) 1.2極限一、主要內(nèi)容極限的概念1.數(shù)列的極限:lim An稱數(shù)列yn以常數(shù)A為極限;或稱數(shù)列yn收斂于A.定理：若yn 的極限存在=：yn 必定有界.2. 函數(shù)的極限:當(dāng)x 、二時(shí)，f （x）的極限:limx- vlimx :f (x)二 f(x) =lim f(x)= Ax-

4、:當(dāng)x x0時(shí)，f（X）的極限:lim f (xp Ax Xolim f (xp AX X。右極限:lim f (x) = Ax X0函數(shù)極限存的充要條件:定理:lim f(xp AXqlim f(x)= lim f(x)= Ax Xqx0無窮大量和無窮小量i.無窮大量：lim f(x)稱在該變化過程中為無窮大量。X再某個(gè)變化過程是指： +X，, X, X，, XXq, XXq , XXq2.無窮小量：lim f (xp 0稱在該變化過程中 f(x) 為無窮小量3. 無窮大量與無窮小量的關(guān)系:定理：limf(x)=二lim4.無窮小量的比較:若lim若limf(x)lim 二 0, lim,則

5、稱B是比a較高階的無窮小量;,(f(xp 0)0(c為常數(shù))，則稱B與a同階的無窮小量;lim二 1若Ct，則稱B與a是等價(jià)的無窮小量，記作：B a；plim=oO若a,則稱B是比a較低階的無窮小量。亠十亠。廬a疋理：右：1122則:limlim兩面夾定理1.數(shù)列極限存在的判定準(zhǔn)則:設(shè)： yQ Xn 蘭 Zn(n=1、2、3)且:nim ynlim znn：則:lim xn = an2.函數(shù)極限存在的判定準(zhǔn)則：設(shè)：對(duì)于點(diǎn)X0的某個(gè)鄰域內(nèi)的一切點(diǎn)（點(diǎn)xo除外）有：g(xp f(xp h(x)且:lim g(x)二X xolim h(x)二 AX Xo則:lim f (x)二%、Xo極限的運(yùn)算規(guī)則

6、若: lim u(x)二 A lim v(x)二 B則: limu(x) - v(x) = lim u(x) - limv(x)二 A- B lim u(x) v(x)p lim u(x) lim v(xp A Bu(x) lim u(x) A v(x) lim v(x) B (lim v(x) )推論: lim w(x) - U2(x)- Un(x)=lim u(x) lim u2(x) lim un(x) lim c u(x)p c lim u(x) lim u(x)n = lim u(x)n兩個(gè)重要極限lim 也(x):(x) 0:(x)sin x lim1 - x 0x)xlim (V

7、 )x2 八x 1.3連續(xù)一、主要內(nèi)容函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)在xo處連續(xù):f(x) 在x0的鄰域內(nèi)有定義,limXX0f(X)二 f(X。)左連續(xù)：Ximof(x)= f(xo) 右連續(xù)：Xim0f(x)= f(x0)2.函數(shù)在Xq處連續(xù)的必要條件:定理： f(X) 在Xq處連續(xù)f(X) 在Xq處極限存在3. 函數(shù)在Xq處連續(xù)的充要條件:定理：艸。f(Xp f(Xo)-4.函數(shù)在a, b 上連續(xù)：f(X) 在a, b 上每一點(diǎn)都連續(xù)。 在端點(diǎn)a和b連續(xù)是指：lim f (x)二 lim f (x)二x xQxxqf (Xq)ljm+f(x)= f(a)左端點(diǎn)右連續(xù);x a!吧(小f(b)右端點(diǎn)左

8、連續(xù)a+ 0 b - x5.函數(shù)的間斷點(diǎn)：若 f(x) 在X0處不連續(xù)，則xq為 f(x) 的間斷點(diǎn)io)X(f 在 Xo 處無定義;2oXimX0f(x)不存在;3o )X(f在X0處有定義，且叩存在Jim f(xp f(xo)但 X x0兩類間斷點(diǎn)的判斷：1 0第一類間斷點(diǎn)：特點(diǎn)：叩和Xim?of(x)都存在可去間斷點(diǎn):limXXof(x)存在，但lim f (xP f (x0)X(f X 宀x-； X。，或丿X ( f在X0處無疋義2 0第二類間斷點(diǎn)：lim f (x) lim f (x)特點(diǎn)：xx0/和Xx0/至少有一個(gè)為X,lim或xx0f(x)振蕩不存在。無窮間斷點(diǎn):lim f (

9、x)XX0lim f (x)和X x07至少有一個(gè)為x函數(shù)在X0處連續(xù)的性質(zhì)1. 連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算:設(shè) lim f(x)= f(x。)設(shè) X xoXinXog(x g(xo)limf(x) g(x)X Xof(Xo)- g(Xo)linxf (x) g(x)二x xof (Xo) g(Xo)32.r f(x) limXF g(x)復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性：廠 f(u).lim (x)二XXolim f則：X xo3. 反函數(shù)的連續(xù)性:廠 f(x),f (Xo) g(xo)(Xo),(X)lim f (x)=X Xo函數(shù)在 a,b 上連續(xù)的性質(zhì)1.最大值與最小值定理：y+MXinXog(xr 0廠 f

10、 (x)呵屮吹f (xo) (Xo)和您(X)= f(Xo)t(x),yof(Xo)-lim f廠yo=f(Xo)1(yp f 1(yo)f (x)在a,bf (x)在a,b 上連續(xù)yf(x)f(x)0 ab x!mIpI-M - L”0 b x2. 有界定理：f (x)在a,b 上連續(xù)3.介值定理：f (x)在a,b上連續(xù)f (x)在a,b上一定有界在 (a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得：f () = c，推論：f (x) 在a,b上連續(xù),且f (a)與f (b)異號(hào)4. 初等函數(shù)的連續(xù)性:初等函數(shù)在其疋域區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的 第二章一元函數(shù)微分學(xué) 2.1導(dǎo)數(shù)與微分一、主要內(nèi)容導(dǎo)數(shù)的概念1 .導(dǎo)數(shù)：

11、 y f(X) 在Xo的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義, lim X 0limx 0f (XoX)f (Xo)也X2 .左導(dǎo)數(shù):limX Xof(x) f(Xo)XXof (Xo)二f(X。)二右導(dǎo)數(shù):f (Xo)-I dydxX= Xof(X) f(X。)xXof(x) f(Xo)XXo定理：X) 在xo的左(或右)鄰域上連續(xù)在其內(nèi)可導(dǎo)，且極限存在；f (xo) = lim f (x)則：IB xrof(X。)lim f (x)(或：3.函數(shù)可導(dǎo)的必要條件:x X0定理： f(x) 在Xo處可導(dǎo)4.函數(shù)可導(dǎo)的充要條件：f(x) 在xo處連續(xù)F 定理：yx=x。f (Xo)且存在。存在f (Xo) f (X

12、o),5.導(dǎo)函數(shù)： y= f (x),(a,b)f(x) 在 (a,b) 內(nèi)處處可導(dǎo)f (Xo)6.導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì):f (xo)是曲線y f (x)上點(diǎn)M Xo,y求導(dǎo)法則 基本求導(dǎo)公式： 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算：U V)=處切線的斜率。o1.2.(U V)二 U V U VU 二v復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(vy f(u),u (x),o)f (x)dy dy dudX dU dx，或f(x)】 = f (x)】(x) 注意 fp (x)】與 f ? (x) 的區(qū)別：f(X) 表示復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量 x求導(dǎo)；f (x) 表示復(fù)合函數(shù)對(duì)中間變量(x) 求導(dǎo)。4.高階導(dǎo)數(shù)： f (x), f (x),或f (x)f

13、(n)(x)= f(n (x),葉 2,3,4 )函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)等于其n-1導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。微分的概念1. 微分： f(x) 在x的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，廠 A(x) x o( x)其中： A(x)與 x 無關(guān)，o( x) 是比x較高o( x) clim= 0階的無窮小量，即： x 0 x則稱 y f(x) 在x處可微，記作：dy 二 A(x) xdy A(x)dx ( x 0)2. 導(dǎo)數(shù)與微分的等價(jià)關(guān)系：且：f (x) A(x)3. 微分形式不變性：dy f (u)du不論u是自變量，還是中間變量，函數(shù)的 微分dy都具有相同的形式。 2.2中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 一、主要內(nèi)容中值定理1.羅爾定理： f

14、(x) 滿足條件:在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn) ,10在a,b上連續(xù)；2在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；-10在a,b上連續(xù)，20在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；在(a,b )內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得:f(b) f(a)b a0羅必塔法則：(匚，型未定式)0 定理： f (x)和 g(x) 滿足條件:lim f(x)= 0 (或)x aiolim g(x)二 0(或)；x a2在點(diǎn)a的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且 g(x) o；E鳥=A，(或)則:limXr a(:-)f(x) g(x)limx a(：)f (x) g (x)A,(或 T注意：i法則的意義：把函數(shù)之比的極限化成了它們導(dǎo)數(shù)之比的極限2 若不滿足法則的條件，不能使用法則

15、。0即不是o型或型時(shí)，不可求導(dǎo)。3 應(yīng)用法則時(shí)，要分別對(duì)分子、分母求導(dǎo)，而不是對(duì)整個(gè)分式求導(dǎo)。4若 f (x)和g (x) 還滿足法則的條件,可以繼續(xù)使用法則，即：x a()g(X)X a()g (x)lim f (x)二 A (或)x a( ) g (x)50若函數(shù)是0J： 一二 型可采用代數(shù)變形，化成o或型；若是01 ,0 ,0型可0 采用對(duì)數(shù)或指數(shù)變形，化成0或丁型導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用i切線方程和法線方程：設(shè)：y f(x), M(x,y。)切線方程：y y。f (x)(x X。)1y y0 = (x x0), ( f(x0)式 0)法線方程：0f (Xo)02曲線的單調(diào)性： f(X) 0 X (a

16、,b)= f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加;f (xp 0 x (a,b) =f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)減少;f (x)0x (a,b)=在(a,b)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加;f (x)0x (a, bp在(a,b)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少3. 函數(shù)的極值: 極值的定義：設(shè)f (x)在(a, b)內(nèi)有定義，xo是(a, b)內(nèi)的一點(diǎn);若對(duì)于Xo的某個(gè)鄰域內(nèi)的任意點(diǎn) x X。，都有：f(Xo)- f(X)或 f(Xop f(X)則稱f (Xo)是 f(X)的一個(gè)極大值(或極小值)稱X為f (x)的極大值點(diǎn)(或極小值點(diǎn))極值存在的必要條件:定理:1o.f (x)存在極值f (xo)2o. f (xo)存在。f(xo)=

17、 oxo稱為f(x)極值存在的充分條件：定理一：的駐點(diǎn)1o. f (x)在xo處連續(xù)；2of (xo) = 0或f (xo)不存在；-3. f(x)過Xo時(shí)變號(hào)。f (xo)是極值; xo是極值點(diǎn)。當(dāng)x漸增通過X。時(shí),f(X)由(+)變(-)；f ( Xo )為極大值;1.f (Xo)= 0；f (Xo)是極值;20.f (x0)存在。Xo是極值點(diǎn)。若f (Xo)0，則f(Xo)為極大值；若f(x0) 0，則f(X0)為極小值。注意：駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，極值點(diǎn)也不一定是駐點(diǎn)。4 曲線的凹向及拐點(diǎn)：若f (x)0,x a,b ；ra f(X)在(a,b)內(nèi)是上凹的(或凹的)，(U);若 f (x

18、)，0, x a,b ；則 f (x)在(a,b) 內(nèi)是下凹的(或凸的)，(A)；1.f(X。)= 0,X0, f (X0)稱20.f (x)過x0時(shí)變號(hào)。為f (x)的拐點(diǎn)。5。曲線的漸近線：水平漸近線：若 lm” f (x)= A y A是f (x)x 二或lim f (x) = A 的水平漸近線。 x鉛直漸近線：若 (x) x= C 是 f(x)或lim f (x)= s的鉛直漸近線。XT C丿第三章一元函數(shù)積分學(xué) 3.1 不定積分一、 主要內(nèi)容重要的概念及性質(zhì):i 原函數(shù)：設(shè)：f(x),F(x)，若: F (x) f(x)則稱F (x)是f (x)的一個(gè)原函數(shù)，并稱F (x) C是f

19、(x)的所有原函數(shù),其中c是任意常數(shù)。2 不定積分:函數(shù) f(x)的所有原函數(shù)的全體,稱為函數(shù) f(x)的不定積分；記作:f(x)dx 二 F(x) C其中:f(x)稱為被積函數(shù);f (x)dx 稱為被積表達(dá)式;X稱為積分變量。3.不定積分的性質(zhì)： 1 f (x)dx = f (x)或: d f (x)dxf (x)dx f (x)dx f (x) C或：df(x)= f(x) C(X) f2(X)fn(x)dx= fq(x)dx+ f2(x)dx+ fn(x)dx分項(xiàng)積分法4.基本積分公式：換元積分法：1第一換元法：（又稱“湊微元”法）f (x) (x)dx 湊微元(x)d (x)kf （x

20、）dx k f （x）dx化為非零常數(shù)）； f(t)dt= F(t)+ C 令t- (x)(x) C=FTit1 i回代t= （x）常用的湊微元函數(shù)有：1 dx d(ax)a丄d(ax b) a（a,b為常數(shù)，a 0）mx dx =dxao7)d(axb)（m為常數(shù)）exdx d(ex)d(aex b) aaxdx =1 xlnad(a)，(a ，a 1dx =xd(lnx)sindx d(cosx)cosxdx二 d(sinx)2sec xdx 二 d(tan x)2 cscxdx 二 d(cot x)d(arccosx)1dx 二 d(arcsinx)= 、1 x21Jx?dx =2.第二

21、換元法：d(arctan x)二d(arccotx)f (x)dx匚 J f (t)d (t) 令 X= (t)(t)f (t)dx F(t) C；FT 3)+ C反代t= T(X)第二換元法主要是針對(duì)含有根式的被積函數(shù), 其作用是將根式有理化。一般有以下幾種代換：n為偶數(shù)時(shí),t(當(dāng)被積函數(shù)中有吒x時(shí))2。x = asint,(或x= acosx), Q t-I 2 _2(當(dāng)被積函數(shù)中有 a x時(shí))3。x= atant,(或x= acott), Q- t 牙,(Q t-三)/ 2 + 2(當(dāng)被積函數(shù)中有y a x時(shí))4。x= asect,(或x= acsct), Q- t -, (Q t-)/

22、 2(當(dāng)被積函數(shù)中有 x a時(shí))分部積分法：1. 分部積分公式：udv 二 u v vduftuu v dx = u v u vdx2. 分部積分法主要針對(duì)的類型： P(x)sinxdx, P(x)cosxdx P(x)exdx P(x) ln xdx P(x)arcsinxdx, P(x)arccosxdxP(x)arctan xdx, P(x)arccotxdx eaxsinbxdx,eax cosbxdx其中:P(x) axnn1a1xan (多項(xiàng)式)3. 選u規(guī)律:在三角函數(shù)乘多項(xiàng)式中，令 P(x)二 u，其余記作dv;簡(jiǎn)稱“三多選多”在指數(shù)函數(shù)乘多項(xiàng)式中，令P(x)一 U，其余記作d

23、v;簡(jiǎn)稱“指多選多”在多項(xiàng)式乘對(duì)數(shù)函數(shù)中，令I(lǐng)n x = u， 其余記作dv;簡(jiǎn)稱“多對(duì)選對(duì)”。在多項(xiàng)式乘反三角函數(shù)中，選反三角函數(shù) 為u，其余記作dv;簡(jiǎn)稱“多反選反”。在指數(shù)函數(shù)乘三角函數(shù)中，可任選一函數(shù)為u，其余記作dv;簡(jiǎn)稱“指三任選”。簡(jiǎn)單有理函數(shù)積分：1.有理函數(shù):f(x) =P(x)Q(x)其中 P(x )和 Q(x)是多項(xiàng)式2. 簡(jiǎn)單有理函數(shù):f(x)二P(x)1 xf(x)二P(x)1 x2f(xP(x)(x a)( x b)f(X)P(x)(x a)2 b 3.2定積分二主要內(nèi)容(一) .重要概念與性質(zhì)bf (x)dx a1. 定積分的定義:定積分含四步：分割、近似、求和、

24、取極限。定積分的幾何意義：是介于x軸，曲線y=f(x), 直線x=a,x=b之間各部分面積的代數(shù)和。x軸上方的面積取正號(hào)，yx軸下方的面積取負(fù)號(hào)。+a 0- b x2.定積分存在定理：設(shè)：y f(x) x a,b若：f(x)滿足下列條件之一：1 .f(x)連續(xù)，x a,b;2 .f (x)在la,b1上有有限個(gè)第一類間斷 點(diǎn);3.f (x)在 a,b上單調(diào)有界; 則:f(x)在a,b上可積。若積分存在，則積分值與以下因素?zé)o關(guān)：bb1與積分變量形式無關(guān)，即.f(x)dxf(t)dt;aa2與在a,b上的劃分無關(guān)，即a,b可以任意劃分；3與點(diǎn)行的選取無關(guān)，即I可以在*i_i,Xi上任意選取積分值僅

25、與被積函數(shù)f(x)與區(qū)間a,b有關(guān)。3. 牛頓萊布尼茲公式：若F(x)是連續(xù)函數(shù)f (x)在a,b上的任意一個(gè)原函數(shù):貝y：bf (x)dx= F(x) a = F(b) F(a)a*牛頓一一萊布尼茲公式是積分學(xué)中的核心定理，其作用是將一個(gè)求曲邊面積值的問題轉(zhuǎn)化為尋找原函數(shù)及計(jì)算差量的問題。4. 原函數(shù)存在定理：若f (x)連續(xù)，x a,b,x貝U： (x) a f(t)dt, X a,b(x)是f (x)在a,b上的一個(gè)原函數(shù)，x且： (x)( f(t)dt) f (x)a5. 定積分的性質(zhì)：設(shè)f(x), g(x )在a,b上可積，則:bb1 kf(x)dx二 k f (x)dxaa.ba2

26、 f (x)dx f (x)dxabbbb3 f(x) g(x)dx 匚 f(x)dx g( x)dxaaaa4 f(x)dx 二 0a.bcb5 f(x)二 f(x)dx f(x)dx (a c b) aacb8估值定理：bm(b a) f(x)dx= M(b a)a其中m, M分別為f (x)在a,b上的最小值和最大值(二) 定積分的計(jì)算：1. 換元積分設(shè)f(x)連續(xù)，x a,b，x (t)若(t)連續(xù)，t(t)單調(diào)地從a變到b,且當(dāng)t從變到p時(shí)，()=a, ( ) = b,bP則：f (x)dx f (ty (t)dt2.3.分部積分budva廣義積分bvduaf(x)dx + qof

27、(x)dx 0 f (x)dx4.定積分的導(dǎo)數(shù)公式x1( f (t)dt)xaf(x)(x)2( f(t)dtaf (x)(x)2(x)II3 (x)f(t)dtx f 2(X)2(X)f !(X)I !(X)(三) 定積分的應(yīng)用1. 平面圖形的面積：1 由廠 f(x)0, x= a, x= b, (a b)與x軸所圍成的圖形的面積 yf(x)bf (x)dxa2 由 yif (x), y2 g(x), (f g)與x= a,x= b所圍成的圖形的面積s 二 f (x) g(x)dxa3 由 x(y), X2=(y),()與廠c,廠d所圍成的圖形的面積s 二 (y)(y) dyc4 求平面圖形

28、面積的步驟：4 . 求出曲線的交點(diǎn)，畫出草圖； . 確定積分變量，由交點(diǎn)確定積分上下限; . 應(yīng)用公式寫出積分式，并進(jìn)行計(jì)算。2. 旋轉(zhuǎn)體的體積b及x軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積:轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積:f (x)0,與 x a, xVyJI2(y)dy第四章多元函數(shù)微積分初步 4.1 偏導(dǎo)數(shù)與全微分一.主要內(nèi)容：.多元函數(shù)的概念3. 二元函數(shù)的定義：z f(x,y) (x,y) D定義域：D(f)4. 二元函數(shù)的幾何意義：二元函數(shù)是一個(gè)空間曲面。(而一元函數(shù)是平面上的曲線).二元函數(shù)的極限和連續(xù)：1. 極限定義：設(shè)z=f(x,y)滿足條件：1在點(diǎn)(xo，yo)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義。(點(diǎn)(x

29、o, y。)可除外)2 lim f(x,y) Ax- Xo y y yo則稱z= f(x, y)在(x0, y0)極限存在，且等于A2. 連續(xù)定義：設(shè)z=f(x,y)滿足條件：1在點(diǎn)(x0,y0)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義。2 lim f(x,y) f(x。)XXoy y y則稱z f (x, y)在(x0,y0)處連續(xù).偏導(dǎo)數(shù)：定義:f(x, y),在(xo, yo)點(diǎn)fx(xo,yo)=x- 0f (Xox,y)xfy(xo,yo)目、of (xo,y。 y) 也yf (xo,yo)fx(Xo,y。)，fy(xo,yo)分別為函數(shù) f (x, y)在(x,yo) 處對(duì)x, y的偏導(dǎo)數(shù)。z二f (x

30、, y)在D內(nèi)任意點(diǎn)(x,y)處的偏導(dǎo)數(shù)記為:fx(x, y)f (x, y)fy(x,y)f(x,y)zy.全微分：1.定義：z=f(x,y)若 z f (x x, y y)f(x,y)A x B y o()其中，A、B與，x、，y無關(guān)，o)是比p = *x y2較高階的無窮小量。貝U: dz 二 df (x, y)二 A x B y是f(x, y) 在點(diǎn)(x,y)處的全微分。3. 全微分與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系定理：若 fx(x,y), fy(x,y)連續(xù)，x,y)w D. 則:z f (x, y)在點(diǎn)(x, y)處可微且dz fx(x, y)dx fy(x, y)dy.復(fù)全函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：1.設(shè)：z

31、 f(u,v), u u(x, y),v v(x, y) z f u(x,y),v(x, y)1則:z:：zu:：zv* +xuxvxz:：zu:zv=* +*yuyvy2.設(shè)y f(u,v),u u(x),v v(x)廠 fu(x),v(x) dyy duy dv_dxu dxv dx(六).隱含數(shù)的偏導(dǎo)數(shù):1.設(shè)F(X, y,z) 0,zf (x, y),且 Fz 0z F 農(nóng) z 則Fx zFyx Fz2.設(shè)F(x, y), y0, yFzf (x),且Fy 0則變旦dx.二階偏導(dǎo)數(shù):Fyfxx(x,y)2zfyy(x,y)2x2:zz(_)fxy(x, y)2yH 2-zc z 一(_) y yfyx(x, y)=x(7結(jié)論：當(dāng)fxy(x, y)和fyx(x, y)為x, y的連續(xù)函數(shù)時(shí)，則：fxy(x, y)fyx(x, y).二元函數(shù)的無條件極值1. 二元函數(shù)極值定義：設(shè)z