正四面體性質及其應用

1、正四面體的性質及其應用正四面體是四個面都是等邊三角形的凸多面體，它是一個很規(guī)則的幾何體，因此具有一些特有的性質，設正四面體的棱長為a，則1)全面積 S 全= 3 a2；2)高 h= 36 a ；3)體積 V= 122 a 3；4)對棱中點的連線是對棱的公垂線，其長為5)1相鄰兩面所成的二面角 =arccos 3；6)棱與其相交的面所成的角 =arctan 2 ；7)正四面體的內切球和外接球的球心重合，內切球半徑r162 a，外接球8)B半徑 R 46 a，rR=13；正四面體內任一點到四個面的距離之和為定值(等于正四面體的高) 將正四面體置于正方體中，結合正方體的性質以上諸性質容易得到證明?？?/p>

2、查正四面體的性質多出選擇或填空題，熟記以上八條性質對快速求解相關問題有很大幫助，例如： 例 1：已知半徑為 1 的球面上有 A、B、C 三個點，且它們之間的球面距離都為 3 ，則球心 O 到平面 ABC的距離為(3解析：如右圖所示，12 D271OA=OB=O=1C 又 AB BC CA，球的半徑 r=13AOB= BOC= COA=3 ，則 AB=BC=C=A13所以 O- ABC為棱長為 1 的正四面體，則由正四面體的性質得球心O到平面 ABC的距離即其高為 36 ，答案 B。例 2：（05 年湖南省十所示范校聯(lián)考）已知棱長為a 的正四面體ABCD有內切球 O，經(jīng)過該棱錐 A- BCD的中

3、截面為 M，則 O到平面 M的距離為（a 6 6 2 A 4 B 6 a C 12 aD 8 a解析 ：直接運用正四面體的性質，內切球的半徑r= 162 a，中截面到底面的距離為高的一半 66a，則 O到平面 M的距離為 66 a 162 a= 162 a，因此選 C。例 3：（06 年陜西卷）將半徑為 R的四個球兩兩相切地放在桌面上，則上面一個球的球心到桌面的距離為解析 ：注意分析四個球的球心的位置關系。設四個球心分B 別為DA、 B、C、D，因為四個球兩兩相切，則 ABCD是棱長為 C262R的正四面體， A 到面 BCD的距離為 2 36 R，則上面一個球的球心 A到桌面的距離為 R+2

4、 36 R=（ 1+2 36 ） R。例 4：（06 年山東卷）如圖 1，在等腰梯形 ABCD中， AB=2DC=2， DAB=60，E為 AC的中點，將 ADE與 BEC分別沿 ED、EC向上折起，使 A、 B重合于點 P，則三棱錐 P- DCE的外接球的體積為（）27 224 解析：三棱錐 P- DCE實質上是棱長為 1 的正四面體， 則其外接球的體積為V= 4R3= 4（ 6 ） 3= 6 。V= 3 R= 3（ 4 ） = 8 。B例 5：（ 06 年湖南卷）棱長為 2 的正四面體的四個頂點都在同一球面上，若的面積是 （ ）C2過該球球心的一個截面如圖 1，則圖中三角形 （正四面體的截

5、解析：由截面圖形可知，正四面體恰好有兩個頂點在球面上，且截面圓經(jīng)過其外接球的球心（正四面體的中心） ，由正四面體的對稱性可知 M為 AB對棱 CD的中點， M 到 AB的距離即為正四面體對棱公垂線的長22 a ，所以SABC= 2 2 2 2 2 。例 6： （07 年安徽卷 ） 半徑為 1 的球面上的四點 A、B、C、D是正四面體的頂點，則 A 與 B 兩點間的球面距離為（A arccos(3B arccos(C arccos( ) D3arccos( )4解析：由題意可知，此球 O為正四面體的外接球，且外接球的半徑為1，則113,所以13) 1=正四面體的棱長為 3 ，根據(jù)余弦定理得1+1(2 3