空間直角坐標(biāo)系和空間向量典型例題

1、圖2一、建立空間直角坐標(biāo)系的幾種方法構(gòu)建原則：遵循對(duì)稱性，盡可能多的讓點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上。作法：充分利用圖形中的垂直關(guān)系或構(gòu)造垂直關(guān)系來(lái)建立空間直角坐標(biāo)系.類型舉例如下：(一用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱構(gòu)建直角坐標(biāo)系例1已知直四棱柱ABCD-ABGD中，M = 2,底面用。是直角梯形，Z/I為直角ABH CD、用? =4, AD=2t DC=,求異面直線酬與加所成角的余弦值.解析：如圖1,以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以刃、DC、弘所在直線為x、y、z 間直角坐標(biāo)系，則G ( 0 , 1, 2)、(2, 4, 0 ), BC, = (-2,- 3,2), CD = (O,-1,O).設(shè)死與麗所成的角為8,則

2、COS0=i=Jn=r|叫CD(二利用線面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系例2 如圖2,在三棱柱ABC-ABC中，初丄側(cè)面BBQC, E為棱上異于G G的一平面角的正切值.解析：如圖2,以為原點(diǎn)，分別以駆、胡所在直線為y軸、z軸，過(guò)點(diǎn)垂直于平面力$的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系.在三棱柱 ABCfBG 中，有 (0, 0 , 0)、S(0, 0 , JI)、B(0,2,-a-2 2由削丄胡，得ea*eb = o.1 3即4 =或a =（舍去）.故E2 2由已知有EA丄坊，BA丄EB,故二面角A-EB-A,的平面角8的大小為向量坊與可的夾角.因瓦瓦=麗= (0,0,0), EA =故 cos /3).辭珥

3、|，2,一:.EBIDV.又削丄卩，因此ZAEB是所求二面角的平面角./yr故所求二面角的余弦值為、一.7（四）利用正棱錐的中心與高所在直踐構(gòu)建直角坐標(biāo)系例4已知正四棱錐V-ABCD申,E為力中點(diǎn)，正四棱錐底面邊長(zhǎng)為2a,高為力.（1）求ZZO的余弦值；（2）若BE1VC,求ZDEB的余弦值.解析：（1）如圖4,以$在平面的射影0為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，其中Ox/BC, Oy/AB,則由 AB=2a, OV=ht 有 B (a, a, 0)、C(-a, a, 0 )、D Ca, -a, 0 )卩（0, 0,力）、:、cos(BE,DE)=BE.DERR-6a2 +h2l0a2 + h2h

4、2即5,命（2）因?yàn)槭橇Φ闹悬c(diǎn)，又BEV VC,所以BEVC = O,即一#a, 方）=0,力工上0,.必=竝2 2 2這時(shí) cos(麗，旋)=+/：=_,即 cosZDEB = -./ !Qa + h2 33引入空間向量坐標(biāo)運(yùn)算，使解立體幾何問題避免了傳統(tǒng)方法進(jìn)行繁瑣的空間分析，只需建立空間直角坐標(biāo)系 進(jìn)行向量運(yùn)算，而如何建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，成為用向量解題的關(guān)鍵步驟之一.下面以高考考題為例，剖析建立空 間直角坐標(biāo)系的三條途徑.（五利用圖形中的對(duì)稱關(guān)系建立坐標(biāo)系圖形中雖沒有明顯交于一點(diǎn)的三條直線，但有一定對(duì)稱關(guān)系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身對(duì)稱性可建 立空間直角坐標(biāo)系.例5已知兩個(gè)正四棱

5、錐P川磁與Q-ABCD的高都為2, AB=4.（1）證明：図丄平面ABCD；（2）求異面直線蟲0與朋所成的角;（3）求點(diǎn)P到面的距離.簡(jiǎn)解：（1）略；（2）由題設(shè)知，力磁是正方形，且ACIBD.由（1） , PQ丄平面ABCD,故可分別以直線C4, DE, QP % X, y, Z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖1）,易得AQ = (-20, -2)fPB = (0,2/Z - 2), cos =AQPBRR所求異面直線所成的角是沁吋（3）由（2）知，點(diǎn)（0,-2血0）,刁萬(wàn)=（一2血一2血0）,甩=（0,0,-4）設(shè)zr （x, y, z）是平面厲的一個(gè)法向nAQ = 0,n*AD = 0,/2

6、x+ z = 0,x + y = 0,取x=l,得 =（1, 一1,一 J5）.點(diǎn)P到平面QAD的距離點(diǎn)評(píng)：利用圖形所具備的對(duì)稱性，建立空間直角坐標(biāo)系后，相關(guān)點(diǎn)與向量的坐標(biāo)應(yīng)容易得出.笫（3）問也 可用“等體積法”求距離.二、向量法解立體幾何(一知識(shí)點(diǎn)向量的數(shù)量積和坐標(biāo)運(yùn)算a,b是兩個(gè)非篆向量，它們的夾角為&，則數(shù)|：卜|可cos&叫做：與&的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作：坊, 即a ba b-cosO.其幾何意義是：的長(zhǎng)度與乙在：的方向上的投影的乘積.其坐標(biāo)運(yùn)算是：若a = (xl,yl,zl),b = (x2,y29z2) 則a b = xLx2 + 必兒 + ZLZ2;| a |=+ zj,|

7、b= 疔+ 0,；a b = xLx2 +)y2 + z2cosv a,b =(二)例題講解題型：求角度相關(guān)1. 異面直線加，所成的角氐IQ田若二面角a-l 0是“鈍角型”的如圖3甲所示，那么其大小等于兩法向量.n2的夾角的補(bǔ)角，即cos& = -二一 .Mj I 丨若二面角a-1-p是“銳角型”的如圖3乙所示，那么其大小等于兩法向量石、懇的Unn夾角，即cos&=lwll-l2l方法二：在二面角的棱/上確定兩個(gè)點(diǎn)A、B ,過(guò)A、3分別在平面a、0內(nèi)求出與/垂直的向量也、（如圖4所示），則二面角a-l-p的大小等于向量nA ,n2的夾角，即cos0=上二I I I 2 I題型：求距離相關(guān)1.異

8、面直線加“的距離分別在直線上取定向量5,求與向量N 5都垂直的向量，分別在 加、比上各取一個(gè)定點(diǎn)A、B ,則異面直線加、n的距離d等于而在上的 射影長(zhǎng)，即d輩.證明：設(shè)CD為公垂線段取 CA = a, DB = bCD = CA + AB+BDCD - n = (CA + AB+BD) - n:CDn冃喬刁.d=|麗迴込/ 牛n3設(shè)直線所成的角為8,顯然cos&= I幻|b|2. 平面外一點(diǎn)到平面Q的距離求平面a的法向量”，在面內(nèi)任取一定點(diǎn)A,點(diǎn)p到平面a的距離d等于4P在”上的射影長(zhǎng)，即 d = | 呼 |Ini三、法向量 例題解析題型：求空間角1、運(yùn)用法向量求直線和平面所成角設(shè)平面a的法向

9、量為n=（X, y, 1）,則直線AB和平面a所成的角0的正弦值為71sin 9 = cos（ - 0 ）2、運(yùn)用法向量求二面角設(shè)二面角的兩個(gè)面的法向量為兀，可，則 彳，石或兀- 無(wú)可是所求角。這時(shí)要借助圖形來(lái)判斷所求角為 銳角還是鈍角，來(lái)決定nl9n2 是所求，還是n-nl9n2 是所求角。題型：求空間距離1、求兩條異面直線間的距離設(shè)異面直線a、b的公共法向量為n =（X,y,z） 在a、b上任取一點(diǎn)A、B,則異面直線 a、b 的距離：d =AB cosZBAA =I略證：如圖，EF為a、b的公垂線段,為過(guò)F與a平行的直線,在a、b上任取一點(diǎn)A、B,過(guò)A作AA仏EF,交a于A,則 A4r U

10、n,所以ZBAA = （或其補(bǔ)角）Ml.異面直線a、b的距離d二ABcosZBAA ： “IJ丄anib其中，萬(wàn)的坐標(biāo)可利用a、b上的任一向量2,厶(或圖中的巫，麗)，及并的定義得f*a = Q=仁_77 6 = 0解方程組可得“。2、求點(diǎn)到面的距離求A點(diǎn)到平面a的距離，設(shè)平面a的法向量法為n = (X,y,l),在a內(nèi)任取一點(diǎn)B,則A點(diǎn)到平面a的距離： 萬(wàn)的坐標(biāo)由萬(wàn)與平面a內(nèi)的兩個(gè)不共線向量的垂直關(guān)系，得到方程組(類似于前面所述，若方程組無(wú)解，則法向量與X0Y平面平行，此時(shí)可改設(shè)方=(1,”0),下同)。3、求直線到與直線平行的平面的距離求直線a到平面a的距離，設(shè)平面a的法向量法為： = (x,y,l),在直線a上任取一點(diǎn)A,在平面a內(nèi)任取一點(diǎn)B,則直線a到平面a的距離：I4、