競賽講座應(yīng)用題一

1、競賽講座 ( 應(yīng)用題一)一、 知識要點(diǎn)1、應(yīng)用題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它著重培養(yǎng)學(xué)生理解問題、分析問題和解決問題的 能力，解應(yīng)用題最主要的方法是列方程或方程組。2、列方程 ( 組) 解應(yīng)用題的一般步驟是：(1) 弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，用字母表示題目中的一個未知數(shù)；(2) 找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的一個相等關(guān)系；(3) 根據(jù)這個相等關(guān)系列出方程；(4) 解這個方程，求出未知數(shù)的值；(5) 寫出答案 ( 包括單位名稱 )。3、行程類問題 行程類問題討論速度、時間和路程之間的相互關(guān)系。它們滿足如下基本關(guān)系式： 速度 時間 =路程4、數(shù)字類問題 數(shù)字類問題常用十進(jìn)制來表示數(shù)，然后通過相等關(guān)

2、系列出方程。 解數(shù)字類問題應(yīng)注意數(shù)字間固有的關(guān)系，如：連續(xù)整數(shù)，一般設(shè)中間數(shù)為x ，則相鄰兩數(shù)分別為 x-1 、x+1；連續(xù)奇 ( 偶) 數(shù)，一般設(shè)中間數(shù)為 x，則相鄰兩數(shù)分別為 x-2 、x+2。二、 例題精講例 1 從甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，沒有平路。一輛汽車上坡時每小時行駛20 千米，下坡時每小時行駛 35千米， 。車從甲地開往乙地需 9小時，乙地開往甲地需 7 12 小時，問：甲、乙兩地間的公路有多少千米？從甲地到乙地須行駛多少千米的上坡路？( 第五屆華杯賽復(fù)賽題 )分析 本題用方程來解簡單自然。xy920 35x y 7135 20 2解這個方程組有很多種方法。解 設(shè)從

3、甲地到乙地的上坡路為 x 千米，下坡路為 y 千米，根據(jù)題意得方程組(1)(2)例如代入消元法、 加減消元法等。 由于方程組系數(shù)比較特殊( 第一個方程中 x 的系數(shù) 1 恰好是第二個方程中 y 的系數(shù)， 而 y 的系數(shù) 1 也恰好是第二20 35 個方程中 x 的系數(shù) ) ，也可以采用如下的解法：(1)+(2) 得(x+y)(1 + 1 )=9+ 7 120 35 2所以 x+y=9 7111210(3)20 35得 (x -y)( 1 - 1 )=9-20 35 9 71 121 701120 35210 701402 所以甲、乙兩地間的公路長 210 千米，(1)-(2)所以x-y=由 (

4、3) 、(4) 得 x=712(4)從甲地到乙地須行駛 140 千米的上坡路。6 分鐘開過來例2 公共汽車每隔 x分鐘發(fā)車一次，小宏在大街上行走，發(fā)現(xiàn)從背后每隔輛公共汽車， 而每隔 4 2 分鐘迎面開來一輛公共汽車。 如果公共汽車與小宏行進(jìn)的速度都 7a 米 / 每秒，小宏速 ax 米處， 它用 6 分鐘 ax 米處，它經(jīng)是均勻的，則 x 等于分鐘。 ( 第六屆迎春杯初賽試題 )分析 ：此題包括了行程問題中的相遇與追及兩種情況。若設(shè)汽車速度為度為 b 米/ 每秒，則當(dāng)一輛汽車追上小宏時， 另一輛汽車在小宏后面 追上小宏。另一方面，當(dāng)一輛汽車與小宏相遇時，另一輛汽車在小宏前面過 4 2 分鐘與小

5、宏相遇。由此可列出兩個方程。7解：設(shè)汽車速度為 a米/每秒，小宏速度為 b 米/每秒，根據(jù)題意得ax 6(a b)2ax 4 (a b)7兩式相減得 12a=72b 即 a=6b 代入可得 x=5而追及問題就是以便幫助我們直觀、 形象地理評注 ：行程問題常分為同向運(yùn)動和相向運(yùn)動兩種， 相遇問題就是相向運(yùn)動， 同向運(yùn)動。 解這類問題分析時往往要結(jié)合題意畫出示意圖， 解題意。例3 攝制組從 A市到 B市有一天的路程，計劃上午比下午多走100千米到 C市吃午飯。由于堵車，中午才趕到一個小鎮(zhèn)，只行駛了原計劃的三分之一，過了小鎮(zhèn)，汽車趕了 400 千米，傍晚才停下來休息。司機(jī)說，再走從C市到這里路程的二

6、分之一就到達(dá)目的地了。問 A、 B兩市相距多少千米？ ( 第五屆華杯賽決賽試題 )分析 ：本題條件中只有路程，沒有時間和速度，因而應(yīng)當(dāng)仔細(xì)分析各段路程之間的關(guān)系。 解：如圖，設(shè)小鎮(zhèn)為 D，傍晚汽車在 E 休息 A D C E B由已知， AD是 AC的三分之一，也就是 AD=1 DC 又由已知， EB=1 CE22兩式相加得： AD+ EB=1 DE2因?yàn)?DE=400千米，所以 AD+ EB=1 400=200 千米，2從而 A、 B兩市相距 400+200=600 千米評注 ：行程問題常通過畫行程示意圖來幫助我們思考。例 4 有編號為、的 3條賽艇，其在靜水中的速度依次為每小時v1、v2、

7、v3千米，且滿足 v1 v2 v3 v 0，其中 v 為河流的水流速度。它們在河流上進(jìn)行追逐 賽，規(guī)則如 下：（1） 3 條賽艇在同一起跑線上同時出發(fā)， 逆流而上， 在出發(fā)的同時， 有一浮標(biāo)順流而下； （2） 經(jīng)過 1 小時，、號賽艇同時掉頭，追趕浮標(biāo)，誰先追上誰為冠軍。 在整個比賽期間各艇的速度保持不變，則比賽的冠軍為解：經(jīng)過 1 小時，、號賽艇同時掉頭，掉頭時，各艇與浮標(biāo)的距離為： S i =（v i -v） 1+v 1= v i 1（i=1 、 2、 3）第 i 號賽艇追上浮標(biāo)的時間為： tiSivi 1 1（小時 ）ivi v v vi由此可見，掉頭后各走 1小時，同時追上浮標(biāo)，所以

8、3 條賽艇并列冠軍。評注 ：順流速度 =靜水速度 +水流速度； 逆流速度 =靜水速度 -水流速度。例 5 在一環(huán)行軌道上有三枚彈子同時沿逆時針方向運(yùn)動。已知甲于第 10 秒鐘時追上乙，在 第 30 秒時追上丙，第 60 秒時甲再次追上乙，并且在第 70 秒時再次追上丙，問乙追上丙 用了多少時間？ （第11 屆希望杯競賽培訓(xùn)題 ）解：設(shè)甲的運(yùn)動速度是 V甲甲比乙多運(yùn)動一圈用時甲比丙多運(yùn)動一圈用時乙的運(yùn)動速度是 V乙 ，丙的運(yùn)動速度是 V丙 設(shè)環(huán)形軌道長為 L。 L 50L4050 秒，40 秒，故有 V甲 V乙故有 V甲 V丙LLL40 50V甲V乙 4V乙V丙V甲V丙甲 丙 5V乙V丙甲、乙、

9、丙初始位置時，乙、丙之間的距離甲、可得到 V乙 V丙200（ V甲V丙 ）30（ V甲 V乙） 10；丙之間距離甲、乙之間距離乙、丙之間距離V乙V丙乙追上丙所用時間 V甲 V丙 30 V甲 V乙 1015040110 秒所以第 110 秒時，乙追上丙 V乙 V丙V乙 V丙評注 ：相遇問題的關(guān)系式是：路程和 =速度和 時間； 追及問題的關(guān)系式是： 追及路程 =速度差 時間。例 6 一個三位數(shù)，三個數(shù)位上的數(shù)字和為17，百位上的數(shù)比十位上的數(shù)大 7，個位上的數(shù)是十位上數(shù)的 3 倍，求這個三位數(shù)。解：設(shè)十位上的數(shù)為 x，則個位上的數(shù)為 3 x ，百位上的數(shù)是 x+7 由題意得： 3 x+x+ x+7

10、=17 ， x=2這個三位數(shù)是： 100（x+7）+10 x+3 x=926 答：這個三位數(shù)是 926評注 ：數(shù)字問題常設(shè)出數(shù)位上的數(shù)字，再用十進(jìn)制把數(shù)表示出來。例7 兩個三位整數(shù)，它們的和加 1得1000，如果把大數(shù)放在小數(shù)的左邊，并在這兩數(shù)之間 點(diǎn)上一個小數(shù)點(diǎn)， 則所成的數(shù)正好等于把小數(shù)放在大數(shù)的左邊， 中間點(diǎn)一個小數(shù)點(diǎn)所成的 數(shù)的 6 倍，求這兩個數(shù)。解：設(shè)大數(shù)為 x ，則小數(shù)為 999-x ，由題意得999 xx1000x6(999 x 10x00)解這個方程得： x=857, 999-x=142答：大數(shù)為 857，小數(shù)為 142。AB ，過了 1 小時里程碑上例 8 一輛卡車在公路上

11、勻速行駛，起初看到里程碑上的數(shù)字為的數(shù)字為 BA ，又行駛了 1 小時里程碑上的數(shù)字為 A0B ，求每次看到的數(shù)字和卡車的速 度。分析 ：相等關(guān)系是前一小時走的路程 =后一小時走的路程。解：依題意得： BA - AB =A0B - BA ，即 AB +A0B =2BA ，所以 (10A+B)+(100A+B)=2(10B+A) ，整理得 6A=B因?yàn)?A、B取 1到 9的自然數(shù)，所以只有 A=1，B=6故 3 次看到的數(shù)字分別是 16，61，106，卡車的速度為 45 千米/ 時。 評注：本題得到的是一個不定方程，通過A、B是1到 9的自然數(shù)來求出 A、B。例 9 在黑板上從 1 開始，寫出一組連續(xù)的自然數(shù)，然后擦去了一個數(shù)，其余的平均值為35 7 ，試問擦去的數(shù)是什么數(shù)？17分析：設(shè)出擦去的數(shù)，用平均值為 35 7 來估計出寫出的自然數(shù)，從而求出擦去的數(shù)。17解：設(shè)寫出了 n 個自然數(shù) 1，2， n 中擦去的是 k，則由題意得：7 1 2 n k3517 n 17 1 2 n k35171 2