解排列組合應(yīng)用題的26種策略

1、解排列組合應(yīng)用題的26種策略 排列組合問(wèn)題是高考的必考題，它聯(lián)系實(shí)際生動(dòng)有趣，但題型多樣，思路靈 活，不易掌握.解排列組合問(wèn)題的基礎(chǔ)是兩個(gè)基本原理，分類用加法原理，分步用 乘法原理，問(wèn)題在于怎樣合理地進(jìn)行分類、分步，特別是在分類時(shí)如何做到既不重 復(fù)，又不遺漏，正確分每一步，這是比較困難的。要求我們周密思考，細(xì)心分析， 理解并掌握解題的常用方法和技巧，掌握并能運(yùn)用分類思想、轉(zhuǎn)化思想、整體思 想、正難則反等數(shù)學(xué)思想解決排列組合問(wèn)題。實(shí)踐證明，掌握題型和解題方法, 識(shí)別模式，熟練運(yùn)用，是解決排列組合應(yīng)用題的有效途徑；下面就談一談排列組合 應(yīng)用題的解題策略. 1、相鄰排列一一捆綁法: n個(gè)不同元素排列

2、成一排，其中某 k個(gè)元素排在相鄰位置上，有多少種不同 排法？ 先將這k個(gè)元素“捆綁在一起”，看成一個(gè)整體，當(dāng)作一個(gè)元素同其它元素 一起排列，共有 種排法然后再將“捆綁”在一起的元素進(jìn)行內(nèi)部排列，共有 種方法由乘法原理得符合條件的排列，共 CM 種. 例1. a, 五人并排站成一排，如果 必須相鄰且 A 60種 B、48 種 C、36 種 D、24 種 解析：把 視為一人，且 b 固定在 a 的右邊，貝U本題相當(dāng)于4人的全排列， 4-24 種，答案： D 例2 有3名女生4名男生站成一排，女生必須相鄰，男生必須相鄰，共有 多少種不同的站法？ 解：先把3名女生作為一個(gè)整體，看成一個(gè)元素，4名男生作

3、為一個(gè)整體, 看成一個(gè)元素，兩個(gè)元素排列成一排共有 種排法；女生內(nèi)部的排法有 種，男生內(nèi)部的排法有 種故合題意的排法有 4-4*4 = 288 種. 2. 相離排列一一插空法： 元素相離（即不相鄰）問(wèn)題，可先把無(wú)位置要求的幾個(gè)元素全排列，再把規(guī) 定的相離的幾個(gè)元素插入上述幾個(gè)元素的空位和兩端 將n個(gè)不同元素排成一排，其中k個(gè)元素互不相鄰 ,有多少種排法? 先把 d 個(gè)元素排成一排，然后把k個(gè)元素插入 （H-R + 1） 個(gè)空隙中，共有排法 種. 例3 五位科學(xué)家和五名中學(xué)生站成一排照像，中學(xué)生不相鄰的站法有多少 種？ 解：先把科學(xué)家作排列，共有 種排法；然后把5名中學(xué)生插入6個(gè)空中，共有 種排

4、法， 故符合條件的站法共有 種站法. 例4.七位同學(xué)并排站成一行，如果甲乙兩個(gè)必須不相鄰，那么不同的排法種 數(shù)是（） A 1440 種B、3600 種C、4820 種 D、4800 種 解析：除甲乙外，其余5個(gè)排列數(shù)為 種，再用甲乙去插6個(gè)空位有 4 種，不同的排法種數(shù)是 做=3600 種，選 5 3、定序冋題-倍縮法: 在排列問(wèn)題中限制某幾個(gè)元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù)的方法此 法也被叫消序法 將n個(gè)不同元素排列成一排，其中某 k個(gè)元素的順序保持一定，有多少種不 同排法？ n個(gè)不同元素排列成一排，共有 4 種排法；k個(gè)不同元素排列成一排共有 種不同排法于 是，k個(gè)不同元素順序一定的排

5、法只占排列總數(shù)的 4 分之一故符合條件的排列共 4 種. 例5. 爲(wèi)也d疋 五人并排站成一排，如果 b 必須站在 a 的右邊（ 可以不相鄰）那么不同的排法種數(shù)是（） A、24 種B、60 種C、90 種 D、120 種 解析: (I 的右邊與 在 的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是 5個(gè)元素全排列數(shù)的一半，即 種，選 例6. A，B，C, D, E五個(gè)元素排成一列，要求 A在B的前面且D在E的 前面，有多少種不同的排法？ 解：5個(gè)不同元素排列一列，共有 種排法.A，B兩個(gè)元素的排列數(shù)為 ;D, E兩個(gè)元素的排列數(shù)為 因此，符合條件的排列法為 種. 4、標(biāo)號(hào)排位問(wèn)題-分步法： 把元素排到指定位

6、置上，可先把某個(gè)元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個(gè)元 素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成 例7.將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè) 數(shù)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法有（） A、6種 C、11 種 D、23 種 解析：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的 對(duì)應(yīng)數(shù)字填入其它三個(gè)方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個(gè)數(shù)字，只有一種 填法，共有3X 3X1=9種填法，選 3 5、留空排列一一借元法 例能被4除余1的數(shù)集 97 ，能被4除余2的數(shù)集 C = 2A- 98 ，能被4除余3的數(shù)集 0 = (3,7,11,-99 ，易見(jiàn)這四個(gè)集合

7、中每一個(gè)有25個(gè)元素；從 A 中任取兩個(gè)數(shù)符合要；從 從 c 此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有 中各取一個(gè)數(shù)也符合要求； 中任取兩個(gè)數(shù)也符合要求； 種. 12、交叉問(wèn)題-集合法： 某些排列組合問(wèn)題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個(gè)數(shù)公式 n(AjB) = n(A)+疏旬 一 n(A c B) 例15.從6名運(yùn)動(dòng)員中選出4人參加4X 100米接力賽，如果甲不跑第一棒, 乙不跑第四棒，共有多少種不同的參賽方案？ 解析：設(shè)全集=6人中任取4人參賽的排列, A= 甲跑第一棒的排列, B= 乙跑第四棒的排列，根據(jù)求集合元素個(gè)數(shù)的公式得參賽方法共有： (7)-忒鼻)-n(B)+n(AnB

8、) 二 d*252 種. 13、定位問(wèn)題-優(yōu)先法： 有限制條件，某個(gè)或幾個(gè)元素要排在指定位置，通常要優(yōu)先考慮這個(gè)或幾個(gè) 元素受限位置或受限元素，再排其它的元素。若反面情況較為簡(jiǎn)單時(shí)，則用排除法 求解. 例16. 乒乓球隊(duì)的10名隊(duì)員中有3名主力隊(duì)員，現(xiàn)要派5名參加比賽，3 名主力隊(duì)員要安排在第一、三、五位置，其余 7名隊(duì)員選2名安排在第二、四位 置，那么不同的出場(chǎng)安排共有 中(用數(shù)字作答). 解：由題意，先安排3名主力隊(duì)員在第一、三、五位置，有 4 種；再安排其余7名隊(duì)員選2名在第二、四位置有 種；由乘法原理，得不同的出場(chǎng)安排共有 厝屈 252 種. 例17.1名老師和4名獲獎(jiǎng)同學(xué)排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同 的排法有多少種？ 解析：老師在中間三個(gè)位置上選 種，4名同學(xué)在其余4個(gè)位置