試驗(yàn)一采樣率對(duì)信頻譜的影響

1、實(shí)驗(yàn)一 采樣率對(duì)信號(hào)頻譜的影響1實(shí)驗(yàn)?zāi)康?) 理解采樣定理；2) 掌握采樣頻率確定方法；3) 理解頻譜的概念；4) 理解三種頻率之間的關(guān)系。2實(shí)驗(yàn)原理(7-13)(7-14)理想采樣過(guò)程是連續(xù)信號(hào) xa(t)與沖激函數(shù)串 M(t) 的乘積的過(guò)程M (t) (t kTs)kx?a(t) xa(t)M (t)式中 Ts 為采樣間隔。 因此，理想采樣過(guò)程可以看作是脈沖調(diào)制過(guò)程， 調(diào)制信號(hào)是連續(xù)信號(hào) xa(t)，載波 信號(hào)是沖激函數(shù)串 M(t)。顯然x?a (t)xa(t) (t kTs)xa(kTs) (t kTs)(7-15)kk所以， x?a (t)實(shí)際上是 xa(t)在離散時(shí)間 kTs上的取值

2、的集合，即 x?a(kTs) 。對(duì)信號(hào)采樣我們最關(guān)心的問(wèn)題是， 信號(hào)經(jīng)過(guò)采樣后是否會(huì)丟失信息， 或者說(shuō)能否不失真地恢復(fù)原 來(lái)的模擬信號(hào)。 下面從頻域出發(fā)， 根據(jù)理想采樣信號(hào)的頻譜 X?a( j )和原來(lái)模擬信號(hào)的頻譜 X(j )之 間的關(guān)系，來(lái)討論采樣不失真的條件X?a(j ) 1 X( j kj s) (7-16)Ts k上式表明， 一個(gè)連續(xù)信號(hào)經(jīng)過(guò)理想采樣后， 其頻譜將以采樣頻率 s 2Ts為間隔周期延拓， 其頻譜 的幅度與原模擬信號(hào)頻譜的幅度相差一個(gè)常數(shù)因子1 Ts。只要各延拓分量與原頻譜分量之間不發(fā)生頻率上的交疊，則可以完全恢復(fù)原來(lái)的模擬信號(hào)。根據(jù)式(7-16) 可知，要保證各延拓分量

3、與原頻譜分量之間不發(fā)生頻率上的交疊，則必須滿(mǎn)足s 2。這就是奈奎斯特采樣定理：要想連續(xù)信號(hào)采樣后能夠不失真地還原原信號(hào)，采樣頻率必須大于或等于被采樣信號(hào)最高頻率的兩倍Ths 2 h ，或者 f s 2 fh ，或者 Ts 2h(7-17)即對(duì)于最高頻率的信號(hào)一個(gè)周期內(nèi)至少要采樣兩點(diǎn)，式中h、fs、Th 分別為被采樣模擬信號(hào)的最高角頻率、頻率和最小周期。在對(duì)正弦信號(hào)采樣時(shí)， 采樣頻率要大于這一最低的采樣頻率， 或小于這一最大的采樣間隔才能不失真地恢復(fù)信號(hào)。對(duì)正弦信號(hào)采樣時(shí)，一般要求在一個(gè)周期至少采樣 3 個(gè)點(diǎn)，即采樣頻率 fs 3fh 。3實(shí)驗(yàn)內(nèi)容(1) 采樣率的確定 在本實(shí)驗(yàn)中要用到正弦信號(hào)、

4、余弦信號(hào)和矩形波： 正弦信號(hào)： sin(20 t)；余弦信號(hào)： cos(20t)；矩形波：頻率為 50Hz 、占空比為 1 的矩形波(2) 計(jì)算采樣后所得序列的頻譜 正弦信號(hào)在采樣率為 15Hz、 20Hz和 50Hz 時(shí)采樣所得序列的頻譜； 余弦信號(hào)在采樣率為 15Hz、 20Hz和 50Hz 時(shí)采樣所得序列的頻譜； 矩形波在采樣率為 100Hz、 400Hz 和 800Hz 時(shí)采樣所得序列的頻譜；(3) 分析不同信號(hào)在不同采樣率下頻譜的特點(diǎn)4實(shí)驗(yàn)步驟(1) 復(fù)習(xí)并理解時(shí)域采樣定理；(2) 編寫(xiě) Matlab 程序計(jì)算不同采樣率下信號(hào)的頻譜；(3) 調(diào)試程序，排除程序中的錯(cuò)誤；(4) 分析程

5、序運(yùn)行結(jié)果，檢驗(yàn)是否與理論一致。5實(shí)驗(yàn)報(bào)告要求(1) 闡明實(shí)驗(yàn)的目的、原理和內(nèi)容；(2) 打印主要程序并粘貼在實(shí)驗(yàn)報(bào)告中；(3) 打印實(shí)驗(yàn)結(jié)果并粘貼在實(shí)驗(yàn)報(bào)告中；(4) 針對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果加以分析和總結(jié)。6思考題(1) 對(duì)相同頻率的正弦和余弦信號(hào)，均采用信號(hào)頻率2 倍的采樣率采樣時(shí)所得序列的頻譜有何不同？為什么？(2) 50Hz 的矩形波的采樣率為何不能為 100Hz？(3) 對(duì)矩形波，要完全不失真采樣率應(yīng)為多少？一般采樣率為信號(hào)頻率的多少倍時(shí)就可近似認(rèn) 為沒(méi)有失真？例 3-5-1 試求信號(hào) x(t) sin(100 t)用采樣率為 80Hz 、100Hz、 101Hz、150Hz 時(shí)采樣所得序列的

6、頻譜， 要求頻率分辨率為。解： 頻率分辨率為，則頻域采樣點(diǎn)數(shù)分別為160、 200、 202 和 300。程序如下：deltf=;% 頻率分辨率Fs1=80;Fs2=100;Fs3=101;Fs4=150;%采樣率 N1=Fs1/deltf;N2=Fs2/deltf;N3=Fs3/deltf;N4=Fs4/deltf;% 采樣點(diǎn)數(shù) n1=0:N1-1;n2=0:N2-1;n3=0:N3-1;n4=0:N4-1;% 采樣點(diǎn) x1=sin(100*pi*n1/Fs1);x2=sin(100*pi*n2/Fs2);% 采樣 x3=sin(100*pi*n3/Fs3);x4=sin(100*pi*n4

7、/Fs4);% 采樣 y1=fft(x1);y2=fft(x2);y3=fft(x3);y4=fft(x4);% 快速傅里葉變換 y1=y1.*conj(y1)/N12;y2=y2.*conj(y2)/N22;% 計(jì)算功率 y3=y3.*conj(y3)/N32;y4=y4.*conj(y4)/N42;% 計(jì)算功率 subplot(2,2,1);plot(0:49)/Fs1,x1(1:50);xlabel(時(shí)間/s);ylabel(幅度 );axis(0 -1 );text, 采樣率為 80Hz 的時(shí)域波形 ); subplot(2,2,2);plot(n1*Fs1/N1,y1);xlabel

8、(頻率/Hz);ylabel(幅度(功率 );text(10,采樣率為 80Hz的頻譜 ); %下面顯示波形的程序省略程序運(yùn)行結(jié)果如圖 3-15 所示，信號(hào)實(shí)際頻率為 50Hz ，現(xiàn)分析如下： 在采樣率為 80Hz 時(shí)，頻譜中有兩個(gè)沖激， 分別對(duì)應(yīng) 30Hz 和 50Hz ，50Hz 的沖激與理論一致， 30Hz 的沖激為采樣率 (80Hz)與信號(hào)實(shí)際頻率 (50Hz) 之差，即 30Hz 沖激其實(shí)是下一周期負(fù)頻率對(duì)應(yīng)的 沖激，表明頻譜前后周期之間出現(xiàn)了重疊，即混疊； 采樣率為 100Hz 時(shí)，時(shí)域波形和頻譜幅度均極小，近似為0，時(shí)域波形雜亂無(wú)章，頻譜也無(wú)規(guī)律可言， 原因在于， 采樣率剛好為頻

9、率的 2倍，所以采樣點(diǎn)剛好落在了幅值為 0 處，故幾乎無(wú)信號(hào)； 采樣率為 101Hz 時(shí)，時(shí)域波形幅度由 0 逐漸遞增直至達(dá)到 1，頻譜中有兩個(gè)沖激，一個(gè)對(duì)應(yīng) 50Hz ，一個(gè)對(duì)應(yīng) 51Hz( 兩個(gè)沖激距離很近 )，從時(shí)域來(lái)看出現(xiàn)了失真，從頻域來(lái)看，基本沒(méi)有混疊； 采樣率為 150Hz 時(shí)，時(shí)域波形與理論波形變化規(guī)律一致，但幅度沒(méi)達(dá)到最大理論值1 ，頻譜中有兩個(gè)沖激，一個(gè)對(duì)應(yīng) 50Hz ，一個(gè)對(duì)應(yīng) 100Hz，兩者關(guān)于中心點(diǎn) N/2 對(duì)稱(chēng)，根據(jù)前面的分析可知， 100Hz 的沖激其實(shí)對(duì)應(yīng)于下一周期的負(fù)頻率的沖激， 由于數(shù)字頻率一般取 (對(duì)應(yīng)于 N/2N/2)， 故 100Hz 的沖激沒(méi)有影響。

10、因此，對(duì)于正弦信號(hào)，采樣率低于2fh 時(shí)將出現(xiàn)頻譜混疊。圖 3-15 x(t) sin(100t)不同采樣率的時(shí)域波形和頻譜例 3-5-2 試求頻率為 50Hz 的矩形波用采樣率為 400Hz、500Hz、 600Hz、 1000Hz 時(shí)采樣所得序列的 頻譜，要求頻率分辨率為。解： 矩形波是由基頻的奇次諧波構(gòu)成，最高頻率為，因此無(wú)論如何都將產(chǎn)生頻譜的混疊。但是隨著 頻率的升高，其幅度衰減很快，因此，只要采樣頻率達(dá)到一定程度，就認(rèn)為沒(méi)有失真。在實(shí)際處理一 些波形時(shí)也常采用這一近似。deltf=;% 頻率分辨率Fs1=400;Fs2=500;Fs3=600;Fs4=1000;% 采樣率 N1=Fs

11、1/deltf;N2=Fs2/deltf;N3=Fs3/deltf;N4=Fs4/deltf;% 采樣點(diǎn)數(shù) n1=0:N1-1;n2=0:N2-1;n3=0:N3-1;n4=0:N4-1;% 采樣點(diǎn) x1=square(100*pi*n1/Fs1);x2=square(100*pi*n2/Fs2);% 采樣 x3=square(100*pi*n3/Fs3);x4=square(100*pi*n4/Fs4);% 采樣 y1=fft(x1);y2=fft(x2);y3=fft(x3);y4=fft(x4);% 快速傅里葉變換 y1=abs(y1);y2=abs(y2);% 計(jì)算絕對(duì)值y3=abs(

12、y3);y4=abs(y4);% 計(jì)算絕對(duì)值 figure(1)subplot(2,2,1);stem(0:399)/Fs1,x1(1:400);xlabel( 時(shí)間 /s);ylabel( 幅度 );axis(0 );text(0, 采樣率為 400Hz 的時(shí)域波形 ); subplot(2,2,2);plot(n1*Fs1/N1,y1);xlabel(頻率/Hz);ylabel( 幅度(絕對(duì)值);text(8,550,采樣率為 400Hz 的頻譜); subplot(2,2,3);stem(0:499)/Fs2,x2(1:500);xlabel( 時(shí)間 /s);ylabel( 幅度 );a

13、xis(0 );text(0, 采樣率為 500Hz 的時(shí)域波形 ); subplot(2,2,4);plot(n2*Fs2/N2,y2);xlabel(頻率/Hz);ylabel( 幅度(絕對(duì)值);text(8,750,采樣率為 500Hz 的頻譜); figure(2)subplot(2,2,1);stem(0:599)/Fs3,x3(1:600);xlabel( 時(shí)間 /s);ylabel( 幅度 ); axis(0 );text(0, 采樣率為 600Hz 的時(shí)域波形 ); subplot(2,2,2);plot(n3*Fs3/N3,y3);xlabel( 頻率 /Hz);ylabel

14、( 幅度 (絕對(duì)值 );text(8,750, 采樣率為 600Hz 的頻譜 ); subplot(2,2,3);stem(0:999)/Fs4,x4(1:1000);xlabel( 時(shí)間 /s);ylabel( 幅度 ); axis(0 );text, 采樣率為 1000Hz 的時(shí)域波形 ); subplot(2,2,4);plot(n4*Fs4/N4,y4); xlabel( 頻率 /Hz);ylabel( 幅度 (絕對(duì)值 );text(10,1300, 采樣率為 1000Hz 的頻譜 );現(xiàn)分析如下： 在采樣頻率為 400Hz 時(shí)，頻譜圖中出現(xiàn)了比較明顯的 4 個(gè)沖激，頻率分別對(duì)應(yīng)于 5

15、0Hz、150Hz 、 250Hz 和 350Hz。 50Hz 為基頻， 150Hz 為 3 次諧波， 250Hz 和 350Hz 對(duì)應(yīng)于下一周期的 3 次諧波和 基頻的負(fù)頻率。 顯然沒(méi)有 5 次諧波及以上的沖激， 因?yàn)?5 次諧波頻率為 250Hz，采樣率 400Hz 小于其 2 倍，出現(xiàn)了混疊失真； 在采樣率為 500Hz 時(shí)，頻譜與采樣率為 400Hz 時(shí)類(lèi)似， 3 次諧波的沖激更加明顯，采樣率剛 好為 5 次諧波的 2 倍，但還是沒(méi)有 5 次諧波的沖激； 在采樣率為 600Hz 時(shí)，與采樣率為 500Hz 時(shí)類(lèi)似，但是在 250Hz 處出現(xiàn)了沖激 ( 相對(duì)幅度較 小 )，對(duì)應(yīng)于 5 次

16、諧波； 在采樣率為 1000Hz 時(shí)，基頻、 3 次諧波、 5 次諧波和 7 次諧波 (350Hz) 的沖激均很明顯， 9 次 諧波 (450Hz)并不明顯，說(shuō)明矩形波在 7 次諧波以上的諧波可以忽略不計(jì)了。圖 3-16 矩形波在不同采樣率的時(shí)域波形和頻譜在實(shí)際中有一些典型的采樣率，數(shù)字電話(huà)中的采樣率為8KHz ，高保真語(yǔ)音采樣率為，一般在對(duì)語(yǔ)音進(jìn)行處理時(shí)，的采樣率和的采樣率也經(jīng)常用到。Fs3=50; %采樣率N3=Fs3/deltf; % 采樣點(diǎn)數(shù) n3=0:N3-1; %采樣點(diǎn)y3=fft(x3); %快速傅里葉變換deltf=;% 頻率分辨率Fs1=15; Fs2=20;N1=Fs1/d

17、eltf; N2=Fs2/deltf;n1=0:N1-1; n2=0:N2-1;x1=sin(20*pi*n1/Fs1);x2=sin(20*pi*n2/Fs2); %采樣 x3=sin(20*pi*n3/Fs3); % 采樣 y1= fft (x1);y2=fft(x2);y1=y1.*conj(y1)/N12;y2=y2.*conj(y2)/N22;y3=y3.*conj(y3)/N32; % 計(jì)算功率subplot(2,2,1);plot(0:49)/Fs1,x1(1:50);xlabel( 時(shí)間 /s); ylabel( 幅度 );axis(0 -1 ); text,采樣率為 15Hz 的時(shí)域波形 );subplot (2,2,2