誤差理論教材-緒論-附答案講解

1、緒論大學(xué)的物理實(shí)驗(yàn)課是高等院校理科的一門必修基礎(chǔ)課程，是對學(xué)生進(jìn)行科學(xué)實(shí)驗(yàn)基本訓(xùn)練，提高學(xué)生 分析問題和解決問題能力的重要課程。它與物理理論課具有同等重要的地位。這里主要介紹測量誤差理論、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理、實(shí)驗(yàn)結(jié)果表述等初步知識，這是進(jìn)入大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)前必 備的基礎(chǔ)。物理實(shí)驗(yàn)可分三個(gè)環(huán)節(jié)：1）課前預(yù)習(xí)，寫預(yù)習(xí)報(bào)告。2）課堂實(shí)驗(yàn)，要求親自動手，認(rèn)真操作，詳細(xì)記錄。3）課后進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，完成實(shí)驗(yàn)報(bào)告。 其中： 預(yù)習(xí)報(bào)告 的要求 ：1）實(shí)驗(yàn)題目、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、?shí)驗(yàn)原理（可作為正式報(bào)告的前半部分 ）。2）畫好原始數(shù)據(jù)表格， 單獨(dú) 用一張紙。實(shí)驗(yàn)報(bào)告內(nèi)容 ：（要用統(tǒng)一的實(shí)驗(yàn)報(bào)告紙做）1） 實(shí)驗(yàn)題目；2） 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/p>

2、；3）實(shí)驗(yàn)原理：主要公式和主要光路圖、電路圖或示意圖， 簡單扼要 的文字?jǐn)⑹觯?）主要實(shí)驗(yàn)儀器名稱、規(guī)格、編號5）實(shí)驗(yàn)步驟：寫主要的，要求簡明扼要；6）數(shù)據(jù)處理、作圖（要用坐標(biāo)紙） 、誤差分析。要保留計(jì)算過程，以便檢查；7）結(jié)論：要寫清楚，不要淹沒在處理數(shù)據(jù)的過程中；8）思考題、討論、分析或心得體會；9）附：原始數(shù)據(jù)記錄。測量誤差及數(shù)據(jù)處理誤差分析和數(shù)據(jù)處理是物理實(shí)驗(yàn)課的基礎(chǔ)，是一切實(shí)驗(yàn)結(jié)果中不可缺少的內(nèi)容。實(shí)驗(yàn)中的誤差分析， 其目的是對實(shí)驗(yàn)結(jié)果做出評定，最大限度的減小實(shí)驗(yàn)誤差，或指出減小實(shí)驗(yàn)誤差的方向，提高測量結(jié)果的 可信賴程度。對低年級大學(xué)生，重點(diǎn)放在幾個(gè)重要概念及最簡單情況下的誤差處理方

3、法。一、測量與誤差1、測量 ：把待測量與作為標(biāo)準(zhǔn)的量（儀器）進(jìn)行比較，確定出待測量是標(biāo)準(zhǔn)量的多少倍的過程稱為測量。測量得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)應(yīng)包含測量值的大小和單位。2、測量的分類測量可以分為兩類。按照測量結(jié)果獲得的方法來分，可分為 直接測量 和間接測量 兩類；而從測量條件 是否相同來分，又可分為等 精度測量 和 非等精度測量 。直接測量 就是把待測量與標(biāo)準(zhǔn)量直接比較得出結(jié)果。 如用米尺測量物體的長度， 用電流表測量電流等。 間接測量是 借助函數(shù)關(guān)系由直接測量的結(jié)果計(jì)算出的物理量。例如已知了路程和時(shí)間，根據(jù)速度、時(shí) 間和路程之間的關(guān)系求出的速度就是間接測量。一個(gè)物理量能否直接測量不是絕對的。隨著科學(xué)技

4、術(shù)的發(fā)展，測量儀器的改進(jìn)，很多原來只能間接測 量的量，現(xiàn)在可以直接測量了。等精度測量 是指在相同條件下進(jìn)行的多次測量，即：同一個(gè)人，用同一臺儀器，每次測量時(shí)周圍環(huán)境 條件相同，所取參數(shù)相同。等精度測量每次測量的可靠程度相同。注意：重復(fù)測量 必須是重復(fù)進(jìn)行測量的整個(gè)操作過程，而不是僅僅重復(fù)讀數(shù)。物理實(shí)驗(yàn)中大多采用等 精度測量。反之，若每次測量時(shí)的條件不同，如測量儀器改變，或測量方法條件改變，或不同的人。這樣所進(jìn)行 的一系列測量叫做 非等精度測量 。3、描述儀器性能的基本概念 描述儀器性能的基本概念有儀器精密度、準(zhǔn)確度和量程等。儀器精密度 ：是指儀器能分辨的物理量的最小值，一般是儀器的最小分度值。

5、儀器最小的分度越小， 儀器精密度就越高，所測量物理量的精密度也越高。對測量讀數(shù)最小一位的取值，一般在儀器最小分度范 圍內(nèi)再估讀一位數(shù)字。如米尺的最小分度為毫米，其精密度就是1 毫米，應(yīng)估讀到毫米的十分位。儀器準(zhǔn)確度 ：是指儀器測量讀數(shù)的可靠程度。一般標(biāo)在儀器上或?qū)懺趦x器說明書上。如電學(xué)儀表所標(biāo) 示的級別就是該儀器的準(zhǔn)確度。對不同的儀器準(zhǔn)確度是不一樣的，如對測量長度的常用儀器：米尺、游標(biāo) 卡尺和螺旋測微器，它們的儀器準(zhǔn)確度依次提高。量程 ：是指儀器所能測量的物理量最大值和最小值之差，即儀器的測量范圍（有時(shí)也將所能測量的最 大值稱量程） 。測量過程中，超過儀器量程使用儀器是不允許的，輕則儀器準(zhǔn)確度

6、降低，使用壽命縮短， 重則損壞儀器。4、誤差與偏差 在一定條件下，任何物理量的大小都有一個(gè)客觀存在的真實(shí)值，稱為真值 。測量的目的就是為了得到被測物理量所具有的客觀真實(shí)數(shù)據(jù)，但由于受測量方法、測量儀器、測量條 件以及觀測者水平等多種因素的限制，只能獲得該物理量的近似值，即測量值x與真值 a 之間總是存在著這種差值，這種差值稱為 測量誤差 ，即xa顯然誤差 有正負(fù)之分，常稱為 絕對誤差 。注意，絕對誤差不是誤差的絕對值！ 設(shè)某個(gè)物理量真值為 a ，進(jìn)行 n 次等精度測量，測量值分別為 x1，x2， xn，（不考慮系統(tǒng)誤差） 。 可證明其算術(shù)平均值為 最佳估計(jì)值 ：nxix i 1（ 1）n當(dāng)測量

7、次數(shù) n時(shí)， x a ，即 x 為測量值的 近似真實(shí)值 。為了估計(jì)誤差，定義測量值與近似真實(shí)值的差值為 偏差。 即 xi xi x 。實(shí)驗(yàn)中真值是得不到，因 此誤差也無法知道，而測量的偏差可以準(zhǔn)確知道，實(shí)驗(yàn)誤差分析中常用偏差來描述測量結(jié)果的精確程度。5、系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差 根據(jù)誤差的性質(zhì)和產(chǎn)生的原因，可分為系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差。1）系統(tǒng)誤差 是指在一定條件下多次測量的結(jié)果總是向一個(gè)方向偏離，其數(shù)值一定或按一定規(guī)律變化。系統(tǒng)誤差的特征是具有一定的規(guī)律性。系統(tǒng)誤差的來源有以下幾個(gè)方面：（1）儀器誤差。由于儀器本身的缺陷或沒有按規(guī)定條件使用儀器而造成的誤差；例如，用秒表測量 運(yùn)動物體通過某一段路程所需

8、要的時(shí)間，若秒表走時(shí)偏快，即使測量多次，測量的時(shí)間t 總是偏大為一個(gè)固定的數(shù)值，這是儀器不準(zhǔn)確造成的誤差。（2）理論誤差。由于測量所依據(jù)的理論公式本身的近似性，或?qū)嶒?yàn)條件不能達(dá)到理論公式所規(guī)定的 要求，或測量方法等所帶來的誤差；（3）觀測誤差。由于觀測者本人生理或心理特點(diǎn)造成的誤差。通常與觀測者反應(yīng)和觀察習(xí)慣有關(guān)， 它因人而異，并與觀測者當(dāng)時(shí)的精神狀態(tài)有關(guān)。例如，按秒表時(shí)習(xí)慣提前或滯后。在任何一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)工作和具體測量中，必須要想盡一切辦法，最大限度的消除或減小一切可能存在的系 統(tǒng)誤差，或者對測量結(jié)果進(jìn)行修正。以下介紹幾種常用的方法。（1）檢定修正法：指將儀器、量具送計(jì)量部門檢驗(yàn)取得修正值，以便對

9、某一物理量測量后進(jìn)行修正。（2）替代法：指測量裝置測定待測量后，在測量條件不變的情況下，用一個(gè)已知標(biāo)準(zhǔn)量替換被測量 來減小系統(tǒng)誤差。（3）異號法：指對實(shí)驗(yàn)時(shí)在兩次測量中出現(xiàn)符號相反的誤差，采取平均值后消除的一種方法。例如在外界磁場作用下，儀表讀數(shù)會產(chǎn)生一個(gè)附加誤差，若將儀表轉(zhuǎn)動180再進(jìn)行一次測量，外磁場將對讀數(shù)產(chǎn)生相反的影響， 引起負(fù)的附加誤差。 兩次測量結(jié)果平均， 正負(fù)誤差可以抵消， 從中可以減小系統(tǒng)誤差。2） 隨機(jī)誤差 是指在實(shí)際測量條件下，多次測量同一量時(shí)，誤差時(shí)大時(shí)小、時(shí)正時(shí)負(fù)，以不可預(yù)定方式變化著的誤差叫做隨機(jī)誤差，也叫 偶然誤差 。當(dāng)測量次數(shù)很多時(shí)，隨機(jī)誤差就顯示出明顯的規(guī)律性。

10、實(shí)踐和理論都已證明，隨機(jī)誤差服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律（正態(tài)分布，如圖 絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率比絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率大（單峰性） 絕對值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同（對稱性） ； 絕對值很大的誤差出現(xiàn)的概率趨于零（有界性） ； 誤差的算術(shù)平均值隨著測量次數(shù)的增加而趨于零（抵償性） 。 因此，增加測量次數(shù)可以減小隨機(jī)誤差，但不能完全消除。 引起隨機(jī)誤差的原因很多， 它與儀器精密度和觀察者感官靈敏度 有關(guān)。 如儀器顯示數(shù)值的估計(jì)讀數(shù)位偏大和偏小； 測量環(huán)境擾動變化 以及其它不能預(yù)測不能控制的因素，如空間電磁場的干擾等。由于測量者過失、實(shí)驗(yàn)方法不合理、用錯(cuò)儀器、操作不當(dāng)、讀錯(cuò) 數(shù)值或記錯(cuò)數(shù)據(jù)等引起的誤

11、差， 是一種人為的過失誤差， 不屬于測量 誤差。過失誤差是可以避免的。1），其特點(diǎn)是：6、隨機(jī)誤差的估算 設(shè)在等精度測量中，一組 n 次測量的值分別為： x1， x2， 證明，測量列中某次測量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為xn，這組測量值稱為測量列。誤差理論2）其意義表示 某次 測量值的隨機(jī)誤差在 x x 之間的概率為 68.3。（2）式稱為 貝塞爾公式 。7、算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差當(dāng)測量次數(shù) n 有限，其算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為 n2 x i xi1n n 13）其意義 是測量 平均值的隨 機(jī)誤 差在 x x之間的概 率為 68.3% 。或者 說，待測 量的 真值在x x x x 范圍內(nèi)的概率為 68.3。這個(gè)

12、概率叫置信概率，也叫置信度，用p表示，即 p0.683 。x是反映了平均值接近真值的程度。但不要誤認(rèn)為真值一定就會落在xx x 之間。類似地，待測量的真值在x 2 x x 2 x 范圍內(nèi)的概率為95.4，此時(shí)的置信度 p0.954 。8、 t 分布由于在實(shí)際工作中，測量次數(shù) n 不可能趨于無窮。當(dāng)測量 次數(shù)較少時(shí)，隨機(jī)誤差服從的規(guī)律不是正態(tài)分布，而是 t 分布。 t 分布的曲線比正態(tài)分布的要平坦，兩者的分布函數(shù)不同， n 較 小時(shí) , t 分布偏離正態(tài)分布較多， n 較大時(shí) , 趨于正態(tài)分布。如 圖 2 所示。0圖2對 t 分布，只在公式 （3） 的基礎(chǔ)上乘以一個(gè) t 因子，即n2xi x4）

13、i1n n 1i1xi xn1 t Sx5）t 值是與測量次數(shù)等有關(guān)的，如下表是當(dāng)p=0.95 的 t 值：n3456789101520 100t4.303.182.782.572.452.362.312.262.142.091.97t/ n2.481.591.2041.05.9260.8340.7700.7150.5530.467 0.139由上表可知，當(dāng) 5n10時(shí)，t/ n接近 1，由（5）式可知 ASx。對教學(xué)實(shí)驗(yàn)，測量次數(shù)一般取5 10 次，所以可用（ 2）式作為估算偏差的公式。9、異常數(shù)據(jù)的剔除剔除測量列中異常數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)有幾種，有 3 x 準(zhǔn)則、肖維準(zhǔn)則、格拉布斯準(zhǔn)則等。下面是3

14、x 準(zhǔn)則：統(tǒng)計(jì)理論表明， 測量值的偏差超過 3 x的概率已小于 1。因此，可以認(rèn)為偏差超過 3 x 的測量值是 其他因素或過失造成的，為異常數(shù)據(jù)，應(yīng)當(dāng)剔除。剔除的方法是將多次測量所得的一系列數(shù)據(jù)，算出各測 量值的偏差 xi 和標(biāo)準(zhǔn)偏差 x ，把其中最大的 xj 與 3 x比較，若 xj 3 x ，則認(rèn)為第 j 個(gè)測量值是 異常數(shù)據(jù)，舍去不計(jì)。剔除 xj 后，對余下的各測量值 重新計(jì)算偏差和標(biāo)準(zhǔn)偏差，并繼續(xù)審查，直到各個(gè)偏 差均小于 3 x 為止。測量結(jié)果的評定和不確定度一、不確定度的含義在物理實(shí)驗(yàn)中，因真值得不到，測量誤差也就不能肯定。為此，1992 年國際計(jì)量大會以及四個(gè)國際組織制定了測量不

15、確定度表達(dá)指南 。1993 年此指南經(jīng)國際理化等組織批準(zhǔn)實(shí)施。對一個(gè)物理實(shí)驗(yàn)的具體數(shù)據(jù)來說，不確定度是指測量值（近真值）附近的一個(gè)范圍，測量值與真值之 差（誤差）可能落于其中。它是對誤差的一種量化估計(jì)，是對測量結(jié)果可信賴程度的具體評定。不確定度 小，測量結(jié)果可信賴程度高；不確定度大，測量結(jié)果可信賴程度低。所以用不確定度的概念對測量數(shù)據(jù)做 出評定比用誤差來描述更合理。二、測量結(jié)果的表示和不確定度1、測量結(jié)果的不確定度在做物理實(shí)驗(yàn)時(shí)，要求表示出測量的最終結(jié)果。即x x （單位）（ 6 ）式中 x 為待測量； x 是測量的近似真實(shí)值 , 是總的不確定度，三者的數(shù)量級、單位要相同。簡單起見，不確定度一

16、般保留一位有效數(shù)字 ，多余的位數(shù) 一律進(jìn)位 。 x 的 末尾數(shù)與不確定度的所在位數(shù)對齊 。這種表達(dá)形式反應(yīng)了三個(gè)基本要素：測量值、不確定度和單位，缺一不可，否則就不能全面表達(dá)測 量結(jié)果。2、相對不確定度相對不確定度定義為E 100%（ 8）x有時(shí)候還需要將測量結(jié)果與公認(rèn)值或理論值進(jìn)行比較（百分偏差）x x 理9）E0100%x理x 理 可以是公認(rèn)值，或高一級精密儀器的測量值。相對不確定度一般 取 2 位有效數(shù)字 。3、測量結(jié)果 在物理實(shí)驗(yàn)中，直接測量時(shí)若不需要對被測量進(jìn)行系統(tǒng)誤差的修正，一般就取多次測量的算術(shù)平均值x 作為近似真實(shí)值； 若在實(shí)驗(yàn)中有時(shí)只需測一次或只能測一次，該次測量值就被認(rèn)為是

17、測量的近似真實(shí)值。 如果要求對被測量值進(jìn)行一定系統(tǒng)誤差的修正，通常是將一定系統(tǒng)誤差（即絕對值和符號都確定的可 估計(jì)出的不確定度分量）從算術(shù)平均值 x 或一次測量值中減去，從而求得被修正后的直接測量結(jié)果的近似 真實(shí)值。例如，用螺旋測微器來測量長度時(shí)，從被測量結(jié)果中減去螺旋測微器的零點(diǎn)讀數(shù)。x x （單位）E 100% 或x三、不確定度的兩類分量4、測量結(jié)果的表示 表示測量最后結(jié)果時(shí)，一般要求絕對和相對的不確定度同時(shí)表示出，才能較全面的結(jié)果表示。即x x理E0100%x理在不確定度的合成問題中，主要是從系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差等方面進(jìn)行綜合考慮的，將各種來源的誤差 按計(jì)算方法分為兩類： 統(tǒng)計(jì)不確定度 （

18、A類）和非統(tǒng)計(jì)不確定度 （B類）?？偟牟淮_定度 是由兩類分量 （A 類和 B 類）求“方和根”計(jì)算而得。為使問題簡化，此處只討論簡單情況下（即A 類、B 類分量保持各自獨(dú)立變化，互不相關(guān)）的不確定度的合成。A 類不確定度（統(tǒng)計(jì)不確定度）是指可以采用統(tǒng)計(jì)方法（即具有隨機(jī)誤差性質(zhì)）計(jì)算的不確定度，即 是前面所說的偶然誤差，可以用（ 5）式或（ 2）式計(jì)算，用 A 表示。B 類不確定度（非統(tǒng)計(jì)不確定度）是指用非統(tǒng)計(jì)方法求出或評定的不確定度，為系統(tǒng)誤差。如實(shí)驗(yàn)室 中的測量儀器不準(zhǔn)確，量具磨損老化等等，用 B 表示。本書對 B 類不確定度的估計(jì)作簡化處理， 只考慮儀器不確定度。 所以因儀器不準(zhǔn)確對應(yīng)的

19、B 類不確定BI度為I 為儀器不確定度。一般的儀器說明書中都以某種方式注明儀器不確定度，由制造廠或計(jì)量檢定部門給 定。物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，可由實(shí)驗(yàn)室提供。儀器不確定度一般可分兩種情況處理：已知儀器準(zhǔn)確度時(shí)， 這時(shí)以其準(zhǔn)確度作為不確定度大小。 如一個(gè)量程 150mA ，準(zhǔn)確度 0.2 級的電流表， 測某一次電流，讀數(shù)為 131.2mA。可估算出最大絕對不確定度為 =量程級別 150 0.2 =0.3mA，因而 該次測量的結(jié)果可寫成 I131.20.3mA。其相對不確定度為 EI 0.3/131.2=0.23% ，大于 0.2 。因此， 測量值越接近量程，相對不確定度越小。對于沒有標(biāo)明準(zhǔn)確度的儀器，因

20、在制造儀器時(shí)，其最小的分度數(shù)值是受儀器準(zhǔn)確度約束的。所以，對 連續(xù)讀數(shù)的儀器，最大讀數(shù)不確定度可取儀器最小刻度值的1/10、 1/5、 1/2 或最小刻度，具體可根據(jù)所用儀器的精密度、儀器靈敏度、測試者感覺器官的分辨能力，以及觀測時(shí)的環(huán)境條件等因素來考慮。而無法 進(jìn)行估計(jì)的非連續(xù)讀數(shù)的儀器，如數(shù)字式儀表，可簡單取其最末位數(shù)的 1 作為儀器不確定度。 （若末位或 末兩位不穩(wěn)定，可記錄穩(wěn)定的數(shù)值加一位不穩(wěn)定的，或根據(jù)其變化規(guī)律，四舍五入到穩(wěn)定的那位。儀器不 確定度則取穩(wěn)定位的 1，或根據(jù)不穩(wěn)定位變化的程度來取。 ）合成不確定度為 A 類不確定度和 B 類不確定度的合成2AB2（ 7）在計(jì)算總的不確

21、定度中求“方和根”時(shí)，若某一 平方值 小于另一平方值的 1/9，則這一項(xiàng)就可以略去 不計(jì)。這一結(jié)論叫做微小誤差準(zhǔn)則。在進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時(shí)，利用微小誤差準(zhǔn)則可減少不必要的計(jì)算。對于單次測量， 一般是以最大不確定度進(jìn)行估計(jì)。 可用儀器不確定度作為合成不確定度， 即： I 。四、直接測量的不確定度直接測量的不確定度的合成，用（ 5）式或（ 2）式計(jì)算 A 類不確定度。對 B 類不確定度，主要討論儀 器的不確定度。例 1用感量為 0.1g 的物理天平稱量某物體的質(zhì)量，其讀數(shù)值為35.41g , 求物體質(zhì)量的測量結(jié)果。 （感量：在儀器上有標(biāo)出，一般為最小分度值）解：用物理天平稱物體的質(zhì)量，重復(fù)測量讀數(shù)值往往

22、相同，故一般只須進(jìn)行單次測量即可。單次測 量的讀數(shù)即為近似真實(shí)值， m 35.41g。對物理天平通常取感量的 1/2，作為儀器不確定度，即B I 0.05 （ g）測量結(jié)果為m35.410.05（g）因?yàn)槭菃未螠y量 , 總的不確定度A2B2 中A 無法估算 , 所以 B 。但是這個(gè)結(jié)論并不表明單次測量的 就小，因?yàn)?n1時(shí),Sx 是發(fā)散的。例 2 用螺旋測微器測量小鋼球的直徑，五次的測量值分別為d（mm）11.92211.92311.92411.92111.920螺旋測微器的最小分度數(shù)值為 0.01mm 試寫出測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)式。解 ：（1）求直徑 d 的算術(shù)平均值1 51ddi11 .922

23、11 .923 11 .924 11 . 921 11 .920n 15 11.922（ mm ）（2）計(jì)算 B 類不確定度螺旋測微器的儀器不確定度（取最小刻度值的1/2）為 I 0.005（mm ）BI 0.005（ mm）3）計(jì)算 A 類不確定度di d 2A t 1A n（ n 1）11.922 11.922 2 11.923 11.922 22.78 =0.002（mm）（5 5 1）4）合成不確定度2dB20.0022 0.0052 =0.006（mm）5）相對不確定度： E100% 0.006 100 0.050x 11.9226）測量結(jié)果： d d 11.922 0.006 mm

24、E 0.050%測量不確定度表達(dá)涉及到深廣的知識領(lǐng)域和誤差理論問題。因此，在保證科學(xué)性的前提下，在教學(xué)中 盡量把方法簡化，為初學(xué)者易于接受。以后在工作需要時(shí)，可以參考有關(guān)文獻(xiàn)繼續(xù)深入學(xué)習(xí)。有效數(shù)字及其運(yùn)算法則一、有效數(shù)字的概念1、有效數(shù)字的定義若用最小分度值為 1mm 的米尺測量某物體的長度，讀數(shù)為 56.3mm 。其中 5 和 6 這兩個(gè)數(shù)字是從米尺 的刻度上準(zhǔn)確讀出的， 可以認(rèn)為是準(zhǔn)確的， 叫做可靠數(shù)字。 末尾數(shù)字 3 是從米尺最小分度值上估計(jì)出來的， 是不準(zhǔn)確的，叫做欠準(zhǔn)數(shù)（或稱 可疑數(shù)字 ）。顯然有一位可疑數(shù)字，使測量值更接近真實(shí)值，更能反映客 觀實(shí)際。因此，測量值保留到這一位是合理的

25、，即使估計(jì)數(shù)是0，也不能舍去。故測量數(shù)據(jù)的有效數(shù)字定義為 幾位可靠數(shù)字加上一位可疑數(shù)字 稱為 有效數(shù)字 ，有效數(shù)字?jǐn)?shù)字的個(gè)數(shù)叫做有效數(shù)字的位數(shù)。注意：有 效數(shù)字的位數(shù) 不要與小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù)混淆 。如上述的 56.3mm 稱為 3 位有效數(shù)字，但小數(shù)后只有 1 位。有效數(shù)字的位數(shù)與十進(jìn)制單位的變換無關(guān)，即與小數(shù)點(diǎn)的位置無關(guān) 。因此，用以表示小數(shù)點(diǎn)位置的 0 不是有效數(shù)字。當(dāng) 0 不是用作表示小數(shù)點(diǎn)位置時(shí)， 0 和其它數(shù)字具有同等地位，都是有效數(shù)字，即有效數(shù) 字中間與末尾的 0，均應(yīng)算作有效位數(shù)。如 0.0135 m 和 1.05cm 及 13.0mm 都是三位有效數(shù)字。從有效數(shù)字的另一面也可以看

26、出測量用具的最小刻度值，如0.0135m 是用最小刻度為毫米的尺子測量的，而 1.030m 是用最小刻度為厘米的尺子測量的。2、結(jié)果的表示由于最后一位可疑位是不確定的， 即是不確定度所在位。 所以，若把測量結(jié)果寫成 542.817 0.5（mm） 是錯(cuò)誤的，由不確定度 0.5（ mm）可以得知，數(shù)據(jù)的小數(shù) 0.8 已不可靠，把它后面的數(shù)字也寫出來沒有多 大意義，正確的寫法應(yīng)當(dāng)是： 542.80.5（ mm）。即，結(jié)果的 尾數(shù)應(yīng)與不確定度的所在位對齊， 后面的位 數(shù)可以簡單地四舍五入 。二、直接測量的有效數(shù)字記錄物理實(shí)驗(yàn)中通常儀器上顯示的數(shù)字均為有效數(shù)字（包括最后一位估計(jì)讀數(shù)）都應(yīng)讀出，并記錄下

27、來。 儀器上顯示的最后一位數(shù)字是 0時(shí)，此 0 也要記錄。儀器不確定度在哪一位發(fā)生，測量數(shù)據(jù)的可疑位就記 錄到哪一位。對于有分度式的儀表，讀數(shù)要根據(jù)人眼的分辨能力讀到最小分度的十分之幾。例如，測出物體長為 52.4 mm 與 52.40 mm 是不同的兩個(gè)測量值，也是屬于不同儀器測量的兩個(gè)值， 從這兩個(gè)值可以看出測量前者的儀器精度低，測量后者的儀器精度高出一個(gè)數(shù)量級。在記錄直接測量的有效數(shù)字時(shí)，常用科學(xué)表達(dá)式。如0.0451 m 或 45.1 mm，可表示為 4.51 102m。三、有效數(shù)字的運(yùn)算法則測量結(jié)果的有效數(shù)字，只能允許保留一位可疑數(shù)字。根據(jù)這一原則，為了簡化有效數(shù)字的運(yùn)算，約定 下列

28、規(guī)則：1加法或減法運(yùn)算若干個(gè)數(shù)進(jìn)行加法或減法運(yùn)算，其和或者差的結(jié)果的可疑數(shù)字的位置與參與運(yùn)算各個(gè)量中的可疑數(shù)字 的位置最高者相同。因此，幾個(gè)數(shù)進(jìn)行加法或減法運(yùn)算時(shí)，可先將多余數(shù)修約（四舍五入） ，將應(yīng)保留的 可疑數(shù)字的位數(shù)多保留一位進(jìn)行運(yùn)算，最后結(jié)果按保留一位可疑數(shù)字進(jìn)行取舍。2乘法和除法運(yùn)算有效數(shù)字進(jìn)行乘法或除法運(yùn)算時(shí)，乘積或商的結(jié)果的有效數(shù)字的位數(shù)，一般與參與運(yùn)算的各個(gè)量中有 效數(shù)字的位數(shù)最少者相同，或多一位。實(shí)際運(yùn)算過程，可比參與運(yùn)算的位數(shù)最少者多取一位，最后由結(jié)果 的不確定度決定。如： 7.65+8.268=15.923.841 4.42=9.303.8418.42=32.347.65

29、3.8 4 13.8 4 1 2. 4 2 8. 4 28.2687 6 8 27 6 8 215. 9181 5 3 6 41 5 3 6 47 6 8 23 0 7 2 89.2 9 5 2 23 2.3 4 0 2 2式中有下劃線的表示可疑數(shù)字。3乘方和開方運(yùn)算2(7.325)2 53.6632.8 5.73乘方和開方運(yùn)算的有效數(shù)字的位數(shù)與其底數(shù)的有效數(shù)字的位數(shù)相同。 4、三角函數(shù)：一般取四位有效位數(shù)。例：sin30 o07 sin30.12 o=0.50185、指數(shù)：結(jié)果的有效數(shù)字，與指數(shù)小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù)相同。例：105.755.6105； 10 0.075 1.196、對數(shù)：結(jié)果的有效

30、數(shù)字，其尾數(shù)(小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù))與真數(shù)的位數(shù)相同，或多取一位。例： ln1.550=0.43837、對任意函數(shù)： 可將數(shù)值末位改變 1，運(yùn)算后，看結(jié)果是哪位變化了，就保留到開始變化那位。 例： ln1.550=0.43825 ，末位改變 1： ln1.551=0.43890 ，所以，可取小數(shù)后 4 位： 0.4383 。8、自然數(shù) 1,2,3,4, 不是測量而得，因此，可以視為無窮多位有效數(shù)字的位數(shù)，書寫也不必寫出后面的 0，如 D2R，D 的位數(shù)僅由 R的位數(shù)決定。9、無理常數(shù) , 2 , 3, 的位數(shù)也可以看成很多位有效數(shù)字。 例如 L 2 R，若測量值 R 2.35 10 1(m) 時(shí)，

31、應(yīng)比參加運(yùn)算的最少位數(shù)多取一位，取為 3.142 。即L 2 3.142 2.35 10 2 1.48 10 1(m) 。用計(jì)算器計(jì)算，可直接輸入 。上述規(guī)定和方法，是為了簡化有效數(shù)字的運(yùn)算，及作為不需算不確定度時(shí)，有效位數(shù)取值的參考，但 并非完全準(zhǔn)確。在實(shí)際的不確定度估算時(shí)，作為中間過程，可比上述規(guī)定取多12 位，最后由結(jié)果的不確定度決定有效位數(shù)。間接測量結(jié)果的不確定度間接測量的近似真實(shí)值和不確定度是由直接測量結(jié)果通過函數(shù)式計(jì)算出來的，既然直接測量存在不確定度，那么間接測量也必有不確定度，這就是不確定度的傳遞。由直接測量值及其不確定度來估算間接測 量值的不確定度之間的關(guān)系式稱為不確定度的傳遞

32、公式。設(shè)間接測量的函數(shù)式為NF(x , y , z , )N 為間接測量的量，它有 K 個(gè)直接測量的物理量 x , y , z , ，各直接觀測量的測量結(jié)果分別為x x x， y y y ， z z z ，1) 若將各個(gè)直接測量量的近似真實(shí)值x 代入函數(shù)表達(dá)式中，即可得到間接測量的近似真實(shí)值。NFN F x, y, z,2) 求間接測量的不確定度，由于不確定度均為微小量，相似于數(shù)學(xué)中的微小增量，對函數(shù)式x , y , z , )求全微分，即得 式中 dN , dx , dy , dz , 均為微小量， dN 的變化由各自變量的變化決定 , F, F, F, 為函數(shù)對自變量的 xyzdNdx F

33、y dy Fz yzdz偏導(dǎo)數(shù) , 將上面全微分式中的微分符號 d 改寫為不確定度符號 ，并將微分式中的各項(xiàng)求 “方和根”，即為 間接測量的合成不確定度N（ Fx）2（ Fy）2（ F z）2（ 10）N xxyy z z這里 x , y , z , 各量應(yīng) 相互獨(dú)立 。 當(dāng)間接測量的函數(shù)表達(dá)式為積和商（或含和差的積商形式）時(shí)，為了使運(yùn)算簡便起見，可以先將函數(shù) 式兩邊同時(shí)取自然對數(shù)，然后再求全微分。即dN lnF lnF ln Fdx dy dzN x y z同樣改寫微分符號為不確定度符號，再求其“方和根” ，即為間接測量的相對不確定度 EN，即EN11)已知 EN、 N，由（ 11）式可以求

34、出不確定度N N EN（ 12）今后在計(jì)算間接測量的不確定度時(shí)，對函數(shù)表達(dá)式僅為“和差”形式，可以直接利用（10）式，求出間接測量的不確定度 N ，若函數(shù)表達(dá)式為積和商 （或 積商和差混合）等較為復(fù)雜的形式，可直接采用（11）式，先求出相對不確定度，再求出不確定度 N 。附表 為常用函數(shù)的不確定度傳遞公式，可直接應(yīng)用。（注意應(yīng)用附表時(shí)，要求各變量是 相互獨(dú)立的 ）例 1已知電阻 R150.2 0.5（） , R2149.80.5 （）, 求它們串聯(lián)的電阻 R和不確定度 R 。解：串聯(lián)電阻的阻值為R R1 R2 50.2 149.8 200.0（ ）函數(shù)關(guān)系式不確定度傳遞公式N ax byN (

35、a x )2 (b y)2N axyENNN( xx)2 ( yy)2x NayENNN( xx)2 ( yy)2bN kx a yc zcEN (a x )2 (b y)2(c z)2x y z附表：常用函數(shù)的不確定度傳遞公式由附表第一行公式求得不確定度為R12 22 0.52 0.52 0.7 （）相對不確定度ER R 0.7 100% 0.35%R R 200.0測量結(jié)果為R200.0 0.7（）注意： 不確定度保留一位有效數(shù)字，相對不確定度保留 2 位有效數(shù)字。例 2測量金屬環(huán)的內(nèi)徑 D1 28.800.04（mm），外徑 D2 36.000.04（mm）, 厚度 h 25.75 0.

36、04 mm ）。試求環(huán)的體積 V。解： （ 1）環(huán)體積的近似真實(shí)值為2 2 3 .1416 2 2 3Vh（D22 D12 ）25.75 （36.002 28.802 ） 9436（mm 3）44（2）首先將環(huán)體積公式兩邊同時(shí)取自然對數(shù)后，再求全微分ln V ln( ) ln h ln( D22 D12 )4dVV0 dh 2D2dD22 hD222D1dD11 dh22D2 2 dD22 2D1 2 dD1hD2 D1D2 D1則相對不確定度為EVVV(hh)22D2 D222 D 2 D1)2 (2D1 D1 2D22D12 )1( 0.04)2 ( 2 362.00 0.042)2 (

37、2 228.80 0.024)2 2=0.81%25.7536.002 28.80236.002 28.8023）合成不確定度為3V V EV 9436 0.0081 9 10(mm )4）環(huán)體積的測量結(jié)果為3 V（ 944 9）10 （mm）3 EV0.81%注意：結(jié)果的末尾數(shù)與不確定度的所在位對齊。數(shù)據(jù)處理方法物理實(shí)驗(yàn)中測量得到的許多數(shù)據(jù)需要處理后才能表示測量的最終結(jié)果。數(shù)據(jù)處理是指從獲得數(shù)據(jù)起到 得出結(jié)果為止的加工過程。數(shù)據(jù)處理包括記錄、整理、計(jì)算、分析、擬合等多種處理方法，常用有列表法、 作圖法、圖解法、最小二乘法等。一、列表法列表法是記錄數(shù)據(jù)的基本方法。是記錄的最好方法。設(shè)計(jì)記錄表格

38、要求：1列表要簡單明了， 利于記錄、 運(yùn)算處理數(shù)據(jù)和檢查處理結(jié)果， 便于一目了然地看出有關(guān)量之間的關(guān) 系。2表中各欄中的物理量都要用符號標(biāo)明， 并寫出數(shù)據(jù)所代表物理量的單位及量值的數(shù)量級。 單位寫在 符號標(biāo)題欄， 不要重復(fù)記在各個(gè)數(shù)值上 。3記錄的數(shù)據(jù)，應(yīng)正確反映測量結(jié)果的有效數(shù)字。一般記錄表格還有序號和名稱。 例如：要求測量圓柱體的體積，圓柱體高 H 和直徑 D 的記錄如下： 測柱體高 H 和直徑 D 記錄表測量次數(shù) i12345平均Hi（mm）35.3235.3035.3235.3435.3035.326D i( mm)8.1358.1378.1368.1338.1328.1347二、作圖

39、法 用作圖法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是數(shù)據(jù)處理的常用方法之一，它能直觀地顯示物理量之間的對應(yīng)關(guān)系，揭示物 理量之間的聯(lián)系。作圖法是在現(xiàn)有的坐標(biāo)紙上用圖形描述各物理量之間的關(guān)系，將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用幾何圖形表 示出來，叫做作圖法。在作圖時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：1作圖一定要用坐標(biāo)紙。當(dāng)決定了作圖的參量以后，根據(jù)函數(shù)關(guān)系選用直角坐標(biāo)紙，單對數(shù)坐標(biāo)紙， 雙對數(shù)坐標(biāo)紙，極坐標(biāo)紙等，本教材主要要求學(xué)會用直角坐標(biāo)紙。2坐標(biāo)紙的大小及坐標(biāo)軸的比例。 應(yīng)當(dāng)根據(jù)所測得的有效位數(shù)和結(jié)果的需要來確定， 原則上數(shù)據(jù)中的 可靠數(shù)字在圖中應(yīng)當(dāng)標(biāo)出，數(shù)據(jù)中可靠位的最后一位在圖中應(yīng)是 整數(shù)格 。除特殊需要外，數(shù)值的起點(diǎn)一般 不必從 0 開始， X軸和

40、Y軸的比例可以采用不同的比例，使作出的圖形大體上能 充滿 整個(gè)坐標(biāo)紙，圖形布 局美觀、合理。3標(biāo)明坐標(biāo)軸。對直角坐標(biāo)系，一般是自變量為橫軸，因變量為縱軸，采用粗實(shí)線描出坐標(biāo)軸，并用箭頭表示出方向，注明所示物理量的名稱，單位。在坐標(biāo)軸旁每隔一定間距，以1、 2、 5為基數(shù)標(biāo)注整分格上的量值。4描點(diǎn)。 根據(jù)測量數(shù)據(jù)， 用直尺和筆尖使其函數(shù)對應(yīng)的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)準(zhǔn)確地落在相應(yīng)的位置，一張圖紙上畫上幾條實(shí)驗(yàn)圖線時(shí)。每條圖線應(yīng)用不同的標(biāo)記如“”、“ +”等符號標(biāo)出，以免混淆。5連線。 根據(jù)不同函數(shù)關(guān)系對應(yīng)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)分布，把點(diǎn)連成直線或光滑的曲線或折線， 連線必須用直尺或曲線板，校準(zhǔn)曲線中的數(shù)據(jù)點(diǎn)則連成折線。由于

41、每個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)都有一定的不確定度，所以將實(shí)驗(yàn)數(shù) 據(jù)點(diǎn)連成直線或光滑曲線時(shí)，繪制的圖線不一定通過所有的點(diǎn)，應(yīng)讓多數(shù)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)落在曲線上 , 其余的點(diǎn)均 勻分布在曲線的兩側(cè)，即盡可能使曲線兩側(cè)所有點(diǎn)到直線的距離之和最小并且接近相等，個(gè)別偏離很大的 點(diǎn)應(yīng)當(dāng)應(yīng)用異常數(shù)據(jù)的剔除中介紹的方法進(jìn)行分析后決定是否舍去，原始數(shù)據(jù)點(diǎn)應(yīng)保留在圖中。6寫圖名。作完圖后，在圖紙下方或空白的明顯位置處，寫上圖的名稱、作者和作圖日期，有時(shí)還要 附上簡單的說明，如實(shí)驗(yàn)條件等，使讀者一目了然。作圖時(shí)，一般將縱軸代表的物理量寫在前面，橫軸代 表的物理量寫在后面，中間用“”聯(lián)接。7最后將圖紙貼在實(shí)驗(yàn)報(bào)告的適當(dāng)位置，便于教師批閱實(shí)驗(yàn)報(bào)告。

42、三、圖解法在物理實(shí)驗(yàn)中， 實(shí)驗(yàn)圖線做出以后， 可以由圖線求出經(jīng)驗(yàn)公式。 圖解法就是根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作好的圖線， 用解析法找出相應(yīng)的函數(shù)形式。實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常遇到的圖線是直線、拋物線、雙曲線、指數(shù)曲線、對數(shù)曲線。 特別是當(dāng)圖線是直線時(shí)，采用此方法更為方便。1由實(shí)驗(yàn)圖線建立經(jīng)驗(yàn)公式的一般步驟：（1）（2）（3）（4） 式的準(zhǔn)確程度。2用直線圖解法求直線的方程 如果做出的實(shí)驗(yàn)圖線是一條直線，則經(jīng)驗(yàn)公式應(yīng)為直線方程 y kx b（ 13）要建立此方程，由實(shí)驗(yàn)直接求出 k（斜率）和 b（截距），一般有兩種方法。可用斜率截距法和端值求 解法。其中斜率截距法：在圖線上選取兩點(diǎn)P1（ x1， y1 ）和 P2（ x2，

43、坐標(biāo)取整數(shù)值。用特定的符號表示所取的點(diǎn)，與實(shí)驗(yàn)點(diǎn)相區(qū)別。一般 范圍內(nèi)應(yīng)盡量彼此分開一些，以減小不確定度。根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出斜率 k y2 y1x2 x1其截距 b 為 x0 時(shí)的 y 值；若原實(shí)驗(yàn)中所繪制的圖形并未給出交 y 軸，則可量出截距。如果起點(diǎn)不為零，也可以由式根據(jù)解析幾何知識判斷圖線的類型；由圖線的類型判斷公式的可能特點(diǎn)； 利用半對數(shù)、對數(shù)或倒數(shù)坐標(biāo)紙，把原曲線改為直線； 確定常數(shù)，建立起經(jīng)驗(yàn)公式的形式，用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)所得公R85.000.0 20.0 40.0 圖 3 某金屬絲電阻溫度曲線10.0 30.0 50.080.0075.0070.00Ty2 ），其坐標(biāo)值最好是整數(shù)值，

44、或橫 不要取原實(shí)驗(yàn)點(diǎn) 。所取的兩點(diǎn)在實(shí)驗(yàn) k為14)x 0 段直線，可將直線用虛線延長bx2y1 x1y2x2 x1(15)R f（ T）和電阻溫度系數(shù)。溫度（）19.125.030.136.040.045.150.0電阻（ ）76.3077.8079.7580.8082.3583.9085.10P求出截距，求出斜率和截距的數(shù)值代入方程中就可以得到經(jīng)驗(yàn)公式。例：金屬導(dǎo)體的電阻隨著溫度變化的測量值為下表所示，試求經(jīng)驗(yàn)公式根據(jù)所測數(shù)據(jù)繪出 RT 圖 求出直線的斜率和截距k 8.00 0.296 （） 27.010VO圖 4 P V 曲線圖 5 P1/V 曲線b72.00（）于是得經(jīng)驗(yàn)公式R 72.

45、000.296T 該金屬的電阻溫度系數(shù)為0.29672.004.11 10 3 （1/ ）3曲線改直，曲線方程的建立 在實(shí)驗(yàn)工作中，許多物理量之間的關(guān)系并不都是線性的，由曲線圖直接建立經(jīng)驗(yàn)公式一般是比較困難 的，但仍可通過適當(dāng)?shù)淖儞Q而成為線性關(guān)系，即把曲線變換成直線，再利用建立直線方程的辦法來解決問 題。這種方法叫做曲線改直。例如： PV=C，式中 C為常量，要變換成 P=C（1/ V），P是 1/ V的線性函數(shù)，斜率為 C。習(xí)題1指出下列各量是幾位有效數(shù)字？（ 1 ） 63.74 cm; （ 2） 0.302 cm; （3）0.0100 cm ;（4）12.61s ;2試用有效數(shù)字運(yùn)算法則計(jì)

46、算出下列結(jié)果（1）107.50 2.5；（2）273.50.100；（3）1.50 0.500；（4）8.0421 30.9 ；6.038 4.0343. 一圓柱體， 已知高 h 4.1200.001（ cm），直徑 d 2.040 0.001（ cm）, m 149.180.05（ g）。求 V 和 密度 的測量結(jié)果。4改正下列錯(cuò)誤，寫出正確答案 （1）L 0.01040（ km ）的有效數(shù)字是五位； （2）d 12.4350.02（cm ）；（3）h27.310 4 2000（km ）；（4）R6371 km6371000m637100000（cm）；（5）t=8.500.452s（ 6） 60 2。5單位變換（1）將 L 4.25 0.05（ cm）的單位變換成 m , mm , m , km 。 （2）將 m1.7500.001（kg）的單位變換成 g , mg , t 。6利用單擺測重力加速度g，當(dāng)擺角 5時(shí)， T 2 L , 式中擺長 L97.690.02 （cm），周期 Tg 1.98420.0002（s）。求 g 和 g ，并寫出結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)式。7準(zhǔn)確度等級為 0.5 級,量程為 10mA的電流表 , 使用時(shí)可能產(chǎn)生的儀器不確定度為mA, 若要求測量的相對不確定度不超過 1%,則被測電流應(yīng)不小于 mA