用軸對稱知識求線段和的最小值教材

1、淺析用軸對稱知識求線段和的最小值求線段和的最小值問題，在初中數(shù)學中經(jīng)常會遇到，利 用軸對稱知識可以比較簡單的解決。我們先通過一個非常典 型的例題來推導一個性質(zhì)：一、性質(zhì)推導例題：如圖所示，在河岸 L 的一側(cè)有兩個村莊 A 、B， 現(xiàn)要在河岸 L 上修建一個供水站， 問供水站應建在什么地方， 才能到 A ， B 兩村莊的距離之和最短？首先，我們來推導一個軸對稱的性質(zhì)，如圖，作 B 點關(guān) 于 L 的對稱點 B1, 在直線 L 上任意定一點 M ，連接 B B1， BM ，B1M，根據(jù)軸對稱知識，我們可以求證 BM B1M， 所以，我們可以得出這樣的性質(zhì)： 成軸對稱的兩個對應 點到對稱軸上任意一點的

2、距離相等。在該例題中，利用這一性質(zhì)，我們可得出：點 B 到河岸 L 上任意點 M 的距離等于對稱 B1 到點 M 的距離。要使 AM+ B 1M 最小，必須使 A 、M 、 B1三點共線， 也就是說，必須使點 M ，與 A B1連線和 L 的交點 N 重合，所以，河岸上的 N 點為到 A、 B 的距離之和最小的點B證明： M 為 L 上的任意點因為 BM B1M所以， BM+AM B1M+AM ，而 B1M+AM 大于 B1A ， 所以，結(jié)論成立二、應用1 ：在圖（ 1 ）中，若 A 到直線 L 的距離 AC 是 3 千米， B 到直線 L 的距離 BD 是 1 千米，并且 CD 的距離 4

3、千米， 在直線 L 上找一點 P，使 PA+PB 的值最小。求這個最小值。解：作出 A1B（作法如上圖）過 A1 點畫直線 L 的平行線與 BD 的延長線交于 H ，在 Rt A1BH 中， A1H=4 千米， BH=4 千米， 用勾股定理求得 A1B 的長度為 4 2 千米， 即 PA+PB 的最小值為 4 2 千米。2、如圖（ 1），在直角坐標系 XOY 中， X 軸上的動點 M （x，0）到定點 P（5，5）和到 Q（2，1）的距離分別為 MP 和 MQ ，那么當 MP+MQ 取最小值時，點 M 的橫坐標 x= 。Y6P (5,5)P (5,5)542(2,1)O-1圖（ 1）圖（ 2）

4、(2,1) Q解：如圖（2），只要畫出點 Q 關(guān)于 x 軸的對稱點 Q1（2， -1），連結(jié) PQ1 交 x 軸于點 M ，則 M 點即為所求。點 M 的 橫坐標只要先求出經(jīng)過 PQ1兩點的直線的解析式，（y=2x-5 ）， 令 y=0，求得 x=5/2 。（也可以用勾股定理或相似三角形求出 答案）。3、 求函數(shù) y= x2 6x 10 + x2 6x 34 的最小值。 解：方法（）把原函數(shù)轉(zhuǎn)化為 y= （ x 3）2 1 + （ x 3）2 52 ，因此可以理 解為在 X 軸上找一個點，使它到點（ 3， 1）和（ -3， 5）的 距離之和最小。 （解法同上一題） 。方法（）如圖（9），分別以

5、 PM=（3-x）、AM=1 為邊和以 PN=（x+3 ）、BN=5 為邊構(gòu)建使（ 3-x） 和（ x+3 ）在同一直線上的兩個直 角PAM 、PNB ，兩條斜邊的長就是PA= （x 3） 1 和PB= （ x 3） 5 ，因此，求 y 的最小值就是求 PA+PB 的最 小值，只要利用軸對稱性質(zhì)求出 BA1 的長，就是 y 的最小值。 （6 2 ）。圖（ 9）三、拓展（一）三條線段的和最小的問題：如圖 3， 已知甲、乙、丙三人做接力游戲，開始時,甲站在AOB 內(nèi)的 P 點，乙站在 OA 邊上，丙站在 OB 邊上，游 戲規(guī)則：甲將接力棒傳給乙，乙將接力棒傳給丙，最后丙跑至終點 P 處。如果三人速

6、度相同， 試作圖求出乙丙站在何處， 他們比賽所用時間最短析解：三人的速度一定且相同，要使比賽時間最短，只需 三人所走的路程最短，因此可以利用軸對稱知識，作點P 關(guān)于OA、 OB的對稱點 P 、P ，連接 PP ，交 OA于O ，交 OB 于 O ，則點 O 和點 O 應分別是乙、丙的位置。這樣連接 PO 、 PO 則三人行的路程和為 PO OO PO PO OO P O PP 。規(guī)律總結(jié)： 軸對稱在本題中的主要作用是將線段在保證 長度不變的情況下改變位置，要注意體會軸對稱在這方面的 應用。（二）利用菱形的對稱性，求線段和的最小值1、如圖（ 5），在菱形 ABCD 中， AB=4a,E 在 BC

7、 上， EC=2a， BAD=1200, 點 P在 BD 上，則 PE+PC 的最小值是 （）A)6a , (B) 5aAC圖（ 5）(C) 4a(D) 2 3aAC圖（6）解：如圖（ 6），因為菱形是軸對稱圖形，所以 BC 中點 E 關(guān)于對角線 BD 的對稱點 E 一定落在 AB 的中點 E1，只要 連結(jié) CE1 ，CE1 即為 PC+PE 的最小值。這時三角形 CBE1 是含有 300 角的直角三角形， PC+PE=CE1=2 3a 。所以選 （D）。2、已知在菱形 ABCD 中， A=600，AD=8，M、N 分別 是 AB ，BC 邊上的中點， P 是對角線 AC 上一動點，求 PM

8、PN 的最小值。分析：因為動點 P在菱形 ABCD 的對角線 AC 上，而 CD 邊的中點 G ，是 N 關(guān)于對稱軸 AC 的對應點所以， PG PN，因此求 PMPN 的最小值就轉(zhuǎn)化為求 PM PG的最小值， 連接 MG ，在 PMG 中，PMPG的最小值就是 MG，即 PM PGMG （僅當 M、P、G 三點共線時取得最小值） 。DGMA解：取 CD 的中點 G，連接 PG AC 是菱形 ABCD 的對角線 PCG PCN又 CB CD，N 是 BC 邊的中點 CNCG又 PCPC， PCG PCN PGPN連接 MG 。四邊形 AMGD 為平行四邊形MGAD 8在PMG 中，（僅當 P、

9、M 、G 三點共線時取等號）即，故 PM PN 的最小值為 8。（三）利用正方形的對稱性，求線段和的最小值 已知如圖：正方形 ABCD的邊長是 3,E 點分邊 BC為 2:1,P為對角線 BD上一點 , 求 PE+PC的最小值 .AD分析: 要想求 PE+PC的最小值 , 關(guān)鍵是確定點 P的位置 , 根據(jù) 對稱的知識我們知道點 P 的位置應是，點 C關(guān)于直線 BD的 對稱點和點 E連線與 BD的交點 .解: 因為四邊形 ABCD為正方形 , 所以點 C關(guān)于 BD的對稱點 為 A,連接 AE交 BD于 P點, 則此時 PE+PC的最小值最小 , 最 小值為 :PE+PC=AE= 13（四）利用等

10、腰梯形的對稱性，求線段和的最小值 如圖，在梯形 ABCD中，ADBC， ABCD AD1， B 60，直線 MN為梯形 ABCD的對稱軸， P 為 MN上一點，那么 PC PD的最小值為 。分析：在梯形 ABCD中，因為 AB CDAD，易知梯形 ABCD 是等腰梯形， 又直線 MN是梯形 ABCD的對稱軸， 所以直線 MN 是底邊 AD、BC的垂直平分線，連接 PA，由線段垂直平分線 上任一點，到已知線段兩端的距離相等知，PA PD，所以求PCPD的最小值就轉(zhuǎn)化為求 PCPA的最小值， 即求 AC的長 度即可。解：連接 PAAB CDAD 1，梯形 ABCD是等腰梯形 又直線 MN是梯形 A

11、BCD的對稱軸PA PD過點 A作 AEBC，過點 D作 DFBC， E、 F為垂足，易證 ABEDCF， BE CF在 RtABE中， B60， AB 1在 Rt ABC中，由勾股定理，得即 PAPC的最小值為（當 A、P、C 三點共線時取得最小 值）也可這樣求 AC的值：過 A 點作 CD的平行線， 交 BC于 G，則 BGAB1,GCAD 1BC2而角 BCADACDCA，角 BCA 30, 角 BAC90 度在三角形 ABC中，可求得 AC（五）利用圓的對稱性，求線段和的最小值已知如圖 ,AB 是的直徑 ,AB=2cm,OCAB,點 D 是弧 AC的三等分點 ,P 是 OC上一動點 ,

12、 求 PA+PD的最小值 .AB圖（ 16）AB分析： 圓是一個軸對稱圖形， 任意一條直徑所在的直線都 是它的對稱軸，圓上任意一點的關(guān)于直徑所在直線的對稱點 都在圓上。解: 作點 D關(guān)于 OC的對稱點 F, 連接 AF,此時 PA+PD的最小 值為 AF.因為 AB是圓 O的直徑,OCAB， 則弧 AC的度數(shù)為 900，因 為 D 是弧 AC 的三等分點，所以弧 AD 的度數(shù)是 600 ，弧 DC的 度數(shù)是 300，因為點 D與點 F 關(guān)于 OC的對稱，所以且弧 DC 與弧 CF相等 , 都為 300， AOF=1200，作 OEAF，則AOE=600。在 RtAOE中， AO= 1cm， A

13、OE=600，則 AE=， AF= 3 。（六）利用坐標系的對稱性，求線段和的最小值如圖, 在直角坐標系中 , 有四個點 A（ -8 ，3）、B（-4 ，5）、 C（0，n）、 D（m，0），求四邊形 ABCD周長最短時的值。分析：因為 A、 B 是定點且長度不變，四邊形 ABCD的周 長最短，需使 AD+CD+BC 的值最小，由于 C、 D兩點未知， 所以本題關(guān)鍵是找 C、D兩點，可考慮用軸對稱的方法將 BC 、 CD 、AD 這三條折線拉直。解：分別作 A點關(guān)于 x 軸、 B點關(guān)于 y 軸的對稱點A/ （-8 ，-3 ）、 B/（ 4，5），連接 A/B/分別交 x 軸、 y 軸于D、C點

14、。設(shè)直線 A/ B/的解析式為 y=kx+b ，把 x=-8 ，y=-3 ； x=4， y=5 分別代入得：-8k+b=-34k+b =5解得 k 和 b 值，得到 A/ B/的解析式為 :3y=2x+7令 x=0，求得 y ，得到 C 點令 y0，求得 x，得到 D 點由以上幾例可以看出， 當求線段和的最小值時， 常常借助 軸對稱將兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上，再利用“兩點之間線 段最短”進行求解。四、鏈接看這樣一題： 要在一條河上架一座橋 （橋須與河岸垂直， 兩河岸平行） ，請?zhí)峁┮环N設(shè)計方案，使從 A 地到 B 地的路 徑最短，請說明理由。請思考： 1、這題為什么不能用軸對稱知識解決？（認真

15、理解我推導出的性質(zhì)就可明白 ）2、如何用平移知識解決此題？3、類似我推導出的軸對稱性質(zhì)，平移的知識能否推導 出類似的性質(zhì)？五、練習1、（ 2002 湖北黃崗競賽題）如圖（ 10），AOB=450，角 內(nèi)有一點 P，PO=10，在角兩邊上有兩點 Q、R（均不同于點 O），則 PQR的周長最小值是 。當 PQR周長最小時， QPR 的度數(shù) =。圖（ 10 ）P1提示 ：畫點 P 關(guān)于 OA 的對稱點 P1，點 P 關(guān)于 OB 的對 稱點 P2， AOB=45 0， P1OP2 是等腰直角三角形， P1P2=10 2 。又問 : 當 PQR周長最小時， QPR 的度數(shù) =。（答案： 900）2、已知

16、點 A （-2，1），點 B（3，4）。在 X 軸上求一點 P， 使得 PA+PB 的值最小。這個最小值是 。（同例 2 ）3、（北京市競賽題）如圖（ 11），在矩形 ABCD 中， AB=20 ，BC=10 ，若在 AC、AB 上各取一點 M 、N，使 BM+MN 的值最小，求這個最小值。MN圖（ 11）提示 ：要使 BM+MN 的值最小，應設(shè)法把折線 BM+MN 拉直， 從而想到用軸對稱性質(zhì)來做。 畫出點 B 關(guān)于直線 AC 的對稱點 B1，則 B1N 的長就是最小值；又因為 N 也是動點，所以，當 B1N AB 時這個值最 小，利用勾股定理和三角形面積公式可以求得這個最小值為 16。初三

17、的同學也可以用射影定理和面積公式求解。4、如圖（ 12）在菱形 ABCD 中， DAB=120 0，點 E 平分 BC，點 P 在 BD 上，且 PE+PC=1，那么邊長 AB 的最大值A(chǔ)C提示：因為當 PE+PC最小時， AB=CD 達到最大，這個 最大值是 2 3 。35、如圖（ 15），在河灣處 M 點有一個觀察站，觀察員要 從 M 點出發(fā)，先到 AB 岸，再到 CD 岸然后返回 M 點，則 該船應該走的最短路線是 （先畫圖， 再用字母表 示）。D圖6、求代數(shù)式 x2 4x 13 + x2 4x 61 的最小值。（ 答案： 145 ）求兩線段長度值和最小”問題全解析山東沂源縣徐家莊中心學

18、校 左進祥在近幾年的中考中，經(jīng)常遇到求 PA+PB最小型問題，為了讓同學們對這類問 題有一個比較全面的認識和了解， 我們特此編寫了 “求兩線段長度值和最小” 問 題全解析，希望對同學們有所幫助、在三角形背景下探求線段和的最小值1.1 在銳角三角形中探求線段和的最小值例 1 如圖 1，在銳角三角形 ABC中，AB=4 , BAC=45， BAC的平分線 交 BC于點 D，M,N分別是 AD和 AB上的動點，則 BM+MN的最小值 為分析：在這里，有兩個動點，所以在解答時， 就不能用我們常用對稱點法 我 們要選用三角形兩邊之和大于第三邊的原理加以解決解：如圖 1，在 AC上截取 AE=AN，連接

19、BE因為 BAC的平分線交 BC于點 D， 所以 EAM=NAM，又因為 AM=A，M 所以 AME AMN，所以 ME=MN所以 BM+MN=BM+MBEE因為 BM+MN有最小值當 BE是點 B 到直線 AC的距離時， BE 取最小值為 4，以 BM+M的N 最小值是 4故填 41.2 在等邊三角形中探求線段和的最小值例 2（2010 山東濱州）如圖 4所示，等邊 ABC的邊長為 6,AD是 BC邊上的 中線,M是 AD上的動點,E 是AC邊上一點.若 AE=2,EM+CM的最小值 為 .分析：要求線段和最小值，關(guān)鍵是利用軸對稱思想，找出這條最短的線段， 后應用所學的知識求出這條線段的長度

20、即可解：因為等邊 ABC的邊長為 6,AD是BC邊上的中線 ,所以點 C與點 B關(guān)于 AD對稱，連接 BE交 AD于點 M，這就是 EM+CM最小時的位置，如圖 5 所示，因為 CM=B，M所以 EM+CM=B，E過點 E 作 EF BC，垂足為 F，因為 AE=2，AC=6，所以 EC=4，在直角三角形 EFC中，因為 EC=4, ECF=60， FEC=30，所以FC=2,EF= =2 因為 BC=6， FC=2，所以 BF=4在直角三角形 BEF中，BE=.、在四邊形背景下探求線段和的最小值2.1 在直角梯形中探求線段和的最小值例 3（2010 江蘇揚州）如圖 3，在直角梯形 ABCD中

21、， ABC90，AD BC， AD4，AB5，BC6，點 P是AB上一個動點，當 PCPD的和最小時， PB的長 為分析：在這里有一個動點，兩個定點符合對稱點法求線段和最小的思路，所 以解答時可以用對稱法解：如圖 3 所示，作點 D關(guān)于直線 AB的對稱點 E，連接 CE，交 AB于點 P， 此時 PCPD和最小，為線段 CE因為 AD4，所以 AE=4因為 ABC90， ADBC，所以 EAP 90因為 APE BPC,所以 APEBPC，所以. 因為 AE=4，BC6，所以 ，所以，所以, 因為 AB 5，所以PB=3.2.2 在等腰梯形中探求線段和的最小值例 4 如圖 4，等腰梯形 ABC

22、D中，AB=AD=CD=，1ABC=60， P是上底，下 底中點 EF直線上的一點，則 PA+PB的最小值為分析 ：根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)知道，點 A的對稱點是點 D，這是解題的一個關(guān) 鍵點其次運用好直角三角形的性質(zhì)是解題的又一個關(guān)鍵解：如圖 4所示，因為點 D關(guān)于直線 EF的對稱點為 A，連接 BD，交 EF于點 P，此時 PAPB和最小，為線段 BD過點 D作 DGBC，垂足為 G，因為四邊形 ABCD是等腰梯形，且 AB=AD=CD=，1 ABC=60，所以 C=60， GDC=30 ，所以 GC= ,DG= 因為 ABC60，ADBC，所以 BAD 120因為 AB=AD，所以 ABD=A

23、DB=30，所以 ADBC=30 ，所以BD=2DG=2 = 所以 PA+PB的最小值為 2.3 在菱形中探求線段和的最小值例 5 如圖 5 菱形 ABCD中，AB=2，BAD=60，E是 AB的中點， P 是對角線 AC上的一個動點，則 PE+PB的最小值為分析 ：根據(jù)菱形的性質(zhì)知道， 點 B的對稱點是點 D，這是解題的一個關(guān)鍵點解：如圖 5 所示，因為點 B 關(guān)于直線 AC的對稱點為 D，連接 DE，交 AC于點 P，此時 PEPB和最小，為線段 ED因為四邊形 ABCD是菱形，且 BAD=60， 所以三角形 ABD是等邊三角形因為 E是 AB的中點，AB=2，所以 AE=1，DEAB，

24、所以 ED= 所以 PE PB的最小值為 2.4 在正方形中探求線段和的最小值例 6 如圖 6 所示，已知正方形 ABCD的邊長為 8 ，點 M 在 DC上，且 DM=2，N 是 AC 上的一個動點，則 DN+MN的最小值為分析 ：根據(jù)正方形的性質(zhì)知道，點 B的對稱點是點 D，這是解題的一個關(guān)鍵 點解：如圖 6所示，因為點 D關(guān)于直線 AC的對稱點為 B，連接 BM，交AC于點 N，此時 DNMN和最小，為線段 BM因為四邊形 ABCD是正方形，所以 BC=CD=8因 為 DM=2，所以 MC=，6 所以 BM=10. 所以 DN+MN的最小值為 10.例 7（ 2009?達州）如圖 7，在邊

25、長為 2cm的正方形 ABCD中，點 Q 為 BC邊的 中點，點 P為對角線 AC上一動點，連接 PB、PQ，則 PBQ周長的最小值為cm（結(jié)果不取近似值）分析 ：在這里 PBQ周長等于 PB+PQ+B，Q而 BQ是正方形邊長的一 半，是一 個定值 1，所以要想使得三角形的周長最小，問題就轉(zhuǎn)化成使得 PB+PQ的和最小 問題因為題目中有一個動點 P，兩個定點 B,Q 符合對稱點法求線段和最小的思 路，所以解答時可以用對稱法解: 如圖 7所示，根據(jù)正方形的性質(zhì)知道點 B與點 D關(guān)于 AC對稱，連接 DQ， 交 AC于點 P，連接 PB所以 BP=DP，所以 BP+PQ=DP+PQ=D在Q Rt

26、CDQ中，DQ= =，所以 PBQ的周長的最小值為：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1故答案為+1、在圓背景下探求線段和的最小值例 8(2010 年荊門)如圖 8，MN是半徑為 1的 O的直徑，點 A在O上， AMN30， B為AN弧的中點， P是直徑 MN上一動點，則 PAPB的最小值為 ( )(A)2 (B) (C)1 (D)2分析：根據(jù)圓的對稱性，作出點 A 的對稱點 D，連接 DB，則線段和的最小值 就是線段 DB的長度解：如圖 8，作出點 A的對稱點 D，連接 DB，OB,OD因為 AMN30，B 為 AN 弧的中點，所以弧 AB的度數(shù)為 30，弧 AB的度數(shù)為 30，弧 AN的度

27、數(shù)為 60根據(jù) 圓心角與圓周角的關(guān)系定理得到： BON30由垂徑定理得： 弧 DN的度數(shù)為 60所以 BOD BON +DON= 30+60 =90.所以DB= = . 所以選擇 B四、在反比例函數(shù)圖象背景下探求線段和的最小值例 9（ 2010 山東濟寧）如圖 9，正比例函數(shù) y= x 的圖象與反比例函數(shù) y=（ k 0）在第一象限的圖象交于 A 點，過 A 點作 x 軸的垂線，垂足為 M，已知三 角形 OAM的面積為 1.1）求反比例函數(shù)的解析式；2）如果 B為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點（點 B 與點 A不重合），且 B 點的橫坐標為 1，在 x 軸上求一點 P，使 PA+PB最小 .分

28、析：利用三角形的面積和交點坐標的意義，確定出點 A 的坐標是解題的第 一個關(guān)鍵要想確定出 PA+PB的最小值，關(guān)鍵是明白怎樣才能保證 PA+PB的和最小，同 學們可以聯(lián)想我們以前學過的對稱作圖問題， 明白了最小的內(nèi)涵， 解題的過程就 迎刃而解了解： （ 1）設(shè)點 A的坐標為（ x，y），且點 A在第一象限，所以 OM=x,AM=y因為三角形 OAM的面積為 1，所以所以 xy=2，所以反比例函數(shù)的解析式為 y= 2）因為 y= x 與 y= 相交于點 A，所以 = x，解得 x=2，或 x=-2. 因為x0，所以 x=2，所以 y=1，即點 A的坐標為（ 2，1）因為點 B的橫坐標為 1， 且

29、點 B 在反比例函數(shù)的圖像上， 所以點 B 的縱坐標為 2，所點 B的坐標為（1，2）， 所以點 B關(guān)于 x 軸的對稱點 D的坐標為（1，-2 ）設(shè)直線 AD的解析式為 y=kx+b，所以 ，解得 k=3，b=-5，所以函數(shù)的解析式為 y=3x-5 ，當 y=0 時，x= ，所以當點P在（ ，0）時， PA+PB的值最小五、在二次函數(shù)背景下探求線段和的最小值例 10（ 2010年玉溪改編）如圖 10，在平面直角坐標系中， 點 A的坐標為（ 1，） ， AOB的面積是 .1）求點 B的坐標；（ 2）求過點 A、 O、 B的拋物線的解析式；3）在（ 2）中拋物線的對稱軸上是否存在點 C，使 AOC

30、的周長最小？若存在，求出點 C 的 坐標；若不存在，請說明理由；分析 ：在這里 AOC周長等于 AC+CO+A，O而 A,O是定點，所以 AO是一個定 長，所以要想使得三角形的周長最小， 問題就轉(zhuǎn)化成使得 AC+CO的和最小問題因 為題目中有一個動點 C，兩個定點 A,O 符合對稱點法求線段和最小的思路，所以 解答時可以用對稱法解：（1）由題意得:所以O(shè)B=2因為點 B在x軸的負半軸上，所以點 B的坐標為（ -2，）；（2）因為 B（-2,0）,O（0,0）, 所以設(shè)拋物線的解析式為： y=ax（x+2），將點A 的坐標為（ 1， ）代入解析式得： 3a= ，所以 a= ，所以函數(shù)的解析式 為 y= +x （3）存在點 C. 如圖 10，根據(jù)拋物線的性質(zhì)知道點 B 與點 O是對稱點，所 以連接 AB與拋物線的對稱軸 x=