研究性教學(xué)課程設(shè)計(jì)方案樣板-揚(yáng)州大學(xué)

1、解析幾何研究性教學(xué)總結(jié)報(bào)告學(xué) 院 數(shù) 學(xué)專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班 級(jí) 數(shù)學(xué) 2015 級(jí)授課教師 曹 錫 芳授課團(tuán)隊(duì) 幾何教研室揚(yáng)州大學(xué)教務(wù)處2016 年 1 月 22 日根據(jù)研究性教學(xué)設(shè)計(jì)方案，解析幾何 分五個(gè)單元，已按照計(jì)劃全部完成， 現(xiàn)就教學(xué)情況做一個(gè)總結(jié)。解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法來研究幾何，從而把幾何問題的討論， 從定性的研究上升到可以計(jì)算的定量層面。這就需要在幾何與代數(shù)之間架起橋 梁，把空間的幾何結(jié)構(gòu)代數(shù)化。第一單元系統(tǒng)介紹向量代數(shù)。 通過向量，可以直接把代數(shù)運(yùn)算引到幾何中來； 同時(shí)通過向量也可以定義空間各種坐標(biāo)系， 解析幾何中用到的是直角坐標(biāo)系， 這 就要用到空間三個(gè)兩兩

2、垂直的單位向量。 坐標(biāo)法中的主要問題是用數(shù)表示點(diǎn)， 用 方程表示圖形。第二單元簡單介紹軌跡與方程的一般概念。 空間建立了坐標(biāo)系之后， 空間的 點(diǎn)就與有序?qū)崝?shù)組之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系。 在此基礎(chǔ)上可進(jìn)一步建立作為點(diǎn) 的軌跡的曲線、 曲面與其方程之間的聯(lián)系， 從而把研究曲線與曲面的幾何問題轉(zhuǎn) 化為研究其方程的代數(shù)問題。第三單元介紹平面和直線。 導(dǎo)出平面和直線的各種形式的方程， 并討論它們 之間的位置關(guān)系以及相關(guān)的計(jì)算問題。第四單元綜合利用坐標(biāo)法和向量運(yùn)算來研究柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)面、橢球面、 雙曲面（單葉雙曲面和雙葉雙曲面） 、拋物面（橢圓拋物面和雙曲拋物面） ，其中 前三類曲面有著突出的幾何特征，

3、 我們是從圖形去導(dǎo)出它們的方程； 后三類曲面 的方程表現(xiàn)著特殊的簡單形式，我們是從方程去討論它們的圖形。第五單元介紹二次曲線的一般理論， 主要是利用坐標(biāo)變換和不變量的方法討 論二次曲線的分類問題。本課程的重點(diǎn)是第二和第三單元， 熟悉這些圖形的幾何性質(zhì)和方程特征是課 程的基本要求， 為此在教學(xué)過程中著重訓(xùn)練學(xué)生兩方面的能力： 一是將幾何問題 轉(zhuǎn)化為代數(shù)式子， 例如把求點(diǎn)到直線的距離轉(zhuǎn)化為求一個(gè)平行四邊形的高， 它等 于面積除以底，從而得到相應(yīng)的距離公式； 二是理解代數(shù)方程所蘊(yùn)含的幾何含義， 例如平面一般方程中的一次項(xiàng)系數(shù)即為該平面的法向量坐標(biāo)。為了隨時(shí)掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況， 安排三次單元測試。 考

4、試成績大致反應(yīng)了知 識(shí)的難易程度以及學(xué)生的學(xué)習(xí)情況， 其中第一單元由于引入了外積運(yùn)算， 需要學(xué) 生具有較強(qiáng)的空間觀念， 部分學(xué)生學(xué)習(xí)過程中遇到了一定的困難， 不及格的有十 人；第三單元由于學(xué)生有中學(xué)解析幾何基礎(chǔ)， 加上圖形比較簡單， 考試成績很高， 大約一半學(xué)生都在九十分以上， 不及格的人數(shù)也明顯減少； 第四單元由于幾何圖 形比較復(fù)雜， 并且要綜合運(yùn)用坐標(biāo)法與向量運(yùn)算， 不及格的人數(shù)差不多達(dá)到了三 分之一，九十分以上的也只有十人。為了鼓勵(lì)部分學(xué)有余力的學(xué)生鉆研解析幾何內(nèi)容， 課程開始不久就布置了一 道開放題，是 2014 年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目，該題實(shí)際上是利用平面和 直線的知識(shí)來設(shè)計(jì)一

5、種平板折疊桌。附：2014高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目B 題 創(chuàng)意平板折疊桌某公司生產(chǎn)一種可折疊的桌子， 桌面呈圓形， 桌腿隨著鉸鏈的活動(dòng)可以平攤成一張平板 （如圖 1-2 所示）。桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼 筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑動(dòng)的自由度 （見圖 3）。桌子外形由直紋曲面構(gòu)成，造型美觀。附件視頻展示了折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過程。試建立數(shù)學(xué)模型討論下列問題：1. 給定長方形平板尺寸為 120 cm 50 cm 3 cm，每根木條寬 2.5 cm，連接桌腿木條的 鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子的高

6、度為53 cm 。試建立模型描述此折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過程， 在此基礎(chǔ)上給出此折疊桌的設(shè)計(jì)加工參數(shù) （例如， 桌腿木條開槽的長 度等）和桌腳邊緣線（圖 4 中紅色曲線）的數(shù)學(xué)描述。2. 折疊桌的設(shè)計(jì)應(yīng)做到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少。對于任意給定的折疊桌 高度和圓形桌面直徑的設(shè)計(jì)要求， 討論長方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)， 例如， 平板尺寸、鋼筋位置、開槽長度等。對于桌高70 cm，桌面直徑 80 cm的情形，確定最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)。3. 公司計(jì)劃開發(fā)一種折疊桌設(shè)計(jì)軟件，根據(jù)客戶任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線 的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀， 給出所需平板材料的形狀尺寸和切實(shí)可行的最優(yōu)設(shè)計(jì) 加工參數(shù)， 使得生產(chǎn)的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀。 你