特殊的線性變換畢業(yè)論文

1、 畢 業(yè) 設 計（ 論 文 ）題目特殊的線性變換作者xx學院數學與計算科學學院專業(yè)數學與應用數學學號xxx指導教師xxxx 畢業(yè)設計（論文）任務書 xxxxxx 院 xxxxxx 系（教研室）系（教研室）主任: （簽名） 年 月 日學生姓名: xx 學號: xxxxx 專業(yè): 數學與應用數學 1 設計（論文）題目及專題： 特殊的線性變換 2 學生設計（論文）時間：自 2012年 2 月 20 日開始至 2012 年 5 月 27 日止3 設計（論文）所用資源和參考資料：1 錢吉林.高等代數題解精粹m.武漢:中央名族大學出版社,2005.2 楊子胥.高等代數習題解m.濟南:山東科學技術出版社,2

2、003.3 方保镕.矩陣論m.北京:清華大學出版社,2004.4 程云鵬.矩陣論m.西安:西北工業(yè)大學出版社,2000.5 王萼芳.高等代數（第三版）m.北京:高等教育出版社,2005.6 鐘太勇.冪等矩陣與冪等變換性質的探討j.鄖陽師范高等?？茖W校學報,2005,25(3).7 郭素霞.關于冪等變換性質的討論j.衡水學院學報,2008,10(4).4 設計（論文）應完成的主要內容：（1）主要討論對稱變換、反對稱變換、冪等變換、對合變換、冪零變換五類特殊的線性變換；（2）討論以上這些特殊線性變換的定義及性質；（3）對上面每一種線性變換給出它們與對應矩陣之間的關系；（4）討論以上這些特殊的線性變

3、換對應的特殊矩陣的性質；5 提交設計（論文）形式（設計說明與圖紙或論文等）及要求：提交一份8000字以上的紙質文檔和電子文檔，要求打印格式按湖南科技大學關于本科生畢業(yè)論文的要求，論文內容要求結論正確，論證充分，而且有一定的創(chuàng)新6 發(fā)題時間： 2012 年 1 月 05 日指導教師： （簽名）學 生： （簽名） 線性變換無論在數學基礎理論還是在應用中都有重要的地位，尤其是一些特殊的線性變換如對稱、反對稱變換，冪等變換、對合變換及冪零變換，也是線性變換中的重要內容。隨著特殊的線性變換的應用越來越廣泛，越來越多的人關注特殊的線性變換的研究，并且已經取得了豐富的成果。本文在前人的基礎上比較系統(tǒng)、深入和

4、細致地研究了五類特殊的線性變換的若干性質，更全面的探討特殊的矩陣，還討論了這些特殊的線性變換及其矩陣之間的關系。關鍵詞：對稱變換；反對稱變換；冪等變換；對合變換；冪零變換abstractlinear transformation in terms of the theory of mathematical foundations and applications have an important role, especially in some special linear transformation, such as symmetric, asymmetric transformatio

5、n idempotent transformation involutory transformation and nilpotent transformation, is also a linear transformationthe important content. with the special linear transformation more widely, more and more people are concerned about the special linear transformation, and has achieved fruitful results.

6、 on the basis of previous systems, in-depth and detailed study of the five special linear transformation of a number of nature, a more comprehensive discussion of the special matrix, was also discussed between special linear transformation and its matrix relationship.keywords: symmetric transformati

7、on；anti-symmetric transformation；idempotent transformation； involution transformation；nilpotent transformation目 錄第一章 前 言1第二章 對稱變換22.1 對稱變換的定義及性質22.2 對稱變換和對稱矩陣3第三章 反對稱變換7第四章 冪等變換104.1 冪等變換定義及性質104.2 冪等矩陣及其性質11第五章 對合變換155.1 對合變換定義及性質155.2 對合矩陣及性質15第六章 冪零變換18第七章 結 論21參考文獻22致 謝23第一章 前 言線性變換是研究線性代數問題的重要工

8、具，線性變換在給定的一組基下對應唯一矩陣，并且這種對應保持很多性質，比如線性性、可逆性等等這給我們提供了研究線性變換的一種思想方法線性變換的思想不僅在日程數學的學習和研究中有著重要的重要，在物理、化學、經濟等諸多領域也起著非常重要的作用。在學習線性變換的內容是我們會經常提到一些特殊的線性變換，通常都會出現在解決特定的問題上面，通過使用特殊的線性變換定義，發(fā)現起到了很好的效果，不僅僅在解決問題方面簡明快捷而且比較容易理解。但是對于特殊的線性變換我們了解甚少，比如對稱變換、反對稱變換、冪等變換、對合變換和冪零變換作為特殊的線性變換無論在理論方面，還是在實際應用方面都有重要的意義我們在研究線性變換及

9、學習有關數學知識時，經常要討論這些特殊的線性變換這些特殊的線性變換并沒有引起我們足夠的關注，也很少有同學更加深入的去學習和研究特殊的線性變換，包括其定義和推理證明。因為在日常的學習中我對于特殊的線性變換的內容應用的比較多，覺得特殊的線性變換需要引起我們的足夠重視，所以特在此總結我的學習成果。本文先給出這些特殊線性變換及對應矩陣的定義，這些特殊矩陣的性質在高等代數的學習中沒有系統(tǒng)的研究過然后系統(tǒng)地研究了這五類特殊的線性變換及其矩陣的性質，并給出了相應的證明算是粗略的對特殊的線性變換進行額一次總結。第二章 對稱變換2.1 對稱變換的定義及性質定義2.1 設為歐氏空間的一個線性變換，若對任意兩個向量

10、都有成立，則稱為的對稱變換對稱變換是線性變換中經常用到的特殊的變換，教材中在討論對稱變換時只給出了定義，但對其性質的研究很少，下面討論對稱變換的幾個性質性質2.1 設是維歐氏空間的對稱變換，則對中任意，都有的充要條件是的特征根都是非負實數證明 設是的一組標準正交基，且由于是對稱變換，所以，令，則于是是半正定陣 的特征根都是非負實數 的特征根都是非負實數性質2.2 若為維歐氏空間的對稱變換，則是的正交補證明 ,，則，于是所以，此即，從而又因為故1 性質2.3 設為維歐氏空間的一個線性變換，則為對稱變換的充分必要條件是有個兩兩正交的特征向量證明 必要性：設為對稱變換，且在標準正交基下的方陣為，則為

11、實對稱方陣，從而存在正交方陣，使 （1）其中為的全部特征值令，則也是標準正交基，在此基下的方陣為，從而由（1）知即有個兩兩相交的特征向量充分性：設有個兩兩正交的特征向量，且令則為的一組標準正交基，且在此基下的矩陣為由于是實對稱的，故為對稱變換性質2.4 設為維歐氏空間的一個對稱變換，是的一個特征值，則的重數等于特征子空間的維數（即對稱變換的任一特征值其代數重數等于幾何重數）證明 設是的特征多項式的重根，則又因是對稱變換，故存在基，使在此基下的方陣為，則有其中為的全部特征值現不妨設，則從而為中個線性無關的向量，所以故22.2 對稱變換和對稱矩陣下面考慮對稱變換對應的矩陣與對稱變換的關系設為歐氏空

12、間中的一個對稱變換，是的一組標準正交基，并設在基下的矩陣為，即 ，由對稱變換的定義，有，即，因為是標準正交基，故有， 這說明是一個實對稱矩陣反之，任給一個階實對稱矩陣，在維歐氏空間中取定一組標準正交基，由定義一個線性變換，使，于是，記在下的坐標分別為，則，這說明是一個對稱變換由此可得下面的定理：定理2.1 維歐氏空間的線性變換是實對稱變換的充要條件是：在標準正交基下的矩陣是實對稱矩陣，即有3這樣，我們就建立了對稱變換和對稱矩陣之間的對應關系利用定義，我們還可以得到矩陣在內積運算中的轉移規(guī)則，這個規(guī)則有時是很有用的，下面分兩種情況討論（1）若是對稱矩陣，且，則在內積中的轉移規(guī)則為（2）若不是對稱

13、矩陣，且，則有，事實上，了解了這些性質后，我們接著討論實對稱矩陣的特征值和特征向量實對稱矩陣的特征值和特征向量有下面的重要性質，現以定理形式給出3定理2.2 實對稱矩陣的特征值都是實數證明 假定是實對稱矩陣，是它的一個特征值，是屬于的特征向量，則，兩邊取共軛得 ，再由共軛復數的性質，有，取轉置，且注意，從而有，用右乘上式子，便得，即 ，但，故有，這就表明是實數定理2.3 實對稱矩陣的不同特征值所對應的特征向量是正交的證明 設,是實對稱矩陣的兩個不相同的特征值，且由于，因而，即 ，但是，因而所以，就表明與正交應該注意，就實對稱矩陣而言，屬于同一特征值的的線性無關的特征向量不一定是正交的但是，可以

14、使用schmidt正交化方法將它們正交化4對角矩陣是形式最簡單的矩陣，而矩陣對角化在線性變換和二次型的主軸問題中起著關鍵作用，下面我們來研究實對稱矩陣的對角化問題定理2.4 對于任意一個級實對稱矩陣，都存在一個級正交矩陣，使成對角形證明 由于實對稱矩陣和對稱變換的關系，只要證明對稱變換有個特征向量做成標準正交基就行了我們對空間的維數作數學歸納法，顯然定理的結論成立設時定理的結論成立對維歐氏空間，線性變換必有一特征向量，記其對應的特征值為實數把單位化，還用代表它作的正交補，設為,由北大編高等代數c96中引理3知，是的不變子空間，其維數為又顯然也滿足，仍是對稱變換據歸納法假設，有個特征向量作成的標

15、準正交基，從而是的標準正交基，它們都是的個特征向量5從上面的證明可以知道，任意一個實對稱矩陣可以對角化，則任意一個對稱變換可以對角化第三章 反對稱變換定義3.1 設為歐氏空間的線性變換，如果對中任意向量均有則稱為反對稱變換定義3.2 設為階實矩陣，如果，則稱為實反對稱矩陣下面我們來研究反對稱變換與反對稱矩陣的對應關系，反對稱矩陣的特征值及對角化問題定理3.1 設是維歐氏空間，線性變換為反對稱變換的充分必要條件是在標準正交基下的矩陣為反對稱方陣證明 證法：設是的一組標準正交基，且在此基下的矩陣為，令為中任意向量，且，則它們在該組基下的坐標分別是，而且與在該基下的坐標分別為與，而內積，于是有，比較

16、上兩式知：為反對稱變換，即的必要且充分條件是，亦即，即為反對稱矩陣證法：任取的一組標準正交基，且令在此基下的矩陣為，即有，由此得 （1）設為反對稱的，則有，于是由（1）可得，即為反對稱矩陣反之，設為反對稱矩陣，即有，則由（1）得 （2）設，則由（2）可推出，即為反對稱變換2定理3.2 實反對稱矩陣的特征根是零或純虛數證明 設為實反對稱矩陣，是它的任意一個特征根，而是屬于特征根的一個特征向量，即一方面，有；另一方面，又有，故 但是，故，即為零或純虛數由于是根為0或純虛數的實系數多項式，其虛根成對出現，故可設的全部特征根為：，其中均為實數于是可以得到下面的定理定理3.3 對任意實反對稱矩陣，必存在

17、正交矩陣使，其中為非零實數，從而的特征根為，即0或純虛數2第四章 冪等變換4.1 冪等變換定義及性質定義4.1 設是線性空間的一個線性變換，若，則稱是冪等變換性質4.1 設是數域上的線性空間，是的冪等變換，則證明 已知是的冪等變換，則一方面，有，于是，故，即另一方面，則存在，使得，于是，則，即故有性質4.2 設是數域上的線性空間，是的冪等變換，則，即：可以分解為的核與值域的直和證明 證法：由有現只需證，則使，且，于是有所以所以再由，得6證法：已知是的冪等變換，則因為和都是的子空間，由子空間的運算性質，也是的子空間1、顯然另一方面，,，由性質4.1 ，則，而，得，即故有2、，由，則，由，存在，使

18、得，于是，即由的任意性知故有性質4.3 設是數域上的維線性空間，是的冪等變換，則存在的一組基，使得在該基下的矩陣為，其中證明 由性質4.2，設，則取的一組基，取的一組基由知，是的一組基，且，則在基下的矩陣為性質4.4 設是數域上的線性空間，是的冪等變換，則的特征值只能是1或0證明 設是的任意一個特征值，是的屬于的特征向量，即，由于，故有，即，又，則，所以或74.2 冪等矩陣及其性質定義4.2 設是階矩陣，若，則稱是冪等矩陣性質4.5 設是階矩陣，若，則的特征值只能是1或0性質4.6 設是階矩陣，若，設為的最小多項式，則或或性質4.7 設是冪等矩陣，則可以對角化證明 證法：由，易知是的零化多項式

19、，且的特征值只能是1或0，而無重根，故可以對角化證法：設是維向量空間，是的一組基，則存在線性變換，使得關于這組基的矩陣為，即由，得，由性質4.2知，另設的基是，而的基是，則有 ， ， 由是與的直和得是的一組基所以關于的基的矩陣是對角矩陣故與對角矩陣相似，所以可以對角化6推論 設為數域上的一個階方陣，且，則與對角矩陣相似性質4.8 設是冪等矩陣，則的秩等于的跡證明 設的秩為，由性質4.7知：，而相似矩陣有相同的特征值設為的全部特征值，則為的全部特征值則，而，所以=秩性質4.9 設是階冪等矩陣，則秩()+秩()=證明 證法：設秩()=由性質4.7，存在可逆矩陣使，則，故秩()=，所以秩()+秩()

20、=證法：設，其中是的列向量因為，得設的解空間為，則而，即，所以，則得又由于同型矩陣和的秩不大于秩的和得，故有性質4.10 設是秩為的冪等矩陣，則，其中，而為秩為的矩陣證明 由性質4.7，存在可逆矩陣使，即，令，則性質4.11 設為階實對稱矩陣，且證明：存在正交矩陣，使證明 證法i：設為的任一特征根，且由于，故,從而，故或0，即的特征值只能是1或0由于是實對稱的，故存在正交方陣使，其中證法：因為為實對稱矩陣，故存在正交方陣，使（1）其中為的實特征根由于，故由上式可知，從而故或0適當調整（1）式中的次序（把1都集中前面），就相當于對（1）式乘上適當的正交方陣，即得，其中，為正交矩陣第五章 對合變換

21、5.1 對合變換定義及性質定義5.1 設為維線性空間的一個線性變換，且(上的單位變換)，則稱為歐氏空間的對合變換性質5.1 對合變換的特征根只能是證明 設是的任意一個特征根，而是相應的一個特征向量，則由于，故有，從而，故性質5.2 設是對合變換，則，其中是的屬于特征根1是特征子空間，是的屬于特征根-1的特征子空間證明 任取，令，因為，所以，故，顯然有，所以再設，則，于是，即故2 5.2 對合矩陣及性質定義5.2 滿足條件的階矩陣叫做對合矩陣性質5.3 對合矩陣的特征值只能是1或-1性質5.4 對合矩陣可對角化性質5.5 為階對合矩陣，則性質5.6 設為實對稱矩陣，且，則存在正交矩陣使證明 因為

22、實對稱矩陣，故存在正交方陣，使 （1）其中為的特征值由于，故得又 ，從而即把（1）式右端對角線上的中的+1都集中到前面（交換相同的行與列，即乘上適當的正交矩陣），即存在正交方陣，使，即 ，其中為正交矩陣，而為階單位矩陣2在高等代數中有這樣一個性質：設是階對合矩陣，其中（=秩則（1） 相似于矩陣；（2） 當是實對稱矩陣時，正交相似于矩陣；（3） 當是hermit矩陣時，酉相似于矩陣對這一性質的證明，一般都利用線性（歐氏、酉）空間中的線性變換在兩個不同的（標準正交）基下所得的矩陣，再找這兩個基之間的過渡矩陣，從而得到在這里，我們只利用向量組線性相關性、線性方程組及分塊矩陣運算等知識來證明上述結論（

23、1），然后再利用schmidt標準正交化方法來證明上述結論（2）與（3）下面給出其證明先證（1）：已知，則設的秩是，則在中可取個線性無關的列，同時在齊次線性方程組中，可取一個基礎解系這樣就可得（2）易知是線性無關的作方陣，則是可逆矩陣，使所以再證（2）：因為是實對稱矩陣，所以（3）式中所得的列向量都是實的，利用schmidt標準正交化方法，可把與分別化為兩個標準正交向量組，再作方陣，注意到則是正交矩陣，它使，即得類似于（2）的證明，即得結論（3）綜上所述性質成立10第六章 冪零變換定義6.1 設是數域上的向量空間，是的線性變換，如果存在正整數，使，即對任意，有，則稱為冪零線性變換定義6.2 設

24、是數域上的階矩陣，如果存在正整數，使，則稱為冪零矩陣定理6.1 設是數域上的維向量空間，是的線性變換，若是冪零變換，則在某一組基下的矩陣是冪零矩陣證明 由于是冪零變換，即存在正整數，使對任意，有設是的一組基，關于基的矩陣是，即所以有由于是基，所以，因此是冪零矩陣性質6.1 設，若都不等于零，但，則線性無關證明 證法：反證法若線性相關，則存在不全為零的數，使設是第一個不等于零的系數，即，則兩邊施以變換，得由于，故對任意都有，從而由上式得但，故，這與假設矛盾所以線性無關證法：對作數學歸納法當時，向量組即，當然是線性無關的假定時結論成立，下證時成立設，但是，即于是由歸納法假設 （1）線性無關而如果 （2）線性相關，則必可由（1）線性表示設，兩邊施以，由于，故得這與矛盾故（2）必線性無關 根據歸納法原理，結論普遍成立2性質6.2 設是維線性空