高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文：為使高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)更有實效談起

1、讓問題成為激活學(xué)生數(shù)學(xué)思維的載體為使高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)更有實效談起【摘 要】 數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾說“問題是數(shù)學(xué)的心臟”。問起于題，疑源于思，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是一個復(fù)雜的思維過程。本文從高考復(fù)習(xí)中運用一題多解，激活學(xué)生思維的靈活性；運用聯(lián)想和想象，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性；變換思考角度，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性；注重題后反思，培養(yǎng)思維的批判性等四個方面；并結(jié)合教學(xué)中的案例闡述讓問題成為激活學(xué)生數(shù)學(xué)思維的載體，從而使高考復(fù)習(xí)更有實效。【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué) 問題 思維 復(fù)習(xí) 有效大家知道，對于高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，不僅要特別關(guān)注數(shù)學(xué)知識的發(fā)展過程和整體性，更要重視知識之間的聯(lián)系和思維過程。然而，在實際教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)存在著許多誤區(qū)：過

2、于重視陳述性知識，忽視程序性知識；過于重視題目的講解，即一講到底的滿堂灌，忽視學(xué)生的思維體驗；過于重視檢測，忽視講評，尤其第二、三輪復(fù)習(xí)中存在著練得多，講評得少；過于重視類型歸納，忽視條理思路，雖有一定的長處，但容易使學(xué)生思維僵化，不利于發(fā)展學(xué)生解決新問題的能力。那么，在高三復(fù)習(xí)中，如何使數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)更有實效？這是我們一線教師所要思考的一個重要課題。數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾說“問題是數(shù)學(xué)的心臟”。在長期的教學(xué)實踐中，筆者認(rèn)為，問起于題，疑源于思；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是一個復(fù)雜的思維過程，數(shù)學(xué)教學(xué)是思維過程的教學(xué)，上述教學(xué)誤區(qū)缺乏對數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)是制約高三復(fù)習(xí)質(zhì)量的瓶頸。以問題為起點，精心設(shè)計問題鏈，重視學(xué)生思維的

3、培養(yǎng)，激活學(xué)生的思維，既能達(dá)到學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解與感悟，又有利于改變學(xué)生只愿做題，還善于思考、總結(jié)、變通的現(xiàn)象，也能提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，因此，為使高三復(fù)習(xí)更有實效，筆者認(rèn)為“讓問題成為激活學(xué)生數(shù)學(xué)思維的載體”是一種好方法，下面談?wù)勛约旱捏w會，以期同行教正。1 運用一題多解、多變與多用，激活學(xué)生思維的靈活性思維的靈活性是指能隨機應(yīng)變，觸類旁通，不局限于某一方面，不受消極定勢的束縛。在例題教學(xué)中，運用一題多解、一題多變、一題多用，這不僅從一種途徑轉(zhuǎn)向另一種途徑，使學(xué)生思維始終趨于動的狀態(tài)，有助于培養(yǎng)思維的靈活性，從而更好的達(dá)到提高解題的機智。例1 在三角變換的復(fù)習(xí)中，首先采用下

4、題（蔡小雄老師整理）與學(xué)生探討一題多解：（08浙江高考第8題）若，則（ ）abcd思路1：由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，得，可得的值，再由商式求得；這是一種常規(guī)思路的解法；思路2：由，比較得出的值；思路3：兩邊平方得到齊次方程，再化為的方程，從而求得的值；思路4：運用對偶式，兩式平方相加，即得；思路5：運用輔助角公式將，轉(zhuǎn)化為,其中，得,則;思路6：由，則，代入已知得，則此直線與單位圓相切，且切點為，故；思路7：將條件轉(zhuǎn)化向量問題：,則，則得共線，于是，得；思路8：由柯西不等式當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ?；思?：，注意到，故，得.通過上述多種解法，可使學(xué)生思維始終處于一種“應(yīng)該再從另一個角度來思考問題

5、”的動的狀態(tài)。在這些證法中，匯聚了大量信息，從而拓寬了思維的領(lǐng)域，有效地訓(xùn)練了學(xué)生思維的靈活性。趁熱打鐵，引導(dǎo)學(xué)生運用上述命題的結(jié)構(gòu)，還可進(jìn)行一題多變和一題多用處理，通過這些方式的處理，學(xué)生思維的靈活性會進(jìn)一步得到訓(xùn)練。事實上。這是一個簡單的三角函數(shù)題，但卻“借題發(fā)揮”，從三角函數(shù)的基本關(guān)系式，輔助角公式，直線與圓，向量，自選模塊中的柯西不等式，導(dǎo)數(shù)的極值等了不同的出發(fā)點和角度，從一種途徑轉(zhuǎn)向另一種途徑來尋求問題的答案，這樣的復(fù)習(xí)才有效，既拓寬了解題思路，又增強知識間的相互聯(lián)系，使各知識渾然一體，培養(yǎng)了學(xué)生不孤立的看待問題，體驗了數(shù)學(xué)知識方法間的轉(zhuǎn)化過程，讓學(xué)生在平凡中領(lǐng)悟不平凡，重視基礎(chǔ)題，

6、學(xué)會從多角度思考解題的方法和靈活的思維方式。高考復(fù)習(xí)的靈魂就在于深入挖掘數(shù)學(xué)的本質(zhì)上大做文章，使好題、妙題生輝，充分例題功能的最大化。2.運用聯(lián)想和推廣，培養(yǎng)學(xué)生思維的獨創(chuàng)性。思維的獨創(chuàng)性是指完成思維活動的內(nèi)容、途徑和方法的自立程度，并通過獨立思考創(chuàng)造出有一定新穎的成份，表現(xiàn)為思維不循常規(guī)，不拘常法，不落俗套，尋求變異，勇于創(chuàng)新。它又常以廣泛的聯(lián)想、推廣、引伸及轉(zhuǎn)換等數(shù)學(xué)思想方法為基礎(chǔ)。高三的例題教學(xué)中，有不少例題往往是某一問題的特例，教學(xué)時，積極引導(dǎo)學(xué)生廣泛聯(lián)想，對這些特例作適當(dāng)?shù)囊?、推廣，探索創(chuàng)造，尋找一般規(guī)律，有利于思維獨創(chuàng)性品質(zhì)的培養(yǎng)。例如 縱觀近幾年的浙江高考向量題，它的問題不僅能

7、通過“數(shù)”的運算，也可結(jié)合圖形解決，在利用圖形的方法中，通過構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膱D形，既增加問題的直觀性，又可利用幾何性質(zhì)，省去一些計算，使問題能更準(zhǔn)、快、活的得到解決，這就是形的方法，體現(xiàn)了向量形的神韻。為了讓學(xué)生掌握形的方法，設(shè)計一組題鏈，使學(xué)生由淺入深學(xué)會通過題目中的條件構(gòu)造符合的圖形：(1) 若不共線,由能聯(lián)想到的圖形是 .(2)若不共線,滿足,則由能聯(lián)想到的圖形是 .(3) 若三個不共線向量滿足且,則由三個不共線向量能聯(lián)想到的圖形是 .(4)若不共線,由能聯(lián)想到的圖形是 .(5)若滿足且,由此能聯(lián)想到的圖形是 .(6)若,且滿足,由此聯(lián)想到的圖形是 .(7)若滿足且,由此能聯(lián)想到的圖形是 .通

8、過前面的鋪墊，讓學(xué)生理解和感悟?qū)ふ蚁蛄勘澈蟮膱D形的方法和技巧，激發(fā)了學(xué)生探究向量問題的強烈興趣。相互討論中運用形的方法，較快地解決了近5年的浙江高考向量題。再如：（07浙江高考）若非零向量，滿足，則（ c ）a b c d（圖1）（圖2）（圖3）（08浙江高考）已知是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（ c ）（圖2）a b c d（圖3）（圖1） 如圖1，由圓的最長的弦是直徑，的最大值是還可在此題目探究：1：若,其余條件保持不變呢?如上圖2；2:若不垂直呢? 若,，如上圖3.這一組題目，針對性地滲透數(shù)形結(jié)合基本數(shù)學(xué)思想方法的同時，培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、類比歸納的能力，把衡量

9、學(xué)生數(shù)學(xué)思維與能力的重要標(biāo)準(zhǔn)之一的數(shù)形思想完美結(jié)合，在教學(xué)中凸顯得淋漓盡致，而且體會轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)了學(xué)生思維的創(chuàng)造性。3.變換思考角度，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性思維的廣闊性是指思維發(fā)揮作用的范圍廣闊程度。在例題教學(xué)中，常以原題作為思維的出發(fā)點，將條件或目標(biāo)加以變換，通過分析條件的實質(zhì)以及條件之間的相互聯(lián)系，讓學(xué)生通過比較，產(chǎn)生思維上的認(rèn)知沖突，從而訓(xùn)練發(fā)現(xiàn)題目中隱含條件能力，可以培養(yǎng)思維的廣闊性。例如，在一組“形似質(zhì)相異”的排列組合問題鏈：五人按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的方法？1甲不站兩端；2甲、乙不相鄰；3甲、乙必須相鄰；4甲、乙之間間隔兩人；5甲不站左端乙不站右端；6甲、乙、丙三人從

10、左到右從高到低排列這一組問題中，讓學(xué)生通過比較、對比來訓(xùn)練在排列問題中的“特殊元素”與“特殊位置”，“相鄰問題”與“不相鄰問題”，“定序”與“不定序”，“正面情況多”與“反面考慮”所采用的各種針對性策略，總結(jié)出排列問題的八大基本方法-“加減乘除，捆插隔化”。再如，學(xué)生常對審題中的細(xì)節(jié)不重視，又在線性規(guī)劃問題求目標(biāo)函數(shù)范圍問題的轉(zhuǎn)化比較薄弱，故復(fù)習(xí)中選了一組題目讓學(xué)生去理解、感悟：已知,求的取值范圍.1.改變定點如：求；2.改變范圍如：；等；3.設(shè)置隱含條件如：求的取值范圍；求的取值范圍等；4.改變目標(biāo)函數(shù)：如；區(qū)域面積等； 5.改變可行域：如不等式組表示的平面區(qū)域；拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的兩條漸

11、近線所圍成的區(qū)域等.6.增加變量，改變問題方式如：僅在點取最大值時的范圍；待添加的隱藏文字內(nèi)容3設(shè)為實數(shù)，若，求的取值范圍； 若，且當(dāng)時，恒有，求點所形成的平面區(qū)域的面積等在放手讓學(xué)生做題中，讓學(xué)生感悟到“題目會說話”，要讓題目說話就是審題，它是解題的一個重要步驟，通過審題，收集信息，熟悉題目并深入思考，就會找到解題的入口，不忽視任何一個細(xì)節(jié)。高考復(fù)習(xí)忌在“就題論題”，這就好比是“戴著鐐銬在跳舞”，讓學(xué)生處理由淺入深的不同角度問題，雙基訓(xùn)練更加落實，在認(rèn)知沖突中思維更嚴(yán)密。 4.注重題后反思，培養(yǎng)思維的批判性思維的批判性是思維活動中的獨立分析和批判的程度。它主要表現(xiàn)為有自己的獨立見解，敢于懷疑

12、，有較高的辨誤能力。在解題教學(xué)中，我們教師要有針對性地抓住具有普遍意義的典型錯誤，有意識地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，進(jìn)行錯解辨析，提高學(xué)生的辨別和推理能力，從而達(dá)到培養(yǎng)思維批判性的目的。事實上，教的真諦在于導(dǎo)，學(xué)的成功在于悟。課堂教學(xué)的根本在于啟發(fā)學(xué)生如何去想，讓學(xué)生用內(nèi)心創(chuàng)造與體驗來學(xué)習(xí)，平時訓(xùn)練中，讓學(xué)生掌握知識，提高分析和解決問題能力，在概括歸納中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想和方法，在反思中提升能力。然而在實踐中，許多學(xué)生不重視解題后的反思，往往只是草草完成老師布置的作業(yè)，對問題淺嘗輒止，題做了不少，卻收獲甚微。針對這一情況借鑒了高考復(fù)習(xí)課中的案例：給出問題：直線與拋物線相交于a、b兩點，求證：“如果直線過點，

13、那么”是真命題。 讓學(xué)生獨立思考，自行完成，并將一同學(xué)的解題抄在黑板：解：設(shè)直線的方程為，由得，則.又由得，則.,故命題得證。在解決后反思，該解法有什么問題？讓學(xué)生歸納：問題1：所設(shè)直線的方程不全面遺漏了斜率不存在時直線的方程為,此時也滿足題意；問題2：在兩次消元后得到的方程中運用韋達(dá)定理都沒考慮條件，需說明；問題3：字母,表示什么意義均未提及，需另設(shè)，繼續(xù)反思，作何改進(jìn)？1.沒必要進(jìn)行兩次消元，由可得； 2.在解析幾何中設(shè)直線方程常常對斜率存在或不存在進(jìn)行，而本題中可知直線的斜率顯然不為0，故可設(shè)避免討論；同時還可總結(jié)形成解決直線與圓錐曲線問題的核心方法-運用韋達(dá)定理，常用步驟是：設(shè)、聯(lián)、消

14、、判、定。再繼續(xù)反思，能否自己編擬問題，如從命題的逆命題、否命題、逆否命題的真假判斷，或從問題的一般性出發(fā)等：1.逆命題是：設(shè)直線交拋物線于a、b兩點，若，則直線過點；2. 直線交拋物線于a、b兩點，若，則弦過定點反之成立；3. 若拋物線c：的一條動弦過定點，則為定值； 4還可以讓學(xué)生了解更一般的情況：已知ab為拋物線c：的一條動弦，為坐標(biāo)原點，當(dāng)a、b兩點位于x軸的兩側(cè)時，ab弦過定點）；當(dāng)a、b兩點位于x軸的同側(cè)時，ab弦過定點這在一組問題中，師生互動，相互交流，一起彌補三個解題漏洞和缺陷，在完善、規(guī)范學(xué)生的解法后，教師及時點出這類問題通常有著“設(shè)、聯(lián)、消、判、定”五個基本步驟，這樣就讓學(xué)生在實踐中有了很強的針對性和操作性。還充分考慮到思維的循序漸進(jìn)，使通過做題的學(xué)生都能體會到其中蘊含的規(guī)律，結(jié)合學(xué)生的解題經(jīng)驗上給出方向編擬題目，在解題中提高，在聯(lián)系中發(fā)展，在總結(jié)中提升。高三復(fù)習(xí)不僅要讓學(xué)生獲得