四年級 奧數(shù) 講義 366學(xué)子 教案庫 第7講.精英班.教師版染色與操作問題

1、第七講 染色與操作問題教學(xué)目標(biāo)1. 掌握染色問題的分析思路和典型的染色方法；2. 理解操作問題的解題方法。經(jīng)典精講染色問題這里的染色問題不是要求如何染色，然后問有多少種染色方法的那類題目，它指的是一種解題方法。染色方法是一種將題目研究對象分類的形象化方法，通過將問題中的對象適當(dāng)染色，我們可以更形象地觀察分析出其中所蘊(yùn)含的關(guān)系，再經(jīng)過一定的邏輯推理，便能得出問題的答案。這類問題不需要太多的數(shù)學(xué)知識，但技巧性、邏輯性較強(qiáng)，要注意學(xué)會幾種典型的染色方法。【例1】 六年級一班全班有名同學(xué)，共分成排，每排人，坐在教室里，每個座位的前后左右四個位置都叫作它的鄰座。如果要讓這名同學(xué)各人都恰好坐到他的鄰座上去

2、，能辦到嗎？為什么？【分析】 劃一個的方格表，其中每一個方格表示一個座位。將方格黑白相間地染上顏色，這樣黑色座位與白色座位都成了鄰座。因此每位同學(xué)都坐到他的鄰座相當(dāng)于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格。但實(shí)際上圖中有個黑格，個白格，黑格與白格的個數(shù)不相等，故不能辦到?！纠?】 右圖是學(xué)校素質(zhì)教育成果展覽會的展室，每兩個相鄰的展室之間都有門相通。有一個人打算從室開始依次而入，不重復(fù)地看過各室展覽之后，仍回到室，問他的目的能否達(dá)到，為什么？【分析】 采用染色法。如右下圖，共有個展覽室，對這個展覽室，黑白相間地進(jìn)行染色，從白室出發(fā)走過第扇門必至黑室，再由黑室走過第扇門至白室，由于不重復(fù)地走遍每一

3、間展覽室，因此將走過黑白相間的個展覽室，再回到白室，共走過扇門。由于走過奇數(shù)次門至黑室，走過偶數(shù)次門至白室。 現(xiàn)在，走過扇門，必至黑室，所以無法回到原來的白室。鞏固 有一次車展共個展室，如右圖，每個展室與相鄰的展室都有門相通，入口和出口如圖所示。參觀者能否從入口進(jìn)去，不重復(fù)地參觀完每個展室再從出口出來?分析 如右下圖，對每個展室黑白相間染色，那么每次只能從黑格到白格或從白格到黑格。由于入口處和出口處都是白格，而路線黑白相間，首尾都是白格，于是應(yīng)該白格比黑格多個，而實(shí)際上白格、黑格都是個，故不可能做到不重復(fù)走遍每個展室?！纠?】 右圖是半張中國象棋盤，棋盤上放有一只馬。眾所周知，馬是走“日”字的

4、。請問：這只馬能否不重復(fù)地走遍這半張棋盤上的每一個點(diǎn)，然后回到出發(fā)點(diǎn)？【分析】 馬走“日”字，在中國象棋盤上走有什么規(guī)律呢？為方便研究規(guī)律，如下圖所示，先在棋盤各交點(diǎn)處相間標(biāo)上和，圖中共有22個和23個。因?yàn)轳R走“日”字，每步只能從跳到，或由跳到，所以馬從某點(diǎn)跳到同色的點(diǎn)（指或），要跳偶數(shù)步；跳到不同色的點(diǎn)，要跳奇數(shù)步?，F(xiàn)在馬在點(diǎn)，要跳回這一點(diǎn)，應(yīng)跳偶數(shù)步，可是棋盤上共有個點(diǎn)，所以不可能做到不重復(fù)地走遍所有的點(diǎn)后回到出發(fā)點(diǎn)。討論：如果馬的出發(fā)點(diǎn)不是在點(diǎn)上而是在點(diǎn)上，那么這只馬能不能不重復(fù)地走遍這半張棋盤上的每個點(diǎn)，最后回到出發(fā)點(diǎn)上呢？按照上面的分析，顯然也是不可能的。但是如果放棄“回到出發(fā)點(diǎn)”

5、的要求，那么情況就不一樣了。從某點(diǎn)出發(fā)，跳遍半張棋盤上除起點(diǎn)以外的其它個點(diǎn)，要跳步，是偶數(shù)，所以起點(diǎn)和終點(diǎn)應(yīng)是同色的點(diǎn)（指或）。因?yàn)椴教^的點(diǎn)與點(diǎn)各個，所以起點(diǎn)必是，終點(diǎn)也是。也就是說，當(dāng)不要求回到出發(fā)點(diǎn)時，只要從出發(fā)，就可以不重復(fù)地走遍半張棋盤上的所有點(diǎn)?！纠?】 右圖是由個大小相同的方格組成的圖形。試問能不能剪裁成個由相鄰兩方格組成的長方形？【分析】 將這個小方格黑白相間染色（見右下圖），有個黑格，個白格。相鄰兩個方格必然是一黑一白，如果能剪裁成個小長方形，那么個格應(yīng)當(dāng)是黑、白各個，與實(shí)際情況不符，所以不能剪裁成個由相鄰兩個方格組成的長方形。鞏固 右圖是由個小正方形組成的圖形，能否將它剪裁

6、成個相同的長方形？分析 將個小正方形剪裁成個相同的長方形，就是將圖形分割成個的小長方形，將圖形黑白相間染色后，發(fā)現(xiàn)有黑，白，黑、白格數(shù)目不等，而的小長方形覆蓋的總是黑白格各一個，所以不可能做到。【例5】 能否用個所示的卡片拼成一個的棋盤？【分析】 不能。將的棋盤黑白相間染色（見右圖），有個黑格。而每張卡片蓋住的黑格數(shù)只能是或者，所以每張卡片蓋住的黑格數(shù)是個奇數(shù)，張卡片蓋住的黑格數(shù)之和也是奇數(shù)，不可能蓋住個黑格。鞏固 如右圖，缺兩格的方格有個格，能否用個圖不重復(fù)地蓋住它且不留空隙?分析 這種覆蓋問題是典型的用染色方法解決的問題之一。用來覆蓋，則用黑白相間染色，可以發(fā)現(xiàn)它無論橫放、豎放，必然蓋住一

7、白一黑。要不重復(fù)不留空白，那總共蓋住的黑格數(shù)與白格數(shù)應(yīng)該相等。但從染色后整個圖來看，黑格個，白格個，故不可能將整個圖不重不漏地蓋住?！纠?】 用個和個能否蓋住的大正方形？【分析】 如右圖，對的正方形黑白相間染色后，發(fā)現(xiàn)必然蓋住白黑，個則蓋住白黑。則蓋住了白黑或黑白，從奇偶性考慮，都是奇數(shù)。而這種形狀共個，奇數(shù)個奇數(shù)相加仍為奇數(shù)，故這種形狀蓋住的黑格和白格都是奇數(shù)，加上另一種形狀的白黑，兩種形狀共蓋住奇數(shù)個白格奇數(shù)個黑格。但實(shí)際染色后共個白格個黑格，故不可能按題目要求蓋住。注意：本題中每個蓋白黑或黑白，個這種形狀蓋住的不一定是白黑或黑白，因?yàn)榭赡芤徊糠稚w白黑，另一部分蓋黑白。這是一個容易犯錯的地

8、方。拓展 用若干個和的小正方形能不能拼成一個的大正方形？請說明理由。分析 如右圖所示，將或的小正方形沿格線擺在右圖的任何位置，必定蓋住偶數(shù)個陰影方格，而陰影方格共有個，是奇數(shù)，所以只用和的小正方形，不可能拼成的大正方形。操作問題【例7】 對于任意一個自然數(shù)，當(dāng)為奇數(shù)時，加上；當(dāng)為偶數(shù)時，除以，這算一次操作?，F(xiàn)在對連續(xù)進(jìn)行這種操作，在操作過程中是否可能出現(xiàn)？為什么？【分析】 同學(xué)們碰到這種題，可能會“具體操作”一下，得到： 這個過程還可以繼續(xù)下去，雖然一直沒有得到，但也不能肯定得不到。當(dāng)然，連續(xù)操作下去會發(fā)現(xiàn)，數(shù)字一旦重復(fù)出現(xiàn)后，這一過程就進(jìn)入循環(huán)，這時就可以肯定不會出現(xiàn)。因?yàn)檫@一過程很長，所以

9、這不是好方法。我們可以從另一個方面來考慮，因?yàn)楹投际堑谋稊?shù)，而不是的倍數(shù)，所以在操作過程中產(chǎn)生的數(shù)也應(yīng)當(dāng)是的倍數(shù)。不是的倍數(shù)，所以不可能出現(xiàn)?！纠?】 將一張正方形紙片，橫著剪刀，豎著剪刀，裁成盡可能大的形狀大小一樣的張長方形紙片。再把這樣的一張長方形紙片裁成盡可能大的面積相等的小正方形紙片。如果小正方形邊長為厘米，那么大正方形紙片的面積應(yīng)為多少平方厘米？說明理由?！痉治觥?大正方形紙片被橫著裁成份，豎著裁成份，所以裁成的長方形紙片的長寬比為，若將這樣的紙片切割成盡可能大的正方形紙片，則正方形紙片邊長應(yīng)該為長方形紙片長、寬的公約數(shù)，而，所以長方形紙片的寬是小正方形紙片的邊長的倍，所以長方形紙片

10、寬厘米，大正方形紙片邊長為厘米。所以大正方形紙片的面積為平方厘米?！纠?】 對于表，每次使其中的任意兩個數(shù)減去或加上同一個數(shù)，能否經(jīng)過若干次后（各次減去或加上的數(shù)可以不同），變?yōu)楸?？為什么？【分析?因?yàn)槊看斡袃蓚€數(shù)同時被加上或減去同一個數(shù)，所以表中九個數(shù)碼的總和經(jīng)過一次變化后，等于原來的總和加上或減去那個數(shù)的倍，因此總和的奇偶性沒有改變。原來九個數(shù)的總和為，是奇數(shù)，經(jīng)過若干次變化后，總和仍應(yīng)是奇數(shù)，而表中九個數(shù)的總和是，是個偶數(shù)。奇數(shù)不可能等于偶數(shù)，所以不可能變成表。鞏固 在圖的方格表中，對任意相鄰的上下或左右兩格中的數(shù)字同時加或減，這算一次操作，經(jīng)過若干次操作后變?yōu)閳D，問：圖中的格中的數(shù)字

11、是幾？分析 將的方格進(jìn)行黑白相間染色，如右圖所示，每個小格同時加或減，因黑白格數(shù)相等，那么操作中不變的應(yīng)該是黑格數(shù)字和與白格數(shù)字和之差，由圖知這個差是，由圖可知：白格數(shù)之和黑格數(shù)之和，所以?！纠?0】 能否把臺電話中的每臺電話恰好與其它臺相連？【分析】 如果我們可以把個電話或個電話做到每臺電話與個電話相連接，我們可以將分成個一組的共組以及個一組的共組。如下圖，每個點(diǎn)代表一臺電話，每條線段表示其兩個端點(diǎn)為相連接的兩臺電話，左圖為臺電話的情形，右圖為臺電話的情形。所以我們可以把臺電話中的每臺電話恰好與其它臺相連?！纠?1】 下圖是八間房子的示意圖，相鄰兩間房子都有門相通。從點(diǎn)穿過房間到達(dá)處，如果只

12、能從小號碼房間走向大號碼房間，那么共有多少種不同的走法？【分析】 只有一個口，只能選擇進(jìn)；有兩種選擇，可以選擇進(jìn)也可以選擇進(jìn)，所以有種走法；依此類推，每間房間的走法種數(shù)如下：。所以從點(diǎn)開始有（種）?！纠?2】 右圖是一個的方格盤。先將其中的個方格染黑，然后按以下規(guī)則繼續(xù)染色：如果某個格與兩個黑格都有公共邊，就將這個格染黑。這樣操作下去，能否將整個方格盤都染成黑色？【分析】 開始時染黑個方格，這個方格的總周長不會超過，以后每染一個格，因?yàn)檫@個格至少與兩個黑格有公共邊，所以染黑后，所有黑格的總周長不會增加。也就是說，所有黑格的總周長永遠(yuǎn)不會超過，而方格盤的周長是，所以不能將整個方格盤都染成黑色。鞏

13、固精練1. 右圖是某套房子的平面圖，共個房間，每相鄰兩房間都有門相通。請問：你能從某個房間出發(fā)，不重復(fù)地走完每個房間嗎?【分析】 如圖所示，將房間黑白相間染色，發(fā)現(xiàn)有個白格，個黑格。因?yàn)槊看沃荒苡珊诟竦桨赘窕蛴砂赘竦胶诟瘢肪€必然黑白相間，這樣白格數(shù)目與黑格數(shù)目之差最多為才能不重復(fù)，但圖中黑格比白格多個，所以無法實(shí)現(xiàn)不重復(fù)走遍。2. 如右圖，在方格的格中有一只爬蟲，它每次總是只朝上下左右四個方向爬到相鄰方格中。那么它能否不重復(fù)地爬遍每個方格再回到格中?【分析】 由小蟲的爬法，仍可黑白相間對方格自然染色，于是小蟲只能由黑格爬到白格或由白格爬到黑格。所以，它由出發(fā)回到，即黑格爬到黑格，必須經(jīng)過偶數(shù)

14、步。而小方格為個，每格爬過一次，就應(yīng)該為步，不是偶數(shù)。于是這只爬蟲不可能不重復(fù)地爬遍每格再回到格。3. 老師在黑板上畫了個點(diǎn)，要求同學(xué)們用一筆畫出一條通過這個點(diǎn)的折線(只許拐三個彎)。你能辦到嗎?【分析】 大家開始嘗試多次之后可能會得出“不可能”的結(jié)論，但是大家不要忽略一點(diǎn)，題中并沒要求所有折線只能限定在這個點(diǎn)的范圍之內(nèi)。我們把折線的范圍沖破圖中個點(diǎn)所限定的正方形，那么問題就容易解決了，如右圖。4. 右圖是一個圓盤，中心軸固定在黑板上。開始時，圓盤上每個數(shù)字所對應(yīng)的黑板處均寫著。然后轉(zhuǎn)動圓盤，每次可以轉(zhuǎn)動的任意整數(shù)倍，圓盤上的四個數(shù)將分別正對著黑板上寫數(shù)的位置，將圓盤上的數(shù)加到黑板上對應(yīng)位置的

15、數(shù)上。問：經(jīng)過若干次后，黑板上的四個數(shù)是否可能都是？【分析】 不可能。因?yàn)槊看渭由系臄?shù)之和都是，所以黑板上的四個數(shù)之和永遠(yuǎn)是的整數(shù)倍。而，不是的倍數(shù)，所以黑板上的四個數(shù)不可都是。 籃球運(yùn)動起源于年，由美國的體育教師詹姆士奈史密斯博士發(fā)明。年柏林奧運(yùn)會上，男子籃球比賽第一次被列為正式比賽項(xiàng)目。女子籃球到年蒙特利爾奧運(yùn)會上才被正式納入。奧運(yùn)會上只設(shè)男子和女子團(tuán)隊(duì)兩塊金牌。在過去的屆男子籃球和屆女子籃球奧運(yùn)會比賽中，美國男籃獲得了次冠軍，蘇聯(lián)男籃獲得次冠軍，南斯拉夫和阿根廷男籃各獲得次冠軍；美國女籃獲得次冠軍，蘇聯(lián)女籃獲得次冠軍，獨(dú)聯(lián)體女籃獲得次冠軍。中國在奧運(yùn)會上取得的最好成績是男子第八名（第屆亞

16、特蘭大和第屆雅典奧運(yùn)會），女子為第二名（第屆巴塞羅那奧運(yùn)會）。宋朝的范仲淹從小就懂得立志，有一次他去算命，他問那個算命先生說，“你幫我看一看，我能不能當(dāng)宰相”，這位算命先生一輩子從來沒有見過一個小孩居然開口就說要當(dāng)宰相，嚇了一跳，跟范仲淹說，“小小年紀(jì)，怎么口氣這么大？”范仲淹有點(diǎn)不好意思，又跟他說，“不然這樣好了，你再看看，我能不能當(dāng)醫(yī)生”。算命先生覺得納悶，怎么會有兩個差別這么大的志愿，就問他，“你為什么挑這兩個志愿?”范仲淹說，“因?yàn)橹挥辛枷喔坚t(yī)可以救人”。算命先生聽完后很感動，一個孩子竟然念念不忘想著要救人，所以他馬上跟范仲淹說，“你有這樣一顆心，叫真正的宰相之心，你以后一定可以當(dāng)宰

17、相”。后來范仲淹果然當(dāng)了宰相。因?yàn)樗麖哪菚r就在做準(zhǔn)備了，從小他的志向就很堅定，勇往直前。越是高遠(yuǎn)的志向，越是有一顆無私的心。超越一己之私的理想信念能產(chǎn)生不同尋常的動力，激勵人們前進(jìn)。1、心靈選擇志向，志向選擇人生。2、無私的人離成功更近。1. 用戶明確同意其使用道客巴巴網(wǎng)絡(luò)服務(wù)所存在的風(fēng)險將完全由其本人承擔(dān)；因其使用道客巴巴網(wǎng)絡(luò)服務(wù)而產(chǎn)生的一切后果也由其本人承擔(dān)。道客巴巴對用戶及任何第三方不承擔(dān)任何責(zé)任。2. 道客巴巴不擔(dān)保或保證網(wǎng)絡(luò)服務(wù)一定能滿足用戶的要求，也不擔(dān)保網(wǎng)絡(luò)服務(wù)不會中斷，對網(wǎng)絡(luò)服務(wù)的及時性、安全性、準(zhǔn)確性也都不作任何擔(dān)?；虮ＷC。3. 道客巴巴不保證為向用戶提供便利而設(shè)置的外部鏈接的準(zhǔn)確性和完整性，同時，對于該等外部鏈接指向的不由道客巴巴實(shí)際控制的任何網(wǎng)頁上的內(nèi)容，道客巴巴也不承擔(dān)任何責(zé)任。4. 對于因不可抗力或道客巴巴不能控制的原因造成的網(wǎng)絡(luò)服務(wù)中斷或其它缺陷，道客巴巴不承擔(dān)任何責(zé)任，但將盡力減少因此而給用戶造成的損失和影響。5. 道客巴巴對于任何自本網(wǎng)站而獲得的他人的信息、內(nèi)容或者廣告宣傳等任何資訊（以下統(tǒng)稱“信息”），不保證真實(shí)、