大學(xué)物理第四章習(xí)題主講與復(fù)習(xí)

1、第一節(jié) 第四章第四章 第十題第十題 4-13 4-13 如圖所示，質(zhì)量如圖所示，質(zhì)量 的實心圓柱體的實心圓柱體A，其半徑為，其半徑為 ，可以繞，可以繞 其固定水平軸轉(zhuǎn)動，阻力忽略不計。一條輕的柔其固定水平軸轉(zhuǎn)動，阻力忽略不計。一條輕的柔 繩繞在圓柱體上，其另一端系一個質(zhì)量繩繞在圓柱體上，其另一端系一個質(zhì)量 的物體的物體B。 求：（求：（1 1）物體由靜止開始下降后）物體由靜止開始下降后 的距離；（的距離；（2 2）繩的張力）繩的張力 kg16 1 m cm15r kg0 . 8 2 m s0 . 1 T F 解：解：（1）分別作兩物體的受力分析圖。對實心 圓柱體而言，由轉(zhuǎn)動定律得 對懸掛物體而

2、言，依據(jù)牛頓定 律，有 amFgmFP 2T2T2 2 1 2 1 rmjrF T 又由角量與線量 的關(guān)系，得 ra TT FF且 解上述方程組，可得物 體下落的加速度 21 2 2 2 mm gm a 在t = 1.0 s時，B下落的距離為 m45. 2 22 1 21 2 2 2 mm gtm ats （2）由第二式可得繩中的張力為 N2 .39 2 21 21 g mm mm agmF T 第十四題第十四題 4-14 4-14 質(zhì)量為m1和m2的兩物體A、 B分別懸掛在如圖所示的組合輪兩端。設(shè)兩輪的 半徑分別為R和r，兩輪的轉(zhuǎn)動慣量分別為J1和J2， 輪與軸承間的摩擦力略去不計，繩的質(zhì)量

3、也略去 不計。試求兩物體的加速度和繩的張力。 解：分別對兩物體及組合輪 作受力分析，根據(jù)質(zhì)點的牛頓 定律和剛體的轉(zhuǎn)動定律，有: 11T111T1 amFgmFP （1） 222T22T2 amgmFPF （2） 21T2T1 JJrFRF （3） T2T2T1T1 ,FFFF （4） 由角加速度和線加速度之間的關(guān)系，有 Ra 1 （5）ra 2 （6） 解上述方程組，可得 gR rmRmJJ rmRm a 2 2 2 121 21 1 gr rmRmJJ rmRm a 2 2 2 121 21 2 gm rmRmJJ RrmrmJJ F 1 2 2 2 121 2 2 221 T1 gm rm

4、RmJJ RrmRmJJ F 2 2 2 2 121 1 2 121 T2 第十五題第十五題 4-154-15、如圖所示裝置，定滑輪的 半徑為r，繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，滑輪兩邊分別懸 掛質(zhì)量為m1和m2的物體A、B。A置于傾角為的斜 面上，它和斜面間的摩擦因數(shù)為。若B向下作加速 運動時，求：（1）其下落加速度的大??；（2）滑 輪兩邊繩子的張力。（設(shè)繩的質(zhì)量及伸長均不計， 繩與滑輪間無滑動，滑輪軸光滑） 分析：分析：物體物體A A和和B B可視為質(zhì)點可視為質(zhì)點,則運 用牛頓定律,由于繩與滑輪間無滑動, 滑輪兩邊繩中的張力是不同的,滑輪 在力矩作用下產(chǎn)生定軸轉(zhuǎn)動,因此,對 滑輪必須運用剛體的定軸轉(zhuǎn)

5、動.列出 動力學(xué)方程式,并考慮到角量與線量 之間的關(guān)系,即能解出結(jié)果來. 解：解： 作A、B和滑輪的受力分析 圖。其中A是在張力FT1、重力P1， 支持力FN和摩擦力Ff的作用下運動， 根據(jù)牛頓定律牛頓定律，沿斜面方向有 11111T cossinamgmgmF （1） 而B則是在張力FT2和重力P2的作用下運動，有 22T22 amFgm （2） 對滑輪而言，根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動定律有 JrFrF T1T2 T22T1TT1 ,FFFF （4） （5） 由于繩子不能伸長、繩與輪之間 無滑動，則有 raa 21 （3） 解上述各方程可得 2 21 112 21 cossin r J mm gmgmgm

6、 aa 2 21 2 121 T1 cossincossin1 rJmm rgJmgmm F 2 21 2 221 T2 cossin1 rJmm rgJmgmm F 第十七題第十七題 4-174-17、 一半徑為R、質(zhì)量為m的勻 質(zhì)圓盤，以角速度繞其中心軸轉(zhuǎn)動，現(xiàn)將它平放在一 水平板上，盤與板表面的摩擦因數(shù)為。（1）求圓盤所 受的摩擦力矩。（2）問經(jīng)過多少時間后，圓盤轉(zhuǎn)動才 能停止？ 分析：分析：轉(zhuǎn)動圓盤在平板上能逐漸停止下來轉(zhuǎn)動圓盤在平板上能逐漸停止下來 是由于平板對其摩擦力矩作用的結(jié)果。由于是由于平板對其摩擦力矩作用的結(jié)果。由于 圓盤各部分所受的摩擦力的力臂不同，總的圓盤各部分所受的摩擦

7、力的力臂不同，總的 摩擦力矩應(yīng)是各部分摩擦力矩的積分，因此摩擦力矩應(yīng)是各部分摩擦力矩的積分，因此 可將圓盤分割成許多同心圓環(huán)，取半徑為可將圓盤分割成許多同心圓環(huán)，取半徑為r、 寬為寬為dr的圓環(huán)為面元，環(huán)所受摩擦力，其方的圓環(huán)為面元，環(huán)所受摩擦力，其方 向均與環(huán)的半徑垂直，向均與環(huán)的半徑垂直，因此，該圓環(huán)的摩擦因此，該圓環(huán)的摩擦 力矩，其方向沿轉(zhuǎn)動軸，則圓盤停止前所經(jīng)力矩，其方向沿轉(zhuǎn)動軸，則圓盤停止前所經(jīng) 歷的時間，當然也可由轉(zhuǎn)動定律求解得歷的時間，當然也可由轉(zhuǎn)動定律求解得. . 解：解：（1）圓盤上半徑為r、寬度為dr的同心圓環(huán) 所受的摩擦力大小 其方向與環(huán)的半徑垂直，它的摩擦力矩為 kFr

8、M 22 f d2ddRrmgr 式中k為軸向的單位矢量。圓盤所受的總摩擦力矩大小為 2 /2RrdrmgdFf )J(tM （2）由于摩擦力矩是一恒力矩，圓盤的轉(zhuǎn)動慣量J = mR2/2。 由角動量定理 ，可得圓盤停止的時間為 dr dl R mgR R mgdrr dMM 0 2 2 3 22 g R M J t 4 3 m )e( t 1 0 0 4-19、如圖所示，一長為2l的細棒AB，其質(zhì)量 不計，它的兩端牢固地聯(lián)結(jié)著質(zhì)量各為 的小球， 棒的中點 焊接在豎直軸Z上，并且棒與Z軸夾角 在 角。若棒在外力作用下繞Z軸（正向為豎直 向上）以角速度 轉(zhuǎn)動，其中 為常 量，求：（1）棒與兩球構(gòu)

9、成的系統(tǒng)在時刻t對z 軸的角動量；（2）在t=0時系統(tǒng)所受外力對z軸 的角動量。 分析：分析：由于棒的質(zhì)量不計，該系統(tǒng)對z 軸的角動量即為兩小球?qū)軸的角動量之 和，首先可求出系統(tǒng)對z軸的角動量之和， 系統(tǒng)所受合外力矩既可以運用角動量定角動量定 理理，也可用轉(zhuǎn)動定律來求解。相比之下， 前者對本題更直接 Z l l A B O m 解：解：（1）兩小球?qū)軸的轉(zhuǎn)動慣量為 22 22)sinl (mmrJ ，則系統(tǒng)對z軸的角動量為 2 0 2 12sin)e(mlJL t 注：也可先求出每個小球?qū)軸的角動量后再求和 此處也可先求解系統(tǒng)繞z軸的角加速度表達式，即 t e dt d 0 ，再由JM

10、求得M t esinml ml dt d dt dL M 2 2 0 2t- 0 2 )sine-(12 t=0時，合外力矩為 2 0 2sinmlM （2）由角動量定理角動量定理得 第二十一題第二十一題 4-214-21、在光滑的水平面上有一木桿，其質(zhì)量為1.0kg， 長為l=40cm，可繞通過其中點并與之垂直的軸轉(zhuǎn)動，一質(zhì)量為10g的子彈， 以的速度v=2.0*102m.s-1射入桿端，其方向與桿及軸正交。若子彈陷入 桿中，試求所得到的角速度。 分析：分析：子彈與桿相互作用的瞬間，可將子彈視為繞軸的 轉(zhuǎn)動。這樣，子彈射入桿前的角速度可表示為，子彈陷 入桿后，它們將一起以角速度轉(zhuǎn)動。若將子彈

11、和桿視 為系統(tǒng)，因系統(tǒng)不受外力矩作用，故系統(tǒng)的角動量守恒因系統(tǒng)不受外力矩作用，故系統(tǒng)的角動量守恒。 由角動量守恒守律可解得桿的角速度 212 JJJ 解：解：根據(jù)角動量守恒定理 式中 為子彈繞軸的轉(zhuǎn)動慣量， 2 J 2 22 2lmJ 為子彈在陷入桿前的角動量， lv2為子彈在此刻繞軸的角速度。 12 2 11 lmJ 為桿繞軸的轉(zhuǎn)動慣量， 是子彈陷入桿后它們一起繞軸的角速度。 1 21 2 21 2 s1 .29 3 6 lmm vm JJ J 可得桿的角 速度為： 第二十六題第二十六題 4-26、一質(zhì)量為m、半徑為R的轉(zhuǎn)臺，以角速度 a轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)軸的摩擦略去不計，（1）有一質(zhì)量為m的蜘蛛垂直

12、地 落在轉(zhuǎn)臺邊緣上，此時，轉(zhuǎn)臺的角速度b為多少？（2）若蜘 蛛隨后慢慢地爬向轉(zhuǎn)臺中心，當它離轉(zhuǎn)臺中心的距離為r時，轉(zhuǎn)臺 的角速度為c多少？設(shè)蜘蛛下落前距離轉(zhuǎn)臺很近 分析：分析：對蜘蛛和轉(zhuǎn)臺的組成的轉(zhuǎn)動系統(tǒng)而言，在蜘蛛 下落至轉(zhuǎn)臺以及慢慢向中心爬移過程中，均未受到外力 矩的作用，故系統(tǒng)的角動量守恒系統(tǒng)的角動量守恒，應(yīng)該注意的是，蜘蛛 爬行過程中，其轉(zhuǎn)動慣量是在不斷改變的，由系統(tǒng)的角 動量守恒定律即可求解。 解：（1）蜘蛛垂直下落至轉(zhuǎn)臺邊緣時，由系統(tǒng)的角動量 守恒定律，有 ba )JJ(J 100 式中 2 0 2 1 RmJ為轉(zhuǎn)臺對其中心軸的轉(zhuǎn)動慣量， 2 1 mRJ 為蜘蛛剛落至臺面邊緣時，它

13、對軸的轉(zhuǎn)動慣量。 可得： aab mm m JJ J 2 10 0 （2）在蜘蛛向中心軸處慢爬行的過程中，其轉(zhuǎn)動 慣量將隨半徑r 而改變，即 2 2 mrJ 在此過程中，由系統(tǒng)角動量守恒系統(tǒng)角動量守恒，有 ca )JJ(J 200 則 aab mrRm Rm JJ J 22 2 20 0 2 第三十題第三十題 4-30、如圖所示，一質(zhì)量為m 的小球由一繩索系著，以角速度在無摩擦 的水平面水，作半徑為R的圓周運動。如 果在繩的另一端作用一豎直向下拉力，使 小球作半徑為R/2的圓周運動。試求：（1） 小球新的角速度；（2）拉力所作的功 0 r m 0 F 解：（1）根據(jù)分析，小球在轉(zhuǎn)動的過程中，角

14、動量保持守恒角動量保持守恒， 故有 1100 JJ 分析：分析：沿軸向的拉力對小球不產(chǎn)生力矩,因此,小球在 水平面上轉(zhuǎn)動的過程中不受外力矩作用,其角動量應(yīng)保 持不變。但是外力改變了小球圓周運動的半徑,也改變 了小球的轉(zhuǎn)動慣量,從而改變了小球的角速度,至于拉 力所作的功,可根據(jù)動能定理由小球動能的變化得到 1100 JJ 式中 0 J和 1 J分別是小球在半徑為 0 r和 0 2 1 r 時對軸的轉(zhuǎn)動慣量，即 2 00 mrJ 2 01 4 1 mrJ 則 00 1 0 4 J J （2）隨著小球轉(zhuǎn)動角速度的增加，其轉(zhuǎn)動動能也增 加，這正是拉力作功的結(jié)果。由轉(zhuǎn)動的動能定理轉(zhuǎn)動的動能定理可得 拉力

15、的功為 2 0 2 0 2 00 2 11 2 3 2 1 2 1 mrJJW 4-31、質(zhì)量為0.50kg,長為0.40m的均勻細棒，可 繞垂直于棒的一端的水平軸轉(zhuǎn)動，如將此棒放在水 平位置，然后任其落下，求：（1）當棒轉(zhuǎn)過60o時 的角加速度和角速度；（2）下落到豎直位置時的 動能；（3）下落到豎直位置時的角速度。 A P 分析：分析： 轉(zhuǎn)動定律M=J是一瞬時關(guān)系式，為求棒在不同 位置的角加速度，只需確定棒所在位置的力矩就可求得。 由于重力矩 是變力矩，角加速度也是變化的，因此，在求角速度時， 就必須根據(jù)角加速度用積分的方法來計算（也可以根據(jù) 轉(zhuǎn)動中的動能定理，通過計算變力矩的功來求），至

16、于 棒下落到豎直位置時的動能和角速度，可采用系統(tǒng)的機 械能守恒定律來求解，這是因為棒與地球所組成的系統(tǒng) 中，只有重力作功（轉(zhuǎn)軸處的支持力不作功），因此， 系統(tǒng)的機械能守恒。 cos 2 1 )(mgM 2 3 1 mlJ JM 解（1）棒繞端點的轉(zhuǎn)動慣量 ，由轉(zhuǎn)動定律 可得棒在 位置時的角加速度為 l g J M 2 cos3)( 當 時，棒轉(zhuǎn)動的角加速度 由于 ，根據(jù)初始條件對式 （1）積分，有 則角速度為 o 60 2 4 .18 s d d dt d d d dt d 0 60 00 dd 160 0 98. 7| sin3 0 s l g （2）根據(jù)機械能守恒，棒下落至豎直位置時的動能

17、為 JmglEk98. 0 2 1 （3）由于該動能也就是轉(zhuǎn)動動能，即 ， 所以，棒落至豎直位置時的角速度為 2 2 1 JEk 1 57. 8 32 s l g j Ek 0 l l m m 0 v v O 第三十六題 4-36、如圖所示，在光滑的水 平面上有一輕質(zhì)彈簧（其勁度系數(shù)為K），它的 一端固定，另一端系一質(zhì)量為m的滑塊。最初 滑塊靜止時，彈簧呈自然長度l0，今有一質(zhì)量為 m的子彈以速度v0沿水平方向并垂直于彈簧軸線 射向滑塊且留在其中，滑塊在水平面內(nèi)滑動， 當彈簧被拉伸至長度時，求滑塊速度v的大小和 方向。 分析：分析：分兩個過程來分析。（1 1）子彈和滑塊撞擊的過程。子 彈射入滑塊可視為質(zhì)點系的完全非彈性碰撞過程。沿子彈運動 方向上外力的沖量為零，所以，系統(tǒng)在撞擊過程中滿足動量守動量守 恒恒。（2 2）子彈與滑塊碰后以共同速度運動時，由于彈簧不斷 伸長，滑塊在受到指向固定點的彈力的作用下作弧線運動。對 滑塊的運動而言，該彈力為向心力，因而滑塊在運動中滿足角因而滑塊在運動中滿足角 動量守恒動量守恒；與此同時，對滑塊、彈簧所組成的系統(tǒng)對滑塊、彈簧所組成的系統(tǒng)也滿足機也滿足機 械能守恒械能守恒，這樣，當彈簧伸長至l時的滑塊速度的大小和方 向就可通過三條守恒定律三條守恒定律求得： 又，在滑塊繞固