第4章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)(2)

1、 2021年6月24日 2 系統(tǒng)微分方程的方法系統(tǒng)微分方程的方法 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) nnnjn nj nj mmm mmm mmm . . . . 1 2221 1111 M nnnjn nj nj kkk kkk kkk . . . . 1 2221 1111 K 小結(jié)：小結(jié)：剛度矩陣和質(zhì)量矩陣的確定剛度矩陣和質(zhì)量矩陣的確定 剛度矩陣剛度矩陣 K 中的元素中的元素 kij 是使系統(tǒng)僅在第是使系統(tǒng)僅在第 j 個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單 位位移而相應(yīng)于第位位移而相應(yīng)于第 i 個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力。個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力。 第第j個(gè)坐標(biāo)產(chǎn)個(gè)坐標(biāo)產(chǎn) 生單位位移生單位位移 剛度矩陣第剛

2、度矩陣第j 列列 系統(tǒng)剛度矩系統(tǒng)剛度矩 陣陣 j=1n 確定確定 nnnjn nj nj mmm mmm mmm . . . . 1 2221 1111 M nnnjn nj nj kkk kkk kkk . . . . 1 2221 1111 K 質(zhì)量矩陣質(zhì)量矩陣 M 中的元素中的元素 是使系統(tǒng)僅在第是使系統(tǒng)僅在第 j 個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單 位加速度而相應(yīng)于第位加速度而相應(yīng)于第 i 個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力。個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力。 ij m 第第j個(gè)坐標(biāo)單個(gè)坐標(biāo)單 位加速度位加速度 質(zhì)量矩陣第質(zhì)量矩陣第j 列列 系統(tǒng)質(zhì)量矩系統(tǒng)質(zhì)量矩 陣陣 j=1n 確定確定 、 ij m ij k 又分

3、別稱為又分別稱為質(zhì)量影響系數(shù)質(zhì)量影響系數(shù)和和剛度影響系數(shù)剛度影響系數(shù)。根據(jù)它們的物。根據(jù)它們的物 理意義可以直接寫(xiě)出矩陣?yán)硪饬x可以直接寫(xiě)出矩陣 M 和和 K，從而建立作用力方程，這種，從而建立作用力方程，這種 方法稱為方法稱為影響系數(shù)方法。影響系數(shù)方法。 2021年6月24日 振動(dòng)力學(xué) 5 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 2021年6月24日 振動(dòng)力學(xué) 6 多自由度系統(tǒng)的固有頻率多自由度系統(tǒng)的固有頻率 作用力方程：作用力方程： tMXKXP( ) n RX 自由振動(dòng)方程：自由振動(dòng)方程： MXKX0 在考慮系統(tǒng)的固有振動(dòng)時(shí)，最感興趣的是系統(tǒng)的在

4、考慮系統(tǒng)的固有振動(dòng)時(shí)，最感興趣的是系統(tǒng)的同同 步振動(dòng)步振動(dòng)，即系統(tǒng)在各個(gè)坐標(biāo)上除了運(yùn)動(dòng)幅值不相同外，即系統(tǒng)在各個(gè)坐標(biāo)上除了運(yùn)動(dòng)幅值不相同外， 隨時(shí)間變化的規(guī)律都相同的運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間變化的規(guī)律都相同的運(yùn)動(dòng) 。 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 和單自由度系統(tǒng)一樣，自和單自由度系統(tǒng)一樣，自 由振動(dòng)時(shí)系統(tǒng)將以固有頻由振動(dòng)時(shí)系統(tǒng)將以固有頻 率為振動(dòng)頻率。率為振動(dòng)頻率。 2021年6月24日 振動(dòng)力學(xué) 7 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 同步振動(dòng)：同步振動(dòng)：系統(tǒng)在各個(gè)坐標(biāo)上除了運(yùn)動(dòng)幅值不相系統(tǒng)在各個(gè)坐標(biāo)上除

5、了運(yùn)動(dòng)幅值不相 同外，隨時(shí)間變化的規(guī)律都相同的運(yùn)動(dòng)同外，隨時(shí)間變化的規(guī)律都相同的運(yùn)動(dòng) 。 振動(dòng)形式振動(dòng)形式1 振動(dòng)形式振動(dòng)形式2 振動(dòng)形式振動(dòng)形式3 三自由度系統(tǒng)三自由度系統(tǒng) 一、多自由度系統(tǒng)的固有頻率一、多自由度系統(tǒng)的固有頻率 自由振動(dòng)方程：自由振動(dòng)方程： 0KXXM )(tfX 1 )(Rtf 代表著振動(dòng)的形狀代表著振動(dòng)的形狀 常數(shù)列向量常數(shù)列向量 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) T n 21 T n xxx 21 X 同步振動(dòng)：同步振動(dòng)：系統(tǒng)在各個(gè)坐標(biāo)上除了運(yùn)動(dòng)幅值不相同外，隨時(shí)系統(tǒng)在各個(gè)坐標(biāo)上除了運(yùn)動(dòng)幅值不相同外，隨時(shí) 間變化的規(guī)律都

6、相同的運(yùn)動(dòng)。間變化的規(guī)律都相同的運(yùn)動(dòng)。 運(yùn)動(dòng)規(guī)律的時(shí)間函數(shù)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的時(shí)間函數(shù) 2021年6月24日 振動(dòng)力學(xué) 9 MX+KX = 0 )(tf X 代入，并左乘代入，并左乘 ： T 0KM )()(tftf TT M K T T tf tf )( )( ：常數(shù)：常數(shù) 2 0令：令： 2 n RX n R 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/固有頻率固有頻率 0)()( 2 tftf 0 ,)( 0),sin()( battf tatf a、b、 為常數(shù) 為常數(shù) 討論出現(xiàn)形如討論出現(xiàn)形如 的同步運(yùn)動(dòng)。的同步運(yùn)動(dòng)。)sin( taX 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)

7、多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/固有頻率固有頻率 0)sin(taX 將常數(shù)將常數(shù) a 并入并入 中中)sin(tX T n 21 0)( 2 MK 有非零解的充分必要條件：有非零解的充分必要條件：0MK 2 特征方程特征方程 代入振動(dòng)方程：代入振動(dòng)方程： MX+KX = 0 代入振動(dòng)方程：代入振動(dòng)方程： 0)( 2 MK 有非零解的充分必要條件：有非零解的充分必要條件：0MK 2 特征方程特征方程 0 2 2 2 21 2 1 2 2 222 2 2221 2 21 1 2 112 2 1211 2 11 nnnnnnnn nn nn mkmkmk mkm

8、kmk mkmkmk 2021年6月24日 振動(dòng)力學(xué) 12 0 2 2 2 21 2 1 2 2 222 2 2221 2 21 1 2 112 2 1211 2 11 nnnnnnnn nn nn mkmkmk mkmkmk mkmkmk 0 2 1 )1(2 1 2 nn nn aaa 解出解出 n 個(gè)值，按升序排列為：個(gè)值，按升序排列為： 22 2 2 1 0 n i ：第第 i 階固有頻率階固有頻率 頻率方程頻率方程 或特征多項(xiàng)式或特征多項(xiàng)式 僅取決于系統(tǒng)本身的剛度、質(zhì)量等物理參數(shù)。僅取決于系統(tǒng)本身的剛度、質(zhì)量等物理參數(shù)。 1 ：基頻。：基頻。 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多

9、自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/固有頻率固有頻率 例：求圖示三自由度例：求圖示三自由度 系統(tǒng)的固有頻率。系統(tǒng)的固有頻率。 kk kkk kk 30 2 03 K 0 3 2 1 332331 232221 131211 3 2 1 332331 232221 131211 x x x kkk kkk kkk x x x mmm mmm mmm 0)( 2 MK m 2k mm k 2k k x1x2x3 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/固有頻率固有頻率 解：解：1、求剛度矩陣和質(zhì)量矩陣、求剛度矩陣和質(zhì)量矩陣 m m m 00 00

10、 00 M 2021年6月24日 振動(dòng)力學(xué) 14 kk kkk kk 30 2 03 K m m m 00 00 00 M 0 30 2 03 3 2 1 2 2 2 mkk kmkk kmk 0)( 2 MK 2 k m 0 310 121 013 3 2 1 0MK 2 1 1 3 2 4 3 m/k 1 m/k.7321 2 m/k2 3 m 2k mm k 2k k x1x2x3 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/固有頻率固有頻率 2. 求固有頻率求固有頻率 2021年6月24日 振動(dòng)力學(xué) 15 二、多自由度系統(tǒng)的模態(tài)（主振型）二、多自

11、由度系統(tǒng)的模態(tài)（主振型） 0 主振動(dòng)：主振動(dòng)： )sin( taX 0KXXM n RX nn R KM、 n R 0MK)( 2 特征值問(wèn)題：特征值問(wèn)題： 特征值特征值特征向量特征向量 n 自由度系統(tǒng)：自由度系統(tǒng)： （固有頻率）（固有頻率）（模態(tài)）（模態(tài)） i )(i 一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng) ni1 1 )( )( 1 )( n i n i i R 0MK )(2 )( i i )(i i 、代入，有：代入，有： 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/模態(tài)模態(tài) 第第i 階模態(tài)特征階模態(tài)特征 值問(wèn)題。值問(wèn)題。 振動(dòng)的形狀振動(dòng)的形狀 2021年6月24日

12、振動(dòng)力學(xué) 16 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 振動(dòng)形式振動(dòng)形式1 振動(dòng)形式振動(dòng)形式2 振動(dòng)形式振動(dòng)形式3 三自由度系統(tǒng)三自由度系統(tǒng) 2021年6月24日 振動(dòng)力學(xué) 17 0MK )(2 )( i i Ti n ii )()( 1 )( 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) nnnn n 個(gè)方程個(gè)方程齊次方程組齊次方程組 0 0 0 )( )( 2 )( 1 2 2 2 21 2 1 2 2 222 2 2221 2 21 1 2 112 2 1211 2 11 i n i i nninnninn

13、in ninii ninii mkmkmk mkmkmk mkmkmk 當(dāng)當(dāng) 不是特征多項(xiàng)式重根時(shí)，上式不是特征多項(xiàng)式重根時(shí)，上式 n 個(gè)方程只有一個(gè)不獨(dú)立個(gè)方程只有一個(gè)不獨(dú)立. i 設(shè)最后一個(gè)方程不獨(dú)立，把它劃去，并且把含有設(shè)最后一個(gè)方程不獨(dú)立，把它劃去，并且把含有 的某個(gè)元的某個(gè)元 素（例如素（例如 ）的項(xiàng)全部移到等號(hào)右端）的項(xiàng)全部移到等號(hào)右端. )(i )(i n 2021年6月24日 振動(dòng)力學(xué) 18 0MK )(2 )( i i Ti n ii )()( 1 )( 當(dāng)當(dāng) 不是特征多項(xiàng)式的重根時(shí)，上式不是特征多項(xiàng)式的重根時(shí)，上式 n 個(gè)方程中有且只有一個(gè)方程中有且只有一 個(gè)是不獨(dú)立的個(gè)是

14、不獨(dú)立的 。 i 設(shè)最后一個(gè)方程不獨(dú)立，把它劃去，并且把含有設(shè)最后一個(gè)方程不獨(dú)立，把它劃去，并且把含有 的某個(gè)元的某個(gè)元 素（例如素（例如 ）的項(xiàng)全部移到等號(hào)右端）的項(xiàng)全部移到等號(hào)右端 。 )(i )(i n )( , 1 2 , 1 )( 11, 1 2 1, 1 )( 11 , 1 2 1 , 1 )( 1 2 1 )( 11, 1 2 1, 1 )( 111 2 11 )()()( )()()( i nnninn i nnninn i nin i nnin i nnin i i mkmkmk mkmkmk 若這個(gè)方程組左端的系數(shù)行列式不為零，則可解出用若這個(gè)方程組左端的系數(shù)行列式不為零，

15、則可解出用 表示表示 的的 )(i n )( 1 )( 2 )( 1 i n ii ， )(i 否則應(yīng)把含否則應(yīng)把含 的另一個(gè)元素的項(xiàng)移到等號(hào)右端，再解方程組。的另一個(gè)元素的項(xiàng)移到等號(hào)右端，再解方程組。 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/模態(tài)模態(tài) n -1個(gè)方程個(gè)方程非齊次方程組非齊次方程組 2021年6月24日 振動(dòng)力學(xué) 19 為使計(jì)算簡(jiǎn)單，令：為使計(jì)算簡(jiǎn)單，令：1 )( i n T i n iii 1 )( 1 )( 2 )( 1 )( 則有：則有： 0MK )(2 )( i i Ti n ii )()( 1 )( 當(dāng)當(dāng) 不是特征多項(xiàng)式的重

16、根時(shí)，上式的不是特征多項(xiàng)式的重根時(shí)，上式的 n 個(gè)方程中有且只有個(gè)方程中有且只有 一個(gè)不獨(dú)立一個(gè)不獨(dú)立 。 i 設(shè)最后一個(gè)方程不獨(dú)立，把它劃去，并且把含有設(shè)最后一個(gè)方程不獨(dú)立，把它劃去，并且把含有 的某個(gè)元的某個(gè)元 素（例如素（例如 ）的項(xiàng)全部移到等號(hào)右端。）的項(xiàng)全部移到等號(hào)右端。 )(i )(i n )( , 1 2 , 1 )( 11, 1 2 1, 1 )( 11 , 1 2 1 , 1 )( 1 2 1 )( 11, 1 2 1, 1 )( 111 2 11 )()()( )()()( i nnninn i nnninn i nin i nnin i nnin i i mkmkmk m

17、kmkmk 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/模態(tài)模態(tài) 2021年6月24日 振動(dòng)力學(xué) 20 例：三自由度系統(tǒng)例：三自由度系統(tǒng) kk kkk kk 30 2 03 K m m m 00 00 00 M 0 30 2 03 3 2 1 2 2 2 mkk kmkk kmk 0)( 2 MK 2 k m 0 310 121 013 3 2 1 0MK 2 1 1 3 2 4 3 mk/ 1 mk/32. 1 2 mk/2 3 2k mmm k 2k k x1x2x3 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

18、/模態(tài)模態(tài) 2021年6月24日 振動(dòng)力學(xué) 21 0 310 121 013 3 2 1 1 1 3 2 4 3 以以 為例進(jìn)行說(shuō)明：為例進(jìn)行說(shuō)明： 1 1 將將 代入，有：代入，有： 1 1 0 210 111 012 3 2 1 02 0 02 32 321 21 由第三個(gè)方程，得：由第三個(gè)方程，得： 23 5 . 0 05 . 0 221 代入第二個(gè)方程：代入第二個(gè)方程：02 21 與第一個(gè)方程相同與第一個(gè)方程相同 方程組中有一式不獨(dú)立。方程組中有一式不獨(dú)立。 例如，將第三個(gè)方程去掉例如，將第三個(gè)方程去掉 321 21 02 0312 11 12 因此若令因此若令 1 3 1 1 2 2

19、 可解出可解出 整理整理 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/模態(tài)模態(tài) 2021年6月24日 振動(dòng)力學(xué) 22 0MK )(2 )( i i Ti n ii )()( 1 )( )( , 1 2 , 1 )( 11, 1 2 1, 1 )( 11 , 1 2 1 , 1 )( 1 2 1 )( 11, 1 2 1, 1 )( 111 2 11 )()()( )()()( i nnninn i nnninn i nin i nnin i nnin i i mkmkmk mkmkmk 令：令：1 )( i n Ti n iii 1 )( 1 )( 2

20、)( 1 )( 解得：解得： )(i n 的值也可以取任意非零常數(shù)的值也可以取任意非零常數(shù) i a )(i i a將解得將解得 特征向量特征向量 在特征向量中規(guī)定某個(gè)元素的值以確定其他各元素的在特征向量中規(guī)定某個(gè)元素的值以確定其他各元素的 值的過(guò)程稱為值的過(guò)程稱為歸一化歸一化 。 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/模態(tài)模態(tài) 2021年6月24日 振動(dòng)力學(xué) 23 0主振動(dòng)（固有振動(dòng)）：主振動(dòng)（固有振動(dòng)）：)sin(taX 0KXXM n RX nn R KM、 n R )(i i a將將 ， 代入主振動(dòng)方程代入主振動(dòng)方程, i i 并將并將改為改

21、為 第第 i 階主振動(dòng)階主振動(dòng) ：)sin( )()( iii ii taX Ti n ii xx )()( 1 )( X Ti n ii )()( 1 )( 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/模態(tài)模態(tài) 系統(tǒng)在各個(gè)坐標(biāo)上都將系統(tǒng)在各個(gè)坐標(biāo)上都將 以第以第 i 階固有頻率階固有頻率i 做做 簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并且同時(shí)通簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并且同時(shí)通 過(guò)靜平衡位置。過(guò)靜平衡位置。 )sin( )( )( 2 )( 1 )( )( 2 )( 1 iii i n i i i n i i ta x x x 2021年6月24日 振動(dòng)力學(xué) 24 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)

22、振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 第一階主振動(dòng)第一階主振動(dòng) 第二階主振動(dòng)第二階主振動(dòng) 第三階主振動(dòng)第三階主振動(dòng) 三自由度系統(tǒng)三自由度系統(tǒng) 系統(tǒng)在各個(gè)坐標(biāo)上都將以第系統(tǒng)在各個(gè)坐標(biāo)上都將以第 i 階固有頻率階固有頻率i 做做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，簡(jiǎn)諧振動(dòng)， 并且同時(shí)通過(guò)靜平衡位置并且同時(shí)通過(guò)靜平衡位置 1 2 3 2021年6月24日 振動(dòng)力學(xué) 25 第第 i 階主振動(dòng)階主振動(dòng) ：)sin( )()( iii ii taX Ti n ii xx )()( 1 )( X Ti n ii )()( 1 )( )( )( )( 2 )( 2 )( 1 )( 1 i n i n i i i i

23、xxx 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) )sin( )( )( 2 )( 1 )( )( 2 )( 1 iii i n i i i n i i ta x x x )sin( iii ta 2021年6月24日 振動(dòng)力學(xué) 26 第第 i 階主振動(dòng)階主振動(dòng) ：)sin( )()( iii ii taX Ti n ii xx )()( 1 )( X Ti n ii )()( 1 )( )( )( )( 2 )( 2 )( 1 )( 1 i n i n i i i i xxx 比值：比值： 雖然各坐標(biāo)上振幅的精確值并沒(méi)有確定，但是所表現(xiàn)的系統(tǒng)雖然各坐

24、標(biāo)上振幅的精確值并沒(méi)有確定，但是所表現(xiàn)的系統(tǒng) 振動(dòng)形態(tài)已確定振動(dòng)形態(tài)已確定 。 描述了系統(tǒng)做第描述了系統(tǒng)做第 i 階主振動(dòng)時(shí)具有的振動(dòng)形態(tài)，稱為階主振動(dòng)時(shí)具有的振動(dòng)形態(tài)，稱為第第 i 階階 主振型主振型（固有振型）（固有振型），或或第第 i 階模態(tài)。階模態(tài)。 )(i 主振型僅取決于系統(tǒng)的主振型僅取決于系統(tǒng)的 M 陣、陣、K 陣等物理參數(shù)。陣等物理參數(shù)。 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/模態(tài)模態(tài) 第第 i 階特征向量階特征向量 ，就是系統(tǒng)做第，就是系統(tǒng)做第 i 階主振動(dòng)時(shí)各個(gè)坐標(biāo)上位階主振動(dòng)時(shí)各個(gè)坐標(biāo)上位 移（或振幅）的相對(duì)比值移（或振幅）的相

25、對(duì)比值 。 )(i 2021年6月24日 振動(dòng)力學(xué) 27 正定系統(tǒng)：正定系統(tǒng)： 0KXXM n RX nn R KM、 第第 i 階主振動(dòng)階主振動(dòng) ：)sin( )()( iii ii taX ni1 系統(tǒng)的自由振動(dòng)：系統(tǒng)的自由振動(dòng)： n i iii i nnn n ta tataat 1 )( )( 222 )2( 111 )1( )sin( )sin()sin()sin()( X Ti n ii xx )()( 1 )( X Ti n ii )()( 1 )( n個(gè)主振動(dòng)的疊加個(gè)主振動(dòng)的疊加 模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法 由于各個(gè)主振動(dòng)的固有頻率不相同，多自由度系統(tǒng)的固有由于各個(gè)主振動(dòng)的固有頻率不

26、相同，多自由度系統(tǒng)的固有 振動(dòng)一般不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，甚至不是周期振動(dòng)。振動(dòng)一般不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，甚至不是周期振動(dòng)。 ：)1(,nia ii 初始條件決定初始條件決定 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/模態(tài)模態(tài) 2021年6月24日 振動(dòng)力學(xué) 28 例：兩自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)例：兩自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng) m2m 2kkk x1x2 求：固有頻率和主振型。求：固有頻率和主振型。 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/模態(tài)模態(tài) 2021年6月24日 振動(dòng)力學(xué) 29 解：解： 0 0 3 2 20 0 2 1 2 1 x

27、 x kk kk x x m m 動(dòng)力學(xué)方程：動(dòng)力學(xué)方程： 令主振動(dòng)：令主振動(dòng)： )sin( 2 1 2 1 t x x 或直接用或直接用 0MK)( 2 0 0 23 2 2 1 2 2 mkk kmk 得：得： m2m 2kkk x1x2 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/模態(tài)模態(tài) 2021年6月24日 振動(dòng)力學(xué) 30 0 0 3 2 20 0 2 1 2 1 x x kk kk x x m m 0 0 23 2 2 1 2 2 mkk kmk 0 0 231 12 2 1 0572 231 12 2 0 0 21 21 2 k m 令令

28、特征方程：特征方程： 5 . 2, 1 21 m k m k 581. 1, 21 1 1 為求主振型，先將為求主振型，先將 代入代入 ： 一個(gè)獨(dú)立一個(gè)獨(dú)立 1 2 令令 1 1 則則 1 1 1 ）（ 第一階主振型：第一階主振型： 1 2 令令 2 1 則則 5 . 2 2 代入代入 1 2 2 ）（ 第二階主振型：第二階主振型： 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/模態(tài)模態(tài) 同理：同理： 2021年6月24日 振動(dòng)力學(xué) 31 1 1 1 ）（ 第一階主振型：第一階主振型： 1 2 2）（ 第二階主振型：第二階主振型： 畫(huà)圖：畫(huà)圖： 橫坐標(biāo)表示

29、靜平衡位置，縱坐標(biāo)表示主振型中各元素的值。橫坐標(biāo)表示靜平衡位置，縱坐標(biāo)表示主振型中各元素的值。 第一階主振動(dòng)第一階主振動(dòng): 11 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) m2m 2kkk x1x2 mk / 1 mk /581. 1 2 兩個(gè)質(zhì)量以兩個(gè)質(zhì)量以1為振動(dòng)頻率，同時(shí)經(jīng)過(guò)各自的平衡位置，方向相為振動(dòng)頻率，同時(shí)經(jīng)過(guò)各自的平衡位置，方向相 同，而且每一時(shí)刻的位移量都相同。同，而且每一時(shí)刻的位移量都相同。 aa 同向運(yùn)動(dòng)同向運(yùn)動(dòng) ( )( ) sin() ii iii atX 2021年6月24日 振動(dòng)力學(xué) 32 1 1 1 ）（ 第一階主振型：第

30、一階主振型： 1 2 2）（ 第二階主振型：第二階主振型： 畫(huà)圖：畫(huà)圖： 橫坐標(biāo)表示靜平衡位置，縱坐標(biāo)表示主振型中各元素的值橫坐標(biāo)表示靜平衡位置，縱坐標(biāo)表示主振型中各元素的值 -2 1 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) m2m 2kkk x1x2 第二階主振動(dòng)第二階主振動(dòng): mk / 1 mk /581. 1 2 兩個(gè)質(zhì)量以兩個(gè)質(zhì)量以2為振動(dòng)頻率，同時(shí)經(jīng)過(guò)各自的平衡位置，方向相為振動(dòng)頻率，同時(shí)經(jīng)過(guò)各自的平衡位置，方向相 反，每一時(shí)刻第一個(gè)質(zhì)量的位移都第二個(gè)質(zhì)量的位移的兩倍。反，每一時(shí)刻第一個(gè)質(zhì)量的位移都第二個(gè)質(zhì)量的位移的兩倍。 異向運(yùn)動(dòng)異向運(yùn)動(dòng)

31、 2aa 2021年6月24日 振動(dòng)力學(xué) 33 1 1 1 ）（ 第一階主振型：第一階主振型： 1 2 2）（ 第二階主振型：第二階主振型： 第一階主振動(dòng)第一階主振動(dòng): 同向運(yùn)動(dòng)同向運(yùn)動(dòng) 始終不振動(dòng)點(diǎn)始終不振動(dòng)點(diǎn) 11 -2 1 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 無(wú)節(jié)點(diǎn)無(wú)節(jié)點(diǎn) 一個(gè)節(jié)點(diǎn)一個(gè)節(jié)點(diǎn) m2m 2kkk x1x2 第二階主振動(dòng)第二階主振動(dòng): 異向運(yùn)動(dòng)異向運(yùn)動(dòng) mk / 1 mk /581. 1 2 節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn) 如果傳感器放如果傳感器放 在節(jié)點(diǎn)位置，在節(jié)點(diǎn)位置， 則測(cè)量的信號(hào)則測(cè)量的信號(hào) 中將不包含有中將不包含有 第二階模態(tài)的第二階模態(tài)的

32、信息信息 。 練習(xí)練習(xí)1：圖示電車(chē)由兩節(jié)質(zhì)量均為圖示電車(chē)由兩節(jié)質(zhì)量均為2.28104的車(chē)廂組的車(chē)廂組 成，中間連接器的剛度為成，中間連接器的剛度為2.86104N/m。求電車(chē)振。求電車(chē)振 動(dòng)的固有頻率和固有振型。動(dòng)的固有頻率和固有振型。 kk kk K 0 2 1 2221 1211 2 1 2221 1211 x x kk kk x x mm mm 解：解：1、求剛度矩陣和質(zhì)量矩陣、求剛度矩陣和質(zhì)量矩陣 m m 0 0 M 0 2 1 2 2 mkk kmk 0)( 2 MK 0 11 11 - - 0MK 2 0 1 2 2 0 1 m/rad.m/k84152 2 2. 求固有頻率求固有頻率 kk kk K m m 0 0 M 2 k m 令令 3. 求固有振型求固有振型 0 0 21 21 0 為求主振型，先將為求主振型，先將 代入代入