第9章應(yīng)力應(yīng)變及應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

1、1 9.1 變形固體靜力學(xué)的任務(wù)變形固體靜力學(xué)的任務(wù) 9.2 變形固體的基本假設(shè)變形固體的基本假設(shè) 9.3 桿件變形的基本形式桿件變形的基本形式 9.3.1 構(gòu)件的分類構(gòu)件的分類 9.3.2 構(gòu)件的計(jì)算簡(jiǎn)圖構(gòu)件的計(jì)算簡(jiǎn)圖 9.3.3 桿件變形的基本形式桿件變形的基本形式 9.4 變形固體靜力學(xué)的發(fā)展變形固體靜力學(xué)的發(fā)展 9.5 一般桿件的內(nèi)力分析一般桿件的內(nèi)力分析 9.5.1 一般桿件的內(nèi)力及其分類一般桿件的內(nèi)力及其分類 9.5.2 一般桿件的內(nèi)力方程和內(nèi)力圖一般桿件的內(nèi)力方程和內(nèi)力圖 補(bǔ)充補(bǔ)充13.2、 13.3 作業(yè)作業(yè) 9.3 9.4 9.5 13.2 7學(xué)時(shí) 2 力的變形效應(yīng)（內(nèi)效應(yīng)）

2、力的變形效應(yīng)（內(nèi)效應(yīng)） 剛體是理想化的模型，假設(shè)固體受力后不變形。 在外力作用下，固體發(fā)生或大或小的變形變形（包括尺寸和形狀尺寸和形狀的變形）， 即所謂的力的變形效應(yīng)（內(nèi)效應(yīng)）變形效應(yīng)（內(nèi)效應(yīng)）。 本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容 (1) 變形固體靜力學(xué)的任務(wù)、研究對(duì)象及其發(fā)展情況； (2) 變形固體的基本假設(shè)； (3) 桿件變形的4種基本形式； (4) 外力作用下，一般桿件的內(nèi)力分析。 3 9.1 變形固體靜力學(xué)的任務(wù)變形固體靜力學(xué)的任務(wù) 變形固體靜力學(xué)和工程實(shí)際有著密切的聯(lián)系，其理論廣泛應(yīng)用于各 種機(jī)械設(shè)備和工程建筑之中。 構(gòu)件構(gòu)件 工程實(shí)際中，構(gòu)件受到載荷作用，要保證構(gòu)件能正常、安全地工作，必

3、須解決以下3個(gè)問(wèn)題： 機(jī)械或工程結(jié)構(gòu)的各組成部分，統(tǒng)稱為構(gòu)件。構(gòu)件。 例如：軸、梁、柱、桿。 機(jī)床的軸、汽車的疊板彈簧、房屋的梁和柱、桁架結(jié)構(gòu)中的桿等。 4 1. 強(qiáng)度強(qiáng)度 2. 剛度剛度 3. 穩(wěn)定性穩(wěn)定性 變形固體靜力學(xué)要解決變形固體靜力學(xué)要解決3 3個(gè)方面的問(wèn)題個(gè)方面的問(wèn)題 指構(gòu)件承受外力而不發(fā)生破壞的能力。 例如：房屋倒塌、飛機(jī)墜落、高壓容器爆破等都是由于強(qiáng)度不夠所導(dǎo)致。 指構(gòu)件抵抗變形的能力。 若變形過(guò)大，即使構(gòu)件沒(méi)有破壞，但也不能正常工作。 例如：機(jī)床主軸變形過(guò)大，會(huì)影響加工精度。 指構(gòu)件保持原有平衡形式的能力。 例如：千斤頂?shù)穆輻U，應(yīng)保持原有的直線平衡形式，若載荷過(guò)大，突然 變彎

4、，為失穩(wěn)，喪失承載能力。 5 安全與經(jīng)濟(jì)的矛盾安全與經(jīng)濟(jì)的矛盾 為使構(gòu)件具有足夠的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性，可以加大構(gòu)件的截面尺寸、 選用優(yōu)質(zhì)材料，可以提高承載能力，但材料質(zhì)量增加，成本提高，浪費(fèi) 材料。 安全與經(jīng)濟(jì)的矛盾。 構(gòu)件的截面形狀與承載能力也有關(guān)系。 設(shè)想若截面面積不變，將自行車大梁做成實(shí)心圓柱，其強(qiáng)度、剛度、穩(wěn) 定性都會(huì)減小很多。 變形固體靜力學(xué)的任務(wù)變形固體靜力學(xué)的任務(wù) 研究構(gòu)件的破壞準(zhǔn)則與變形規(guī)律，了解材料的力學(xué)性能，從而建立構(gòu)件 滿足強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性要求所需要的條件，為既安全有經(jīng)濟(jì)地設(shè)計(jì)構(gòu) 件（選用材料，確定截面形狀、尺寸）提供必要的理論基礎(chǔ)和計(jì)算方法。 6 9.2 變形固體的基

5、本假設(shè)變形固體的基本假設(shè) 變形固體的性質(zhì)很多，研究的角度不同，側(cè)重面也不同。 變形固體靜力學(xué) 從宏觀角度研究問(wèn)題 忽略微觀上的差異 變形固體靜力學(xué)的力學(xué)模型，對(duì)變形固體作如下假設(shè)：變形固體靜力學(xué)的力學(xué)模型，對(duì)變形固體作如下假設(shè)： 1. 連續(xù)性假設(shè)連續(xù)性假設(shè) 組成固體的物質(zhì)毫無(wú)空隙地充滿整個(gè)固體的體積，即認(rèn)為固體是連續(xù)介連續(xù)介 質(zhì)質(zhì)。 根據(jù)這一假設(shè)，可以用連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)來(lái)描述構(gòu)件內(nèi)部的力和變形的有關(guān)規(guī)律。 2. 均勻性假設(shè)均勻性假設(shè) 固體內(nèi)各點(diǎn)處各點(diǎn)處的力學(xué)性質(zhì)力學(xué)性質(zhì)（機(jī)械性質(zhì)）是相同相同的。 根據(jù)這一假設(shè)，可用試件的局部局部材料性質(zhì)取代整個(gè)整個(gè)構(gòu)件，也可以將整個(gè)整個(gè) 構(gòu)件的材料性質(zhì)代以微小

6、的部分微小的部分。 7 3. 各向同性假設(shè)各向同性假設(shè) 4. 小變形假設(shè)小變形假設(shè) 固體沿任何方向任何方向的力學(xué)性質(zhì)力學(xué)性質(zhì)都是相同的相同的。 例如：金屬、玻璃、塑料等。 沿不同方向力學(xué)性質(zhì)不同的材料稱為各向異性材料各向異性材料。 例如：竹子、木材、疊層板等。 構(gòu)件的變形極其微小。 變形的尺寸構(gòu)件的最小原始尺寸，不考慮變形前后的幾何尺寸變化。 8 9.3.1 構(gòu)件的分類構(gòu)件的分類 9.3 桿件變形的基本形式桿件變形的基本形式 工程中，構(gòu)件的幾何形狀是多種多樣的，可分為以下3種： 一維桿； 二維板殼； 三維塊體。 桿件桿件 凡長(zhǎng)度方向（縱向）尺寸遠(yuǎn)大于橫向（垂直于長(zhǎng)度方向）尺寸的構(gòu)件， 稱為桿件

7、桿件。 桿件的橫截面、軸線是兩個(gè)主要的幾何特征。 橫截面：橫截面：垂直于桿件長(zhǎng)度方向的截面稱為橫截面橫截面。 軸線：軸線：各橫截面形心的連線稱為軸線軸線。 直桿：直桿：軸線為直線的桿件稱為直桿直桿。 曲桿：曲桿：軸線為曲線的桿件稱為曲桿曲桿。 等截面桿：等截面桿：橫截面尺寸和形狀不變的桿件稱為等截面桿等截面桿。 變截面桿：變截面桿：橫截面沿桿長(zhǎng)變化的桿件稱為變截面桿變截面桿。 9 工程實(shí)際中的許多構(gòu)件都可以簡(jiǎn)化為桿件，如： 連桿、銷釘、傳動(dòng)軸、梁、柱等。 還有些構(gòu)件（如曲軸的軸頸）不是典型的桿件，但在近似計(jì)算或進(jìn)行 定性分析時(shí)也常簡(jiǎn)化為桿。 桿件是工程中最常用的構(gòu)件，變形固體靜力學(xué)的研究對(duì)象就

8、是桿件。 10 9.3.2 構(gòu)件的計(jì)算簡(jiǎn)圖構(gòu)件的計(jì)算簡(jiǎn)圖 計(jì)算簡(jiǎn)圖（力學(xué)模型）計(jì)算簡(jiǎn)圖（力學(xué)模型） 研究某一構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性時(shí)，首先要弄清楚構(gòu)件所受的 載荷（外力）載荷（外力） 約束約束 構(gòu)件的形狀和尺寸構(gòu)件的形狀和尺寸 用一個(gè)簡(jiǎn)化圖形表示出來(lái)，以便進(jìn)行分析和計(jì)算。 這種簡(jiǎn)化后的圖形，稱為計(jì)算簡(jiǎn)圖（力學(xué)模型）計(jì)算簡(jiǎn)圖（力學(xué)模型）。 載荷的分類及其簡(jiǎn)圖載荷的分類及其簡(jiǎn)圖 (1) 根據(jù)載荷隨時(shí)間的變化情況分為根據(jù)載荷隨時(shí)間的變化情況分為 靜載荷：靜載荷： 載荷的大小由零開始緩慢地增加到某一數(shù)值后，保持不變， 則稱為靜載荷。 變形固體靜力學(xué)研究的是靜載荷的情況。 動(dòng)載荷：動(dòng)載荷： 載荷隨時(shí)間

9、而變化，或物體在載荷作用下處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，其 內(nèi)各點(diǎn)速度發(fā)生顯著變化，這類問(wèn)題稱為動(dòng)載荷問(wèn)題。 （在本教材第22章中研究。） 11 (2) 根據(jù)載荷的作用方式分為根據(jù)載荷的作用方式分為 分布載荷：分布載荷：連續(xù)地作用于構(gòu)件上的載荷稱為分布載荷。 作用在桿件上的分布載荷用沿桿軸線的分布規(guī)律來(lái)表示， 如圖所示 )(xq 分布集度：分布集度：作用于單位長(zhǎng)度上的載荷稱為分布集度，用q(x) 表示。 當(dāng)q(x) = const 時(shí)，稱為均布載荷。 1 長(zhǎng)度力量綱單位 N/m，N/mm q 例如橫梁的自重，如圖。 例如擋水堤壩所受到的水的壓力沿水深方向?yàn)榫€性分布， 如圖。 0 q 12 集中力：集中力： 若

10、載荷分布范圍遠(yuǎn)小于桿件軸線的長(zhǎng)度，則可看作是作用于 一點(diǎn)的集中力。 例如：火車輪對(duì)鋼軌的壓力；車刀對(duì)工件的切削力等。 集中力偶：集中力偶：作用于構(gòu)件上的載荷可簡(jiǎn)化為作用于某一位置的力偶，此 力偶稱為集中力偶，用M 表示，量綱為力長(zhǎng)度，單位： Nm，kNm。 注意：注意：支座的約束力支座的約束力和約束力偶約束力偶都屬于作用于構(gòu)件上的外力。外力。 集中載荷用 F 表示，量綱為力力；單位：N，kN。 繪制簡(jiǎn)圖的原則繪制簡(jiǎn)圖的原則 有了上面的知識(shí)，便可對(duì)實(shí)際構(gòu)件畫出計(jì)算簡(jiǎn)圖。繪制簡(jiǎn)圖的原則為 (1) 忽略構(gòu)件外形，以其軸線代替構(gòu)件； (2) 將實(shí)際載荷簡(jiǎn)化為某種載荷（分布載荷、集中力、集中力偶）， 對(duì)

11、次要因素可以忽略不計(jì)； (3) 將桿件的實(shí)際約束簡(jiǎn)化為相應(yīng)的支座。 13 9.3.3 桿件變形的基本形式桿件變形的基本形式 外力作用下，桿件的變形是多種多樣的，各不相同的。 4種基本變形種基本變形 軸向拉壓軸向拉壓、剪切剪切、扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)和彎曲彎曲。 在實(shí)際中，桿件的變形，可以是4種基本變形之一（簡(jiǎn)單變形簡(jiǎn)單變形），也可以 是某幾種基本變形的組合（組合變形組合變形）。 (1) 軸向拉伸或壓縮軸向拉伸或壓縮 作用于直桿上的外力若能簡(jiǎn)化為沿桿的軸線方向軸線方向的平衡力系，則桿件 的主要變形是長(zhǎng)度的改變變形是長(zhǎng)度的改變，這種變形形式稱為軸向拉伸或軸向壓縮軸向拉伸或軸向壓縮。 例如： 起吊重物的鋼索；千斤

12、頂?shù)穆輻U；緊固螺栓；廠房中的立柱等， 都產(chǎn)生軸向拉壓變形。 (2) 剪切剪切 沿外力作用方向發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，這種變形形式稱為剪切剪切。 例如： 機(jī)械中起連接作用的鍵、銷釘、螺釘?shù)龋籍a(chǎn)生剪切變形。 14 (3) 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn) F 2 F 2 F mn pq F 2 F 2 F 作用于桿件上的是繞桿軸旋轉(zhuǎn)的互相平行的外力偶，桿件的任意兩個(gè) 橫截面都發(fā)生繞軸線的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，這種變形形式稱為扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)。 產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形的桿件，工程上常作為傳動(dòng)軸傳動(dòng)軸。 A B A B 15 (4) 彎曲彎曲 作用于桿件上的外力是垂直于桿件軸線的集中力、分布力或是包含桿 軸的縱向平面內(nèi)的力偶，則桿件的主要變形是直桿的軸線彎曲線，

13、這 種變形形式稱為彎曲彎曲。 以彎曲為主要變形形式的桿件稱為梁梁。 )(xq M 1 F 2 F 例如： 橋式起重機(jī)的大梁等。 基本變形與組合變形基本變形與組合變形 工程中常見(jiàn)的構(gòu)件的變形多數(shù)是以上4種基本變形形式的組合，純屬一 種變形的情況很少見(jiàn)。 若以一種基本變形形式為主，其他屬于次要變形時(shí)，則可按這一種基 本變形形式計(jì)算。 若幾種變形形式不分主次，則屬于組合變形問(wèn)題，可分別按每一種基本 變形形式計(jì)算，再將其計(jì)算結(jié)果組合（疊加）在一起，詳見(jiàn)第14章。 16 9.4 變形固體靜力學(xué)的發(fā)展變形固體靜力學(xué)的發(fā)展 工程力學(xué)問(wèn)題的研究不斷深入，出現(xiàn)了許多分之學(xué)科。它們都是以 變形固體靜力學(xué)為基礎(chǔ)的。

14、 例如： 結(jié)構(gòu)力學(xué)彈性力學(xué)塑性力學(xué)板殼理論 巖土力學(xué) 實(shí)驗(yàn)力學(xué)斷裂力學(xué) 損傷力學(xué)(材料非連續(xù)性) 計(jì)算力學(xué) 復(fù)合材料(材料不均勻，各向異性，可根據(jù)其承力或?qū)Υ?、電等方?的要求，設(shè)計(jì)組成材料的微觀參數(shù)，以制造出符合特定要 求的材料) 為了反映一些當(dāng)代固體力學(xué)的新發(fā)展，本教材在相關(guān)章節(jié)中開設(shè)了一 些窗口和接口，簡(jiǎn)要介紹塑性分析、復(fù)合材料力學(xué)、矩陣位移法、斷 裂力學(xué)及損傷力學(xué)等內(nèi)容。 17 C 9.5 一般桿件的內(nèi)力分析一般桿件的內(nèi)力分析 9.5.1 一般桿件的內(nèi)力及其分類一般桿件的內(nèi)力及其分類 內(nèi)力內(nèi)力 在桿件的某一截面上，桿在截面一側(cè)部分對(duì)截面另一側(cè)部分的相互作用 力稱為桿件在某一截面上的內(nèi)力

15、內(nèi)力。 例如：桁架的桿件的內(nèi)力，二力桿，內(nèi)力沿各桿件的軸向，且內(nèi)力與截 面位置無(wú)關(guān)。 A B A CBC A C B C M M F F 18 內(nèi)力的分類內(nèi)力的分類 建立直角坐標(biāo)系Cxyz（C為橫截面形心） A C B C x y z x y z N F N F z FS z FS y FS y FS y M y M z M z M T T 軸力軸力 N F 沿垂直于橫截面的x軸方向上的內(nèi)力 的分量稱為軸力。F 剪力剪力 zy FF SS , )( SSSzy FFF 在橫截面內(nèi)由內(nèi)力 在y軸和z軸方向上的分量稱為剪力。F 扭矩扭矩T 沿x軸方向的內(nèi)力偶矩 的分量稱為扭矩（其作用面為桿件的橫截

16、 面）。 M 19 彎矩彎矩 zy MM , 沿y軸和z軸方向上的內(nèi)力偶矩分量稱為彎矩（其作用面分別為xz和xy平 面）。 )( zy MMM 軸力、剪力、扭矩、彎矩四種內(nèi)力分別對(duì)應(yīng)于變形體靜力學(xué)中的所研究 的桿件的四種基本形式，軸向拉壓、剪切、扭轉(zhuǎn)、彎曲。 在變形體靜力學(xué)中，對(duì)這些內(nèi)力分量不需要進(jìn)行矢量運(yùn)算，強(qiáng)調(diào)的是它 們的變形效應(yīng)，所以只需用其在自身方向上的投影表示即可。 20 9.5.1 一般桿件的內(nèi)力方程和內(nèi)力圖一般桿件的內(nèi)力方程和內(nèi)力圖 內(nèi)力方程內(nèi)力方程 為了對(duì)桿件進(jìn)行系統(tǒng)化的內(nèi)力分析，需要了解桿件的各個(gè)內(nèi)力分量隨橫 截面位置不同而變化的情況。 一般來(lái)說(shuō)，桿件各個(gè)內(nèi)力分量都是橫截面位

17、置坐標(biāo)x的函數(shù)，即 )( NN xFF )(xTT )( SS xFF )(xMM ) 1 . 9( 通常將上述這些函數(shù)表達(dá)式稱為內(nèi)力方程。 控制面控制面 當(dāng)桿件上的不同位置作用有多個(gè)外力或外力偶時(shí)，需要根據(jù)外力或外力 偶作用的位置將桿件分段，分段點(diǎn)所在的橫截面稱為控制面控制面。 分段分別寫出各內(nèi)力分量的內(nèi)力方程。 內(nèi)力圖內(nèi)力圖 各內(nèi)力方程的函數(shù)圖形稱為內(nèi)力圖內(nèi)力圖。 工程上為了更直接地描述各個(gè)內(nèi)力分量隨橫截面位置的變化，常需要繪 制桿件的內(nèi)力圖。 21 繪制內(nèi)力圖的方法繪制內(nèi)力圖的方法 (1) 繪制各內(nèi)力分量的內(nèi)力圖內(nèi)力圖時(shí)，取x軸軸平行于桿件軸線，用x坐標(biāo)表示橫橫 截面位置截面位置； (2

18、) 根據(jù)內(nèi)力方程內(nèi)力方程的分段確定各段內(nèi)力的區(qū)間，求出每段內(nèi)力圖在兩端控 制面上的內(nèi)力值內(nèi)力值，以確定該段內(nèi)力圖兩端的控制點(diǎn)； (3) 再根據(jù)每段內(nèi)力方程的函數(shù)形式確定該段內(nèi)力圖的曲線形狀曲線形狀，并根據(jù) 繪圖需要在該段曲線上選取若干代表點(diǎn)（如：最大最大、最小值最小值點(diǎn)及曲線曲線 的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)）計(jì)算出內(nèi)力值； (4) 最后將各點(diǎn)用確定形狀曲線連接起來(lái)，標(biāo)明內(nèi)力的“+，-”號(hào)號(hào)及各控 制點(diǎn)、代表點(diǎn)的內(nèi)力絕對(duì)值內(nèi)力絕對(duì)值，并在圖內(nèi)打上垂直于垂直于x軸方向的平行線軸方向的平行線， 即繪制得到所需的內(nèi)力圖。 22 a. 軸力方程軸力方程 軸力圖軸力圖 (1) 軸力方程的分段原則軸力方程的分段原則 以桿

19、件上沿軸線方向的集中外力作用的橫截面或沿軸線方向分布外力 集度有突變的橫截面為控制面分段，對(duì)每一段列寫軸力方程。 (2) 列寫軸力方程列寫軸力方程 假想用坐標(biāo)為x的橫截面將桿件截成兩部分，任意取其中一部分為分 離體，對(duì)其列寫沿軸線方向的力的平衡方程。 在所切開的橫截面上，軸力分量軸力分量 的符號(hào)規(guī)定的符號(hào)規(guī)定：)( N xF 與截面的外法線方向一致的軸力為“+”； 與截面的外法線方向相反的軸力為“-”， 即拉伸為拉伸為“+”，壓縮為壓縮為“-”。 在列寫平衡方程時(shí)，一般假設(shè)所切開截面處的軸力 為“+”，即拉力。)( N xF 由平衡方程可得出該段軸力方程的表達(dá)式 ，)( NN xFF 若軸力表

20、達(dá)式為“+”，假設(shè)的軸力方向正確； 若軸力表達(dá)式為“-”，假設(shè)的軸力方向不正確，該截面的軸力實(shí)際為壓力。 對(duì)每一段桿件分別列寫軸力方程后，可繪制出軸力沿x軸變化的函數(shù) 圖形，即軸力圖。 例題 23 b. 扭矩方程扭矩方程 扭矩圖扭矩圖 (1) 扭矩方程的分段原則扭矩方程的分段原則 以桿件上作用面為橫截面的集中外力偶或分布外力偶矩集度有突變的 橫截面為控制面分段，對(duì)每一段列寫扭矩平衡方程。 (2) 列寫扭矩方程列寫扭矩方程 假想用坐標(biāo)為x的橫截面將桿件截成兩部分，任意取其中一部分為分 離體，對(duì)其列寫x方向的力矩的平衡方程。 扭矩分量扭矩分量 的符號(hào)規(guī)定的符號(hào)規(guī)定：)(xT 與截面的外法線方向一致

21、的扭矩為“+”； 與截面的外法線方向相反的扭矩為“-”。 在所切開的橫截面上，按右手螺旋法則右手螺旋法則，扭矩矢量方向 在列寫扭矩平衡方程時(shí)，假設(shè)所切開截面處的扭矩 為正向，列寫平衡方 程后，可得出該段扭矩方程的表達(dá)式 ，其結(jié)果的符號(hào)正好是扭矩的 符號(hào)所規(guī)定的。 )(xT )(xTT 對(duì)每一段桿件分別列寫扭矩方程后，可繪制出扭矩沿x軸變化的函數(shù) 圖形，即扭矩圖。 24 (3) 外力偶矩與轉(zhuǎn)速外力偶矩與轉(zhuǎn)速n及傳輸功率及傳輸功率P的關(guān)系的關(guān)系 作用于桿件上的外力偶矩的大小是由桿件繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)速 n 和傳輸 的功率 P 給出的（例如各種傳動(dòng)軸）。 已知：軸每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)為n（單位r/min） 在軸

22、上某一位置處所傳輸?shù)墓β蕿镻（kW） 則作用于軸上該位置處的外力偶矩（單位Nm）的大小為 min r kW mN t 9549 n P M )2 . 9( min r mN t 7024 n P M 馬力 s mN 5 .735 馬力 s mN 1000kW 主動(dòng)力偶矩主動(dòng)力偶矩 阻力偶矩阻力偶矩 在輸入功率處或主動(dòng)輪處，軸所受的外力偶矩為主動(dòng)力偶矩主動(dòng)力偶矩，其轉(zhuǎn)向與 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方向一致。 在輸出功率處或從動(dòng)輪處，作用的外力偶矩為阻力偶矩阻力偶矩，其轉(zhuǎn)向與軸的 轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反。 例題 25 在所切開的橫截面上，使得該截面所在的桿件微段有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng) 趨勢(shì)的剪力方向?yàn)椤?”，反之為“-”。 c. 剪

23、力方程剪力方程 彎矩方程彎矩方程 剪力圖剪力圖 彎矩圖彎矩圖 平面力系的載荷分量平面力系的載荷分量 當(dāng)作用于桿件的外力系為桿件軸線所在平面內(nèi)的平面力系時(shí)，取y軸位于 外力系作用平面內(nèi)，取z軸位于桿件橫截面內(nèi)，則橫截面內(nèi)的內(nèi)力分量中， 剪力分量只沿y軸方向；彎矩分量只沿z軸方向。 (1) 剪力方程和彎矩方程的分段原則剪力方程和彎矩方程的分段原則 以桿件上作用集中外力、集中外力偶或分布外力集度、分布外力偶集 度有突變的橫截面為控制面分段，對(duì)每一段列寫剪力平衡方程和彎矩 平衡方程。 (2) 列寫剪力方程和彎矩方程列寫剪力方程和彎矩方程 假想用坐標(biāo)為x的橫截面將桿件截成兩部分，任意取其中一部分為分 離

24、體，對(duì)其列寫y方向力的平衡方程及z方向力矩的平衡方程。 剪力分量剪力分量 的符號(hào)規(guī)定的符號(hào)規(guī)定：)( S xF 26 S F S F S F S F S F S F S F S F 剪力為“+”剪力為“-” 在所切開的橫截面上，使得該截面所在的桿件微段彎曲變形凹面 朝上為“+”，反之為“-”。 彎矩分量彎矩分量 的符號(hào)規(guī)定的符號(hào)規(guī)定：)(xM 彎矩為“+”彎矩為“-” MMMM MM MM 27 對(duì)每一段桿件分別列寫剪力方程和彎矩方程后，可繪制出剪力和彎矩 沿x軸變化的函數(shù)圖形，即剪力圖、彎矩圖。 在列寫剪力方程和彎矩方程時(shí)，假設(shè)所切開截面上的剪力 和彎矩 都為正向，列寫平衡方程后，可得出該段

25、剪力方程 和彎矩方 程 ，其結(jié)果的符號(hào)正好是剪力和彎矩的符號(hào)所規(guī)定的。 )( S xF)(xM )( SS xFF )(xMM 例題 28 9.6 載荷集度載荷集度 、剪力、剪力 與彎矩與彎矩 的微分關(guān)系的微分關(guān)系 梁的平衡微分方程梁的平衡微分方程 )(xq)( S xF )(xM 一般情況下，梁上作用有 任意分布載荷 任意截面上的剪力 任意截面上的彎矩 )(xq )( S xF )(xM 三者函數(shù)表達(dá)式存在確定的關(guān)系。 考察梁中任意一微小段 dx ， 設(shè)分布載荷集度向上為“+”， （對(duì)微段dx來(lái)說(shuō)，可設(shè)其上無(wú)集中力和集中力偶，且微段dx 上的分布載 荷為均布）。 )(xq FC M x x

26、xd 29 )(xq FC M x x xd )(xq xd C )( S xF )(d)( SS xFxF )(xM)(d)(xMxM :0 y F0d)()(d)()( SSS xxqxFxFxF :0 C M0 2 d d)(d)()(d)()( S x xxqxxFxMxMxM 高階小量， 略去 )( d )(d S xq x xF )( d )(d S xF x xM )2 .13( ) 3 .13( )( d )(d d )(d )2 .13( S )3 .13( 2 2 xq x xF x xM )4 .13(直梁的平衡微分方程直梁的平衡微分方程 以上三式表示了 、 、 三個(gè)函數(shù)

27、的微分關(guān)系。)(xq)( S xF)(xM 30 注意：注意： 上述微分關(guān)系是在如下前提前提得出的 (1) 規(guī)定分布載荷 向上為“+”；)(xq (2) 規(guī)定剪力 使研究對(duì)象有順時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)為“+”；)( S xF (3) 規(guī)定彎矩 使研究對(duì)象有“上壓下拉”的彎曲為“+”；)(xM (4) x軸向右為“+”。 如果規(guī)定有所改變，則會(huì)出現(xiàn)“+，-”號(hào)的差別，但微分關(guān)系的實(shí)質(zhì)不 改變。 31 9.7 利用載荷集度利用載荷集度 、剪力、剪力 與彎與彎 矩矩 的微分關(guān)系繪制剪力圖和彎矩圖的微分關(guān)系繪制剪力圖和彎矩圖 )(xq)( S xF )(xM 梁的平衡微分方程)( d )(d S xq x xF

28、)( d )(d S xF x xM )2 .13( ) 3 .13( )( d )(d d )(d )2 .13( S )3 .13( 2 2 xq x xF x xM )4 .13( 表明： (1) 截面上某點(diǎn)x處的剪力圖的斜率剪力圖的斜率=該點(diǎn)處載荷集度的大小該點(diǎn)處載荷集度的大?。?(2) 截面上某點(diǎn)x處的彎矩圖的斜率彎矩圖的斜率=該點(diǎn)處剪力的大小該點(diǎn)處剪力的大?。?(3) 截面上某點(diǎn)x處的彎矩圖的曲率彎矩圖的曲率=該點(diǎn)處載荷集度的大小該點(diǎn)處載荷集度的大小。 由此可以推斷梁上各段剪力圖和彎矩圖的曲線形狀。同時(shí)再利用截面法將 各段曲線兩端（控制面）上的剪力和彎矩?cái)?shù)值確定下來(lái)。由此梁的整個(gè)剪 力圖和彎矩圖曲線就完全確定了。 32 具體分析如下：具體分析如下： (1) 在某段梁上，若無(wú)分布載荷0)(xq 由 可知，該段內(nèi)0)( d )(d d )(d S 2 2 xq x xF x xM (a)const)( S xF剪力圖