第三章 周期信號的傅里葉級數(shù)表示

1、FOURIER SERIES REPRESENTATION OF PERIODIC SIGNALS 第第3章章 周期信號的傅里葉級數(shù)表示周期信號的傅里葉級數(shù)表示 本章內(nèi)容：本章內(nèi)容： . . 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 . . LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析 . . 傅立葉級數(shù)的性質(zhì)傅立葉級數(shù)的性質(zhì) 3.0 引言引言 Introduction v時域分析方法的基礎(chǔ)：時域分析方法的基礎(chǔ)： 1)1)信號在時域的分解。信號在時域的分解。 2)LTI系統(tǒng)滿足線性、時不變性。系統(tǒng)滿足線性、時不變性。 2.具有普遍性，能夠用以構(gòu)成相當廣泛的信號。具有普遍性，能夠用以構(gòu)成相當廣泛的信號。 1.

2、本身簡單，且本身簡單，且LTI系統(tǒng)對它的響應(yīng)能簡便得到。系統(tǒng)對它的響應(yīng)能簡便得到。 v 從分解信號的角度出發(fā)，基本信號單元必須滿從分解信號的角度出發(fā)，基本信號單元必須滿 足兩個要求：足兩個要求： 4 從時域分析到頻域分析從時域分析到頻域分析 dtxtx)()()( )( )( )()()()()( )( tht dthxtxthtytx LTI基本信號 時域分析： 1 ( )() 2 j t x tX jed 1 ( )()() 2 j t y tX jH jed tjtj ejHe tx )( )( LTI基本信號 頻域分析： )()()( )( 2 1 )( jHjXjY dejYty t

3、j （以連續(xù)時間非周期信號為例）（以連續(xù)時間非周期信號為例） 3.1歷史的回顧歷史的回顧 （A Historical Perspective） 任何科學(xué)理論任何科學(xué)理論, , 科學(xué)方法的建立都是經(jīng)過許多科學(xué)方法的建立都是經(jīng)過許多 人不懈的努力而得來的人不懈的努力而得來的, , 其中有爭論其中有爭論, , 還有人為還有人為 之獻出了生命。之獻出了生命。 歷史的經(jīng)驗告訴我們歷史的經(jīng)驗告訴我們, , 要想在要想在 科學(xué)的領(lǐng)域有所建樹，必須傾心盡力為之奮斗?？茖W(xué)的領(lǐng)域有所建樹，必須傾心盡力為之奮斗。 今天我們將要學(xué)習(xí)的傅立葉分析法，也經(jīng)歷了曲今天我們將要學(xué)習(xí)的傅立葉分析法，也經(jīng)歷了曲 折漫長的發(fā)展過程

4、，剛剛發(fā)布這一理論時，有人折漫長的發(fā)展過程，剛剛發(fā)布這一理論時，有人 反對，也有人認為不可思議。但在今天，這一分反對，也有人認為不可思議。但在今天，這一分 析方法在許多領(lǐng)域已發(fā)揮了巨大的作用。析方法在許多領(lǐng)域已發(fā)揮了巨大的作用。 v17681768年生于法國年生于法國 v18071807年提出年提出“任何周任何周 期信號都可以用正弦期信號都可以用正弦 函數(shù)的級數(shù)來表示函數(shù)的級數(shù)來表示” v拉格朗日反對發(fā)表拉格朗日反對發(fā)表 v18221822年首次發(fā)表年首次發(fā)表“熱熱 的分析理論的分析理論” v18291829年狄里赫利第一年狄里赫利第一 個給出收斂條件個給出收斂條件 傅里葉生平傅里葉生平 17

5、681830 傅里葉的兩個最重要的貢獻傅里葉的兩個最重要的貢獻 v“周期信號都可以表示為成諧波關(guān)系的正弦信周期信號都可以表示為成諧波關(guān)系的正弦信 號的加權(quán)和號的加權(quán)和”傅里葉的第一個主要論點傅里葉的第一個主要論點 v“非周期信號都可以用正弦信號的加權(quán)積分來非周期信號都可以用正弦信號的加權(quán)積分來 表示表示”傅里葉的第二個主要論點傅里葉的第二個主要論點 由時域分析方法有，由時域分析方法有， () ( )( )( )( ) s tstsst y tehdehedH s e () ( )( )( )( ) nknkn kk y nzh kzh k zH z z 3.2 LTI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng)系統(tǒng)

6、對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng) The Response of LTI Systems to Complex Exponentials st e n z ( )h n ( )h t st e ( )y t n z ( )y n v 考查考查LTI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號 和和 的響應(yīng)的響應(yīng) 可見可見LTI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng)是很容易求得系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng)是很容易求得 的。這說明的。這說明 和和 符合對單元信號的第一項要符合對單元信號的第一項要 求。求。 st e n z 特征函數(shù)特征函數(shù) (Eigenfunction) v 如果系統(tǒng)對某一信號的響應(yīng)只不過是該信號乘如果系統(tǒng)對某一信號的響應(yīng)只不

7、過是該信號乘 以一個常數(shù)，則稱該信號是這個系統(tǒng)的以一個常數(shù)，則稱該信號是這個系統(tǒng)的特征函數(shù)特征函數(shù)。 系統(tǒng)對該信號加權(quán)的常數(shù)稱為系統(tǒng)與特征函數(shù)相對系統(tǒng)對該信號加權(quán)的常數(shù)稱為系統(tǒng)與特征函數(shù)相對 應(yīng)的應(yīng)的特征值特征值。 結(jié)論：結(jié)論： v 只有復(fù)指數(shù)函數(shù)才能成為一切只有復(fù)指數(shù)函數(shù)才能成為一切LTI系統(tǒng)的特征系統(tǒng)的特征 函函數(shù)。數(shù)。 v 復(fù)指數(shù)函數(shù)復(fù)指數(shù)函數(shù) 、 是一切是一切LTI系統(tǒng)的特征函系統(tǒng)的特征函 數(shù)。數(shù)。 、 分別是分別是LTI系統(tǒng)與復(fù)指數(shù)信號相對系統(tǒng)與復(fù)指數(shù)信號相對 應(yīng)的特征值。應(yīng)的特征值。 ( )( ) st H sh t edt ( )( ) n k H zh n z st e n z

8、 ( )H s( )H z 對時域的任何一個信號對時域的任何一個信號 或者或者 , ,若能將若能將 其表示為下列形式：其表示為下列形式： ( )x t( )x n tststs eaeaeatx 321 321 )( 利用系統(tǒng)的齊次性與疊加性利用系統(tǒng)的齊次性與疊加性 n k k kZ anx )( n k k kk ZZHany )()( ts k kk k esHaty )()( ts k k k eatx )(即：即： * *問題：問題：究竟有多大范圍的信號可以用復(fù)指數(shù)信號的究竟有多大范圍的信號可以用復(fù)指數(shù)信號的 線性組合來表示？線性組合來表示？ tststs esHaesHaesHaty

9、tx 321 )()()()()( 332211 所以有所以有 11 1 ( ) s ts t eH s e 22 2 () s ts t eH s e 33 3 ( ) s ts t eH s e 由于由于 Fourier Series Representation of Continuous-Time Periodic Signals 3.3 連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示 如果將該信號集中所有的信號線性組合起來，如果將該信號集中所有的信號線性組合起來， 一一. 連續(xù)時間傅里葉級數(shù)連續(xù)時間傅里葉級數(shù) 0 ( ) jkt k te 0 2 k 0 2 成諧波

10、關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號集成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號集: ，其中每個信號都是以，其中每個信號都是以 為周期的，它們的公共周期為為周期的，它們的公共周期為 ，且該集合，且該集合 中所有的信號都是彼此獨立的。中所有的信號都是彼此獨立的。 0, 1, 2,k 例例1 1： 0 ( )cosx tt 00 11 22 jtjt ee 顯然顯然 也是以也是以 為周期的。該級數(shù)就是為周期的。該級數(shù)就是傅里傅里 葉級數(shù)葉級數(shù)， 稱稱為傅立葉級數(shù)的系數(shù)。為傅立葉級數(shù)的系數(shù)。 這表明用傅里葉級數(shù)可以表示連續(xù)時間周期信號，這表明用傅里葉級數(shù)可以表示連續(xù)時間周期信號， 即即: : 連續(xù)時間周期信號可以分解成無數(shù)多個復(fù)指數(shù)連續(xù)時

11、間周期信號可以分解成無數(shù)多個復(fù)指數(shù) 諧波分量諧波分量。 0 2 ( )x t k a 0 ( ),0, 1, 2 jkt k k x ta ek 有有 例例2 2： 00 ( )cos2cos3x ttt 0000 33 1 2 jtjtjtjt eeee 顯然該信號中，有兩個諧波分量，顯然該信號中，有兩個諧波分量， 為相應(yīng)為相應(yīng) 分量的加權(quán)因子分量的加權(quán)因子即傅立葉系數(shù)即傅立葉系數(shù) 1 1 2 a 在該信號中，有四個諧波分量，即在該信號中，有四個諧波分量，即, 3, 1 k 時對應(yīng)的諧波分量。時對應(yīng)的諧波分量。 傅里葉級數(shù)表明：傅里葉級數(shù)表明：連續(xù)時間周期信號可以按傅立葉連續(xù)時間周期信號可以

12、按傅立葉 級數(shù)分解成無數(shù)多個復(fù)指數(shù)諧波分量的線性組合。級數(shù)分解成無數(shù)多個復(fù)指數(shù)諧波分量的線性組合。 15 ,)( )/2( 0 tTjk k k tjk k k eaeatx 綜合公式綜合公式: : 綜合公式說明：任意周期為綜合公式說明：任意周期為T T的信號可以由一個直流信號和一系列周期為的信號可以由一個直流信號和一系列周期為T T 的約數(shù)的約數(shù)(T,T/2,T/3,(T,T/2,T/3,) )的周期復(fù)指數(shù)信號合成的周期復(fù)指數(shù)信號合成 如何理解傅里葉級數(shù)？如何理解傅里葉級數(shù)？ 如右圖所示，周如右圖所示，周 期分別為期分別為T,T/2, T,T/2, T/3,T/3,的周期信的周期信 號相加后

13、仍然是號相加后仍然是 一個周期為一個周期為T T的信的信 號號 下面的問題是：下面的問題是： 如何能夠保證這如何能夠保證這 些信號相加后得些信號相加后得 到的波形和到的波形和x(t)一一 樣？樣？ 16 1 x 310 xxa 19 x 9 x 5 x 3 x 5310 xxxa 710 xxa 1910 xxa )( 9910 txxxa 可見，周期信號確實可以按傅里葉級數(shù)形式分解為一系列可見，周期信號確實可以按傅里葉級數(shù)形式分解為一系列 復(fù)指數(shù)信號的線性加權(quán)和復(fù)指數(shù)信號的線性加權(quán)和 二二. .頻譜頻譜（Spectral）的概念的概念 在傅里葉級數(shù)中，各個信號分量（諧波分量）在傅里葉級數(shù)中，

14、各個信號分量（諧波分量） 間的區(qū)別也僅僅是幅度（可以是復(fù)數(shù)）和頻率不同。間的區(qū)別也僅僅是幅度（可以是復(fù)數(shù)）和頻率不同。 因此，可以用一根線段來表示某個分量的幅度，用因此，可以用一根線段來表示某個分量的幅度，用 線段的位置表示相應(yīng)的頻率。線段的位置表示相應(yīng)的頻率。 t ( ) k t 信號集信號集 中的每一個信號，除了成諧波關(guān)中的每一個信號，除了成諧波關(guān) 系外，每個信號隨時間系外，每個信號隨時間 的變化規(guī)律都是一樣的，的變化規(guī)律都是一樣的， 差別僅僅是頻率不同。差別僅僅是頻率不同。 0 1 分量分量 可表示為可表示為 0 jt e 因此，當把周期信號因此，當把周期信號 表示為傅里葉級數(shù)表示為傅里

15、葉級數(shù) 時時，就可以將就可以將 表示為表示為 ( )x t ( )x t 0 ( ) jkt k k x ta e 這樣繪出的圖這樣繪出的圖 稱為稱為頻譜圖頻譜圖 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 a 1 a 2 a 3 a 3 a 2 a 1 a gggggggg 00 0 1 cos() 2 jtjt tee 表示為表示為 頻譜圖其實就是將頻譜圖其實就是將 隨頻率的分布表示出來，隨頻率的分布表示出來， 即即 的關(guān)系。由于的關(guān)系。由于信號的頻譜完全代表了信號的頻譜完全代表了 信號信號，研究它的頻譜就等于研究信號本身。因此，研究它的頻譜就等于研究信號本身。因此， 這種表示信號的方法稱為這

16、種表示信號的方法稱為頻域表示法頻域表示法。 k a k a 三.傅里葉級數(shù)的其它形式傅里葉級數(shù)的其它形式 0000 * ( ) jktjktjktjkt kkkk kkkk x ta ea ea ea e kk aa 或或 * kk aa 若若 是實信號是實信號, ,則有則有)()(txtx ，于是，于是 ( )x t 若令若令 k j kk aA e ，則，則 為實數(shù)。于是為實數(shù)。于是 0 a 00 0 1 kk jktjjktj kk k aA eeA ee 000 1 ()() 0 1 ( ) kkk jjktj ktj kt kkk kkk x tA eeaA eA e * kk jj

17、 kkkk aaA eA e Q 即即： kk AA kk 表明表明 的的模關(guān)于模關(guān)于 偶對稱偶對稱，幅角關(guān)于幅角關(guān)于 奇對稱奇對稱。 k a kk 00 0 1 ( ) kk jktjjktj kk k x taA eeA ee 00 1 2cos() kk k aAkt 傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)表示式傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)表示式 kkk aBjC 若令若令則則 00 1 0 1 ( )()() jktjkt kkkk kk x taBjC eBjC e 00 0 1 ()() jktjkt kkkk k aBjCeBjCe * kk aa Q kkkk BjCBjC 因此因此 kk BB kk

18、CC 即即 的的實部關(guān)于實部關(guān)于 偶對稱偶對稱，虛部關(guān)于虛部關(guān)于 奇對稱奇對稱。 k ak k 00 0 1 ( )()() jktjkt kkkk k x taBjCeBjCe 000 1 2cossin kk k aBktCkt 傅里葉級數(shù)的另一種三角函數(shù)形式傅里葉級數(shù)的另一種三角函數(shù)形式 將此關(guān)系代入，可得到將此關(guān)系代入，可得到 四四. .連續(xù)時間傅里葉級數(shù)系數(shù)的確定連續(xù)時間傅里葉級數(shù)系數(shù)的確定 00 () ( ) jntj k nt k k x t ea e 對兩邊同時在一個周期內(nèi)積分，有對兩邊同時在一個周期內(nèi)積分，有 00 00 () 00 ( ) TT jntj knt k k x

19、 t edtaedt 0 ( ), jkt k k x ta e 0 0 2 T ( )x t 則有則有 如果周期信號如果周期信號 可以表示為傅里葉級數(shù)可以表示為傅里葉級數(shù) 000 0 () 00 000 cos()sin() TTT j k nt edtkntdtjkntdt 0 0 0 0 ( ) T jnt n x t edta T 0 0 0 0 1 ( ) T jnt n ax t edt T 即即 0 0, ,T kn kn 在確定此積分時，只要積分區(qū)間是一個周期即可，在確定此積分時，只要積分區(qū)間是一個周期即可， 對積分區(qū)間的起止并無特別要求，因此可表示為對積分區(qū)間的起止并無特別要

20、求，因此可表示為 0 0 0 1 ( ) jkt k T ax t edt T 0 0 0 1 ( ) T ax t dt T 是信號在一個周期的平均值，通常稱直流分量。是信號在一個周期的平均值，通常稱直流分量。 0 a 五五. .周期性矩形脈沖信號的頻譜周期性矩形脈沖信號的頻譜 1 001 1 1 0 1 00 00 0 2sin11 T jktjkt T kT T kT aedte TjkTkT 101111 01 001000 2sin222 Sa()sinc() TkTTTT kTk TkTTTT sin Sa( ) x x x sin sinc( ) x x x 其中其中 1 0 T

21、 0 T t ( )x t 根據(jù)根據(jù) 可繪出可繪出 的頻譜圖。的頻譜圖。 稱為占空比稱為占空比 k a( )x t 1 0 2T T 0 ( )Sa x 1 x 0 1 2 1 sin ( )c x 1 x 1 1 0 21 2 T T 1 0 21 4 T T 1 0 21 8 T T 不變不變 時時 0 T 1 T 1 0 21 2 T T 1 0 21 4 T T 1 0 21 8 T T 1 T不變不變 時時 0 T 周期性矩形脈沖信號的頻譜特征：周期性矩形脈沖信號的頻譜特征： 1. 1. 離散性離散性 2. 2. 諧波性諧波性 3. 3. 收斂性收斂性 考查周期考查周期 和脈沖寬度和

22、脈沖寬度 改變時頻譜的變化：改變時頻譜的變化： 0 T 1 2T 1.1. 當當 不變，改變不變，改變 時，隨時，隨 使占空比減小，使占空比減小，譜譜 線間隔變小，幅度下降線間隔變小，幅度下降。但。但頻譜包絡(luò)的形狀不變頻譜包絡(luò)的形狀不變， 包絡(luò)主瓣內(nèi)包含的諧波分量數(shù)增加。包絡(luò)主瓣內(nèi)包含的諧波分量數(shù)增加。 2.2. 當當 改變，改變， 不變時，隨不變時，隨 使占空比減小，使占空比減小，譜譜 線間隔不變，幅度下降線間隔不變，幅度下降。頻譜的包絡(luò)改變頻譜的包絡(luò)改變，包絡(luò)包絡(luò) 主瓣變寬主瓣變寬。主瓣內(nèi)包含的諧波數(shù)量也增加。主瓣內(nèi)包含的諧波數(shù)量也增加。 1 T 1 T 0 T 0 T 1 T 0 T 當

23、當 時，有時，有( )()x txt 00 0 0 22 0 0 2 00 12 ( )( )cos TT jkt Tk ax t edtx tktdt TT 當當 時，有時，有( )()x txt 00 0 0 22 0 0 2 00 12 ( )( )sin TT jkt Tk ax t edtjx tktdt TT 表明：表明：奇信號的奇信號的 是關(guān)于是關(guān)于 的奇函數(shù)、虛函數(shù)。的奇函數(shù)、虛函數(shù)。 k a k 表明：表明：偶信號的偶信號的 是關(guān)于是關(guān)于 的偶函數(shù)、實函數(shù)。的偶函數(shù)、實函數(shù)。 k a k 信號對稱性與頻譜的關(guān)系：信號對稱性與頻譜的關(guān)系： 3.4 連續(xù)時間傅里葉級數(shù)的收斂連續(xù)時

24、間傅里葉級數(shù)的收斂 這一節(jié)來研究用傅氏級數(shù)表示周期信號的普遍這一節(jié)來研究用傅氏級數(shù)表示周期信號的普遍 性問題，即滿足什么條件的周期信號可以表示為性問題，即滿足什么條件的周期信號可以表示為 傅里葉級數(shù)。傅里葉級數(shù)。 一一. . 傅里葉級數(shù)是對信號的最佳近似傅里葉級數(shù)是對信號的最佳近似 若若 以以 為周期為周期 0 ( ) jkt k k x ta e 0 0 2 T ( )x t 0 T 用有限個諧波分量近似用有限個諧波分量近似 時，有時，有( )x t 0 ( ) N jkt Nk kN xta e Convergence of the Fourier series 誤差為誤差為( )( )(

25、 ) NN etx txt 以均方誤差作為衡量誤差的準則，其均方誤差為以均方誤差作為衡量誤差的準則，其均方誤差為 00 22 00 11 ( )( )( )( ) NNN TT Etetdtx txtdt TT 00 0 * 0 1 ( )( ) NN jktjkt kk T kNkN x ta ex ta edt T 于是：于是： 0 2 2 00 12 )( )cos() NN Nkkkkk T kNkN Etx tdtAAB TT （ 結(jié)論：在均方誤差最小的準則下，傅里葉級數(shù)結(jié)論：在均方誤差最小的準則下，傅里葉級數(shù)是對是對 周期信號的最佳近似。周期信號的最佳近似。 在均方誤差最小的準則下

26、，可以證明，此時在均方誤差最小的準則下，可以證明，此時 應(yīng)滿足：應(yīng)滿足： k a 0 0 0 1 ( ) jkt k T ax t edt T 這就是傅氏級數(shù)的系數(shù)這就是傅氏級數(shù)的系數(shù) 其中其中 k j kk aA e 0 0 ( ), k jktj k T x t edtB e 0 0 ( ) k jktj k T x t edtB e 二二. . 傅里葉級數(shù)的收斂傅里葉級數(shù)的收斂 傅里葉級數(shù)收斂的兩層含義傅里葉級數(shù)收斂的兩層含義： 是否存在是否存在? ? 級數(shù)是否收斂于級數(shù)是否收斂于 ? ?( )x t k a 兩組條件：兩組條件： 1.平方可積條件：平方可積條件： 如果如果 則則 必存在

27、。必存在。 在一個周期內(nèi)能量有限，在一個周期內(nèi)能量有限， 一定存在。一定存在。 k a 0 2 ( ) T x tdt k a ( )x tQ 2. Dirichlet條件：條件： ，在任何周期內(nèi)信號絕對可積。，在任何周期內(nèi)信號絕對可積。 在任何有限區(qū)間內(nèi)，只有有限個極值點，且極值在任何有限區(qū)間內(nèi)，只有有限個極值點，且極值 為有限值。為有限值。 在任何有限區(qū)間內(nèi)，只有有限個第一類間斷點。在任何有限區(qū)間內(nèi)，只有有限個第一類間斷點。 0 ( ) T x tdt 0 00 00 11 ( )( ) jkt k TT ax t edtx t dt TT 因此，信號絕對可積就保證了因此，信號絕對可積就保

28、證了 的存在。的存在。 k a 這兩組條件并不完全等價。它們都是傅里葉級數(shù)這兩組條件并不完全等價。它們都是傅里葉級數(shù) 收斂的收斂的充分條件充分條件。相當廣泛的信號都能滿足這兩組。相當廣泛的信號都能滿足這兩組 條件中的一組，因而用傅里葉級數(shù)表示周期信號具條件中的一組，因而用傅里葉級數(shù)表示周期信號具 有相當?shù)钠毡檫m用性有相當?shù)钠毡檫m用性。 幾個不滿足幾個不滿足Dirichlet條件的信號條件的信號 三三. .Gibbs現(xiàn)象現(xiàn)象 滿足滿足 Dirichlet 條件條件的信號，其傅里葉級數(shù)是如的信號，其傅里葉級數(shù)是如 何收斂于何收斂于 的。特別當?shù)?。特別當 具有間斷點時，在間具有間斷點時，在間 斷點附

29、近，如何收斂于斷點附近，如何收斂于 ? ? ( )x t( )x t ( )x t 1N 3N 7N 19N 100N 用有限項傅里葉級數(shù)表示有間斷點的信號時，用有限項傅里葉級數(shù)表示有間斷點的信號時， 在間斷點附近不可避免的在間斷點附近不可避免的會會出現(xiàn)振蕩和超量。超出現(xiàn)振蕩和超量。超 量的幅度不會隨所取項數(shù)的增加而減小。只是隨量的幅度不會隨所取項數(shù)的增加而減小。只是隨 著項數(shù)的增多，振蕩頻率變高，并向間斷點處壓著項數(shù)的增多，振蕩頻率變高，并向間斷點處壓 縮，從而使它所占有的能量減少縮，從而使它所占有的能量減少。 Gibbs現(xiàn)象表明：現(xiàn)象表明： Properties of Continuous

30、-Time Fourier Series 3.5 連續(xù)時間傅里葉級數(shù)的性質(zhì)連續(xù)時間傅里葉級數(shù)的性質(zhì) 學(xué)習(xí)這些性質(zhì)，有助于對概念的理解和對信號進學(xué)習(xí)這些性質(zhì)，有助于對概念的理解和對信號進 行級數(shù)展開。行級數(shù)展開。 一一. . 線性：線性： 若若 和和 都是以都是以 為周期的信號，且為周期的信號，且 ( ) F k x ta ( ) F k y tb ( )x t( )y tT 則則( )( ) F kk Ax tBy tAaBb 二二. .時移時移: : 三三. .反轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn): : 0 0 0 () jktF k x tta e ( ) F k x ta 若若 是以是以 為周期的信號，且為周期的信

31、號，且( )x tT 則則 0 2 T 若若 是以是以 為周期的信號，且為周期的信號，且( )x tT ( ) F k x ta 則則 () F k xta 四四. .尺度變換尺度變換: : 若若 是以是以 為周期的信號，且為周期的信號，且( )x tT ( ) F k x ta 則則 以以 為周期，于是為周期，于是()x at/T a 0 / ()() jkatF k Ta a x atbx at edt T 令令 ，當，當 在在 變化時，變化時， 從從 變化，變化，att0 /T a0T 于是有：于是有： 0 1 ( ) jk kk T bxeda T () F kk x atba 五五.

32、 相乘相乘: 若若 和和 都是以都是以 為周期的信號，且為周期的信號，且 ( ) F k x ta ( ) F k y tb ( )x t( )y tT 則則 0 1 ( )( )( ) ( ) jktF k T x ty tCx t y t edt T g 00 1 ( ) jltjkt kl T l Ca ey t edt T g也即也即 0 () 1 ( ) j k lt kllk l T ll Cay t edta b T ( ) ( ) F lk lkk l x t y ta bab 六六. .共軛對稱性共軛對稱性: : 若若 是以是以 為周期的信號，且為周期的信號，且( )x tT

33、( ) F k x ta 則則 k atx)( 由此可推得，由此可推得，對實信號有對實信號有： 或或 kk aa kk aa k j kk aA e 時有：時有： kkkk AA 當當 七七. .Parseval 定理：定理： k k T adttx T 2 2 )( 1 表明：表明：一個周期信號的平均功率就等于它所有諧波一個周期信號的平均功率就等于它所有諧波 分量的平均功率之和分量的平均功率之和. . * * 掌握表掌握表3.1 對實信號，對實信號，當當 時，時，( )()x txt kk aa（實偶函數(shù)）（實偶函數(shù)） 當當 時，時，( )()x txt kk aa （虛奇函數(shù)）（虛奇函數(shù)）

34、 kkk aBjC時有：時有： kkkk BBCC 當當 例例1： k kTttx)()( -T 1 t T0 )(tx 0 /2 /2 11 ( ) T jkt k T at edt TT 0 1 ( ) jkt k x te T 0 2 T )(tg 1 0 1 T 1 T -T T t 例例2：周期性矩形脈沖：周期性矩形脈沖 )()()( 11 TtxTtxtg 將其微分后，可利用例將其微分后，可利用例1表示為表示為 設(shè)設(shè)( )( ) FF kk g tcg tb 由時域微分性質(zhì)有由時域微分性質(zhì)有 0kk bjkc根據(jù)時移特性，有根據(jù)時移特性，有 0 10 1 0 1 2sin jkTj

35、kT kkk baeejakT 由例由例1知知1/ k aT 0 2 /T 0 10 11 000 1 2sinsin2 k k bkTkTT c jkkTTkT ( ) g t 1 t 0 1 T 1 T 1 TT 1 TT Fourier Series Representation of Discrete-Time Periodic Signals 一一. .離散時間傅里葉級數(shù)離散時間傅里葉級數(shù)（DFS） Discrete-Time Fourier Series 考察成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號集考察成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號集: : 該信號集中每一個信號都以該信號集中每一個信號都以 為周期，且該集

36、合中為周期，且該集合中 只有只有 個信號是彼此獨立的。個信號是彼此獨立的。 2 ( ) jkn N k ne N N 3.6 離散時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示離散時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示 這個級數(shù)就稱為這個級數(shù)就稱為離散時間傅里葉級數(shù)（離散時間傅里葉級數(shù)（DFS）， 其中其中 也稱為周期信號也稱為周期信號 的頻譜。的頻譜。 k a( )x n 二二. . 傅里葉級數(shù)系數(shù)的確定傅里葉級數(shù)系數(shù)的確定 給給 兩邊同乘以兩邊同乘以 ，得：，得： 2 ( ) jkn N k kN x na e 2 jrn N e 將這將這 個獨立的信號線性組合起來，一定能表個獨立的信號線性組合起來，一定能表 示一個

37、以示一個以 為周期的序列。即：為周期的序列。即： 2 ( ) jkn N k kN x na e 其中其中 為為 個相連的整數(shù)個相連的整數(shù) N N N k 22 () ( ) jrnjk r n NN k kN x n ea e 222 ()() ( ) jrnjk r njk r n NNN kk nNnN kNkNnN x n ea eae 2 ( ) jrn N r nN x n eNa 22() 2 1 ()() 0, , 2 () 0 1 1 j k r N jk r njk r n NN N j k r nNn N e ee e 而而 kr kr 顯然顯然 仍是以仍是以 為周期的，

38、對兩邊求和為周期的，對兩邊求和 2 ( ) jrn N x n e N 2 1 ( ) jrn N r nN ax n e N 2 1 ( ) jkn N k nN ax n e N 即即 或或 對實信號同樣有對實信號同樣有： kk aa kk aa kk aa RR ReRe kk aa ImIm kk aa 顯然上式滿足顯然上式滿足 ，即，即 也是以也是以 為周為周 期的，或者說期的，或者說 中只有中只有 個是獨立的個是獨立的。 kNk aa k a k a N N 三三. .周期性方波序列的頻譜周期性方波序列的頻譜 11 2121 ()() 22 1 jkjkNjkN NNN jkjkj

39、k NNN eee N eee 2 1 1 1 1 2 (1) 2 2 11 1 jkN N jNk N N jkn N k jk nN N ee ae NN e 顯然顯然 的包絡(luò)具有的包絡(luò)具有 的形狀。的形狀。 k a sin sin x x 1 21 k N a N krN時時 1 sin(21) 1 sin kN N N k N 0, 2 ,kNN k k k 1 2 20 N N 1 1 10 N N 1 2 10 N N 周期性方波序列的頻譜周期性方波序列的頻譜 u 當當 不變、不變、 時，頻譜的時，頻譜的包絡(luò)形狀不變包絡(luò)形狀不變， 只是只是幅度減小，譜線間隔變小幅度減小，譜線間隔變

40、小。 u 當當 改變、改變、 不變時，由于不變時，由于 的包絡(luò)具有的包絡(luò)具有 的形狀，而的形狀，而 ，可知其包絡(luò)可知其包絡(luò) 形狀一定形狀一定發(fā)生變化。當發(fā)生變化。當 時，包絡(luò)的第一個時，包絡(luò)的第一個 零點會遠離零點會遠離原點從而使原點從而使頻譜主瓣變寬頻譜主瓣變寬。這一點。這一點 也與連續(xù)時間周期矩形也與連續(xù)時間周期矩形脈沖的情況類似。脈沖的情況類似。 1 N 1 NN N k a sin sin x x 1 21N 1 N 三三. . DFS的收斂的收斂 DFS 是一個有限項的級數(shù)，確定是一個有限項的級數(shù)，確定 的關(guān)系的關(guān)系 式也是有限項的和式，因而式也是有限項的和式，因而不存在收斂問題不存

41、在收斂問題，也，也 不會產(chǎn)生不會產(chǎn)生Gibbs現(xiàn)象現(xiàn)象。 k a 周期序列的頻譜也具有周期序列的頻譜也具有離散性、諧波性離散性、諧波性，當在，當在 區(qū)間區(qū)間 考查時考查時，也具有具有收斂性收斂性。不同的是，。不同的是， 離散時間周期信號的頻譜具有離散時間周期信號的頻譜具有周期性周期性。 1. 相乘相乘 2. 差分差分 周期卷積周期卷積 Properties of Discrete-Time Fourier Series 3.7 DFS的性質(zhì)的性質(zhì) DFS有許多性質(zhì)，這里只選幾個加以討論。有許多性質(zhì)，這里只選幾個加以討論。 ( ) DFS k x na ( ) DFS k y nb ( ) (

42、) DFS klk l lN x n y ncab ( ) DFS k x na 0 0 ( )()(1) j nDFS k x nx nnea 3. 時域內(nèi)插時域內(nèi)插 ( ) m x n ( / )x n m 0 nrm nrm 若若 以以N為周期，為周期，( )x n 則則 以以mN為周期。為周期。( ) m xn( ) F mk xnh 令令 2 1 ( ) jkn mN km nmN hxn e mN 令令 ，則有，則有nrm 時時0 nmN0 rN 22 111 ( )( ) jkrmjkr mNN kk rNrN hx r ex r ea mNmNm 4. Paseval定理定理

43、左邊是信號在一個周期內(nèi)的平均功率，右邊是左邊是信號在一個周期內(nèi)的平均功率，右邊是 信號的各次諧波的總功率。信號的各次諧波的總功率。 這表明：這表明：一個周期信號的平均功率等于它的所一個周期信號的平均功率等于它的所 有諧波分量的功率之和。有諧波分量的功率之和。也表明：也表明：周期信號的功周期信號的功 率既可以由時域求得，也可以由頻域求得。率既可以由時域求得，也可以由頻域求得。 22 1 | ( )| k nNkN x na N ( ) DFS k x na 3.8 傅里葉級數(shù)與傅里葉級數(shù)與LTI系統(tǒng)系統(tǒng) Fourier Series and LTI Systems LTI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號所起的作用只是給輸入信系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號所起的作用只是給輸入信 號加權(quán)了一個相應(yīng)的特征值。號加權(quán)了一個相應(yīng)的特征值。 ( )( ) st H sh t edt 對連續(xù)時間系統(tǒng)對連續(xù)時間系統(tǒng) 對離散時間系統(tǒng)對離散時間系統(tǒng)( )( ) n n H zh n z 、 被被