第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

1、第一節(jié) 復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算 一、復(fù)數(shù)的概念 二、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算 三、小結(jié)與思考 2 一、復(fù)數(shù)的概念 1. 虛數(shù)單位虛數(shù)單位: . , 稱為虛數(shù)單位稱為虛數(shù)單位 引入一個(gè)新數(shù)引入一個(gè)新數(shù)為了解方程的需要為了解方程的需要i .1 : 2 在實(shí)數(shù)集中無(wú)解在實(shí)數(shù)集中無(wú)解方程方程實(shí)例實(shí)例 x 對(duì)虛數(shù)單位的規(guī)定對(duì)虛數(shù)單位的規(guī)定: : ; 1)1( 2 i . )2( 四則運(yùn)算四則運(yùn)算 樣的法則進(jìn)行樣的法則進(jìn)行可以與實(shí)數(shù)在一起按同可以與實(shí)數(shù)在一起按同i 3 虛數(shù)單位的特性虛數(shù)單位的特性: ; 1 ii ; 1 2 i; 23 iiii ; 1 224 iii; 145 iiii ; 1 246 iii; 34

2、7 iiii ; 1 448 iii 則則是正整數(shù)是正整數(shù)一般地，如果一般地，如果,n , 1 4 n i, 14 ii n , 1 24 n i. 34 ii n 4 2.復(fù)數(shù)復(fù)數(shù): . , 為復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù)或或 我們稱我們稱對(duì)于任意兩實(shí)數(shù)對(duì)于任意兩實(shí)數(shù) iyxz yixzyx , , 的實(shí)部和虛部的實(shí)部和虛部分別稱為分別稱為其中其中zyx ).Im(),Re( zyzx 記作記作 ; , 0 , 0 稱為純虛數(shù)稱為純虛數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)iyzyx . ,0 , 0 xixzy我們把它看作實(shí)數(shù)我們把它看作實(shí)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 5 兩復(fù)數(shù)相等兩復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部它們的實(shí)部和虛部 分別相等分別

3、相等. 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) z 等于等于0當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)它的實(shí)部和虛部它的實(shí)部和虛部 同時(shí)等于同時(shí)等于0. 說(shuō)明說(shuō)明 兩個(gè)數(shù)如果都是實(shí)數(shù)兩個(gè)數(shù)如果都是實(shí)數(shù),可以比較它們的可以比較它們的 大小大小, 如果不全是實(shí)數(shù)如果不全是實(shí)數(shù), 就不能比較大小就不能比較大小, 也就也就 是說(shuō)是說(shuō), 復(fù)數(shù)不能比較大小復(fù)數(shù)不能比較大小. 6 二、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算 , 222111 iyxziyxz 設(shè)兩復(fù)數(shù)設(shè)兩復(fù)數(shù) 1. 兩復(fù)數(shù)的和兩復(fù)數(shù)的和: ).()( 212121 yyixxzz 2. 兩復(fù)數(shù)的積兩復(fù)數(shù)的積: ).()( 2112212121 yxyxiyyxxzz 3. 兩復(fù)數(shù)的商兩復(fù)數(shù)的商: . 2 2 2 2

4、2112 2 2 2 2 2121 2 1 yx yxyx i yx yyxx z z 7 4. 共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù): 實(shí)部相同而虛部絕對(duì)值相等符號(hào)相反的兩實(shí)部相同而虛部絕對(duì)值相等符號(hào)相反的兩 個(gè)復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù)個(gè)復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù). . , zz 共軛的復(fù)數(shù)記為共軛的復(fù)數(shù)記為與與 . , iyxziyxz 則則若若 例例1 1.的積的積與與計(jì)算共軛復(fù)數(shù)計(jì)算共軛復(fù)數(shù)yixyix 解解)(yixyix 22 )(yix . 22 yx .,的積是一個(gè)實(shí)數(shù)的積是一個(gè)實(shí)數(shù)兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)zz 結(jié)論： 8 5. 共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì): ;)1( 2121 zzzz ; 2121 zzzz

5、; 2 1 2 1 z z z z ;)2(zz ;)Im()Re()3( 22 zzzz ).Im(2),Re(2)4(zizzzzz 以上各式證明略以上各式證明略. 9 例例2 解解 , 1 31 i i i z 設(shè)設(shè).)Im(),Re(zzzz 與與求求 i i i z 1 31 )1)(1( )1(3 ii ii ii i , 2 1 2 3 i , 2 1 )Im(, 2 3 )Re( zz 22 )Im()Re(zzzz 22 2 1 2 3 . 2 5 10 例例3 解解 .)2(;125)1( iii 化簡(jiǎn)化簡(jiǎn) ,125)1(iyxi ,2)(125 22 xyiyxi 122

6、 , 5 22 xy yx , 2, 3 yx ).23(125ii 11 ,)2(yixi , 2 1 2 1 ii, 2 1 2 1 ii . 2 ii 12 , 0 22 xy yx , 2 1 yx 第二節(jié) 復(fù)數(shù)的幾何表示 一、復(fù)平面 二、復(fù)球面 三、小結(jié)與思考 13 一、復(fù)平面 1. 復(fù)平面的定義復(fù)平面的定義 . . , , , . ),( 面面 面叫復(fù)平面叫復(fù)平這種用來(lái)表示復(fù)數(shù)的平這種用來(lái)表示復(fù)數(shù)的平軸軸叫虛軸或叫虛軸或 縱軸縱軸軸軸通常把橫軸叫實(shí)軸或通常把橫軸叫實(shí)軸或用來(lái)表示復(fù)數(shù)用來(lái)表示復(fù)數(shù) 的平面可以的平面可以一個(gè)建立了直角坐標(biāo)系一個(gè)建立了直角坐標(biāo)系因此因此對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng) 成一一成一

7、一與有序?qū)崝?shù)對(duì)與有序?qū)崝?shù)對(duì)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) y x yxiyxz . ),( 表示表示面上的點(diǎn)面上的點(diǎn) 可以用復(fù)平可以用復(fù)平復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) yx iyxz ),(yx x y x y o iyxz 14 2. 復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)的模(或絕對(duì)值或絕對(duì)值) , 的?；蚪^對(duì)值的?；蚪^對(duì)值向量的長(zhǎng)度稱為向量的長(zhǎng)度稱為 z , 表示表示可以用復(fù)平面上的向量可以用復(fù)平面上的向量復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)OPiyxz . 22 yxrz 記為記為 x y x y o iyxz P r 顯然下列各式成立顯然下列各式成立 , zx , zy ,yxz . 2 2 zzzz 15 3. 復(fù)數(shù)的輻角復(fù)數(shù)的輻角 . Arg , , , 0 z zOPz

8、z 記作記作 的輻角的輻角稱為稱為為終邊的角的弧度數(shù)為終邊的角的弧度數(shù)的向量的向量 以表示以表示以正實(shí)軸為始邊以正實(shí)軸為始邊的情況下的情況下在在 說(shuō)明說(shuō)明,0有無(wú)窮多個(gè)輻角有無(wú)窮多個(gè)輻角任何一個(gè)復(fù)數(shù)任何一個(gè)復(fù)數(shù) z , 1 是其中一個(gè)輻角是其中一個(gè)輻角如果如果 ).( 2Arg 1 為任意整數(shù)為任意整數(shù)kkz , 0 , 0 , zz時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)特殊地特殊地 的全部輻角為的全部輻角為那么那么 z 輻角不確定輻角不確定. 16 輻角主值的定義輻角主值的定義: .arg , Arg , )0( 0 00 zz z 記作記作的主值的主值稱為稱為 的的把滿足把滿足的輻角中的輻角中在在 , 0 x ) 2

9、arctan 2 ( x y 其中其中 輻角的主值輻角的主值0 z zarg , 0, 0 yx , 0, 0 yx . 0, 0 yx ,arctan x y , 2 ,arctan x y , 17 4. 利用平行四邊形法求復(fù)數(shù)的和差利用平行四邊形法求復(fù)數(shù)的和差 x y o 1 z 2 z 21 zz x y o 1 z 2 z 21 zz 2 z 兩個(gè)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算與相應(yīng)的向量的兩個(gè)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算與相應(yīng)的向量的 加減法運(yùn)算一致加減法運(yùn)算一致. . 18 5. 復(fù)數(shù)和差的模的性質(zhì)復(fù)數(shù)和差的模的性質(zhì) ;)1( 2121 zzzz .)2( 2121 zzzz , 2121 故故之間的距離

10、之間的距離和和表示點(diǎn)表示點(diǎn)因?yàn)橐驗(yàn)閦zzz 1 z 2 z 21 zz x y o 1 z 2 z . 實(shí)軸對(duì)稱的實(shí)軸對(duì)稱的 復(fù)平面內(nèi)的位置是關(guān)于復(fù)平面內(nèi)的位置是關(guān)于 在在和和一對(duì)共軛復(fù)數(shù)一對(duì)共軛復(fù)數(shù)zz x y o iyxz iyxz 19 利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系 ,sin ,cos ry rx 復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)可以表示成)sin(cos irz 復(fù)數(shù)的三角表示式復(fù)數(shù)的三角表示式 再利用歐拉公式再利用歐拉公式,sincos ie i 復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)可以表示成 i rez 復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式 6.復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示 20 例例8 8求下列

11、方程所表示的曲線求下列方程所表示的曲線: . 4)Im()3( ;22)2(; 2)1( zi ziziz 解解 .2 2 )1( 的點(diǎn)的軌跡的點(diǎn)的軌跡為為 距離距離表示所有與點(diǎn)表示所有與點(diǎn)方程方程iiz .2 ,的圓的圓半徑為半徑為即表示中心為即表示中心為i , iyxz 設(shè)設(shè), 2)1( iyx , 2)1( 22 yx. 4)1( 22 yx圓方程圓方程 21 22)2( ziz .22距離相等的點(diǎn)的軌跡距離相等的點(diǎn)的軌跡和和表示所有與點(diǎn)表示所有與點(diǎn) i . 22 段的垂直平分線段的垂直平分線 的線的線和和連接點(diǎn)連接點(diǎn)故方程表示的曲線就是故方程表示的曲線就是 i , iyxz 設(shè)設(shè) ,2

12、2 yixiyix化簡(jiǎn)后得化簡(jiǎn)后得.xy 4)Im()3( zi , iyxz 設(shè)設(shè) ,)1(iyxzi , 41)Im( yzi . 3 y所求曲線方程為所求曲線方程為 第三節(jié) 復(fù)數(shù)的乘冪與方根 一、乘積與商 二、冪與根 三、小結(jié)與思考 23 一、乘積與商 定理一定理一 兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘 積積; 兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角的和兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角的和. 的三角形式分別為的三角形式分別為和和設(shè)復(fù)數(shù)設(shè)復(fù)數(shù) 21 zz ,sin(cos 1111 ） irz ,sin(cos 2222 ） irz )sin(cos)sin(cos

13、22211121 irirzz 則則 )sincoscos(sin )sinsincos(cos 2121 212121 i rr 證證 24 )sin()cos( 21212121 irrzz 兩復(fù)數(shù)相乘就是把模數(shù)相乘兩復(fù)數(shù)相乘就是把模數(shù)相乘, , 輻角相加輻角相加. . , 2 倍倍再把它的模擴(kuò)大到再把它的模擴(kuò)大到 r 從幾何上看從幾何上看, 兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別為兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別為 , , 21 zz , 2 1 旋轉(zhuǎn)一個(gè)角旋轉(zhuǎn)一個(gè)角 按逆時(shí)針方向按逆時(shí)針方向先把先把 z . 21 zzz 就表示積就表示積所得向量所得向量 2 o x y r 2 r 1 r 2 z 1 1 z z

14、.ArgArg)(Arg 2121 zzzz 證畢證畢 25 說(shuō)明說(shuō)明 由于輻角的多值性由于輻角的多值性, 2121 ArgArg)(Argzzzz 兩端都是無(wú)窮多個(gè)數(shù)構(gòu)成的兩個(gè)數(shù)集兩端都是無(wú)窮多個(gè)數(shù)構(gòu)成的兩個(gè)數(shù)集. 對(duì)于左端的任一值對(duì)于左端的任一值, 右端必有值與它相對(duì)應(yīng)右端必有值與它相對(duì)應(yīng). 例如，例如，, 1 21 izz 設(shè)設(shè), 21 izz 則則 ), 2, 1, 0(,2Arg 1 nnz ), 2, 1, 0(,2 2 Arg 2 mmz ), 2, 1, 0(,2 2 )Arg( 21 kkzz . 1,2 2 )(2 2 3 nmkknm只須只須故故 , 1 k若若 . 0,

15、 2 2, 0 nmnm或或則則 26 的指數(shù)形式分別為的指數(shù)形式分別為和和設(shè)復(fù)數(shù)設(shè)復(fù)數(shù) 21 zz , 1 11 i erz . )( 2121 21 i errzz則則, 2 22 i erz 由此可將結(jié)論推廣到由此可將結(jié)論推廣到 n 個(gè)復(fù)數(shù)相乘的情況個(gè)復(fù)數(shù)相乘的情況: n zzz 21 ), 2 , 1(,)sin(cos nkerirz k i kkkkk 設(shè)設(shè) )sin( )cos( 21 2121 n nn i rrr . )( 21 21n i ne rrr 27 定理二定理二 兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商; 兩兩 個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與

16、除數(shù)的輻角之差個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差. 證證按照商的定義按照商的定義, , 0 1 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) z, 1 1 2 2 z z z z , 1 1 2 2 z z z z ,ArgArgArg 1 1 2 2 z z z z , 1 2 1 2 z z z z 于是于是.ArgArgArg 12 1 2 zz z z 的指數(shù)形式分別為的指數(shù)形式分別為和和設(shè)復(fù)數(shù)設(shè)復(fù)數(shù) 21 zz , 1 11 i erz . )( 1 2 1 2 12 i e r r z z 則則, 2 22 i erz 證畢證畢 28 例例1 1 解解 , 3 cos 3 sin ),31( 2 1 21 i

17、ziz已知已知 , 3 sin 3 cos 1 iz因?yàn)橐驗(yàn)?, 6 sin 6 cos 2 iz 63 sin 63 cos 21 izz所以所以 , i 63 sin 63 cos 2 1 i z z . 2 1 2 3 i . 2 1 21 z z zz和和求求 29 二、冪與根 1. n次冪次冪: , , n z nzzn 記作記作 次冪次冪的的的乘積稱為的乘積稱為個(gè)相同復(fù)數(shù)個(gè)相同復(fù)數(shù) . 個(gè)個(gè)n n zzzz . )sin(cos , ninrzn nn 有有對(duì)于任何正整數(shù)對(duì)于任何正整數(shù) . , , 1 上式仍成立上式仍成立 為負(fù)整數(shù)時(shí)為負(fù)整數(shù)時(shí)那么當(dāng)那么當(dāng)如果我們定義如果我們定義n

18、 z z n n 30 ,sincos , 1 izrz 即即的模的模當(dāng)當(dāng) .sincos)sin(cos nini n 棣莫佛公式棣莫佛公式 棣莫佛介紹棣莫佛介紹 . , . 3為已知復(fù)數(shù)為已知復(fù)數(shù)其中其中的根的根方程方程zwzw n n k i n k rzw nn 2 sin 2 cos 1 )1, 2 , 1 , 0( nk 推導(dǎo)過(guò)程如下推導(dǎo)過(guò)程如下: 2.棣莫佛公式 31 ),sin(cos irz 設(shè)設(shè)),sin(cos iw 根據(jù)棣莫佛公式根據(jù)棣莫佛公式, )sin(cos ninw nn ),sin(cos ir , r n 于是于是,coscos n,sinsin n ,2

19、kn 顯然顯然), 2, 1, 0( k , 2 , 1 n k r n 故故 n k i n k rzw nn 2 sin 2 cos 1 32 , 1, 2 , 1 , 0 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) nk :個(gè)相異的根個(gè)相異的根得到得到 n ,sincos 1 0 n i n rw n , 2 sin 2 cos 1 1 n i n rw n , . )1(2 sin )1(2 cos 1 1 n n i n n rw n n 當(dāng)當(dāng)k以其他整數(shù)值代入時(shí)以其他整數(shù)值代入時(shí), 這些根又重復(fù)出現(xiàn)這些根又重復(fù)出現(xiàn). 33 , 時(shí)時(shí)例如例如nk n n i n n rw n n 2 sin 2 cos 1 n i

20、n r n sincos 1 . 0 w 從幾何上看從幾何上看, , 個(gè)值就是以原點(diǎn)為中心個(gè)值就是以原點(diǎn)為中心的的nz n . 1 個(gè)頂點(diǎn)個(gè)頂點(diǎn)邊形的邊形的為半徑的圓的內(nèi)接正為半徑的圓的內(nèi)接正nnr n 34 例例5 5 . 1 4的值的值計(jì)算計(jì)算i 解解 4 sin 4 cos21ii 4 2 4 sin 4 2 4 cos21 84 k i k i ).3 , 2 , 1 , 0( k , 16 sin 16 cos2 8 0 iw即即 , 16 9 sin 16 9 cos2 8 1 iw 35 , 16 17 sin 16 17 cos2 8 2 iw . 16 25 sin 16 2

21、5 cos2 8 3 iw . 2 8 圓的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)圓的正方形的四個(gè)頂點(diǎn) 的的心在原點(diǎn)半徑為心在原點(diǎn)半徑為 這四個(gè)根是內(nèi)接于中這四個(gè)根是內(nèi)接于中 o x y 1 w 2 w 3 w 0 w 第四節(jié) 區(qū) 域 一、區(qū)域的概念 二、單連通域與多連通域 三、典型例題 四、小結(jié)與思考 37 一、區(qū)域的概念 1. 鄰域鄰域: . : )( , 00 0 的鄰域的鄰域內(nèi)部的點(diǎn)的集合稱為內(nèi)部的點(diǎn)的集合稱為的圓的圓 為半徑為半徑任意的正數(shù)任意的正數(shù)為中心為中心平面上以平面上以 zzz z 說(shuō)明說(shuō)明 . , 0 , 點(diǎn)的鄰域點(diǎn)的鄰域 稱為無(wú)窮遠(yuǎn)稱為無(wú)窮遠(yuǎn)其中實(shí)數(shù)其中實(shí)數(shù)所有點(diǎn)的集合所有點(diǎn)的集合 的的且滿足

22、且滿足包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)自身在內(nèi)包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)自身在內(nèi) M Mz 38 2.去心鄰域去心鄰域: . 0 0 0 的去心鄰域的去心鄰域集合為集合為 所確定的點(diǎn)的所確定的點(diǎn)的稱由不等式稱由不等式 z zz 說(shuō)明說(shuō)明 . . , , zM Mz 可以表示為可以表示為 域域稱為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰稱為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰的所有點(diǎn)的集合的所有點(diǎn)的集合 僅滿足僅滿足內(nèi)內(nèi)不包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)自身在不包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)自身在 39 3.內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn): . , , . , 0 0 0 的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn)稱為稱為那末那末 于于該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬的一個(gè)鄰域的一個(gè)鄰域存在存在 如果如果中任意一點(diǎn)中任意一點(diǎn)為為為一平面點(diǎn)集為一平面點(diǎn)集

23、設(shè)設(shè) Gz Gz GzG 4.開集開集: 如果如果 G 內(nèi)每一點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn)內(nèi)每一點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn), ,那末那末G 稱為稱為 開集開集. . 40 5.區(qū)域區(qū)域: 如果平面點(diǎn)集如果平面點(diǎn)集D滿足以下兩個(gè)條件滿足以下兩個(gè)條件, ,則稱它則稱它 為一個(gè)區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)區(qū)域. . (1) D是一個(gè)是一個(gè)開集開集； (2) D是是連通的連通的, ,就是說(shuō)就是說(shuō)D中任何兩點(diǎn)都可以用中任何兩點(diǎn)都可以用 完全屬于完全屬于D的一條折線連結(jié)起來(lái)的一條折線連結(jié)起來(lái). 6.邊界點(diǎn)、邊界邊界點(diǎn)、邊界: 設(shè)設(shè)D是復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)區(qū)域是復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)區(qū)域, ,如果點(diǎn)如果點(diǎn) P P 不不 屬于屬于D, 但在但在 P P 的任意小的鄰

24、域內(nèi)總有的任意小的鄰域內(nèi)總有D中的點(diǎn)中的點(diǎn), 這樣的這樣的 P P 點(diǎn)我們稱為點(diǎn)我們稱為D的的邊界點(diǎn)邊界點(diǎn). 41 D的所有邊界點(diǎn)組成的所有邊界點(diǎn)組成D的的邊界邊界. . 說(shuō)明說(shuō)明 (1) 區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立 的點(diǎn)所組成的的點(diǎn)所組成的. (2) 區(qū)域區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域閉區(qū)域 .D z 1 C 2 C 3 C z 1 C 2 C 3 C 42 以上基以上基 本概念本概念 的圖示的圖示 1 z 2 z 區(qū)域區(qū)域 0 z 鄰域鄰域 P 邊界點(diǎn)邊界點(diǎn) 邊界邊界 7.有界區(qū)域和無(wú)界區(qū)域有界區(qū)域和無(wú)界區(qū)域: . , , 0

25、, , 界的界的 否則稱為無(wú)否則稱為無(wú)稱為有界的稱為有界的那末那末點(diǎn)都滿足點(diǎn)都滿足 使區(qū)域的每一個(gè)使區(qū)域的每一個(gè)即存在即存在為中心的圓里面為中心的圓里面 點(diǎn)點(diǎn)可以被包含在一個(gè)以原可以被包含在一個(gè)以原如果一個(gè)區(qū)域如果一個(gè)區(qū)域 DMz M D 43 (1) 圓環(huán)域圓環(huán)域:; 201 rzzr 0 z 2 r 1 r 課堂練習(xí)課堂練習(xí) 判斷下列區(qū)域是否有界判斷下列區(qū)域是否有界? (2) 上半平面上半平面:; 0Im z (3) 角形域角形域:;arg0 z (4) 帶形域帶形域:.Imbza 答案答案(1)有界有界; (2) (3) (4)無(wú)界無(wú)界. x y o 44 二、單連通域與多連通域 1.

26、連續(xù)曲線連續(xù)曲線: . , )( ),( , )( , )( )( 稱為連續(xù)曲線稱為連續(xù)曲線表一條平面曲線表一條平面曲線 代代那末方程組那末方程組 是兩個(gè)連續(xù)的實(shí)變函數(shù)是兩個(gè)連續(xù)的實(shí)變函數(shù)和和如果如果 btatyytxx tytx 平面曲線的復(fù)數(shù)表示平面曲線的復(fù)數(shù)表示: )().()()(btatiytxtzz 45 2. 光滑曲線光滑曲線: . 0, )( )( , , )( )( , 22 稱這曲線為光滑的稱這曲線為光滑的 那末那末有有的每一個(gè)值的每一個(gè)值且對(duì)于且對(duì)于 都是連續(xù)的都是連續(xù)的和和上上如果在如果在 tytxt tytxbta 由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線由幾段依次相接的

27、光滑曲線所組成的曲線 稱為按段光滑曲線稱為按段光滑曲線. . x y o x y o 46 3. 簡(jiǎn)單曲線簡(jiǎn)單曲線: . )( )( , )()( : 的起點(diǎn)和終點(diǎn)的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別稱為分別稱為與與 為一條連續(xù)曲線為一條連續(xù)曲線設(shè)設(shè) Cbzaz btatzzC . )( , )()( , , 12121 2121 的重點(diǎn)的重點(diǎn) 稱為曲線稱為曲線點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)而有而有 當(dāng)當(dāng)與與的的對(duì)于滿足對(duì)于滿足 Ctztztztt ttbtabta 沒有重點(diǎn)的曲線沒有重點(diǎn)的曲線 C 稱為簡(jiǎn)單曲線稱為簡(jiǎn)單曲線( (或若爾或若爾 當(dāng)曲線當(dāng)曲線).). 47 . , )( )( , 為簡(jiǎn)單閉曲線為簡(jiǎn)單閉曲線那末稱那末稱 即

28、即的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合如果簡(jiǎn)單曲線如果簡(jiǎn)單曲線 Cbzaz C 換句話說(shuō)換句話說(shuō), 簡(jiǎn)單曲線自身不相交簡(jiǎn)單曲線自身不相交. 簡(jiǎn)單閉曲線的性質(zhì)簡(jiǎn)單閉曲線的性質(zhì): 任意一條簡(jiǎn)單閉任意一條簡(jiǎn)單閉 曲線曲線 C 將復(fù)平面唯將復(fù)平面唯 一地分成三個(gè)互不一地分成三個(gè)互不 相交的點(diǎn)集相交的點(diǎn)集. x y o 內(nèi)部?jī)?nèi)部 外部外部 邊界邊界 48 4. 單連通域與多連通域的定義單連通域與多連通域的定義: 復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域B, 如果在其中任作一如果在其中任作一 條簡(jiǎn)單閉曲線條簡(jiǎn)單閉曲線, 而曲線的內(nèi)部總屬于而曲線的內(nèi)部總屬于B, 就稱為就稱為 單連通域單連通域. 一個(gè)區(qū)域如果不是單

29、連通域一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域, 就稱為就稱為 多連通域多連通域. 單連通域單連通域多連通域多連通域 第五節(jié) 復(fù)變函數(shù) 一、復(fù)變函數(shù)的定義 二、映射的概念 三、典型例題 四、小結(jié)與思考 50 一、復(fù)變函數(shù)的定義 ).( ), ( , , , , . zfw zw ivuwz G iyxzG 記作記作復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù) 簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱的函數(shù)的函數(shù)是復(fù)變數(shù)是復(fù)變數(shù)那末稱復(fù)變數(shù)那末稱復(fù)變數(shù)之對(duì)應(yīng)之對(duì)應(yīng) 與與就有一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù)就有一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù)每一個(gè)復(fù)數(shù)每一個(gè)復(fù)數(shù) 中的中的對(duì)于集合對(duì)于集合按這個(gè)法則按這個(gè)法則個(gè)確定的法則存在個(gè)確定的法則存在 如果有一如果有一的集合的集合是一個(gè)復(fù)數(shù)是一個(gè)復(fù)數(shù)設(shè)設(shè) 1.復(fù)變函數(shù)的

30、定義復(fù)變函數(shù)的定義: 51 2.單單(多多)值函數(shù)的定義值函數(shù)的定義: . )( , 是單值的是單值的我們稱函數(shù)我們稱函數(shù) 那末那末的值的值的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著一個(gè)的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著一個(gè)如果如果 zf wz . )( , 是多值的是多值的那末我們稱函數(shù)那末我們稱函數(shù)的值的值 兩個(gè)以上兩個(gè)以上的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著兩個(gè)或的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著兩個(gè)或如果如果 zfw z 3.定義集合和函數(shù)值集合定義集合和函數(shù)值集合: ; )( )( 定義域定義域的定義集合的定義集合稱為稱為集合集合zfG . , * 稱為函數(shù)值集合稱為函數(shù)值集合 值所成的集合值所成的集合的一切的一切中所有中所有對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于GwzG 52 4. 復(fù)變函數(shù)與自

31、變量之間的關(guān)系復(fù)變函數(shù)與自變量之間的關(guān)系: : )( 相當(dāng)于兩個(gè)關(guān)系式相當(dāng)于兩個(gè)關(guān)系式 之間的關(guān)系之間的關(guān)系自變量自變量與與復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)zfwzw ),(),(yxvvyxuu . 的兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)和和它們確定了自變量為它們確定了自變量為yx 例如例如, , , 2 zw 函數(shù)函數(shù), ivuwiyxz 令令 2 )( iyxivu 則則,2 22 xyiyx : 2 數(shù)數(shù)對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元實(shí)變函對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元實(shí)變函于是函數(shù)于是函數(shù)zw , 22 yxu .2xyv 53 二、映射的概念 1. 引入引入: . , , , , 的點(diǎn)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的點(diǎn)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 上上必須

32、看成是兩個(gè)復(fù)平面必須看成是兩個(gè)復(fù)平面的幾何圖形表示出來(lái)的幾何圖形表示出來(lái) 因而無(wú)法用同一平面內(nèi)因而無(wú)法用同一平面內(nèi)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系和和 由于它反映了兩對(duì)變量由于它反映了兩對(duì)變量對(duì)于復(fù)變函數(shù)對(duì)于復(fù)變函數(shù) yx vu 54 2.映射的定義映射的定義: ).( )( * )( )( , , 或變換或變換 的映射的映射函數(shù)值集合函數(shù)值集合平面上的一個(gè)點(diǎn)集平面上的一個(gè)點(diǎn)集 變到變到定義集合定義集合平面上的一個(gè)點(diǎn)集平面上的一個(gè)點(diǎn)集是把是把 在幾何上就可以看作在幾何上就可以看作那末函數(shù)那末函數(shù)值值 的的平面上的點(diǎn)表示函數(shù)平面上的點(diǎn)表示函數(shù)而用另一個(gè)平面而用另一個(gè)平面 的值的值平面上的點(diǎn)表示自變量

33、平面上的點(diǎn)表示自變量如果用如果用 Gw Gz zfw ww zz 55 . ),( , * )( 的原象的原象 稱為稱為而而映象映象的象的象稱為稱為那末那末中的點(diǎn)中的點(diǎn) 映射成映射成被映射被映射中的點(diǎn)中的點(diǎn)如果如果 wzzww GzfwzG . )( 所構(gòu)成的映射所構(gòu)成的映射 函數(shù)函數(shù)這個(gè)映射通常簡(jiǎn)稱為由這個(gè)映射通常簡(jiǎn)稱為由zfw 56 . )1(構(gòu)成的映射構(gòu)成的映射函數(shù)函數(shù)zw x y o u v o iz32 1 iw32 1 iz21 2 iw21 2 AB C A B C , 11 wz , 22 wz .CBAABC 3. 兩個(gè)特殊的映射兩個(gè)特殊的映射: . ibaw wibazz

34、的點(diǎn)的點(diǎn) 平面上平面上映射成映射成平面上的點(diǎn)平面上的點(diǎn)將將 57 x y o u v o iz32 1 iw32 1 iz21 2 iw21 2 AB C A B C , 11 wz , 22 wz .CBAABC . , 映射映射是關(guān)于實(shí)軸的一個(gè)對(duì)稱是關(guān)于實(shí)軸的一個(gè)對(duì)稱 不難看出不難看出重疊在一起重疊在一起 平面平面平面和平面和如果把如果把 zw wz o 1 w 2 w 1 z 2 z 且是全同圖形且是全同圖形. 58 . )2( 2 構(gòu)成的映射構(gòu)成的映射函數(shù)函數(shù)zw . 1 ,43, 1 1,21, 321 321 wiwww zizizz 平面上的點(diǎn)平面上的點(diǎn)映射成映射成 平面上的點(diǎn)平

35、面上的點(diǎn)顯然將顯然將 x y o u v o 1 z 2 z 2 w 3 w1 w 3 z 59 . )2( 2 構(gòu)成的映射構(gòu)成的映射函數(shù)函數(shù)zw 根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法公式可知根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法公式可知, . 2 的輻角增大一倍的輻角增大一倍將將映射映射zzw x y o u v o 2 . 2 的角形域的角形域平面上與實(shí)軸交角為平面上與實(shí)軸交角為 的角形域映射成的角形域映射成平面上與實(shí)軸交角為平面上與實(shí)軸交角為將將 wz 60 . )2( 2 構(gòu)成的映射構(gòu)成的映射函數(shù)函數(shù)zw : 2 數(shù)數(shù)對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元實(shí)變函對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元實(shí)變函函數(shù)函數(shù)zw .2, 22 xyvyxu ,2, 21 22 cxycyx

36、 xyz 曲線曲線標(biāo)軸為漸近線的等軸雙標(biāo)軸為漸近線的等軸雙 和坐和坐線線平面上的兩族分別以直平面上的兩族分別以直它把它把 (如下頁(yè)圖如下頁(yè)圖)., 21 cvcu w 平面上的兩族平行直線平面上的兩族平行直線分別映射成分別映射成 61 . )2( 2 構(gòu)成的映射構(gòu)成的映射函數(shù)函數(shù)zw 將第一圖中兩塊陰影部分映射成第二圖中將第一圖中兩塊陰影部分映射成第二圖中 同一個(gè)長(zhǎng)方形同一個(gè)長(zhǎng)方形. x y o x y o 62 . )2( 2 構(gòu)成的映射構(gòu)成的映射函數(shù)函數(shù)zw : 的象的參數(shù)方程為的象的參數(shù)方程為直線直線 x ) (.2, 22 為參數(shù)為參數(shù)yyvyu : 得得消去參數(shù)消去參數(shù) y),(4

37、222 uv 以原點(diǎn)為焦點(diǎn)以原點(diǎn)為焦點(diǎn),開口向左的拋物線開口向左的拋物線.(圖中紅色曲線圖中紅色曲線) : 的象為的象為同理直線同理直線 y ),(4 222 uv 以原點(diǎn)為焦點(diǎn)以原點(diǎn)為焦點(diǎn),開口向右的開口向右的 拋物線拋物線.(圖中藍(lán)色曲線圖中藍(lán)色曲線) 63 4. 反函數(shù)的定義反函數(shù)的定義: .)( * , * , )( 點(diǎn)點(diǎn)或幾個(gè)或幾個(gè)中的一個(gè)中的一個(gè)必將對(duì)應(yīng)著必將對(duì)應(yīng)著每一個(gè)點(diǎn)每一個(gè)點(diǎn) 中的中的那末那末平面上的集合平面上的集合函數(shù)值集合為函數(shù)值集合為 平面上的集合平面上的集合的定義集合為的定義集合為設(shè)設(shè) Gw GGw Gzzfw . )( , )( , )( )( * 的逆映射的逆映射

38、為映射為映射 也稱也稱的反函數(shù)的反函數(shù)它稱為函數(shù)它稱為函數(shù) 函數(shù)函數(shù)或多值或多值上就確定了一個(gè)單值上就確定了一個(gè)單值于是在于是在 zfw zfwwz G 64 根據(jù)反函數(shù)的定義根據(jù)反函數(shù)的定義, *,Gw ),(wfw 當(dāng)反函數(shù)為單值函數(shù)時(shí)當(dāng)反函數(shù)為單值函數(shù)時(shí), .),(Gzzfz . * . )() ( ,)( )( )( )( 是一一對(duì)應(yīng)的是一一對(duì)應(yīng)的合合 與集與集也可稱集合也可稱集合是一一對(duì)應(yīng)的是一一對(duì)應(yīng)的射射 映映那末稱函數(shù)那末稱函數(shù)都是單值的都是單值的逆映射逆映射 與它的反函數(shù)與它的反函數(shù)映射映射如果函數(shù)如果函數(shù) G Gzfw wz zfw 今后不再區(qū)別函數(shù)與映射今后不再區(qū)別函數(shù)與映

39、射. 第六節(jié) 復(fù)變函數(shù)的極限 和連續(xù)性 一、函數(shù)的極限 二、函數(shù)的連續(xù)性 三、小結(jié)與思考 66 一、函數(shù)的極限 1.函數(shù)極限的定義函數(shù)極限的定義: . )( )(,)0(0 )( , 0 , , 0 )( 0 0 0 0 時(shí)的極限時(shí)的極限趨向于趨向于當(dāng)當(dāng)為為那末稱那末稱 有有時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng) 相應(yīng)地必有一正數(shù)相應(yīng)地必有一正數(shù)對(duì)于任意給定的對(duì)于任意給定的 存在存在如果有一確定的數(shù)如果有一確定的數(shù)內(nèi)內(nèi) 的去心鄰域的去心鄰域定義在定義在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) zzzfA Azfzz Azz zzfw )( .)(lim 0 0 AzfAzf zz zz 或或記作記作 注意注意: : . 0 的方式是任意的的方

40、式是任意的定義中定義中zz 67 2. 極限計(jì)算的定理極限計(jì)算的定理 定理一定理一 .),(lim,),(lim )(lim , , ),(),()( 00 000 00 0 0 0 0 0 vyxvuyxu Azfiyxz ivuAyxivyxuzf yy xx yy xx zz 的充要條件是的充要條件是那末那末 設(shè)設(shè) 證證 ,)(lim 0 Azf zz 如果如果 根據(jù)極限的定義根據(jù)極限的定義 , )()(0 00 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) iyxiyx ,)()( 00 ivuivu (1) 必要性必要性. 68 , )()(0 2 0 2 0 時(shí)時(shí)或當(dāng)或當(dāng) yyxx ,)()( 00 vviuu, ,

41、 00 vvuu .),(lim,),(lim 00 0 0 0 0 vyxvuyxu yy xx yy xx 故故 ,),(lim,),(lim 00 0 0 0 0 vyxvuyxu yy xx yy xx 若若 , )()(0 2 0 2 0 時(shí)時(shí)那么當(dāng)那么當(dāng) yyxx (2) 充分性充分性. , 2 , 2 00 vvuu有有 69 )()()( 00 vviuuAzf 00 vvuu , 0 0 時(shí)時(shí)故當(dāng)故當(dāng) zz,)( Azf .)(lim 0 Azf zz 所以所以證畢證畢 說(shuō)明說(shuō)明 . ),( ),( , ),(),()( 的極限問題的極限問題和和 函數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)二元實(shí)變

42、轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)二元實(shí)變的極限問題的極限問題 該定理將求復(fù)變函數(shù)該定理將求復(fù)變函數(shù) yxv yxu yxivyxuzf 70 定理二定理二 ).0( )( )( lim (3) ;)()(lim (2) ;)()(lim (1) ,)(lim ,)(lim 0 0 0 00 B B A zg zf ABzgzf BAzgzf BzgAzf zz zz zz zzzz 那末那末設(shè)設(shè) 與實(shí)變函數(shù)的極限運(yùn)算法則類似與實(shí)變函數(shù)的極限運(yùn)算法則類似. 71 例例1 1 證證 (一一) . 0 )Re( )( 不存在不存在 時(shí)的極限時(shí)的極限當(dāng)當(dāng)證明函數(shù)證明函數(shù) z z z zf , iyxz 令令,)( 22 yx x zf 則則 , 0),(,),( 22 yxv yx x yxu , 趨于零時(shí)趨于零時(shí)沿直線沿直線當(dāng)當(dāng)kxyz 22 00 lim),(lim yx x yxu kxy x kxy