分析力學(xué)第三章

1、質(zhì)點組在慣性系K和質(zhì)心系K之間 a N a a c a N a ac N a a m Mdt d m M mM v R V rR 1 1 1 1 1 質(zhì)心的運動速度： 質(zhì)點組的質(zhì)心： 整體質(zhì)量： 2 2 1 MVEE 內(nèi)能 整體運動能量 PRLL c VVPPMM0 內(nèi)稟角動量 整體角動量 第三章第三章 有心力場中的運動有心力場中的運動 二體問題（二體問題（兩體問題）：N2的質(zhì)點組的運動問題，例 宇觀：行星繞太陽的運動 微觀：電子繞原子核的運動 多體問題： 比較復(fù)雜，難以直接求解運動學(xué)方程。 3N 指導(dǎo)思想：指導(dǎo)思想： 將將二體運動二體運動分解為分解為內(nèi)部運動（相對運動）內(nèi)部運動（相對運動）和

2、和整體運動整體運動 1）怎樣實現(xiàn)？）怎樣實現(xiàn)？ 2）主要結(jié)論？）主要結(jié)論？ 1.3.1 二體問題 折合質(zhì)量 21, m m 21, r r兩個質(zhì)點 ，矢徑 22 1 12 2 11 ( )() 22 LmmU rrrrr 22 2 1 )( 2 1 Rr MrUmL 折合質(zhì)量折合質(zhì)量 21 1 2 21 2 1 rRr rRr mm m mm m 21 21 21 , mm mm mmmM 21 21 2211 rrr rr R mm mm 暫不考慮外場暫不考慮外場 由于勢能只依賴于由于勢能只依賴于r，故作如下變量代換，故作如下變量代換 整體質(zhì)量整體質(zhì)量 21 rrr 22 2 1 )( 2

3、1 Rr MrUmL 整體運動： 相對運動： )( 2 1 2 rUmL r 2 2 1 R ML L中沒有r和R的交叉項，所以二體問題可分解為： 21 1 2 21 2 1 rRr rRr mm m mm m 每個質(zhì)點運動都是每個質(zhì)點運動都是 這兩種運動的疊加這兩種運動的疊加 有心力場中的運動 選擇運動平面為為xz平面，則：0 1.3.2 有心力場中運動的一般分析 Lr 是常矢量prL 平面運動。 例：太陽系八大行星的運動近似在一個平面上。 )()( 2 1 )()sin( 2 1 222 222222 rUrrm rUrrrmL )( 2 1 2 rUmL r 有心力場角動量守恒有心力場角

4、動量守恒 1 1、與循環(huán)變量 對應(yīng)的廣義動量 1 222 2 2 2 () ( ) 22 ( ) 22 s LLL EqLrL qr mm rrU r pm rU r mr 2 L pmr 常量 2、L不顯含t 能量守恒 )()( 2 1 222 rUrrmL 一、有心力場的兩個守恒量 質(zhì)點的矢徑在單位時間內(nèi)掃過的面積是常數(shù)， 在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等。 2 2 1 rA m p r dt dA 22 1 2 2 pmr 常量 1 1、 t 矢徑r在時間 內(nèi)掃過的面積 兩邊除以 ，再取極限 ，得到0tt )(tr )(ttr A A O 等面積定律 慣性離心力 2 2 2 )()( mr

5、p rUrU eff 3 2 )()( mr p rFrFeff 等效勢能等效力 離心勢 守恒 2 2 2 2 )( 2mr p rUr m E 2、 只包含一個變量只包含一個變量r, 是標量。形式上等效一維運動。是標量。形式上等效一維運動。 UF 等效一維運動是在以 轉(zhuǎn)動的坐標系中得到，此系是非慣性系。 二、運動區(qū)域 2 2 2 )()( mr p rUrUeff 情形1： 可否出現(xiàn)？那么如果0 , 0)(rrU eff U r O 0 2 )()( , 0)( 2 2 mr p rUrUrU r eff 所以 ，相互作用可以忽略時，兩質(zhì)點相距無限遠 0 2 )( 2 2 2 2 mr p

6、rUr m E )., 0 rr答： 情形2：0 2 )()()(,0 2 2 mr p rUrUrUr eff ，但時當 守恒 2 2 2 2 )( 2mr p rUr m E eff U r O E0 E0 E0 E0 rmr p mr p rUrUeff 2 2 2 2 22 )()( 束縛運動 無限運動 運動區(qū)域取決于 , 0 , 0 E E UE eff 二、運動軌道 22 /(1/ )Fruur 22 2 p m u d ud 2 22 2 () d u p uumF d 比耐公式比耐公式 諧振動方程 2 /um p令 0 2 2 d d 則 )cos( 0 A 0 ( ,:A積分

7、常數(shù))其解為： )cos()(1)cos( 111 0 2 2 2 0 2 mAp mp pmApmu r即 cos1 :, 0 0 e p r 得到運動軌道令 ampp amApe / / , 2 2 焦點參數(shù) 離心率其中 E0: e0: e1 雙曲線軌道 (無限運動) 22 )()(2 r p UEmrdrpd ./dtdr ./dtd 由能量守恒 由角動量守恒 2 )(2(1 pmEe 運動軌道: 能量與偏心率的關(guān)系: )(rr cos1e p 三、行星的運動 開普勒問題：從軌道獲得力學(xué)關(guān)系 開普勒的天文觀測，總結(jié)為行星運動三定律 第一定律：第一定律：行星繞太陽作橢圓運動，并以太陽為橢圓

8、 的一個焦點； 第二定律：第二定律：從太陽引向行星的矢徑在相等時間內(nèi)掃過 相等的面積； 第三定律：第三定律：行星公轉(zhuǎn)周期的平方和軌道半長軸的立方 成正比。 2 2 1 rA m p r dt dA 22 1 2 2 pmr 常量 t 矢徑r在時間 內(nèi)掃過的面積 )(tr )(ttr A A O 開普勒第二定律 空間具有各向同性是循環(huán)變量， U(r)UL 有心力場 , 0 (1) 1cos p re e 開普勒第一定律 行星受到太陽的平方反比力 mp p 2 太陽和行星之間相互作用力的具體形式是什么？ 求更普適的 22 2 2 2 ) cos1 cos() cos1 ( rr mpp p e p

9、 e p e m p F 2 22 2 () d u p uumF d 代入比耐公式 開普勒第三定律 m p dt dA 2 (2 )abpm T 222 2 3 24 () Tmbm apa abp mp p 2 2 ，橢圓焦點最后一步用到 )( 4 2 3 2 3 2 Mfa T M m a T 故設(shè) 有關(guān)可能與太陽質(zhì)量 無關(guān)與太陽系內(nèi)行星質(zhì)量 )(Mmf 相互作用的對稱性 MmG 22 r mM G r F )( 4 4 22 Mf m 萬有引力定律 1.3.4 碰撞與散射 盧瑟福公式 碰撞: 兩個粒子從相互遠離的地方飛攏，然后再飛開。 例：兩個臺球、兩個天體、兩個粒子（如電子）都可發(fā)生

10、碰撞。 如果說一次碰撞就是一個事件，如果說一次碰撞就是一個事件， 那么散射對應(yīng)的是一個事件集合。那么散射對應(yīng)的是一個事件集合。 散射：一束射彈粒子以不同瞄準距離與靶發(fā)生碰撞。 彈性碰撞： 初態(tài)二粒子，末態(tài)還是這兩個粒子。 非彈性碰撞：至少有一個入射粒子被打破了。 例：高能碰撞質(zhì)子質(zhì)子碰撞、核核碰撞 固定靶實驗中，兩個碰撞粒子分別被稱為 射彈 和 靶。 對撞機實驗中，射彈和靶是相對的。 實驗室系：射彈粒子: 靶粒子: 0. 1 m 2 m 111 vpm 1 p 2 p b:瞄準距離 1 m 2 m 1 p 1 p 2 p 散射角: 碰撞：求解粒子運動 軌跡和末態(tài)動量 本節(jié)我們主要討論 固定靶實

11、驗、彈性碰撞。 散射：散射角的概率分布 （末態(tài)動量角度分布） 微分散射截面 微分散射截面 dddsin ),( 方位角 x z y 靶 射彈流 】出射的粒子數(shù)【：單位時間從方位角 】的射彈數(shù)【單位時間單位面積入射入射流強 1 21 : td d dN LtJ 總散射截面 】【 2 Ld d d 】角出射的幾率【：單位面積入射從方位 2 1 L d dN Jd d 2-2863 m10b10mb101b 常用截面單位： 微分散射截面 d dN Jd d1 如果散射問題具有繞Z軸的軸對稱性 則微分截面只依賴于 而不依賴于 從瞄準距離b 和散射角 的關(guān)系 則從方位角 出射的粒子數(shù) dd sin2 )

12、(bb bdbJdN2 d bdb d bdbJ Jd dN Jd d sin 1 sin2 211 則 b db 三、 粒子的散射 盧瑟福公式 1909年蓋革、馬斯登運用 粒子束透過金膜的散射實驗 散射實驗是研究物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)的有力工具 )2/(sin 1 4 d d 測得 盧瑟福假定原子是有核的，解釋了實驗結(jié)果。 原子結(jié)果模型：盧瑟福的有核模型 取代了 湯姆孫的棗糕模型。 歷史： 為什么有核模型可以解釋實驗，為什么棗糕模型解釋不了？為什么有核模型可以解釋實驗，為什么棗糕模型解釋不了？ rF 2 2 2 r Ze 有核模型解釋實驗有核模型解釋實驗 射彈粒子：射彈粒子： 粒子2p+2n， 電荷

13、：+2e， 質(zhì)量: m=4u 靶粒子：金核Zp+(A-Z)n，電荷：+Ze, 質(zhì)量：M197u 評論：這里忽略了電子的電荷！ 二題問題、平反反比斥力：二題問題、平反反比斥力： 2 2 2 Ze r rF 運用前面的知識 角動量守恒 2 2 1 mvE bmvp 能量守恒 m v 散射角: b M r 1 2 ctg 2 a b 角是雙曲線兩漸近線的夾 2 ctg 2 )( 22 ctg 2 2 2 2 mv Ze bb Ze bmv 即 )cos(1 0 p r 2 2 22 2 1() 22 ppE p Ze mmZe 粒子的運動軌道： MmM假定, 2 sin 2 ctg 2 22 2 2 2 mv Ze d db mv Ze b d bdb d d sin 1 )2(sin 1 ) 4 ( )2(sin 1 )( 4 2 4 2 2 2 Emv Ze 2 2Ze 盧瑟福公式 ?sin2 )2(sin 1 ) 4 ( )2(sin 1 ) 4 ( 4 2 4 2 d E d E 一點數(shù)學(xué)問題： 1、哪個方向出射了最多的 粒子？ 2、總截面 評論：這里忽略了電子的電荷，實驗現(xiàn)象卻得到了解釋。 這說明了什么？ 射彈粒子：射彈粒子： 粒子2p+2n，電荷：+2e， 質(zhì)量: m=4u 靶粒子：金核Zp+(A-Z)n，電荷：+Ze,