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1、共27頁 河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院本科畢業(yè)論文 第27頁 圖像去噪模型中的差分格式研究康清宇河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院信息與計算科學(xué)專業(yè)2011級1班摘要： 隨著電子產(chǎn)品的普及，數(shù)字圖像處理成為應(yīng)用數(shù)學(xué)和計算機科學(xué)技術(shù)交叉領(lǐng)域的一門新學(xué)科，其中圖像去噪方向一直是這個新學(xué)科的研究熱點。傳統(tǒng)的圖像去噪算法有很多，比如算數(shù)均值濾波、幾何均值濾波、諧波均值濾波、統(tǒng)計排序濾波，在這些算法中噪聲信息去除和細節(jié)信息保護是一對不可調(diào)和的矛盾。這些去噪算法在去除噪聲的同時，不僅會破壞圖像的邊緣、還會破壞紋理等細節(jié)特征?；谄⒎址匠痰膱D像去噪算法，能夠?qū)D像進行選擇性平滑，較好的平衡兩者之間的矛盾，是

2、一類很有發(fā)展前景的圖像去噪方法。 本文首先討論了線性均勻擴散模型(熱傳導(dǎo)擴散方程模型),全變分去噪模型(TV模型)、非線性各向異性擴散方程模型(P-M模型)。然后研究了各個模型顯式差分格式、交替方向隱格式。接著通過對同一圖像加噪、去噪實例，對比了顯式差分格式、顯隱差分格式的峰值信噪比、兩種格式的穩(wěn)定性、計算時間。最后得出結(jié)論：顯隱差分格式是無條件穩(wěn)定的。顯隱差分格式無論在計算速度上、還是計算效果上，都比顯式格式好。即對于同一模型，隱式差分格式比顯式差分格式效果好。 關(guān)鍵詞：圖像去噪;偏微分方程;差分格式;交替方向隱格式;峰值信噪比1 引言 1.1 圖像處理簡介1.1.1 圖像處理的應(yīng)用當(dāng)代社會

3、已經(jīng)進入了信息高速發(fā)展的時代，信息的獲取、加工、傳輸遍布在現(xiàn)代社會的各個方面。據(jù)相關(guān)部門統(tǒng)計表明，人類從外界獲得的信息有四分之三來自視覺系統(tǒng)，也就是從各種圖像中獲得的。圖像是自然界景物的客觀反映，因此人類為了更好地認(rèn)識世界和改造世界，必須掌握圖像處理技術(shù)這個重要工具。圖像廣義上定義就是用各種觀測系統(tǒng)以不同手段和形式觀測客觀世界而獲得的，可直接或間接作用于人的肉眼并進而產(chǎn)生視覺的實體。圖像信息包含光通量分布和人類視覺的主觀感受。具體來說，人的視覺系統(tǒng)就是一個可以觀測的系統(tǒng)，通過它得到的圖像就是客觀景物在人眼中形成的景象。當(dāng)代計算機網(wǎng)絡(luò)技術(shù)得到了空前的發(fā)展，人們所面對的圖像大多數(shù)是離散化的數(shù)字圖像

4、，數(shù)字圖像就是以數(shù)字的形式存儲在計算機中。計算機對數(shù)字圖像的處理操作稱為數(shù)字圖象處理。伴隨著計算機速度、大規(guī)模存儲容量、網(wǎng)絡(luò)和通信速度的飛速提高和顯示系統(tǒng)的逐步成熟，數(shù)字圖象處理已經(jīng)發(fā)展成為一門重要的學(xué)科。圖像技術(shù)被應(yīng)用到各個領(lǐng)域，不僅涉及到工業(yè)、生物、醫(yī)學(xué)農(nóng)業(yè)，還涉及到航空、通信通訊、智能機器人等眾多方面。數(shù)字圖像在傳輸和獲取等過程中，會因受到噪聲的干擾，降低圖像質(zhì)量。數(shù)字圖像處理通常分為三部分：圖像理解、圖像分析和圖像處理。而其中的圖像去噪是圖像處理中的一項基本步驟，在圖像處理領(lǐng)域占據(jù)不可代替的位置。因此，為了抑制噪聲、改善圖像質(zhì)量，對圖像進行去噪就成為了圖像處理的關(guān)鍵步驟之一。 1.1.

5、2 圖像噪聲簡介圖像噪聲分布很廣泛，比如說無線電中的靜電干擾、電視上的雪花；現(xiàn)實中的數(shù)字圖像在數(shù)字化和傳輸過程中時常受到成像設(shè)備與外部環(huán)境噪聲干擾等影響，都稱之為含噪圖像或噪聲圖像；數(shù)碼相機、平板電腦等數(shù)碼設(shè)備產(chǎn)品已經(jīng)在人們的生活中普及。然而，由于拍攝條件、拍攝者的技術(shù)以及數(shù)碼產(chǎn)品攝取設(shè)備、輸出設(shè)備、傳輸設(shè)備的限制，人們所獲得的圖像并不能很好地貼合人眼直接觀察到的圖像，經(jīng)常會引入不同程度的噪聲污染；圖像信號在處理過程中，經(jīng)常會受到各種噪聲的影響，對圖像的質(zhì)量有一定損害。噪聲一般被定義為影響人的可視感覺，或阻礙系統(tǒng)傳感器對所接受的圖像原信息進行分析的各種因素，也可以理解成真實信號與理想信號之間的

6、偏差。以上這些現(xiàn)象都是信號受到了噪聲的污染。雖然噪聲的產(chǎn)生有時候有一定的規(guī)律，但是有時卻沒有準(zhǔn)確的規(guī)律。由于圖像在形成、傳輸、接受和處理的過程中或多或少的存在著外部干擾和內(nèi)部干擾，比如光電轉(zhuǎn)換過程中敏感元件靈敏度不均勻性、數(shù)字化過程的量化噪聲、傳輸過程中的誤差以及人為因素等，均會存在著一定程度的噪聲干擾。噪聲不但降低了圖像質(zhì)量，使圖像變得模糊，甚至?xí)蜎]圖像特征，這給后面的圖像區(qū)域分割、分析判斷等工作帶來了困難。因此，在圖像的預(yù)處理階段去除噪聲是圖像處理中的一個重要的內(nèi)容。圖像的去噪技術(shù)有兩個目的：一是消除噪聲；二是增強或保護圖像邊緣信息。實際應(yīng)用中，這兩個目的要得到很好的兼顧，這要保證經(jīng)過去

7、噪處理后的圖像能夠與原始無噪聲圖像很接近。1.1.3 噪聲的來源根據(jù)噪聲的來源可將噪聲分為內(nèi)部噪聲和外部噪聲。1.外部噪聲。外部噪聲是指獲取數(shù)字圖像的系統(tǒng)之外的因素產(chǎn)生的噪聲。例如光照對數(shù)字圖像成像的影響，自然界存在的各種電磁波源的影響的等等。2.內(nèi)部噪聲。內(nèi)部噪聲是指獲取數(shù)字圖像的系統(tǒng)之內(nèi)的因素產(chǎn)生的噪聲。例如圖像在輸入、采集過程中獲取數(shù)字圖像設(shè)備本身所產(chǎn)生的各種噪聲等。1.1.4 噪聲分類根據(jù)噪聲幅度的統(tǒng)計分布特征，可將噪聲分為如下幾類1： 1.高斯噪聲。高斯噪聲是指噪聲幅度滿足高斯分布密度函數(shù)的噪聲，實際情況中大多數(shù)噪聲可近似高斯噪聲，而且在數(shù)學(xué)方面對高斯噪聲也容易處理分析，因此它是許多

8、數(shù)字圖像實驗的噪聲模型。設(shè)隨機變量滿足高斯分布，則其概率密度函數(shù)為： (1.1)其中是圖像的灰度值，是的期望，表示的標(biāo)準(zhǔn)差。2.椒鹽噪聲。椒鹽噪聲又稱脈沖噪聲，其主要形成于圖像呈像中的短暫停留。錯誤的開關(guān)操作會引起這種噪聲，其概率密度函數(shù)如下： (1.2)在圖像中，如果，則灰度值為在圖像中顯示為一個亮點，灰度值為在圖像中將顯示為一個暗點。3.瑞麗噪聲。瑞麗噪聲是指隨機變量滿足瑞麗分布，其概率密度函數(shù)為： (1.3)其均值和方差為： (1.4)4.泊松噪聲。如果是一個離散變量，其取值為那么其分布可以用分布來描述： (1.5)的均值和方差為：。醫(yī)學(xué)CT圖像中的噪聲就可以用播送分布來描述。 (a)原

9、圖 (b)高斯噪聲圖像 (c)椒鹽噪聲的對比 (d)泊松噪聲圖1-1 lena原圖與各種噪聲加噪聲圖1.2 圖像去噪模型介紹1.2.1 傳統(tǒng)的去噪模型在一幅圖像中，圖像可表示為：令表示原圖像，表示圖像所加的噪音。是我們看到的加噪圖像。圖像復(fù)原的目的就是得到對原始圖像近似的估計。傳統(tǒng)的去噪模型有如下幾種2：1.算術(shù)均值濾波這里我們用表示尺寸為的矩形子圖像，中心點為。計算過程是計算區(qū)域中的平均值，然后用這個平均值賦值給 (1.6)算數(shù)均值濾波的缺點是在減少噪音的同時也模糊了圖像。2.幾何均值濾波幾何均值濾波去噪的算法方程如下： (1.7) 與算術(shù)均值濾波相比，這個方法丟失較少圖像細節(jié)，但是仍然會造

10、成一定的圖像模糊。3.諧波均值濾波 (1.8)諧波均值濾波的特點是：適用于處理高斯噪音，但是處理胡椒噪音效果不好。4.中值濾波（統(tǒng)計排序濾波類）：該方法就是用以像素為中心的鄰域中的像素灰度中值來表示 (1.9)5.最大值最小值濾波（統(tǒng)計排序濾波類）統(tǒng)計學(xué)中，除了中值排序外，還有其他方法，比如取最大值來代替中值 (1.10)同樣也可以采用最小值： 以上幾種傳統(tǒng)的空間域去噪方法：算術(shù)均值濾波，集合均值濾波，諧波均值濾波，中值濾波，最大值最小值濾波。這些方法理論發(fā)展的較為成熟，數(shù)字分析簡單，對濾波與信號不相關(guān)的噪音效果較明顯，但本身存在著明顯的缺陷，需要知道噪音的先驗統(tǒng)計知識，不能保留圖像細節(jié)等。這

11、些方法在除噪音的同時一般都會損失目標(biāo)圖像中的高頻信息，引起邊緣和紋理的模糊。所以在去噪的過程中，存在抑制噪音和保留邊緣之間的矛盾，為了解決兩者之間的矛盾，近年來提出了一種新的有效地去除噪音，保留邊緣的方法偏微分方程的方法，基于偏微分方程的圖像去噪方法使圖像處理領(lǐng)域邁向了一個新的臺階3。1.2.2 現(xiàn)代圖像去噪方法在圖像處理領(lǐng)域，采用偏微分方程方法是近些年發(fā)展起來的新興領(lǐng)域?，F(xiàn)已積累了豐富的研究成果，并顯示出強大的生命力。一方面得益于偏微分方程作為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的一個重要分支，即已經(jīng)形成的理論體系和微分方程數(shù)值方法；另一方面也得益于傳統(tǒng)的圖像處理技術(shù)所積累的經(jīng)驗。偏微分方程主要針對底層圖像處理，在圖像

12、去噪方向取得了令人滿意的效果。偏微分方程具有各向異性的特點，應(yīng)用在圖像去噪中，既可以去除噪音，又能保持邊緣?；趫D像去噪模型的發(fā)展中出現(xiàn)了許多的主流模型，本文結(jié)合研究內(nèi)容列舉了其中的幾個典型模型。1.3 圖像去噪模型的評價標(biāo)準(zhǔn)去噪效果的評價標(biāo)準(zhǔn)，通常從兩個方面去評判：一、目測法，用人的眼睛觀察，這種方法雖然具有一定的主觀性，但是一種去噪模型是否具有實用性，首先要通過眼睛的考驗；二、根據(jù)一些客觀的評價標(biāo)準(zhǔn)，這里定義了一些評價優(yōu)劣的計算公式。設(shè)是大小為的圖像，為處理后的圖像，下面定義了去噪模型的三個客觀評價依據(jù)：1.信噪比。信噪比的單位是分貝，其定義為： (1.11)去噪后，信噪比越大，則表明去噪

13、效果越好4。2.峰值信噪比。設(shè)圖像的分辨率為，則峰值信噪比為： (1.12) 去噪后，峰值信噪比越大，則表明去噪效果越好。3.均方根誤差。均方根誤差是指去噪后的估計信號與原始信號之間的均方誤差。定義如下： (1.13)均方根誤差為開方，即 (1.14)均方誤差越小，則去噪圖像與原始圖像的近似度越高，即去噪的效果越好。2基于偏微分方程的圖像去噪模型2.1 線性均勻擴散模型2.1.1 模型的建立線性均勻擴散模型，即常見的熱傳導(dǎo)擴散方程。使用偏微分方程處理圖像是根據(jù)運動的觀點進行研究的，這可以追溯到熱傳導(dǎo)方程的初始值問題:5： (2.1)此方程的解可以表示為函數(shù)與的卷積，即 (2.2)其中：是高斯函

14、數(shù)，其中代表一個尺度參數(shù)。為了求解這個微分方程，取空間步長和時間步長，其中都是自然數(shù)。用兩足平行直線和將矩陣域分割成矩陣網(wǎng)格，網(wǎng)格節(jié)點為。以表示網(wǎng)格內(nèi)點集合，即位于開矩形的網(wǎng)點集合；表示所有位于閉矩形的網(wǎng)點集合；是網(wǎng)格界點集合,如下圖。圖2-1 熱傳導(dǎo)方程網(wǎng)點集合其次，用表示定義在網(wǎng)點上的函數(shù)，。2.1.2 向前差分格式用適當(dāng)?shù)牟钌檀鏌醾鲗?dǎo)方程中的偏微商，即可得到最簡單的差分格式：向前差分格式，即顯格式6。 (2.3) ，其中。以表示網(wǎng)比。為了便于計算，將第層值在等式右邊，第層值在等式左邊，即可得到 (2.4)取，利用初值和邊值，根據(jù)上式算出第一層，由上式取，又可利用和邊值，由上式算出。同樣

15、的方法逐漸計算下去，即可逐層求出所有，并視為精確解的近似值。由于第層值通過第層值來計算，無需解線性代數(shù)方程組，如此的差分格式成為顯格式。將上式看成網(wǎng)點處的差分方程，它聯(lián)系第層的點和第層的點，其分布如圖所示四個點：2.1.3 向后差分格式 向前差分格式雖然計算簡單，但是效果并不是最好的。下面我們來研究向后差分格式，即隱格式7。 (2.5)其中。將上式改寫為 (2.6)令則可利用和邊值確定，利用和邊值確定，以此類推。現(xiàn)在第層的值不能用第層值明顯標(biāo)示，而是由線性代數(shù)方程組（2.1.6）確定，如此的差分格式成為隱格式。2.1.4 交替方向隱格式取空間步長，時間步長，作兩組平行于坐標(biāo)軸的網(wǎng)線：，將區(qū)域分

16、割成個小矩形。第一個交替方向隱格式法是和提出的，他們把由第層到第層計算分成兩步：先由第層到第層，對用向后差分逼近，對用向前差分逼近，然后由第到第層，對用向前差分逼近，對用向后差分逼近，于是得到如下交替方向隱格式格式8：， ， (2.7)其中j,上標(biāo)用表示取值。假定第層的已求得，則由上第一個式子求出，這只需按行解一些具三對角系數(shù)矩陣的方程組；再由上第二個式子求出，這只需按列解一些具三對角系數(shù)矩陣的方程組，所以計算是容易實現(xiàn)的。對任何，故交替方向隱格式法絕對穩(wěn)定?？傊谟嬎懔?、階段誤差的階和穩(wěn)定性方面，交替方向隱格式法都是很好的。表2-1 熱傳導(dǎo)去噪方程顯格式與隱格式對比差分格式峰值信噪比（PS

17、NR）均方根誤差（MSE）時間熱傳導(dǎo)方程顯格式19.4873231.93847.8691熱傳導(dǎo)交替方向隱格式22.0284193.54322.1865 (a)原圖 (b)加躁圖 (c)去結(jié)果噪圖 圖2-2 熱傳導(dǎo)方程去噪效果 2.2 全變分去噪模型2.2.1 模型的建立 全變分去噪模型是由等人提出的，是一種比較理想的模型。可用下式表示9： (2.8)設(shè)表示一幅灰度圖像，灰度值為。引入時間因子，其中為變化過程中的圖像。通常依賴于圖像及空間上的一階和二階導(dǎo)數(shù)。原始圖像為初始條件。偏微分方程的解即給出了時刻的圖像，通常在得到滿意的圖像時停止迭代，這就是偏微分方程表達的圖像處理過程，求解這個方程一般應(yīng)

18、用偏微分方程的數(shù)值解法。 2.2.2 顯式差分格式在離散的設(shè)定上，設(shè)圖像區(qū)域是一個矩形，定義一個均勻的網(wǎng)格，假設(shè)方向是等步長的。我們利用空間步長為，時間步長為。圖像為像素，網(wǎng)格節(jié)點上的值就是圖形灰度值，網(wǎng)格節(jié)點一共有個網(wǎng)格，每一個網(wǎng)格點代表一個像素，網(wǎng)格坐標(biāo)為，是的近似值，用顯格式進行離散，得到的差分方程如下10：時間偏微分：由微積分定義可得： (2.9)作為對的近似可以表示為 (2.10)空間偏微分：用相同的理論我們可以得到在的近似 (2.11)為了得到這個相對精確的近似值，我們用 (2.12)表示對的近似，而上面包含的和可以用近似的和 (2.13)來表示，此時就有 (2.14)同理，交換i

19、，j的值，也可以相應(yīng)得到對的近似 (2.15)因此根據(jù)以上三式的近似表達式來近似偏微分方程，在的表達式，再加上約束條件有 (2.16)或者表示為 (2.17)最后根據(jù)給出的這個問題的初值條件可以做如下做近似邊值條件：為了保證邊界的連續(xù)性，采用紐曼邊界條件，即用一階的微分形式來逼近上式當(dāng)中的偏導(dǎo)數(shù)，可以得到，即，根據(jù)以上的推導(dǎo)，可以得到算法流程圖：讀入原始圖像的寬度、高度等矩陣信息。選擇適當(dāng)?shù)牟介L和時長得到最終結(jié)果，計算最終圖像信噪比，記錄顯格式處理效果進入第一步循環(huán)，對已知的圖像信息逐行逐列進行迭代格式進行計算，令，循環(huán)直到得到希望的結(jié)果或達到限制條件。加高斯噪音，得到有噪音的圖像，即要進行處

20、理的 2.2.3 交替方向隱格式上節(jié)介紹的顯格式差分格式，是最簡單的差分格式。在對偏微分方程進行離散時使用這種格式比較簡單，但是效果并不是最好。所以選取其他更好的差分格式是很重要的，這將會影響圖像的去噪速度。如果使用無條件穩(wěn)定的交替方向隱格式11 對偏微分方程進行離散，來取代前面所用的顯格式，可以提高圖像的去噪速度。為了直接對隱格式進行求解，將使用交替方向隱格式，這樣做必須去解決一個較大的矩陣方程，如果使用高斯消去法，在求解這個二維的微分形式的矩陣方程時將會有較大的消耗。同時，如果使用一種迭代格式來求解，在一些情況下可以，但是在每一步的迭代過程中消耗過大，而交替方向隱格式是對隱格式的一種解釋，

21、并且提供了一種更好的格式。交替方向隱格式包含隱格式的所有優(yōu)點，只需要求解一個三對角線矩陣即可計算最終的結(jié)果。由于上面的模型對圖像進行去噪處理，采用顯格式進行離散的。下面改用交替方向隱格式來離散，來對圖像進行去噪處理，最后對實驗結(jié)果進行分析。首先從最簡單的模型來說， (2.18)對于二維的問題，離散過程中的交替就是先對其中一個方向做隱格式，而另一個方向依然用顯格式，然后下一步交換對上一步中做隱格式的方向做顯格式，而另一個則為隱格式，進而得到我們所需要的求解格式，分兩步得到我們所要的結(jié)果。第一步是離散化，同上面保持一致，我們假設(shè)圖像區(qū)域是一個矩形，并定義一個均勻的網(wǎng)格，空間步長為，時間步長為，圖像

22、為像素，網(wǎng)格節(jié)點上的值就是圖像灰度值，網(wǎng)格坐標(biāo)為。是的近似值。對x方向做隱格式，在這里我們選取時間步長為，得到如下形式的方程 (2.19)對上式整理后，變成如下形式 (2.20)對y方向做隱格式，這時我們做剩下的那半個時間步長，得到如下差分格式 (2.21)或者 (2.22)邊界條件：為了保證邊界的連續(xù)性，同樣采用紐曼邊界條件 (2.23)如果用一階的微分形式來逼近式中的偏導(dǎo)數(shù)，可以得到即 ， (2.24)如果用二階來逼近紐曼邊界條件，首先要構(gòu)造虛擬點。就拿來說，構(gòu)造虛擬點，對便捷條件做如下逼近，即 (2.25)對交替方向隱格式，第一步是x方向做隱格式 (2.26)通過上式求解，由于左端含有當(dāng)

23、取值為時可在以上兩種邊界條件中選其一來確定邊界值，不妨取第二種，即有和 (2.27)進而求解，同樣對于第二步y(tǒng)方向做隱格式 (2.28)通過上式求解，由于左端含有j-1，j+1，當(dāng)j取值為0，M時取和得出上述的差分格式后要對其進行求解，如同第一步對x方向做隱格式，第二步也用這種方法。對于第一步的差分格式 (2.29)首先取定為的一個值，當(dāng)取遍后，選定相應(yīng)的邊界條件，可以得到： (2.30)其中系數(shù)矩陣是三對角矩陣 是由時刻的未知解組成的列向量，是差分格式的右端決定的列向量，可以由時刻的解得出。 (2.31)求解上述的方程的步驟是寫出它的擴張矩陣。使用高斯消去法。用追趕法求解。算法設(shè)計如下所示：

24、讀入原始圖像的寬度、高度等矩陣信息。根據(jù)需要，選擇步長和時長得到最終結(jié)果，計算最終圖像信噪比，記錄交替方向隱格式處理效果進入第一步循環(huán)，取半個時間步長。先采用對x方向做隱格式，取定為中的一個值，然后對相應(yīng)的向量賦值，用上述的高斯消去法得到最終的r即我們所求的,.當(dāng)j取遍0,N中的每一個值，得到，。同樣對y方向做隱格式，只是改變i，j的位置，利用上半步得到的迭代得到，。加高斯噪音，得到有噪音的圖像，即要進行處理的穩(wěn)定性分析：對于交替方向隱格式，增長因子 (2.32) 則雙步的增長因子為 (2.33)由于且，所以，因此易證。所以交替方向隱格式的雙步過程是無條件穩(wěn)定的，也就是基于方程的交替方向隱格式

25、是無條件穩(wěn)定的。 (a)原圖 (b)加躁圖 (c)去噪結(jié)果圖 圖2-3 線性均勻擴散模型去噪效果 2.2.4 顯格式與交替方向隱格式的比較：不論是根據(jù)肉眼觀看圖片，還是從峰值信噪比、均方誤差來看，使用交替方向隱格式差分來離散方程后對圖像進行處理，去噪效果要比用一般的顯式差分格式離散后去噪效果要好，速度也相應(yīng)提高。表2-2 全變分去噪模型顯格式與隱格式對比差分格式峰值信噪比（PSNR）均方根誤差（MSE）時間TV顯格式23.1402189.10383.9825TV交替方向隱格式26.6882107.56691.15762.3 非線性各向異性擴散方程模型2.3.1 模型的建立年，和考慮到熱擴散方程

26、中的平滑濾波不能保護邊緣特征的缺點，他們加入了一個控制擴散速度的函數(shù)，這個函數(shù)隨著圖像的位置而變化，構(gòu)成的異向擴散方程改變了這一缺陷，為模型應(yīng)用于圖像處理的研究開辟了新的途徑。其平滑過程以偏微分方程形式給出，非線性各向異性擴散方程模型，即擴散方程為12： （2.34）其中為我們處理的圖像，為圖像的梯度，g（x）是非遞增的單調(diào)函數(shù)，稱為擴散函數(shù)，它的值表示了擴散強度，并且符合，通常給出的的形式有兩種，分別是：和 （2.35）式中是梯度門限。模型根據(jù)圖像梯度模實現(xiàn)有選擇的擴散平滑，當(dāng)邊緣部分具有較大的梯度值時，取的值較小，在這里模型進行的平滑處理也就較弱，以便保護圖像的邊緣信息?；趯D像效果的追

27、求上，對偏微分方程離散式恰當(dāng)?shù)母玫牟罘指袷降倪x擇是非常重要的。一般來說顯格式是最簡單明了的差分格式，也被較多的使用。而在偏微分方程中交替方向隱格式相對于顯格式條件收斂，是一種相對更加好的差分格式。下面就非線性各向異性擴散方程模型，討論顯格式與采用交替方向隱格式來替換，進行分析對比。2.3.2 顯格式數(shù)值解對于式2.34的模型，首先是離散化引入網(wǎng)格坐標(biāo)，。是的近似值，有13：時間偏微分： （2.36）空間偏微分：同是的近似值類似，設(shè)是的近似值。對的離散化是： （2.37）對的離散化采用 （2.38）其中的 c （2.39）同樣的對于 （2.40）最終得到： （2.41）對第二項 （2.42）采

28、用類似的離散形式，只需要交換i和j的位置，即： （2.43）最終得到方程對應(yīng)的差分方程： （2.44）再加上相應(yīng)的邊界條件， （2.45）算法流程圖設(shè)計如下：讀入原始圖像的寬度、高度等矩陣信息。根據(jù)需要，選擇步長和時長得到最終結(jié)果，計算最終圖像信噪比，記錄顯格式處理效果進入第一步循環(huán)，對已知的圖像信息逐行逐列進行迭代格式 進行計算后，令 ，得到下一步的值 同樣對y方向做隱格式，只是改變i，j的位置，利用上半步得到的迭代得到，。加高斯噪音，得到有噪音的圖像，即要進行處理的 2.3.3 模型的解法為了進一步改善算法，加快算法處理圖像效果，對于式2.3.1，我們也可以使用交替方向隱格式來對模型差分1

29、4。 （2.46） 首先進行離散化， 是一個數(shù)，對，把從求偏導(dǎo)中提出來，同樣的對第二項也一樣。同上面保持一致，選定時間步長與空間步長。同的近似值類似，設(shè)的近似值。對方向做隱格式：選取時間步長為,得到如下形式的方程 （2.47）對上式整理后，變成如下形式 （2.48）對方向做隱格式，這時我們做剩下的那半個時間步長，得到如下方程 （2.49）或者 （2.50）接著對的隱格式求解。得到上述的差分格式后要進行求解，基本理論同上只是系數(shù)的變化。以第一步對方向做隱格式為例，第二步同第一步方法相同。對于第一步的差分格式 （2.51）取定為中的一個值，當(dāng)取遍后，選定相應(yīng)的邊界條件，我們得到 （2.52）其中系

30、數(shù)矩陣是三對角矩陣變化為 仍是由時刻的未知解組成的列向量，是差分格式的右端決定的列向量，可以由時刻的得出。 （2.53）由上述的算法得出最終的r向量就是我們所求的，。用相同的方法對第二步隱格式求解可得，求解上述的方程的步驟是寫出它的擴張矩陣，使用高斯消去法。算法設(shè)計流程圖如下所示：讀入原始圖像的寬度、高度等矩陣信息。根據(jù)需要，選擇步長和時長得到最終結(jié)果，計算最終圖像信噪比，記錄交替方向隱格式處理效果進入第一步循環(huán)，取半個時間步長。先采用對x方向做隱格式，取定j為0,N中的一個值，然后對相應(yīng)的向量a，b，c，r賦值，用上述的高斯消去法得到最終的r即我們所求的,.當(dāng)j取遍0,N中的每一個值，得到，

31、。同樣對y方向做隱格式，只是改變i，j的位置，利用上半步得到的迭代得到，。加高斯噪音，得到有噪音的圖像，即要進行處理的穩(wěn)定性分析：對于交替方向隱格式，增長因子、雙步的增長因子為15： （2.54）由于且，所以，因此易證。所以交替方向隱格式的雙步過程是無條件穩(wěn)定的，也就是基于P-M方程的交替方向隱格式是無條件穩(wěn)定的。 (a)原圖 (b)加躁圖 (c)去噪結(jié)果圖 圖2-4 非線性各向異性擴散模型去噪效果2.3.4 P-M 型的顯格式與交替方向隱格式對比 分別用顯格式和交替方向隱格式數(shù)值求解這一模型，通過對同一圖像去噪表明，由于交替方向隱格式的無條件穩(wěn)定性，相對于顯格式，極大的節(jié)省了總的計算時間。通

32、過采用交替方向隱格式來代替顯格式來對偏微分方程數(shù)值求解是一種更好的方法，我們進行迭代后效果也很好。達到了去除噪音，并保持更好的圖像信息，得到了較令人滿意的結(jié)果16。表2-3 非線性各向異性擴散方程顯格式與隱格式對比差分格式峰值信噪比（PSNR）均方根誤差（MSE）時間P-M顯格式24.7782166.9838 2.8654P-M交替方向隱格式28.0138 101.03180.91373總結(jié)與展望三種模型、共六種差分格式，對比其峰值信噪比、均方根誤差、計算時間。表3-1 各個模型峰值信噪比、均方根誤差和運行時間對比去噪模型峰值信噪比（PSNR）均方根誤差(MSE)時間（秒）熱傳導(dǎo)方程顯格式19

33、.4873231.93847.8691熱傳導(dǎo)交替方向隱格式22.0284193.54322.1865TV顯格式23.1402189.10383.9825TV交替方向隱格式26.6882107.56691.1576P-M顯格式24.7782166.98382.8654P-M交替方向隱格式28.0138101.01830.9137根據(jù)表中的計算結(jié)果可以看出，顯隱差分格式無論在計算速度上、還是計算效果上，都比顯式格式好。即對于同一模型，隱式差分格式比顯式差分格式效果好。但是由于本文僅僅探討了一個圖像實例，對于這個圖像P-M模型效果比TV模型效果好，但是并不能說明對于任何圖像，P-M的效果都比TV模型

34、的好，這是本文的不足之處，以后還需要進一步研究。 下面針對P-M模型，TV模型這兩個相對比較好的模型的優(yōu)點、缺點進行對比。表3-2 TV、P-M模型優(yōu)缺點對比去噪算法優(yōu)點缺點P-M模型擴散程度的判斷條件是由梯度模的大小決定的，在圖像邊緣處梯度模較大，因此擴散小，這在一定程度上保護了圖像邊緣。無法去除大的噪點。由于圖像在大的噪點處同圖像在大的噪聲點出同圖像邊緣處一樣梯度也很大，這使得擴散程度??；PDE這一類模型不適定，方程的解不唯一。TV模型解的適定性質(zhì)及數(shù)值解法理論很成熟；在去除噪聲的同時也能較好的保邊性。平滑區(qū)域較容易產(chǎn)生梯度效應(yīng)。 這三種模型還無法實現(xiàn)高質(zhì)量的對圖像進行去噪，更好的模型還需

35、要更進一步的研究。另外，本文在處理圖像過程中與在現(xiàn)實中對處理速度的追求、更有效的實現(xiàn)、保持圖像紋理細節(jié)等方面仍有一定的距離，這也將是需要探索的新模型要繼續(xù)考慮研究的問題。致謝：本論文是在李老師的悉心指導(dǎo)下經(jīng)過幾個月完成的，李老師對學(xué)術(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)和精益求精的工作作風(fēng)給我留下了非常深刻的印象。從選題后的題目分析到開題報告，從寫作提綱，再到畢業(yè)論文的編寫、修改，每一步都有李老師的細心指導(dǎo)和認(rèn)真解析，在此我表示衷心的感謝。四年大學(xué)生活快要結(jié)束了，回顧四年的歷程，老師們給了我們很多無私的指導(dǎo)和幫助。他們嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)，優(yōu)良的作風(fēng)和敬業(yè)的態(tài)度，為我們樹立了為人師表的典范。在此，我對所有數(shù)信學(xué)院的老師表示感謝，祝您

36、們身體健康，工作順利！參考文獻1Rafael C.Gonalez,Richard E.Woods著，阮秋琦，阮宇智等譯.數(shù)字圖像處理第二版（Digital Image Processing Second Edition）M.北京：電子工業(yè)出版社，2007.8.2李蘭蘭，吳樂南.一種各向異性擴散圖像去噪的方法J.Journal of Circuits And Systems,2003,8(6):143-1453崔峰峰，黃淑祥。基于PDE的圖像去噪D.濟南：山東大學(xué)，2008.4馮象初，王衛(wèi)衛(wèi).圖像處理的變分和偏微分方程方法M.北京：科學(xué)出版社，20095Perona.P and Malik J.

37、Scale-space and edge detection using anisotropic diffusionJ.IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,1990,12(7):629-6396各向異性擴散平滑濾波的改進算法J.中國圖像圖形學(xué)報，2006，11(2)：210-2167王大凱，侯榆青，彭進業(yè).圖像處理的偏微分方程方法M,北京：科學(xué)出版社，2008，125-1268史淵，潘振寬.非線性擴散和變分模型在圖像去噪中的應(yīng)用D,青島：青島大學(xué)，2008.9朱立新，夏德深.基于偏微分方程的圖像去噪和增強

38、研究D，南京：南京理工大學(xué)，2007.10潘振寬，魏偉波，張海濤.基于梯度和拉普拉斯算子的圖像擴散變分模型J.山東大學(xué)學(xué)報理學(xué)版，2008,5(2):3-8.11陳守水，楊新.基于偏微分方程的圖像降噪及質(zhì)量評價研究D.上海：上海交通大學(xué)，2008.12阮秋琦.數(shù)字圖像處理學(xué)M.北京：電子工業(yè)出版社，200113張澶，陳剛.基于偏微分方程的圖像處理M.北京：高等教育出版社，200514張新/圖像偏微分方程的原理與應(yīng)用M.上海：上海交通大學(xué)出版社，200315陳守水，楊新?；谄⒎址匠痰膱D像降噪及質(zhì)量評價研究D.上海：上海交通大學(xué)，2008.16Rudin L,Osher S,Fatemi E.

39、Nonlinear total variation based noise removal algorithmstJ.Physica D,1992,60(1-4):259-268. The Study of Difference Schemess in Image DenoisingKang QingYuSchool of Mathematics and Information Science, Henan Polytechnic UniversityAbstract: As the develoP-Ment of the digital products, digital image pro

40、cessing has become the interdiscipline of math and computer science, in which the digital denoosing is the research hotspot of this new science. In the traditional image denoosing arithmetic ,such as the average filtering median filter Lowpass filtering , Wiener filtering. denoosing and Detail infor

41、mation are ambivalent .When denoosing ,these arithmetics will destroy the edge of images and detail feature.Based on the image denoosing arithmetic of pde, the arithmetics can balance the Contradiction,which is a better image denoosing arithmetic.The heat equations,TV model ,P-M model are discussed

42、in this paper. Bothdisplay format and and implied format are discussed in every model.Though the examples of Image nois and image denoising, the stability and PSNR of every models are contrasted .Then the conclusion was draw : implied format is stability everytime.No matter about the speed or the re

43、sult ,the implied format is better than the display format.Thus, display format is better than implied format.Keywords:image denoosing； partial differential equation；difference schemes； alternating direction implicit schemes； PSNR； 附錄附錄1.高斯噪聲：高斯噪聲的添加:I=imread(lena.jpg);%讀取圖像J=imnoise(I,gaussian,0,0.

44、02);%加入均值為0，方差為0.02的高斯噪聲subplot(1,2,1);imshow(I);title(原始圖像);subplot(1,2,2); imshow(J);title(加入高斯噪聲之后的圖像);附錄2.添加椒鹽噪聲：I=imread(lena.jpg);J1=imnoise(I,salt & pepper,0.02);subplot(1,2,1);imshow(I);title(原始圖像);subplot(1,2,2);imshow(J1);title(加椒鹽噪聲后的圖像);boso泊松：泊松代碼：im=imread(lena.bmp);%im=im2double(im);o

45、utpoisson=imnoise(im,poisson);hsize=10;sigma=5;h=fspecial(gaussian,hsize,sigma);mesh(h);imagesc(h);fgauss=imfilter(outpoisson,h);subplot(221);imshow(im);title(原圖);subplot(222);imshow(outpoisson);title(泊松噪聲圖);附錄3.去噪模型評價：%A是原來的圖像，B是經(jīng)過處理后的圖像A=imread(lena.png);I=imread(lena.png);B=imnoise(I,gaussian,0,0

46、.005);%加入均值為0，方差為0.005的高斯噪聲Imsz=size(A);ngrid=Imsz(1)*Imsz(2);%求原圖像的大小A=double(reshape(A,1,ngrid);B=double(reshape(B,1,ngrid);g_mean = mean(A);%求出圖像的平均值g_max = max(A);%求出圖像的最大值sqr_err = (A-B)*(A-B) ;MSE=sqr_err/ngridNMSE = sqr_err./A*ASNR = 10.0*log10(A-g_mean)*(A-g_mean)/sqr_err)PSNR = 10.0*log10(g

47、_max*g_max*ngrid/sqr_err) 附錄4.TV去噪程序：clear all;close all;clc;Img=imread(lenna.bmp);Img=double(Img);figure(1); imshow(uint8(Img);nrow, ncol = size(Img);%- 給平滑圖像加噪I0=Img+20*randn(nrow, ncol); % 加入標(biāo)準(zhǔn)差為 20 的高斯白噪聲figure(2); imshow(uint8(I0);lamda=0.; timestep=0.04; % 設(shè)置步長I_temp=I0; % 初始化iter=1000; %- 迭代開

48、始for n=1:iter I_temp=I_temp+timestep*I_t;endfigure(3);imshow(uint8(I_temp);%評價標(biāo)準(zhǔn)A=Img;B=I_temp;Imsz=size(A);ngrid=Imsz(1)*Imsz(2);%求原圖像的大小A=double(reshape(A,1,ngrid);B=double(reshape(B,1,ngrid);g_mean = mean(A);%求出圖像的平均值g_max = max(A);%求出圖像的最大值sqr_err = (A-B)*(A-B) ;MSE=sqr_err/ngridNMSE = sqr_err./A*ASNR = 10.0*log10(A-g_mean)*(A-g_mean)/sqr_err)PSNR = 10.0*log10(g_max*g_max*ngrid/sqr_err)附錄5.P-M圖像去噪程序：close allclearclc%原始圖像的讀取與顯示im=imread(lenna.bmp);imshow(im);title(原始圖像);% %高斯低通濾波得到模糊圖像% h=fspecial(gaussian,3,3,1);%高斯低通濾波器（采用3*3的模板，標(biāo)準(zhǔn)差為1（默認(rèn)的為