2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 .1 變化率與導(dǎo)數(shù)教學(xué)案 1-1

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3.1 變化率與導(dǎo)數(shù)第1課時變化率問題、導(dǎo)數(shù)的概念核心必知1預(yù)習(xí)教材,問題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱,預(yù)習(xí)教材p72p76的內(nèi)容，回答下列問題(1)氣球膨脹率氣球的體積v(單位：l)與半徑r(單位：dm)之間的函數(shù)關(guān)系是v（r)r3，如果將半徑r表示為體積v的函數(shù)，那么r(v）。當(dāng)空氣容量v從0增加到1 l時,氣球的平均膨脹率是多少？提示：0.62（dm/l）當(dāng)空氣容量v從1 l增加到2 l時，氣球的平均膨脹率是多少?提示：0.16(dm/l)當(dāng)空氣容量從v1增加到v2時,氣球的平均膨脹率又是多少？提示：(2)高臺跳水在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h(單位:m）與起跳

2、后時間t（單位：s)存在函數(shù)關(guān)系h（t)4.9t26.5t10.在0t0。5這段時間里,運動員的平均速度v是多少？提示：v4。05(m/s)在1t2這段時間里，運動員的平均速度v是多少？提示：v8。2(m/s)在t1tt2這段時間里, 運動員的平均速度 v又是多少？提示：v2歸納總結(jié)，核心必記（1)函數(shù)的平均變化率對于函數(shù)yf(x)，給定自變量的兩個值x1和x2，當(dāng)自變量x從x1變?yōu)閤2時,函數(shù)值從f(x1）變?yōu)閒（x2),我們把式子稱為函數(shù)yf(x)從x1到x2的平均變化率習(xí)慣上用x表示x2x1，即xx2x1，可把x看作是相對于x1的一個“增量”，可用x1x代替x2；類似地,yf(x2）f(

3、x1)于是，平均變化率可表示為(2)瞬時速度物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度若物體運動的路程與時間的關(guān)系式是sf(t），當(dāng)t趨近于0時，函數(shù)f(t）在t0到t0t之間的平均變化率趨近于常數(shù),我們就把這個常數(shù)叫做物體在t0時刻的瞬時速度（3)導(dǎo)數(shù)的定義一般地，函數(shù)yf(x）在xx0處的瞬時變化率是：,我們稱它為函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù),記作f（x0）或yxx0，即f（x0）=問題思考（1）設(shè)a(x1，f(x1），b(x2,f（x2）是曲線yf（x)上任意不同的兩點，則函數(shù)yf(x）的平均變化率表示什么?提示：表示割線ab的斜率（2)x,y的值一定是正值嗎？平均變化率是否一定為正值？提示：x

4、，y可正可負(fù)，y也可以為零，但x不能為0，平均變化率可正、可負(fù)、可為零(3)在高臺跳水中，如何求在1，1t這段時間內(nèi)的平均速度v？當(dāng)t趨近于0時，平均速度v有什么樣的變化趨勢?提示:v。當(dāng)t趨近于0時，平均速度v即為t1時的瞬時速度（4）平均變化率與瞬時變化率有什么區(qū)別和聯(lián)系？提示:（1）區(qū)別:平均變化率刻畫函數(shù)值在區(qū)間x1，x2上變化的快慢，瞬時變化率刻畫函數(shù)值在x0點處變化的快慢；(2)聯(lián)系：當(dāng)x趨于0時，平均變化率趨于一個常數(shù)，這個常數(shù)即為函數(shù)在x0處的瞬時變化率,它是一個固定值課前反思（1)平均變化率的定義是：；(2)什么是函數(shù)的瞬時變化率?它與平均變化率有什么區(qū)別和聯(lián)系？;(3）導(dǎo)數(shù)

5、的定義是什么?如何表示？；（4）平均速度與瞬時速度的定義是什么?它們有什么區(qū)別和聯(lián)系?思考1平均變化率可用式子表示，其中y、x的意義是什么？提示：y、x分別表示函數(shù)值和自變量的變化量思考2如何求函數(shù)yf（x）在區(qū)間x1,x2上的平均變化率？提示:平均變化率為講一講1已知函數(shù)f(x)3x25,求f（x）:（1)從0。1到0.2的平均變化率；(2）在區(qū)間x0，x0x上的平均變化率嘗試解答（1）因為f（x）3x25,所以從0.1到0.2的平均變化率為0。9.(2)f（x0x)f（x0）3（x0x）25(3x5)3x6x0x3（x）253x56x0x3(x）2。函數(shù)f(x）在區(qū)間x0，x0x上的平均變

6、化率為6x03x。(1）求函數(shù)平均變化率的三個步驟第一步,求自變量的增量xx2x1.第二步，求函數(shù)值的增量yf(x2）f（x1）第三步,求平均變化率.(2）求平均變化率的一個關(guān)注點求點x0附近的平均變化率，可用的形式練一練1已知函數(shù)f(x）x,分別計算f（x）在自變量x從1變到2和從3變到5時的平均變化率,并判斷在哪個區(qū)間上函數(shù)值變化得較快解：自變量x從1變到2時，函數(shù)f(x）的平均變化率為； 自變量x從3變到5時,函數(shù)f（x）的平均變化率為。因為，所以函數(shù)f(x)x在自變量x從3變到5時函數(shù)值變化得較快某物體按sf(t)的規(guī)律運動思考1該物體在t0,t0t內(nèi)的平均速度是什么？在t0的瞬時速度

7、是多少? 思考2如何求(當(dāng)x無限趨近于0時）的極限？名師指津：(1）在極限表達式中,可把x作為一個數(shù)來參與運算（2）求出的表達式后，x無限趨近于0就是令x0,求出結(jié)果即可講一講2若一物體的運動方程為s（路程單位：m，時間單位:s）求：（1）物體在t3 s到t5 s這段時間內(nèi)的平均速度；（2）物體在t1 s時的瞬時速度嘗試解答(1）因為s3522(3322）48，t2，所以物體在t3 s到t5 s這段時間內(nèi)的平均速度為24(m/s）求瞬時速度的步驟（1）求物體運動路程與時間的關(guān)系ss（t）；(2）求時間改變量t,位移改變量ss（t0t)s（t0）；（3）求平均速度；練一練2一質(zhì)點按規(guī)律s（t)a

8、t21做直線運動(位移單位：m，時間單位：s)，若該質(zhì)點在t2 s時的瞬時速度為8 m/s，求常數(shù)a的值由題意知，4a8，所以a2。思考任何一個函數(shù)在定義域中的某點處均有導(dǎo)數(shù)嗎？函數(shù)f(x)x|在x0處是否存在導(dǎo)數(shù)?名師指津：不一定，f(x)x|在x0處不存在導(dǎo)數(shù)x0時，的極限不存在，從而在x0處的導(dǎo)數(shù)不存在講一講3求函數(shù)yx在x1處的導(dǎo)數(shù)嘗試解答y(1x)x,1,求函數(shù)yf（x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的三個步驟簡稱：一差、二比、三極限練一練3求函數(shù)f（x)x25x在x3處的導(dǎo)數(shù)解:yf（3x)f(3）（3x)25(3x)（3253）96x(x)2155x915(x)211x，x11，-課堂歸納感悟

9、提升-1本節(jié)課的重點是函數(shù)yf(x）在xx0處的導(dǎo)數(shù)的定義，也是本節(jié)課的難點2本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法(1)平均變化率的求法，見講1；（2）瞬時速度的求法,見講2; (3）利用定義求函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)的方法,見講3.3本節(jié)課的易錯點是對導(dǎo)數(shù)的概念理解不清而導(dǎo)致出錯，見講3.注意：在導(dǎo)數(shù)的定義中，增量x的形式是多樣的，但不論x是哪種形式，y必須選擇相對應(yīng)的形式課時達標(biāo)訓(xùn)練（十三） 即時達標(biāo)對點練題組1求函數(shù)的平均變化率1如圖，函數(shù)yf（x）在a，b兩點間的平均變化率等于（)a1 b1c2 d2解析：選b平均變化率為1.2已知函數(shù)yf(x）2x2的圖象上點p（1，2）及鄰近點q（1x,2y)，

10、則的值為(）a4b4x c42x2 d42x解析：選d42x。3求函數(shù)yf（x）在區(qū)間1，1x內(nèi)的平均變化率解:yf(1x)f（1)1， 。題組2求瞬時速度4某物體的運動路程s(單位：m）與時間t(單位：s)的關(guān)系可用函數(shù)s(t）t32表示,則此物體在t1 s時的瞬時速度(單位：m/s)為(）a1 b3 c1 d0答案：b5求第4題中的物體在t0時的瞬時速度解:物體在t0時的平均速度為v3t3t0t(t）2.故此物體在tt0時的瞬時速度為3t m/s.6若第4題中的物體在t0時刻的瞬時速度為27 m/s,求t0的值解：由v3t3t0t（t）2，所以由3t27,解得t03,因為t00,故t03，

11、所以物體在3 s時的瞬時速度為27 m/s.題組3利用定義求函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)7設(shè)函數(shù)f(x)在點x0附近有定義，且有f（x0x）f(x0）axb(x)2(a,b為常數(shù))，則(）af（x）abf（x）bcf(x0)adf(x0）b8設(shè)函數(shù)f(x）ax3，若f(1)3，則a等于(）a2 b2 c3 d39求函數(shù)f（x)在x1處的導(dǎo)數(shù)f（1）能力提升綜合練a與x0，h都有關(guān)b僅與x0有關(guān)，而與h無關(guān)c僅與h有關(guān)，而與x0無關(guān)d以上答案都不對解析:選b由導(dǎo)數(shù)的定義知，函數(shù)在xx0處的導(dǎo)數(shù)只與x0有關(guān)2函數(shù)yx2在x0到x0x之間的平均變化率為k1，在x0x到x0之間的平均變化率為k2，則k1與k2

12、的大小關(guān)系為()ak1k2 bk2kb,在c處的切線斜率小于零，所以f（x1)f(x2）f(x3）(3)曲線在某點處的切線是否與曲線只有一個交點？提示：不一定，切線只是一個局部概念，是該點處的割線的極限位置，在其他地方可能還有一個或多個公共點(4)f(x0)與f(x）有什么區(qū)別?提示:f（x0)是一個確定的數(shù)，而f（x）是一個函數(shù)課前反思(1）導(dǎo)數(shù)的幾何意義是:；(2）導(dǎo)數(shù)的概念是：;(3)如何求函數(shù)f（x）在xx0處的切線方程？思考1直線的點斜式方程是什么？提示：yy0k(xx0)思考2如何求曲線f(x)在點(x0，f（x0）處的切線方程?名師指津：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求出函數(shù)yf(x）在點

13、(x0,f（x0）處的導(dǎo)數(shù)，即曲線在該點處的切線的斜率，再由直線方程的點斜式求出切線方程思考3曲線f（x）在點(x0，f（x0）處的切線與曲線過點(x0，y0）的切線有什么不同？名師指津：曲線f(x)在點（x0，f（x0)處的切線，點(x0,f（x0)一定是切點，只要求出kf(x0)，利用點斜式寫出切線方程即可；而曲線f（x)過某點(x0,y0)的切線，給出的點(x0，y0）不一定在曲線上，即使在曲線上也不一定是切點講一講1已知曲線yx2，(1）求曲線在點p（1，1)處的切線方程；（2)求曲線過點p(3，5）的切線方程嘗試解答(1)設(shè)切點為（x0,y0)，曲線在點p（1,1）處的切線方程為y1

14、2(x1),即y2x1。（2)點p（3，5)不在曲線yx2上,設(shè)切點為（x0，y0），由(1)知,yxx02x0，切線方程為yy02x0（xx0),由p(3，5）在所求直線上得5y02x0（3x0)，再由a(x0,y0)在曲線yx2上得y0x，聯(lián)立，得x01或x05。從而切點為（1,1)時,切線的斜率為k12x02,此時切線方程為y12（x1)，即y2x1,當(dāng)切點為(5，25)時，切線的斜率為k22x010，此時切線方程為y2510(x5)，即y10x25。綜上所述，過點p（3，5）且與曲線yx2相切的直線方程為y2x1或y10x25.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程的方法（1)若已知點(x0，y

15、0)在已知曲線上,求在點（x0，y0）處的切線方程，先求出函數(shù)yf(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)直線的點斜式方程，得切線方程yy0f（x0)（xx0)(2)若點(x0,y0）不在曲線上，求過點（x0，y0）的切線方程，首先應(yīng)設(shè)出切點坐標(biāo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出等式，求出切點坐標(biāo),進而求出切線方程練一練1已知曲線c：yx3.（1)求曲線c在x1處的切線方程；(2）求第（1）問中的切線與曲線c的公共點解:（1）3x23xx（x)2，又x1時，y1,切線方程為y13（x1），即3xy20.(2）由得x33x20，即x3x2x20，（x1)2(x2）0.解得x1或x2，切線與曲線c的公共點為（1

16、，1)和（2，8)思考如何處理切點問題?名師指津:切點問題的處理方法：（1）借斜率先求橫坐標(biāo)：由條件得到直線的傾斜角或斜率,由這些信息得知函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)，進而求出點的橫坐標(biāo)（2）與幾何知識相聯(lián)系：解決這些問題要注意和解析幾何的知識聯(lián)系起來,如直線的傾斜角和斜率的關(guān)系，兩直線平行或垂直與斜率的關(guān)系等講一講2若曲線yx33x21在點p處的切線平行于直線y9x1，求p點坐標(biāo)及切線方程嘗試解答設(shè)p點坐標(biāo)為(x0，y0)，(x）23x0x3x3x6x0。3x6x0,于是3x6x09，解得x03或x01，因此，點p的坐標(biāo)為(3,1)或(1，3）又切線斜率為9，所以曲線在點p處的切線方程為y9（x3)1或

17、y9(x1）3，即y9x26或y9x6.根據(jù)切線斜率求切點坐標(biāo)的步驟（1)設(shè)切點坐標(biāo)（x0，y0）；(2）求導(dǎo)函數(shù)f（x）;(3）求切線的斜率f（x0）；(4）由斜率間的關(guān)系列出關(guān)于x0的方程,解方程求x0；(5）點(x0，y0)在曲線f(x）上,將（x0,y0）代入求y0得切點坐標(biāo)練一練2已知曲線y2x2a在點p處的切線方程為8xy150，求切點p的坐標(biāo)及a的值解：設(shè)切點p（x0，y0），4x,得kyxx04x0。根據(jù)題意4x08,x02，代入8xy150得y01。故所求切點為p(2，1）,a2xy07.講一講3（1)若函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間a，b上是增函數(shù)，則函數(shù)yf(x）在區(qū)間a，

18、b上的圖象可能是下圖中的()(2）已知函數(shù)yf(x)，yg（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖，那么yf(x），yg（x)的圖象可能是(）嘗試解答（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知導(dǎo)函數(shù)遞增說明函數(shù)切線斜率隨x增大而變大，因此應(yīng)選a.（2）從導(dǎo)函數(shù)的圖象可知兩個函數(shù)在x0處斜率相同,可以排除b、c。再者導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值反映的是原函數(shù)的斜率大小，可明顯看出yf（x）的導(dǎo)函數(shù)的值在減小,所以原函數(shù)的斜率慢慢變小,排除a。答案（1)a(2）d導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象升降的關(guān)系若函數(shù)yf（x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)存在且f（x0)0(即切線的斜率大于零),則函數(shù)yf（x）在xx0附近的圖象是上升的；若f(x0）0（即切線的斜率小于零),則函

19、數(shù)yf(x)在xx0附近的圖象是下降的導(dǎo)數(shù)絕對值的大小反映了曲線上升和下降的快慢練一練3如圖,點a(2，1），b（3，0)，e(x，0）(x0），過點e作ob的垂線l.記aob在直線l左側(cè)部分的面積為s，則函數(shù)sf（x)的圖象為下圖中的（)解析：選d函數(shù)的定義域為（0，)，當(dāng)x0，2時，在單位長度變化量x內(nèi)面積變化量s越來越大，即斜率f（x)在0,2內(nèi)越來越大，因此，函數(shù)sf(x）的圖象是上升的，且圖象是下凸的；當(dāng)x(2,3)時，在單位長度變化量x內(nèi)面積變化量s越來越小，即斜率f（x）在(2，3）內(nèi)越來越小,因此，函數(shù)sf(x)的圖象是上升的，且圖象是上凸的;當(dāng)x3，）時，在單位長度變化量x內(nèi)

20、面積變化量s為0，即斜率f(x）在3，）內(nèi)為常數(shù)0，此時，函數(shù)圖象為平行于x軸的射線-課堂歸納感悟提升-1本節(jié)課的重點是求曲線在某一點的切線方程及導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，難點是求曲線的切線方程2本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法（1)求曲線的切線方程的方法，見講1;(2）已知曲線的切線求切點坐標(biāo)，見講2；(3）導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，見講3.3利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程,要注意已知點是否在曲線上，這是本節(jié)課的易錯點如果已知點在曲線上，則以該點為切點的曲線方程為yf（x0）f（x0）（xx0)；若已知點不在曲線上，則先設(shè)出切點(x0，f（x0),表示出切線方程,然后求出切點 。課時達標(biāo)訓(xùn)練（十四） 即時達標(biāo)對點練

21、題組1求曲線的切線方程1曲線yx311在點（1，12)處的切線與y軸交點的縱坐標(biāo)是（)a9 b3 c9 d15切線的方程為y123（x1）令x0得y1239.2求曲線y在點的切線方程所以曲線在點的切線斜率為kyx4.故所求切線方程為y24，即4xy40.題組2求切點坐標(biāo)3若曲線yx2axb在點(0，b）處的切線方程是xy10，則（)aa1,b1 ba1，b1ca1,b1 da1，b1解析：選a點（0，b)在直線xy10上,b1。過點（0,b)的切線的斜率為y|x0a1.4已知曲線y2x24x在點p處的切線斜率為16,則點p坐標(biāo)為_解析：設(shè)p（x0，2x4x0），又f(x0)16,4x0416，

22、x03，p(3，30)答案：(3,30）5已知拋物線y2x21分別滿足下列條件，請求出切點的坐標(biāo)（1)切線的傾斜角為45；（2)切線平行于直線4xy20;(3）切線垂直于直線x8y30.解：設(shè)切點坐標(biāo)為（x0，y0)，則y2（x0x)212x14x0x2（x)2，4x02x， (1)拋物線的切線的傾斜角為45，斜率為tan 451，即f（x0)4x01，得x0，切點坐標(biāo)為.（2）拋物線的切線平行于直線4xy20，k4,即f（x0）4x04，得x01，切點坐標(biāo)為(1，3)（3）拋物線的切線與直線x8y30垂直,k1,即k8.故f(x0）4x08，得x02.切點坐標(biāo)為（2，9)題組3導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用6下面說法正確的是（）a若f(x0)不存在,則曲線yf(x）點（x0，f（x0)）處沒有切線b若曲線yf(x)在點（x0,f(x0）處有切線，則f(x0)必存在c若f(x0）不存在，則曲線yf(x)在點（x0，f(x0）處的切線斜率不存在d若曲線yf（x）在點（x0，f(x0)處沒有切線,則f（x0）有可能存在解析:選c根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及切線的定義