2017-2018學年高中數(shù)學 第二章 平面向量 2.5 平面向量應(yīng)用舉例教學案

1、學必求其心得，業(yè)必貴于專精第1課時平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義 核心必知1預(yù)習教材，問題導入根據(jù)以下提綱，預(yù)習教材p103p105的內(nèi)容，回答下列問題觀察教材p103圖2.41和圖2.42,思考：（1)如何計算力f所做的功？提示：w|f|scos_.（2)力f在位移方向上的分力是多少？提示：|fcos_。（3)力做功的大小與哪些量有關(guān)？提示：與力f的大小、位移的大小及它們之間的夾角有關(guān)2歸納總結(jié)，核心必記（1）向量的數(shù)量積的定義已知條件向量a，b是非零向量,它們的夾角為定義數(shù)量|abcos_叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積）記法aba|b|cos_規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0（2）向量的數(shù)量

2、積的幾何意義投影的概念：()向量b在a的方向上的投影為|b|cos_()向量a在b的方向上的投影為|a|cos_數(shù)量積的幾何意義:數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影bcos_的乘積(3）向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a與b都是非零向量，為a與b的夾角abab0當a與b同向時，ab|a|b|，當a與b反向時,ab|a|baaa|2或|a.cos .ab|a|b|.(4)向量數(shù)量積的運算律abba(交換律)(a）b（ab）a（b）(結(jié)合律）（ab)cacbc（分配律)問題思考（1）向量的數(shù)量積與數(shù)乘向量的區(qū)別是什么？提示：平面向量的數(shù)量積是關(guān)于兩個向量間的運算,其運算結(jié)果是一個實數(shù)，這個實數(shù)的

3、符號由兩向量夾角的余弦值來確定向量的數(shù)乘是實數(shù)與向量間的運算，其結(jié)果是一個向量，這個向量與原向量是共線向量（2）數(shù)量積ab與實數(shù)乘法ab的區(qū)別是什么？提示：在實數(shù)中，若a0，且ab0,則b0，但在數(shù)量積中，若a0且ab0，不一定能推出b0，這是因為|b|cos_有可能為0，即ab.在實數(shù)中ab|ab，但在向量中|abab|（3)ab與ab0等價嗎?提示：當a與b為非零向量時,兩者等價；當其中一個為零向量時，兩者不等價(4)ab0，則a，b是鈍角嗎？提示：aba|b|cosa，b0，cosa，b0，是鈍角或180。(5)ab中的“能省略不寫嗎？提示：不能省略，也不能換成其它符號,a與b的數(shù)量積又

4、稱a與b的點乘（6）對于向量a，b，c，等式(ab）ca(bc）一定成立嗎？提示：不一定成立,若（ab)c0，其方向與c相同或相反，而a(bc）0時其方向與a相同或相反，而a與c方向不一定相同，故該等式不一定成立課前反思(1）向量數(shù)量積的定義：；（2）向量數(shù)量積的幾何意義：;(3）向量數(shù)量積的性質(zhì)：；(4)向量數(shù)量積的運算律：。思考1要求ab，需要知道哪些量?名師指津：要求ab,需要知道a|、b、cos_思考2你認為，求平面向量數(shù)量積的步驟是什么？名師指津：求平面向量數(shù)量積的步驟為：(1)求a與b的夾角 ，0，；(2）求|a|和|b|；（3)代入公式求ab的值講一講1（1）已知向量a與b的夾角

5、為120，且|a4，|b2，求:ab；（ab)(a2b)（2）設(shè)正三角形abc的邊長為，求abbcca。嘗試解答(1）由已知得ab|abcos 42cos 1204。（ab)（a2b)a2ab2b216(4）2412.(2）a|b|c,且a與b、b與c、c與a的夾角均為120,abbccacos 12033.向量數(shù)量積的求法(1）求兩個向量的數(shù)量積,首先確定兩個向量的模及向量的夾角，其中準確求出兩個向量的夾角是求數(shù)量積的關(guān)鍵（2)根據(jù)數(shù)量積的運算律,向量的加、減與數(shù)量積的混合運算類似于多項式的乘法運算練一練1已知正方形abcd的邊長為2，分別求:思考如何求向量的模|a|?提示：|a|講一講2(

6、1)已知向量a，b滿足ab0，|a1，|b1，則a3b|_（2）已知向量a與b夾角為45，且a1,2ab|，則b|_嘗試解答(1）因為ab0,|a|1，|b1，所以a3b|.(2）因為|2ab|,所以（2ab)210，所以4a24abb210，又因為向量a與b的夾角為45且|a1，所以41241|b|b210，整理得b|22b|60，解得|b|或|b|3（舍去)答案：(1）（2)向量模的常見求法在求向量的模時,直接運用公式|a,但計算兩向量的和與差的長度用ab。練一練2（1)已知非零向量a2b2c，b|c|1，若a與b的夾角為，則a_；（2）已知向量a、b滿足|a|2，b3，|ab4,則|ab

7、|_解析：（1）由于cab,所以c2a|2|b|22|a|b|，整理得a|22a|0，所以a2或|a|0（舍去)(2)由已知,ab4，ab|242,a22abb216。(）a|2,b3，a2a24，b2b|29，代入（）式得42ab916,即2ab3。又ab2(ab）2a22abb243910，|ab答案：（1)2（2）思考1如何求a與b的夾角?名師指津:利用cos_求出cos_的值，然后借助0,求.思考2兩非零向量a與b垂直的充要條件是什么？名師指津：兩非零向量a與b垂直的充要條件是ab0.講一講3(1)已知向量a，b滿足(a2b)（ab)6，且a1，|b2，則a與b的夾角為_(2)已知非零

8、向量a，b滿足a3b與7a5b互相垂直，a4b與7a2b互相垂直,求a與b的夾角嘗試解答（1)設(shè)a與b的夾角為，依題意有：(a2b）(ab）a2ab2b272cos 6，所以cos ,因為0，故.（2)由已知條件得即得23b246ab0,2abb2，代入得a2b2，a|b,cos 。0,，。答案：（1)求向量a,b的夾角的思路(1)求向量的夾角的關(guān)鍵是計算ab及a|b,在此基礎(chǔ)上結(jié)合數(shù)量積的定義或性質(zhì)計算cos ，最后借助0，求出值(2)在個別含有a，b與ab的等量關(guān)系式中，常利用消元思想計算cos 的值練一練3已知a|3，b|2，向量a，b的夾角為60，c3a5b，dma3b,求當m為何值時

9、，c與d垂直？解：由已知得ab32cos 603。由cd，得cd0，即cd(3a5b)(ma3b)3ma2（5m9）ab15b227m3（5m9）6042m870,m,即m時，c與d垂直-課堂歸納感悟提升-1本節(jié)課的重點是向量數(shù)量積的定義、幾何意義以及向量數(shù)量積的性質(zhì)、運算律，難點是向量數(shù)量積的幾何意義2要掌握與數(shù)量積相關(guān)的三個問題（1)數(shù)量積的計算，見講1；(2)向量的模的計算，見講2；（3）向量的夾角及垂直問題,見講3。3要注意區(qū)分向量數(shù)量積與實數(shù)運算的區(qū)別（1）在實數(shù)運算中，若ab0，則a與b中至少有一個為0。而在向量數(shù)量積的運算中，不能從ab0推出a0或b0。實際上由ab0可推出以下四

10、種結(jié)論：a0，b0；a0，b0；a0，b0;a0，b0，但ab.（2)在實數(shù)運算中，若a，br，則ab|a|b,但對于向量a，b，卻有|ab|a|b|，當且僅當ab時等號成立這是因為ab|ab|cos ，而cos |1.（3)實數(shù)運算滿足消去律：若bcca，c0，則有ba.在向量數(shù)量積的運算中，若abac(a0)，則向量c,b在向量a方向上的投影相同，因此由abac（a0）不能得到bc.(4）實數(shù)運算滿足乘法結(jié)合律，但向量數(shù)量積的運算不滿足乘法結(jié)合律,即(ab)c不一定等于a（bc),這是由于(ab)c表示一個與c共線的向量，而a（bc)表示一個與a共線的向量,而c與a不一定共線課下能力提升（

11、十九）學業(yè)水平達標練題組1向量數(shù)量積的運算1下列命題:（1)若a0，abac，則bc；(2）（ab)ca(bc)對任意向量a，b，c都成立；（3）對任一向量a,有a2a2.其中正確的有（)a0個 b1個 c2個 d3個解析：選b(1）(2）不正確，(3）正確2已知b|3，a在b方向上的投影是,則ab為()a。 b3 c2 d.解析：選a|acosa，b,|b3，aba|bcosa，b3。a。 b. c d題組2向量的模5若非零向量a與b的夾角為，b4,（a2b）（ab)32，則向量a的模為()a2 b4 c6 d12解析：選a由已知得，a2ab2b232，|a|2a4cos24232。解得|a

12、|2或|a0(舍）6已知向量a，b的夾角為120,|a1，|b3，則5ab_解析：5ab| 7。答案:77已知非零向量a，b，滿足ab,且a2b與a2b的夾角為120，則_解析:(a2b)(a2b）a24b2，ab，a2b，|a2b|。故cos 120,得，即.答案：題組3兩向量的夾角與垂直問題8若非零向量a，b滿足|a|b,（2ab)b0，則a與b的夾角為()a30 b60 c120 d150解析：選c因為(2ab)b2abbb0，所以abb|2。設(shè)a與b的夾角為，則cos ，故120.9已知|a|b|1，a與b的夾角是90,c2a3b，dka4b,c與d垂直，則k的值為（)a6 b6 c3

13、 d3解析：選b由cd得cd0,即(2a3b）(ka4b)0,即2k|a2（3k8）ab12b20，所以2k(3k8)11cos 90120，即k6.故選b。10設(shè)向量a，b滿足|a1，b1，且|kab|akb|(k0）若a與b的夾角為60，則k_解析:kab|akb|，k2a2b22kab3(a2k2b22kab)k21k3(1k2k）即k22k10,k1.答案：111已知a1，ab，（ab)(ab)。（1)求b|的值；(2）求向量ab與ab夾角的余弦值解:（1)（ab)（ab)a2b2.a|1，1b|2,|b|.（2）ab2a22abb2122,ab2a22abb2121，|ab|,ab|

14、1.令ab與ab的夾角為,則cos ，即向量ab與ab夾角的余弦值是.能力提升綜合練1已知|a|3，b|5，且a與b的夾角45，則向量a在向量b上的投影為（）a. b3 c4 d5解析：選a由已知|a|3，|b|5，cos cos 45,而向量a在向量b上的投影為|acos 3.2設(shè)向量a，b滿足ab|，ab|，則ab（）a1 b2 c3 d5解析：選aab|，(ab）210,即a2b22ab10。|ab，（ab)26，即a2b22ab6.由可得ab1，故選a.a2 b. c. d.解析：畫出圖形知abc為直角三角形，且abc90，0455325.答案：255已知平面向量，|1，|2,（2），

15、則|2|的值是_解析：|1,|2，由(2),知（2）0，21,所以2|2424242410，故2。答案：6已知a，b是兩個非零向量,同時滿足|a|bab|，求a與ab的夾角解：根據(jù)|a|b，有|a2|b2，又由bab，得b2|a22ab|b|2，aba|2。而|ab2|a|22abb23a2，ab|a|.設(shè)a與ab的夾角為。則cos 。30。7已知a，b是非零向量，t為實數(shù)，設(shè)uatb.（1）當|u取最小值時，求實數(shù)t的值；（2）當u|取最小值時,向量b與u是否垂直?解：(1）|u2atb2(atb)（atb)b|2t22(ab)t|a|2|b2a2.b是非零向量，|b|0，當t時,|u|at

16、b的值最?。?）b（atb）abtb2ababab0，b(atb),即bu。第2課時平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角核心必知1預(yù)習教材，問題導入根據(jù)以下提綱，預(yù)習教材p106p107的內(nèi)容，回答下列問題已知兩個向量a（x1，y1)，b（x2,y2)(1）若i，j是兩個互相垂直且分別與x軸、y軸的正半軸同向的單位向量，則a，b如何用i，j表示？提示：ax1iy1j，bx2iy2j.(2)|a|，|b|分別用坐標怎樣表示?提示：|a|；|b.（3)能用a，b的坐標表示ab嗎？提示：ab(x1iy1j)（x2iy2j）x1x2i2（x1y2x2y1）ijy1y2j2x1x2y1y2。2歸納總結(jié)，核

17、心必記(1)平面向量數(shù)量積的坐標表示若a(x1，y1)，b（x2，y2)，則abx1x2y1y2，即兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標的乘積的和(2)兩個向量垂直的坐標表示設(shè)兩個非零向量a（x1,y1)，b（x2，y2),則abx1x2y1y20（3)三個重要公式向量模的公式：設(shè)a(x1,y1),則a.兩點間的距離公式：若a（x1，y1)，b(x2，y2），則|ab向量的夾角公式：設(shè)兩非零向量a（x1，y1），b(x2,y2)，a與b的夾角為，則cos 。問題思考(1)已知向量a（x,y），你知道與a共線的單位向量的坐標是什么嗎？與a垂直的單位向量的坐標又是什么?提示：設(shè)與a共線的單位向量為a0

18、，則a0a,其中正號，負號分別表示與a同向和反向易知b（y，x）和a(x，y）垂直，與a垂直的單位向量b0的坐標為，其中正，負號表示不同的方向(2）你能用向量法推導兩點間距離公式ab|嗎?課前反思(1)平面向量數(shù)量積的坐標表示:；(2)兩個向量垂直的坐標表示：；（3）向量模的公式:;（4）向量的夾角公式：講一講1(1）在平面直角坐標系xoy中,已知(1，t),（2，2），若abo90，則實數(shù)t的值為_(2)已知向量a(1,3),b（2，5），c(2，1)，求：2a（ba）;（a2b)c. (2)法一：2a2(1，3）(2，6），ba（2，5)(1,3)（1，2)，2a（ba）（2，6）(1,2

19、）216214。a2b(1,3）2(2，5）（1，3)（4，10)（5，13），（a2b)c（5，13)（2，1)5213123。法二：2a(ba）2ab2a22（1235）2(19）14.(a2b)cac2bc12312（2251)23。答案：（1)5數(shù)量積運算的途徑及注意點(1)進行向量的數(shù)量積運算，前提是牢記有關(guān)的運算法則和運算性質(zhì)解題時通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標表示，直接進行數(shù)量積運算;二是先利用數(shù)量積的運算律將原式展開,再依據(jù)已知計算(2）對于以圖形為背景的向量數(shù)量積運算的題目，只需把握圖形的特征，并寫出相應(yīng)點的坐標即可求解練一練1已知向量a與b同向，b(1,2)，ab10

20、。(1)求向量a的坐標；（2)若c（2，1），求(bc）a。解：（1)因為a與b同向，又b（1，2），所以ab(，2）又ab10,所以12210,解得20。因為2符合a與b同向的條件，所以a(2，4)(2）因為bc122（1）0,所以（bc)a0a0.思考向量的模與兩點間的距離有什么關(guān)系?名師指津：向量的模即為向量的長度，其大小應(yīng)為平面直角坐標系中兩點間的距離,如a（x，y），則在平面直角坐標系中，一定存在點a（x，y），使得a（x,y)，|a|，即a|為點a到原點的距離同樣若a（x1，y1)，b(x2，y2)，則(x2x1,y2y1），|,即平面直角坐標系中任意兩點間的距離公式由此可知向量的

21、模的運算實質(zhì)即為平面直角坐標系中兩點間的距離的運算講一講2(1)若向量a（2x1，3x），b（1x，2x1)，則ab|的最小值為_（2)若向量a的始點為a(2，4),終點為b(2,1）,求：向量a的模;與a平行的單位向量的坐標；與a垂直的單位向量的坐標嘗試解答(1)a(2x1,3x），b（1x，2x1),ab(2x1，3x)(1x,2x1）（3x2，43x），ab.當x1時，|ab|取最小值為。(2）aab（2，1)（2，4)(4，3），a|5。與a平行的單位向量是（4,3)，即坐標為或。設(shè)與a垂直的單位向量為e(m，n)，則ae4m3n0，。又e|1,m2n21。解得或e或。答案：（1)求向

22、量的模的兩種基本策略(1）字母表示下的運算：利用a2a2，將向量模的運算轉(zhuǎn)化為向量與向量的數(shù)量積的問題（2)坐標表示下的運算:若a(x，y)，則aaa2|a2x2y2,于是有|a|.練一練2已知向量a(，1）和b(1，)，若acbc，試求模為的向量c的坐標解：法一:設(shè)c（x，y)，則ac(，1）(x,y)xy,bc(1,)(x，y）xy,由acbc及|c|，得解得或所以c或c.法二：由于ab1（1)0，且|a|b2，從而以a，b為鄰邊的平行四邊形是正方形，且由于acbc,所以c與a,b的夾角相等，從而c與正方形的對角線共線此外，由于c，即其長度為正方形對角線長度（|b|2）的一半，故c(ab）

23、或c（ab）.思考當a與b是非坐標形式時,如何求a與b的夾角?如果a與b是坐標形式時，又如何求a與b的夾角？名師指津：（1)當a,b是非坐標形式時，求a與b的夾角，需求出ab，a和|b|或直接得出它們之間的關(guān)系(2）若a，b是坐標形式，則可直接利用公式cos 求解講一講3已知平面向量a（3，4),b（9，x），c(4,y），且ab，ac。(1）求b與c；(2)若m2ab，nac，求向量m，n的夾角的大小嘗試解答（1）ab，3x49，x12。ac，344y0，y3，b(9，12），c(4，3）（2)m2ab(6，8）（9，12)（3，4)，nac(3，4）(4，3)（7,1)設(shè)m、n的夾角為，則

24、cos .0,，即m、n的夾角為。解決向量夾角問題的方法及注意事項(1)先利用平面向量的坐標表示求出這兩個向量的數(shù)量積ab以及a|b，再由cos 求出cos ，也可由坐標表示cos 直接求出cos 。由三角函數(shù)值cos 求角時,應(yīng)注意角的取值范圍是0.(2)由于0,所以利用cos 來判斷角時，要注意cos 0有兩種情況：一是是鈍角,二是；cos 0也有兩種情況：一是為銳角，二是0。練一練3已知a(1,2),b(1，），求滿足下列條件的實數(shù)的取值范圍（1)a與b的夾角為90。(2)a與b的夾角為銳角解：（1)設(shè)a與b的夾角為.a|，b，ab(1，2）(1，）12.因為ab，所以ab0,所以120

25、,所以。(2)因為a與b的夾角為銳角，所以cos 0，且cos 1,所以ab0且a與b不同向因此120，所以.又a與b共線且同向時,2。所以a與b的夾角為銳角時，的取值范圍為（2，)-課堂歸納感悟提升-1本節(jié)課的重點是向量的坐標表示以及用向量的坐標解決模、夾角、垂直等問題2要掌握平面向量數(shù)量積的坐標運算及應(yīng)用(1)求平面向量的數(shù)量積,見講1；(2）解決向量模的問題，見講2；(3)解決向量的夾角與垂直問題，見講3.3本節(jié)課的易錯點解決兩向量的夾角問題時，易忽視夾角為0或的特殊情況，如練3。課下能力提升（二十)學業(yè)水平達標練題組1平面向量數(shù)量積的坐標運算1已知向量a（1，1）,b（2，x)若ab1

26、,則x（）a1 b c. d1解析:選dab（1，1）（2，x）2x1x1.2已知向量a(0，2），b(1，)，則向量a在b方向上的投影為()a. b3 c d3解析：選d向量a在b方向上的投影為3。選d.3已知向量a（,1）,b是不平行于x軸的單位向量,且ab，則b（）a. b。c。 d(1，0）解析:選b法一:設(shè)b（x，y)，其中y0，則abxy.由，解得即b.故選b.法二：利用排除法d中，y0，d不符合題意;c中，向量不是單位向量，c不符合題意；a中,向量使得ab2，a不符合題意故選b。題組2向量模的問題4已知平面向量a（2，4),b（1,2)，若ca（ab）b，則c等于()a4 b2

27、c8 d8解析:選d易得ab2(1)426，所以c(2，4)6(1，2)（8，8)，所以|c|8。5設(shè)平面向量a（1，2），b(2，y），若ab,則|3ab|等于_解析：ab，則2（2)1y0，解得y4,從而3ab（1，2），3ab|。答案：6已知在直角梯形abcd中，adbc，adc90，ad2，bc1，p是腰dc上的動點，則|的最小值為_解析：建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)dch,則a(2，0),b（1，h)設(shè)p(0，y）(0yh），則(2,y）,(1,hy）,|5.故的最小值為5.答案：5題組3向量的夾角與垂直問題7設(shè)向量a（1,0)，b,則下列結(jié)論中正確的是(）a|a|b| babcab與b垂直 dab解析：選c由題意知a1，b，ab10，(ab)bab|b20，故ab與b垂直8已知向量a（1，2)，b（2，3），若向量c滿足(ca）b，c（ab)，則c等于（)a. b.c。 d.解析:選d設(shè)c（m，n)，則ac(1m，2n)，ab（3，1），由（ca)b,得3（1m）2(2n）,又c（ab),得3mn0，故m,n.9以原點o和點a（5，2)為頂點作等腰直角三角形oab，使b90，求點b和向量的坐標解：設(shè)點b坐標為（x，y），則（x,y)，（x5,y2），x(x5）y（y2)0，