2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式章末小結(jié)與測(cè)評(píng)創(chuàng)新應(yīng)用教學(xué)案 -5

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式不完全歸納的作用在于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，探求結(jié)論，但結(jié)論是否為真有待證明，因而數(shù)學(xué)中我們常用歸納-猜想證明的方法來(lái)解決與正整數(shù)有關(guān)的歸納型和存在型問(wèn)題設(shè)數(shù)列an滿足an1anan1,n1，2，3，（1）當(dāng)a12時(shí)，求a2，a3，a4，并由此猜想出數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式（2）當(dāng)a13時(shí)，證明對(duì)所有的n1，有ann2；。解(1)由a12，得a2aa113；由a23,得a3a2a214；由a34，得a4a3a315.由此猜想:ann1(nn）（2)用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n1時(shí)，a1312，不等式成立；假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，不等式成立，即akk2，那么當(dāng)nk1時(shí)，a

2、k1akak1ak(akk）1(k2)（k2k)12(k2）1k3(k1）2，也就是說(shuō)，當(dāng)nk1時(shí)，ak1（k1）2。綜上可得，對(duì)于所有n1，有ann2。由an1an（ann）1及，對(duì)k2，有akak1(ak1k1)1ak1(k12k1)12ak112（2ak21)122ak22123ak32221ak2k1a12k2212k1a12k112k1(a11)1,于是1ak2k1（a11），k2。因此，原不等式成立。在使用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，一般說(shuō)來(lái)，第一步驗(yàn)證比較簡(jiǎn)明，而第二步歸納步驟情況較復(fù)雜因此，熟悉歸納步驟的證明方法是十分重要的，其實(shí)歸納步驟可以看作是一個(gè)獨(dú)立的證明問(wèn)題,歸納假設(shè)“p（k)成

3、立是問(wèn)題的條件，而“命題p(k1)成立就是所要證明的結(jié)論,因此，合理運(yùn)用歸納假設(shè)這一條件就成了歸納步驟中的關(guān)鍵，下面簡(jiǎn)要分析一些常用技巧1分析綜合法用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于正整數(shù)n的不等式，從“p（k）”到“p(k1），常?？捎梅治鼍C合法求證：,nn.證明（1）當(dāng)n1時(shí)，因?yàn)?，所以原不等式成立（2）假設(shè)nk（k1,kn)時(shí)，原不等式成立，即有，當(dāng)nk1時(shí)，。因此，欲證明當(dāng)nk1時(shí)，原不等式成立,只需證明。從而轉(zhuǎn)化為證明，也就是證明,即(）2()2k2k12120,從而.于是當(dāng)nk1時(shí)，原不等式也成立由(1）、（2）可知，對(duì)于任意的正整數(shù)n，原不等式都成立2放縮法涉及關(guān)于正整數(shù)n的不等式，從“k”

4、過(guò)渡到“k1”，有時(shí)也考慮用放縮法求證:1(nn）證明（1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1,右邊.左邊右邊，不等式成立（2)假設(shè)nk（k1，kn）時(shí)不等式成立，即1.當(dāng)nk1時(shí)，1,sdo4(2k1項(xiàng))）2k1。nk1時(shí),不等式成立由(1)、(2）可知,1（nn）3遞推法用數(shù)學(xué)歸納法證明與數(shù)列有關(guān)的問(wèn)題時(shí),有時(shí)要利用an與an1的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)從“k”到“k1”的過(guò)渡設(shè)0a1，定義a11a，an1a，求證：對(duì)一切nn,有11，又a11a，顯然命題成立(2）假設(shè)nk（k1,kn）時(shí)，命題成立，即1ak（1a）a1，同時(shí),ak1a1a，當(dāng)nk1時(shí)，命題也成立即1ak12。所以xn(nn）顯然成立下面證明:xn(nn

5、）（1）當(dāng)n1時(shí),x121，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kn)時(shí)，不等式成立，即xk.因?yàn)?、不是同向不等式，所以由遞推式無(wú)法完成由k到（k1)的證明，到此好像“山重水復(fù)疑無(wú)路”，證題思路受到阻礙受阻原因分析:要利用遞推式xk1，只有找出關(guān)系式a，才有可能推導(dǎo)下去因此，只有尋覓出xk這樣一個(gè)條件，才可以接通思路當(dāng)注意到前面已證明xn以后，問(wèn)題就可以解決了思路受阻的原因就在于不會(huì)借用前面已經(jīng)證明的結(jié)論事實(shí)上，xk,。xk1。即xk1.一、選擇題1用數(shù)學(xué)歸納法證明3nn3(n3，nn)，第一步應(yīng)驗(yàn)證(）an1 bn2cn3 dn4答案:c2設(shè)f（n）(nn)，則f(n1)f（n)（)a。 b.

6、c. d.解析：選d由題意知f(n），f(n1)，故f(n1)f（n).3用數(shù)學(xué)歸納法證明11n（nn)成立,當(dāng)n1時(shí)，應(yīng)驗(yàn)證（）a。1 b。1c.1 d。1，再用數(shù)學(xué)歸納法證明答案：26若f(n）122232（2n）2,則f(k1）與f（k)的遞推關(guān)系式是f(k1）_解析：f(k)1222（2k)2，f(k1)1222（2k）2(2k1）2(2k2）2，f(k1)f(k）（2k1）2（2k2）2。答案:f(k)（2k1)2(2k2）27用數(shù)學(xué)歸納法證明：cos cos 3cos 5cos （2n1）(sin 0，nn),在驗(yàn)證n1時(shí),等式右邊的式子是_解析：本題在n1時(shí)，右邊考查二倍角的正弦

7、公式，右邊cos 。答案：cos 8設(shè)an是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(n1)anaan1an0(n1,2，3，)，則它的通項(xiàng)an_解析：法一：分別令n1,2，3求出a2，a3，通過(guò)不完全歸納法知an.法二：對(duì)已知等式因式分解得（n1)an1nan（an1an)0.由an0知,再由累乘法求得an。答案:三、解答題9在數(shù)列an中，a1a21，當(dāng)nn時(shí)，滿足an2an1an，且設(shè)bna4n，求證：bn各項(xiàng)均為3的倍數(shù)證明：（1)a1a21，故a3a1a22，a4a3a23.b1a43,當(dāng)n1時(shí),b1能被3整除(2)假設(shè)nk時(shí),命題成立，即bka4k是3的倍數(shù),則nk1時(shí)，bk1a4(k1）a4k4a4

8、k3a4k2a4k2a4k1a4k1a4ka4ka4k1a4k1a4k1a4k3a4k12a4k.由歸納假設(shè)，a4k是3的倍數(shù),3a4k1是3的倍數(shù)，故可知bk1是3的倍數(shù),nk1時(shí)命題也正確綜合（1）、（2）可知，對(duì)正整數(shù)n，數(shù)列bn的各項(xiàng)都是3的倍數(shù)10用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)nn時(shí)成立證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，不等式成立（2）假設(shè)nk時(shí)不等式成立即.則nk1時(shí)，。即nk1時(shí)不等式成立由（1)、（2）知不等式對(duì)任意nn都成立11已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，且滿足a1，an2snsn10（n2）（1）判斷是否為等差數(shù)列?并證明你的結(jié)論；(2)求sn和an；（3）求證：sss.解:（1）s1a1,2

9、。當(dāng)n2時(shí)，ansnsn1，即snsn12snsn1.2,故是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列(2)由(1）得2(n1）22n，sn（nn)，當(dāng)n2時(shí)，an2snsn1。當(dāng)n1時(shí)，a1an(3)證明:當(dāng)n1時(shí),s，成立假設(shè)nk（k1，且kn）時(shí)，不等式成立，即sss成立，則當(dāng)nk1時(shí),ssss成立時(shí)，當(dāng)n2時(shí)驗(yàn)證的不等式是(）a1 b.c。 d以上都不對(duì)解析：選a當(dāng)n2時(shí)，左邊11，右邊,1.5已知n為正偶數(shù),用數(shù)學(xué)歸納法證明12時(shí)，若已假設(shè)nk（k2，k為偶數(shù))時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證（）ank1時(shí)等式成立 bnk2時(shí)等式成立cn2k2時(shí)等式成立 dn2(k2）時(shí)等式成立解析：選bk

10、為偶數(shù)，假設(shè)nk時(shí),命題為真,還需再證nk2時(shí)等式成立，故選b。6已知f（x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f（x)滿足：“當(dāng)f(k）k2成立時(shí)，總可推出f(k1)(k1)2成立”，那么，下列命題總成立的是（)a若f（3）9成立，則當(dāng)k1時(shí)，均有f（k)k2成立b若f（4)16成立，則當(dāng)k4時(shí)，均有f(k)k2成立c若f（7)49成立,則當(dāng)k7時(shí)，均有f(k）1642成立當(dāng)k4時(shí)，有f(k）k2成立7用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)于任意x0和正整數(shù)n，都有xnxn2xn4n1”時(shí)，需驗(yàn)證的使命題成立的最小正整數(shù)值n0應(yīng)為（)an01 bn02cn01，2 d以上答案均不正確解析：選an01時(shí),x11成立，

11、再用數(shù)學(xué)歸納法證明8記凸k邊形的內(nèi)角和為f（k），則凸k1邊形的內(nèi)角和f（k1）與f(k）的關(guān)系是（）af(k1）f(k)bf(k1)f(k)cf(k1）f(k)df(k1）f(k)2解析：選b凸多邊形每增加一條邊，內(nèi)角和增加.9下列代數(shù)式,nn，可能被13整除的是（)an35n b34n152n1c62n11 d42n13n2解析：選da中，n1時(shí),156，不能被13整除；b中，n1時(shí)，3553368不能被13整除；c中，n1時(shí),617亦不能被13整除10用數(shù)學(xué)歸納法證恒等式，由nk到nk1時(shí)，等式左邊增加的式子為(）a。b.c.d。解析：選d觀察等式左邊可知nk1時(shí)，應(yīng)再加上.二、填空題(

12、本大題共有4小題，每小題5分，共20分）11證明1(nn）,假設(shè)nk時(shí)成立，當(dāng)nk1時(shí)，左邊增加的項(xiàng)數(shù)是_解析：令f(n)1，則f（k）1，f(k1）1，所以f（k1）f（k），分母首項(xiàng)為2ka1，分母末項(xiàng)an2k11,公差d1,n12k.答案：2k12設(shè)數(shù)列an滿足a12，an12an2，用數(shù)學(xué)歸納法證明an42n12的第二步中,設(shè)nk時(shí)結(jié)論成立，即ak42k12，那么當(dāng)nk1時(shí),_解析:ak12ak22（42k12）242k242（k1）12答案：ak142（k1）1213從11,14(12)，149123，14916（1234)，歸納出：14916（1）n1n2_解析：等式的左邊符號(hào)正負(fù)

13、間隔出現(xiàn)，先正后負(fù)，所以最后一項(xiàng)系數(shù)應(yīng)為(1)n1,和的絕對(duì)值是前n個(gè)自然數(shù)的和，為.答案：（1）n114數(shù)列an中，a11，且sn、sn1、2s1成等差數(shù)列，則s2、s3、s4分別為_(kāi)，猜想sn_解析：2sn12s1sn，且s1a11.s2，s3，s4，猜想sn。答案:，,三、解答題(本大題共有4小題,共50分）15（本小題滿分12分)用數(shù)學(xué)歸納法證明：123252(2n1)2n(4n21）證明：（1）當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊1，命題成立（2）假設(shè)當(dāng)nk時(shí)（k1，kn），命題成立，即123252（2k1)2k(4k21),那么當(dāng)nk1時(shí),123252（2k1)22(k1）12k(4k21)(2

14、k1）2k(2k1）(2k1)（2k1）2（2k1)(2k3）（k1）(k1）4(k1)21當(dāng)nk1時(shí),命題也成立由(1）（2）得:對(duì)于任意nn，等式都成立16(本小題滿分12分)求證：，（n2，nn)證明:（1)當(dāng)n2時(shí)，左邊，不等式成立（2)假設(shè)當(dāng)nk（k2，kn）時(shí)，命題成立，即，則當(dāng)nk1時(shí)，.所以當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立由（1)(2）可知，原不等式對(duì)一切n2，nn均成立17(本小題滿分12分）利用數(shù)學(xué)歸納法證明(3n1)7n1（nn）能被9整除證明：(1）當(dāng)n1時(shí)，（311)71127，能被9整除，所以命題成立（2）假設(shè)當(dāng)nk（k1，kn)時(shí)，命題成立，即（3k1)7k1能被9整除那

15、么當(dāng)nk1時(shí),3(k1）17k11(3k4）7k11(3k1）7k1137k1（3k1）7k137k16（3k1）7k（3k1)7k17k(2163k6）(3k1)7k197k(2k3）由歸納假設(shè)知,（3k1)7k1能被9整除，而97k（2k3）也能被9整除，故3（k1）17k11能被9整除這就是說(shuō)，當(dāng)nk1時(shí),命題也成立由（1）(2）知，對(duì)一切nn，（3n1）7n1都能被9整除18（本小題滿分14分)an是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列,滿足a10，a23,an1an(an12）(an22）,n3，4，5，。（1）求a3;(2)證明:anan22(n3，且nn）解：(1）由已知a4a3(a22）（a1

16、2）52101,a3可能取值1，2，5，10。若a31，a410，從而a5,顯然a5不是非負(fù)整數(shù)，與題設(shè)矛盾若a310，則a41，從而a560.但再計(jì)算a6，也與題設(shè)矛盾a32，a45。(因a35，a42a5n，舍去）（2)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n3時(shí)，a32，a1202,a3a12，即n3時(shí)等式成立;假設(shè)nk（k3）時(shí)，等式成立，即akak22，由題設(shè)ak1ak(ak12）（ak22），因?yàn)閍kak220。所以ak1ak12,也就是說(shuō),當(dāng)nk1時(shí)，等式ak1ak12成立則根據(jù)知，對(duì)于n3（nn),有anan22.模塊綜合檢測(cè)(時(shí)間：90分鐘滿分：120分）一、選擇題（本大題共10小題,每小題5

17、分，共50分）1已知a，b為非零實(shí)數(shù)，且ab，則下列命題成立的是（)aa2b2bab2a2bc. d.解析：選ca項(xiàng)中a2b2(ab）(ab)，由ab知ab0.但ab的符號(hào)不確定，故a項(xiàng)錯(cuò)誤b項(xiàng)中，ab2a2bab(ba）,由ab知ba0,但ab的符號(hào)不確定，故b項(xiàng)錯(cuò)誤c項(xiàng)中，由ab知ab0，又已知a，b為非零實(shí)數(shù)，0，即。d項(xiàng)中，,由于的符號(hào)不確定，故d項(xiàng)錯(cuò)誤2設(shè)a，br,下面的不等式成立的是（）aa23abb2 babababc。 da2b22（ab1)解析:選d法一：取a0，b1驗(yàn)證排除a、b，再取a4，b3時(shí)，可排除c，故選d.法二：a2b22(ab1)a22a1b22b1（a1)2（

18、b1)20。3已知函數(shù)f(x)、g（x)，設(shè)不等式f（x）|g（x)|a（a0)的解集是m，不等式f(x)g(x)|0)的解集為n,則集合m與n的關(guān)系是（）anm bmn cmn dmn解析：選c由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)知f（x）g（x)|f（x）|g(x）,集合n與集合m成mn關(guān)系4若x，y，z是正數(shù)，且滿足xyz（xyz)1，則（xy)(yz)的最小值是(）a1 b2 c3 d4解析:選b(xy)(yz）xyxzy2yzy（xyz)xz22。5不等式|x1x2|5的解集為(）a（，22，)b(,12,）c（，23，）d（，32，）解析：選d由題意不等式x1x25的幾何意義為數(shù)軸上到1，2兩個(gè)點(diǎn)

19、的距離之和大于等于5的點(diǎn)組成的集合，而2,1兩個(gè)端點(diǎn)之間的距離為3，由于分布在2，1以外的點(diǎn)到2,1的距離要計(jì)算兩次,而在2，1內(nèi)部的距離則只計(jì)算一次，因此只要找出2左邊到2的距離等于1的點(diǎn)3，以及1右邊到1的距離等于1的點(diǎn)2，這樣就得到原不等式的解集為(，32，)6若logxy2，則xy的最小值是(）a.b。c.d.解析：選alogxy2，y，xyx3.故應(yīng)選a。7不等式|x1|x25的解集為（)a（,1 b1，）c(，14,) d(,41，）解析：選c原不等式可化為或或解不等式組得x1，不等式組無(wú)解，解不等式組得x4。因此,原不等式的解集為(，14，）8當(dāng)x1時(shí)，不等式ax恒成立，則實(shí)數(shù)a

20、的取值范圍是(）a（，2）b2，)c3，)d（，3解析：選dax，由xx113，即x的最小值為3。9若實(shí)數(shù)x、y滿足1，則x22y2有（）a最大值32 b最小值32c最大值6 d最小值6解析:選b由題知，x22y2（x22y2)332，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故選b。10對(duì)任意實(shí)數(shù)x,若不等式x1|x2k恒成立,則k的取值范圍是（)ak3 bk3ck3 dk3解析：選b法一：(1）或(2）或（3)由（1)得k3。由（2）得1x2時(shí)，k2x1.而2x1（3，3)，k3。由（3)得k3.依題意，要對(duì)任意x都使該不等式成立，k3時(shí)，（1）(2)（3)都可以滿足故選b.法二：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義：x1可

21、看作點(diǎn)x到點(diǎn)1的距離,|x2|可看作點(diǎn)x到點(diǎn)2的距離，因此x1|x2|即為數(shù)軸上任一點(diǎn)x到點(diǎn)1的距離與到點(diǎn)2的距離的差，記作()，要使它大于k恒成立就要討論點(diǎn)x的位置：(1)當(dāng)點(diǎn)x在點(diǎn)1左側(cè)時(shí)，如圖中的點(diǎn)r，則(）恒為3.(2）當(dāng)點(diǎn)x在點(diǎn)2右側(cè)時(shí),如圖中的點(diǎn)t，則（*）恒為3.（3)當(dāng)點(diǎn)1x2時(shí),如圖中的點(diǎn)s,則3(）3。由（1)（2)(3)可知,無(wú)論x為任何實(shí)數(shù),（*)的范圍是3（*）3.因此若使|x1x2k，只需k）法三:令y|x1|x2|，則y在直角坐標(biāo)系下作出圖象如圖所示，由圖得到3y|x1|x23。以下同法二二、填空題（本大題共有4小題，每小題5分,共20分)11函數(shù)y5的最大值為_(kāi)

22、解析：y55 6.（當(dāng)且僅當(dāng)5即x時(shí)取等號(hào)）答案：612(天津高考)集合axr|x2|5中的最小整數(shù)為_(kāi)解析：不等式|x2|5等價(jià)于5x25,解得3x7，所以集合a為xr3x7，集合a中的最小整數(shù)為3.答案：313設(shè)a，b,c，則a,b，c的大小順序是_解析:用分析法比較，ab8282,同理可比較得bc。答案：abc14下列四個(gè)命題中：ab2;sin2x4；設(shè)x，y都是正數(shù)，若1，則xy的最小值是12;若x2|，y2|，則xy2.其中所有真命題的序號(hào)是_解析：不正確a，b符號(hào)不定；不正確,sin2x(0，1，利用函數(shù)yx的單調(diào)性可求得sin2x5;不正確（xy)1010616；正確xy|x22y|x2|2y|2。答案：三、解答題（本大題共有4小題,共50分)15(本小題滿分12分）已知a，b是不相等的正實(shí)數(shù)求證：（a2bab2)（ab2a2b）9a2b2。證明：因?yàn)閍，b是正實(shí)數(shù)，所以a2bab233ab0，當(dāng)且僅當(dāng)a2bab2,即ab1時(shí)，等號(hào)成立；同理：ab2a2b33ab0，當(dāng)且僅當(dāng)ab1時(shí)，等號(hào)成立所以(a2bab2）(ab2a2b)9a2b2，當(dāng)且僅當(dāng)ab1時(shí),等號(hào)成立因?yàn)閍b,所以(a2bab2)(ab2a2b）9a2b2.16(本小題滿分12分）已知實(shí)數(shù)a,b，c，d滿足abcd3，a