建筑力學(xué)12靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算

1、1 建筑力學(xué) 第第12章章 靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算 教師：鄒定祺教師：鄒定祺 2 內(nèi)容：虛功原理 結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算 線性變形體的三個(gè)互等定理 重點(diǎn)：結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的圖乘法 3 12.1 結(jié)構(gòu)的位移與位移計(jì)算的目的 12.1.1 桿系結(jié)構(gòu)的位移的概念 線位移，角位移 . F DA CB . D C . A . A . A . A F . A . A B . A Ay . A B . AAx . A 、A 是截面相對于變形前的位移稱為絕對位移 . DC=DA+ CB 為C、D兩點(diǎn)的相對線位移 AB=A +B 為A、B兩點(diǎn)的相對角位移 絕對位移和相對位移統(tǒng)稱為廣義位移。 4 結(jié)構(gòu)的溫度改變

2、、材料收縮、制造誤差、 支座位移和裝配誤差等都能引起結(jié)構(gòu)產(chǎn)生位移。 12.1.2 計(jì)算結(jié)構(gòu)位移的目的 （1）驗(yàn)算結(jié)構(gòu)的剛度。 （2）為超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算提供基礎(chǔ)。 12.1.3 線彈性結(jié)構(gòu)的概念 線彈性結(jié)構(gòu),需滿足下列條件： （1）應(yīng)力和應(yīng)變服從胡克定律。 （2）結(jié)構(gòu)的位移是微小位移。 （3）所有的約束為理想約束。 5 12.2 變形體的虛功原理 12.2.1 虛功的概念 實(shí)功外力在其自身引起的位移上作的功外力在其自身引起的位移上作的功: W=F F F F F 廣義力包括集中力、集中力偶等,都用F表示。 廣義位移包括線位移、角位移等,都用表示。 W=M 可以表示 M 為：W=F 6 當(dāng)靜力當(dāng)靜

3、力F FP1 P1加載時(shí)，即： 加載時(shí)，即： F FP1P1由由0 0增加至增加至F FP1P1 1111 由由0 0增加至增加至 1111 力力F Fp1p1在位移在位移1111上作的上作的實(shí)功實(shí)功為為: : 11111 2 1 Pe FW 7 虛功虛功引用實(shí)功的計(jì)算方式，力在別的因素引起引用實(shí)功的計(jì)算方式，力在別的因素引起 的位移上所做的功稱為虛功。的位移上所做的功稱為虛功。 . F1 F1 . 11 11 . . . 12 . 力狀態(tài)力狀態(tài) 位移狀態(tài)位移狀態(tài) 11F1引起的位移，引起的位移， 12其它因素（如溫度變化）引起的位移其它因素（如溫度變化）引起的位移 那么，那么，We12=F1

4、12 稱之為虛功稱之為虛功 “虛虛”是因?yàn)樽龉Φ牧κ且驗(yàn)樽龉Φ牧1與相應(yīng)的位移與相應(yīng)的位移12無關(guān)無關(guān)。 8 12.2.2 實(shí)功及虛功原理 1、實(shí)功 F1 y F1 1 We 0 1 當(dāng)結(jié)構(gòu)變形處在線彈性范圍內(nèi)時(shí)，力逐漸 由0F1，同時(shí)，位移也由01 那么力做的功為 We=F11/2 實(shí)功 F1為廣義力，1為廣義位移。 9 線彈性結(jié)構(gòu)在外力的作用下會產(chǎn)生變形、內(nèi) 力、及位移，外力作了功，外力作的功轉(zhuǎn)化為結(jié) 構(gòu)內(nèi)部的變形能；變形能又可以看成是內(nèi)力作的 功。幾種內(nèi)力作的功可以分別計(jì)算后疊加，根據(jù) 能量守恒定律，變形能Wi=外力的功We 。 2、虛功原理（方程） . F1 11 F1 F2 . 1

5、 1 2 . . 11 12 22 . 力狀態(tài)(相對F1) 位移狀態(tài)(相對F1) 10 力的狀態(tài)下力F1在位移狀態(tài)下的虛位移12 上作的虛功 ，應(yīng)等于力的狀態(tài)下(F1)產(chǎn)生的內(nèi) 力在虛位移的相應(yīng)變形上所作虛功的總和，即： We12=Wi12 We12力的狀態(tài)下外力F1在位移狀態(tài)下12作的 外力虛功； Wi12力的狀態(tài)中變形體的內(nèi)力在位移狀態(tài)的 相應(yīng)變形上所作的內(nèi)力虛功的總和(虛變形能)。 寫成普遍形式，有虛功方程： We=Wi 11 3、彈性桿系結(jié)構(gòu)的虛功方程 . . F1 Mi F2 q . . . 力的狀態(tài) 位移狀態(tài) 力作的總虛功： We=FiFi+ Mii+qiqidx 整個(gè)結(jié)構(gòu)內(nèi)力作的

6、虛功： Wi=FNdu+ Md+ FQds 虛功方程： We=Wi 兩種應(yīng)用：1、求未知力:力狀態(tài)已知,位移狀態(tài)虛設(shè)； 2、求位移:位移狀態(tài)已知，力狀態(tài)虛設(shè)。 12 12.3 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式 虛單位荷載 . . K FK=1 . B B FR2 . . K . +t1 +t2 C1 . . K B FR1 . . . . . A C2 . . . FRA . . 已知實(shí)際位移狀態(tài) 虛單位荷載作用下的虛力狀態(tài) FRA,FR1,FR2虛反力，F(xiàn)N,FQ,M單位虛力作用下的虛內(nèi)力 虛力系在實(shí)際位移狀態(tài)下所作的外力虛功為 We=FKK+FR1C1+FR2C2=FKK+FRiCi 內(nèi)力虛功:Wi

7、=LFNds+LFQds+LMkds 13 由虛功原理 We=Wi 有： FKK+FRiCi=LFNds+ LFQds+ LMkds 得K=LFNds+ LFQds+LMkds-FRiCi （12-14) 單位荷載法： 欲求結(jié)構(gòu)上某一性質(zhì)的位移，只需在該處施加與位欲求結(jié)構(gòu)上某一性質(zhì)的位移，只需在該處施加與位 移移相對應(yīng)相對應(yīng)的虛單位荷載。的虛單位荷載。 *一點(diǎn)某方向線位移在該點(diǎn)加沿該方向的虛單位集中荷載 *兩點(diǎn)間的相對線位移在兩點(diǎn)加一對反向共線的虛單位集中力 *一截面的角位移在該截面加虛單位集中力偶 *兩截面的相對角位移在兩截面上加一對反向的單位集中力偶 *某一桿件的角位移在桿的兩端垂直于桿件

8、方向施加一個(gè)由大 小相等、方向相反的集中力所構(gòu)成的虛單位力偶，此集中力的 大小等于桿件長度的倒數(shù)。 14 12.4 荷載作用下結(jié)構(gòu)位移計(jì)算 )1612( 1 dx GA FFK dx EA FF dx EI MM dx GA KF dxd EA dxF dxdu EI Mdx dxd dFduFdM QQ NN Q N QN 代入，可得 微段剪切變形 微段軸向變形 微段彎曲變形 對線彈性結(jié)構(gòu)： 寫為下，則位移計(jì)算式可以如果結(jié)構(gòu)僅在荷載作用 15 12.4.1 桁架的位移計(jì)算 桁架的每一根桿只有軸力，沒有彎矩和剪力，故， 桁架的位移計(jì)算公式為： 【例12-1】求圖示桁架D點(diǎn)的豎向位移DV，圖中括

9、號 內(nèi)的數(shù)值表示桿件的截面積(cm2)，設(shè)E=21000kN/cm2. )1712( l EA FF dx EA FF dx EA FF NNNNNN A B C D X=1 A C 100kN D B 2m 2m2m (10) (10) (20) (20) (10) 【解】欲求D點(diǎn)豎向位移，在D點(diǎn)加一豎向單位里，用節(jié)點(diǎn)法 分別求出實(shí)際狀態(tài)下和單位里狀態(tài)下各桿軸力，列表計(jì)算： 由此可得 DV= FNFNL/(EA)=2415/20000=0.115cm () 16 桿件桿件 L L (cm)(cm) A (cm2) FN FN (kN) FNFNL L/A/A (kN/cm)kN/cm) AC

10、28320-0.707-70.71707.5 BC28320-0.707-70.71707.5 AD200100.550.0500 BD200100.550.0500 CD2001010.00 2415.0 12.4 梁及剛架的位移計(jì)算 一般情況下，細(xì)長桿件中彎矩、軸力、剪力、曲率 （曲桿）分別對位移影響的比大略為 M: N: Q: r =（150050) :1 : 3 : 2 所以軸力、剪力、曲率對位移的影響較小，可忽略 去不計(jì)。故，梁和剛架的位移計(jì)算公式為 17 )1812( dx EI MM 【例12-2】求圖示懸臂梁端點(diǎn)C的豎向位移。 【解】（1）列出實(shí)際狀態(tài)和許擬狀態(tài)的內(nèi)力方程 實(shí)際

11、狀態(tài)：CB段（0 xl/2) FN=0 ,M=0 ,FQ=0 BA段（l/2 x l) FN=0 ,M=-q(x-l/2)2/2 ,FQ=q(x-l/2) 許擬狀態(tài)：CB段 FN=0 ,M=0 ,FQ=0 BA段 FN=0 ,M=-x ,FQ=1 (2) 將兩個(gè)狀態(tài)的內(nèi)力方程代入（12-16），K=1.2，得 18 A B C X=1 l/2l/2l/2l/2 A B C q xx （實(shí)際狀態(tài)）（虛擬狀態(tài)） )( 20 3 384 7 34 2/2/ GA ql EI ql dx GA FFk dx EI MM l l l l QQ CV (3) 討論?，F(xiàn)在計(jì)算剪切變形和彎曲變形的比值。 19

12、 。也較小，可以忽略不計(jì)軸向變形對位移的影響 移的影響。，可忽略剪切變形對位桿時(shí)故，一般，當(dāng)桿為細(xì)長 。時(shí)，當(dāng)當(dāng)時(shí)，例中當(dāng) ）得代入（，矩形截面設(shè) ， 5 1 %32. 7 5 1 %83. 1 10 1 12 1 3 8 23. 823. 8 19-12, 12 1 8 3 )1912(23. 8 384 7 20 3 20 3 384 7 2 2 3 24 3 34 l h l h l h l h GAl EI bhIbhA E G GAl EI EI ql GA ql GA ql EI ql M F M F M F M F FM QQ Q Q Q 【例12-3】求圖示剛架C點(diǎn)的豎向位移C

13、V。截面IA均為常數(shù)。 【解】分別伸各桿的坐標(biāo)如圖所示，寫出 兩中狀態(tài)各桿的彎矩方程： CB段 M=-x ,M=-qx2/2 （上側(cè)受拉） BA段 M=l （左側(cè)受拉）,M=ql2/2(左側(cè)受拉) 因此有 20 A BC X=1 l l l l q A B C x x x x 實(shí)際狀態(tài) 虛擬狀態(tài) )( 8 5 22 )( 4 00 22 EI ql dx EI ql ldx EI qx x dx EI MM ll CV 21 12.5 計(jì)算梁和剛架位移的圖乘法圖乘法 當(dāng)結(jié)構(gòu)的各桿符合下列條件時(shí)，可以用圖乘法代替 積分運(yùn)算，簡化計(jì)算工作： （1）桿件為直線。 （2）EI為常數(shù)。 （3）兩個(gè)彎矩圖

14、中至少有一個(gè)是直線圖形。 方法是：用一個(gè)彎矩圖形（不一定是直線圖形）的面積 ，乘以該面積形心C位置所對應(yīng)的另一直線圖形上 的豎坐標(biāo)yc。則 正負(fù)號規(guī)定，兩圖形在桿件同側(cè)則乘積取正號，異側(cè)取 負(fù)號。 EI y dx EI MM c 式中Mpdx=d , xd= xc , tan xc= yc 22 圖乘法原理圖乘法原理: d P MM s EI 1 d P MMs EI 1 tand P xMx EI tan d P xMx EI tan1 BDcBDc AxAy EIEI d 23 注意點(diǎn)： （1）必須符合前述的前提條件。 （2）豎坐標(biāo)yc只能取至直線圖形。 （3）當(dāng)圖形的面積或形心位置不便確

15、定時(shí)，可 以將它分解為幾個(gè)簡單的圖形，將它們分別與 另一圖形相乘，然后把所得結(jié)果疊加。 圖乘法的步驟圖乘法的步驟: : (1).(1).設(shè)虛擬狀態(tài)；設(shè)虛擬狀態(tài)； P M M(2).(2).畫畫圖圖； ； (3).(3).圖乘求位移圖乘求位移 24 下面介紹幾個(gè)規(guī)則圖形的面積A和形心位置 . 25 . 26 當(dāng)圖形的面積和形心不便確定時(shí)，可以將其當(dāng)圖形的面積和形心不便確定時(shí)，可以將其 分解成幾個(gè)簡單的圖形，分解成幾個(gè)簡單的圖形， 分別與另一圖形相分別與另一圖形相 應(yīng)的縱坐標(biāo)相乘。應(yīng)的縱坐標(biāo)相乘。 圖形的分解圖形的分解 梯梯- -梯同側(cè)組合：梯同側(cè)組合： 1122 11 1112121 ()()

16、233233 CCC AyA yA y EIEI laedlbed EI A1 A2 . 27 同側(cè)組合：同側(cè)組合： 1122 11 1111 ()( -b) (d( -d) 223 CCC AyAyA y EIEI lbd el ae EI . 28 1122 11 1121121 ()() 233233 CCC AyAyA y EIEI ladelbed EI 異側(cè)組合 . 29 由區(qū)段疊加法作的彎矩圖由區(qū)段疊加法作的彎矩圖 ，其彎矩圖可，其彎矩圖可 以看成一個(gè)梯形和一個(gè)規(guī)則拋物線圖形以看成一個(gè)梯形和一個(gè)規(guī)則拋物線圖形 的疊加的疊加 。 . 30 曲曲- -折組合折組合 112233 1

17、ccc AyA yA y EI 31 階梯形截面桿階梯形截面桿 112233 1 12 23 3 ccc AyA yA y EIE IE I 【例12-5】求圖示剛架A點(diǎn)的豎向位移Ay ，并勾繪剛架的變 形曲線。 作M、M圖，以M圖作面積，而M圖上取豎標(biāo)yc,則有 計(jì)算結(jié)果的負(fù)號表示與單位荷載1的方向相反，即向下。 勾變形曲線，可根據(jù)實(shí)際彎矩圖，來判定彎矩后的凸凹方向， 變形曲線向?qū)嶋H彎矩圖的一側(cè)凸。例如，DK向右凸，KC向左 凸，CB向上凸，AB向右凸。32 A BC D EI EI 2EI L L/2L F FL/2 FL/2 FL/4 FL/2 FL F 1 l l l F 反彎點(diǎn) M圖

18、 M圖彎形曲線 )( 1642 3 2 1 22 1 3 EI FlFll l EI Flll EIEI yc Ay K C B D A 【例12-6】求圖示外伸梁C點(diǎn)的豎向位移Cy.梁的EI為常數(shù)。 【解】作出M、M圖。 BC段的M圖是標(biāo)準(zhǔn)的二次拋物線， AB段的M圖較復(fù)雜，但可分解為 一個(gè)三角形和一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的二次拋 物線圖形。由圖乘法得 33 A B C q ll/2 ql2/8 ql2/8 1 2 3 ql2/8 A C 1 y1=3l/8 y2=l/3 y3=l/4 ll/2 B )( 128 4 1 83 2 382 1 8 3 283 11 4 222 EI ql l qll l q

19、lllql EI Cy 【例12-7】一組合結(jié)構(gòu)，鏈桿CD、BD剛度為E1A1，受彎桿AC 剛度為E2I2，在結(jié)點(diǎn)D有集中荷載F作用，求D點(diǎn)豎向位移。 【解】計(jì)算組合結(jié)構(gòu)的位移時(shí)，鏈桿只有軸力影響，受彎桿只 計(jì)算彎矩影響。分別求出FNF、M及FN、M。得 34 A B C D F E1A1 E1A1 E2I2 a a a F +F Fa -2F -2 +1 a 1 )( 3 4221 3 2 2 12221 22 3 11 2 2 22112211 IE Fa AE Fa aFa aFa IEAE aFFa IE y AE lFF cNN Dy 35 12.6 線性變形體的三個(gè)互等定理 在以后超靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算中將引用這些定理 12