數(shù)學(xué)建模飛機(jī)運(yùn)輸問(wèn)題講解

1、多變量有約束最優(yōu)化問(wèn)題 摘要 本文以一家運(yùn)輸航空公司的一架飛機(jī)運(yùn)載能力100噸和運(yùn)載貨物的容量50000立方英尺有限的情況下，有三種貨物（即x1、x2、x3）需要運(yùn)輸，公司規(guī)定每噸貨物收取一定的費(fèi)用，而要運(yùn)輸?shù)拿糠N貨物的噸數(shù)都有規(guī)定的上限（最多不超過(guò)30噸、40噸、50噸），并且公 司規(guī)定由于飛機(jī)需要保養(yǎng)與維護(hù)，飛機(jī)須停飛115天，因此每年只有250天的工作時(shí)間。在此情況下每天怎樣安排運(yùn)輸三種貨物使公司每年獲得最大利潤(rùn)w。對(duì)于此問(wèn)題只用線性規(guī)劃的一般方法建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，在用數(shù)學(xué)軟件求出在給定限行區(qū)域內(nèi)的最優(yōu)解（w、x1、x2、x3），在對(duì)這些最優(yōu)解進(jìn)行分析與討論，確定其為有效最優(yōu)解。并以此

2、作為公司對(duì)三種貨物運(yùn)輸安排方式。 對(duì)于問(wèn)題一，求使得運(yùn)輸航空公司獲得最大利潤(rùn)w的x1、x2、x3三種貨物的噸數(shù)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。再根據(jù)運(yùn)輸能力最多100噸和運(yùn)載貨物容積的最大50000立方英尺，還有每天公司規(guī)定的每種貨物的運(yùn)輸上限即x1種貨物最多運(yùn)輸30噸，x2種貨物最多運(yùn)輸40噸，x3種貨物最多50噸，建立約束條件。并用數(shù)學(xué)軟件mathematica進(jìn)行求解，即為所求的最優(yōu)解（也就是w=21875，x1=30，x2=7.5，x3=50）。 對(duì)于問(wèn)題二中，要求計(jì)算每個(gè)約束的影子價(jià)格。我們將利用問(wèn)題一中建立的目標(biāo)函數(shù)和約束條件，將其編寫成源程序輸入到Lindo軟件中進(jìn)行求解。再將得到的界進(jìn)行

3、討論與和模型的穩(wěn)健性分析并且通過(guò)其在題意的理解，解釋其含義。問(wèn)題三中，對(duì)于公司將耗資改裝飛機(jī)以擴(kuò)大運(yùn)貨區(qū)來(lái)增加運(yùn)輸能力，且舊飛機(jī)使用壽命為5年，每架飛機(jī)的改造要花費(fèi)200000美元，可以增加2000立方英尺的容積。重量限制仍保持不變。假設(shè)飛機(jī)每年飛行250天，這些舊飛機(jī)剩余的使用壽命約為5年。根據(jù)此問(wèn)題我們將建立數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，利用Lindo軟件計(jì)算其影子價(jià)格和利潤(rùn)并且與前面進(jìn)行比較，進(jìn)行分析。關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃、mathematica軟件的應(yīng)用、Lindo的軟件應(yīng)用。 一、 提出問(wèn)題一個(gè)運(yùn)輸公司每天有100噸的航空運(yùn)輸能力。公司每噸收空運(yùn)費(fèi)250美元。除了重量的限制外，由于飛機(jī)貨場(chǎng)容積有限，公司

4、每天只能運(yùn)50000立方英尺的貨物。每天要運(yùn)送的貨物數(shù)量如下：貨物重量（噸）體積（立方英尺/噸）130550240800350400（1） 求使得利潤(rùn)最大的每天航空運(yùn)輸?shù)母鞣N貨物的噸數(shù)。（2） 計(jì)算每個(gè)約束的影子價(jià)格，解釋它們的含義。（3） 公司有能力對(duì)它的一些舊的飛機(jī)進(jìn)行改裝來(lái)增大貨運(yùn)區(qū)域的空間。每架飛機(jī)的改造要花費(fèi)200000美元，可以增加2000立方英尺的容積。重量限制仍保持不變。假設(shè)飛機(jī)每年飛行250天，這些舊飛機(jī)剩余的使用壽命約為5年。在這種情況下，是否值得改裝？有多少架飛機(jī)時(shí)才值得改裝？二、 提出假設(shè)假設(shè)1：飛機(jī)每天最多只能運(yùn)輸50000立方英尺的貨物。假設(shè)2：飛機(jī)每天最多只能運(yùn):

5、100噸貨物。假設(shè)3：貨物1每天都有30噸要運(yùn)。假設(shè)4：貨物2每天都有40噸要運(yùn)。假設(shè)5：貨物3每天都有50噸要運(yùn)。四、符號(hào)說(shuō)明符號(hào)意義單位備注w利潤(rùn)美元x1運(yùn)載貨物1的噸數(shù)噸x2運(yùn)載貨物2的噸數(shù)噸X3運(yùn)載貨物3的噸數(shù)噸v飛機(jī)貨艙容積立方英尺m飛機(jī)載重噸五、模型的建立與求解第一部分5.1問(wèn)題一的模型的建立。51.1問(wèn)題一的分析。 結(jié)合題意，計(jì)算航空公司獲得的利潤(rùn)，必須將運(yùn)輸航空公司里的飛機(jī)的燃料費(fèi)用及修理維護(hù)費(fèi)用忽略不計(jì)，還有每噸貨物的運(yùn)費(fèi)始終保持不變。在這種情況下，3種貨物總運(yùn)輸噸數(shù)不超過(guò)100噸，容積不超過(guò)50000立方英尺，且3種貨物有各自運(yùn)輸上限，建立目標(biāo)函數(shù)和約束條件。5.1.2問(wèn)題

6、一模型的建立。通過(guò)對(duì)原問(wèn)題的分析，我們可以建立如下的數(shù)學(xué)線性規(guī)劃模型：Max W=250x1+250x2+250x3550x1+1800x2+400x3=50000x1+x2+x3=100x1=30x2=40x3=505.1.3模型的求解 將編寫的程序輸入到mathematica軟件中得到結(jié)果5.1.4結(jié)果的分析 由結(jié)果可以得到當(dāng)運(yùn)輸航空公司每天運(yùn)輸x1貨物30噸、x2貨物7.5噸、x3貨物50，每年得到的利潤(rùn)最大w=21875美元。即當(dāng)x1為30噸、x2為8噸、x3為50噸的時(shí)候，貨物體積超出了飛機(jī)的運(yùn)載體積50000立方英尺。所以公司應(yīng)按照以上的x1為30噸，x2為7.5噸，x3為50噸的

7、運(yùn)輸安排運(yùn)輸貨物。第二部分5.2問(wèn)題二的模型的建立5.2.1問(wèn)題二的分析與建立Max W=250x1+250x2+250x3550x1+1800x2+400x3=50000x1+x2+x3=100x1=30x2=40x3=50 求解見(jiàn)附錄二。5.2.2 模型的求解 將應(yīng)用程序輸入到Lindo軟件中，得到的部分結(jié)果為：最優(yōu)解下資源增加1“單位”時(shí)“效益”的增量：飛機(jī)運(yùn)載空間每增加1立方英尺時(shí)，利潤(rùn)增加0.138889美元，飛機(jī)運(yùn)載能力的增加對(duì)利潤(rùn)不影響，X1種貨物每增運(yùn)1噸時(shí)，利潤(rùn)增加173.611115美元，X2種貨物的增運(yùn)對(duì)利潤(rùn)不影響，X3種貨物每增運(yùn)1噸時(shí)，利潤(rùn)增加194.444443美元

8、。5.2.3結(jié)果的分析 部分輸出結(jié)果（靈敏度分析）（輸入程序見(jiàn)附錄2）最優(yōu)解不變時(shí)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)允許的變化范圍（約束條件不變）：x1的系數(shù)變化范圍（173.61,250）x2的系數(shù)變化范圍（0,818.2）x3的系數(shù)變化范圍（55.6,250）飛機(jī)的運(yùn)輸貨物體積最多增加222500立方英尺，x1貨物最多每增運(yùn)18噸x3貨物最多每增運(yùn)16噸第三部分5.3問(wèn)題三的模型建立與分析 5.3.1問(wèn)題的分析 由2問(wèn)知道每增加1立方英尺，利潤(rùn)就增加0.138889；當(dāng)增加2000立方英尺時(shí)每天增加利潤(rùn)=277.778美元；每架飛機(jī)增加的利潤(rùn)=347225美元因?yàn)橐患茱w機(jī)改裝后所能獲得的利潤(rùn)大于改裝費(fèi)，且能賺1

9、47225美元；所以有一架飛機(jī)就可以改裝了。 5.3.2模型的建立 通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析，我們建的數(shù)學(xué)模型為： 5.3.3模型的求解 輸出部分結(jié)果為(輸入的程序見(jiàn)附錄3)：所以由于對(duì)結(jié)果的檢驗(yàn)航空運(yùn)輸公司應(yīng)該值得改裝，應(yīng)該改裝1架飛機(jī)。六、模型的評(píng)價(jià)與推廣6.1模型評(píng)價(jià)在運(yùn)輸貨物領(lǐng)域中，人們常會(huì)遇到這樣的問(wèn)題，例如：如何從一切可能的方案中選擇最好的、最優(yōu)的方案。在我們數(shù)學(xué)上把這類問(wèn)題稱為最優(yōu)化問(wèn)題，如何解決這類問(wèn)題，在當(dāng)今商品經(jīng)濟(jì)的環(huán)境下，是關(guān)系到企業(yè)生存以及國(guó)計(jì)民生的問(wèn)題。在解決上述如何空運(yùn)貨物能使公司利潤(rùn)最高的問(wèn)題上，我們采用的是線性規(guī)劃的方法。線性規(guī)劃的理論和方法都比較成熟，并且是一個(gè)有廣泛

10、應(yīng)用價(jià)值的統(tǒng)籌學(xué)分支，如果一個(gè)問(wèn)題的限制條件可以寫出某些決策變量的線性方程組或線性不等式組，那我們就可以應(yīng)用lingo軟件將該線性規(guī)劃方程解出來(lái)得到最優(yōu)解。應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)中的線性規(guī)劃在解決這類最優(yōu)化問(wèn)題上既簡(jiǎn)單又精確，在最優(yōu)解的求解過(guò)程中是個(gè)很好的選擇。對(duì)于我們提出的5個(gè)假設(shè)，我們都做了靈敏性分析，數(shù)據(jù)的改變對(duì)于最優(yōu)的結(jié)果沒(méi)有太大的影響。但是我們的模型還是存在一些缺點(diǎn)，比如我們認(rèn)定運(yùn)輸每種貨物的難易程度是一樣的，不會(huì)增加其成本。 6.2模型推廣以上建立的模型，在解決最優(yōu)化問(wèn)題上方便簡(jiǎn)單快捷，不僅適用于貨物的運(yùn)輸問(wèn)題上，也適用于鋼管的下料問(wèn)題，接力隊(duì)的選拔問(wèn)題，奶產(chǎn)品的生產(chǎn)與銷售等一系列問(wèn)題等。編程運(yùn)用LINDO軟