四川省涼山州2020屆高三數(shù)學(xué)第三次診斷性檢測試題 理

1、四川省涼山州2020屆高三數(shù)學(xué)第三次診斷性檢測試題 理四川省涼山州2020屆高三數(shù)學(xué)第三次診斷性檢測試題 理年級：姓名：- 27 -四川省涼山州2020屆高三數(shù)學(xué)第三次診斷性檢測試題 理（含解析）本試卷分選擇題和非選擇題兩部分第卷（選擇題），第卷（非選擇題），共4頁，考試時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng)：1答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、座位號，準(zhǔn)考證號用0.5毫米的黑色簽字筆填寫在答題卡上，并檢查條形碼粘貼是否正確2選擇題使用2b鉛筆涂在答題卡對應(yīng)題目標(biāo)號的位置上；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆書寫在答題卡的對應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效3考試結(jié)束后，將答題卡收回第卷（

2、選擇題）一、選擇題（本大題共12小題在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1. 設(shè)集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】解出集合、中的不等式即可.【詳解】因?yàn)?，所以故選：b【點(diǎn)睛】本題主要考查的是集合的運(yùn)算，較簡單.2. 已知（i是虛數(shù)單位），則( )a. 3b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】由復(fù)數(shù)運(yùn)算化簡求解【詳解】 故選：c【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查運(yùn)算能力，是基礎(chǔ)題3. 若，則“是”的( )a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充分必要條件d. 既不充分也不必要條件【答案】a【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件關(guān)系，利用推

3、出關(guān)系得充分不必要條件.【詳解】若，則即，若即，則或，所以若，則“是”的充分不必要條件.故選：a【點(diǎn)睛】此題考查充分條件與必要條件的辨析，關(guān)鍵在于熟練掌握判斷方法，利用條件之間的推出關(guān)系進(jìn)行辨析.4. 如圖所示的程序框圖，若輸出的y的值為2，則輸入的x的值為( )a. 4b. c. 2或d. 4或【答案】d【解析】【分析】根據(jù)程序框圖，對分類討論，求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，或（舍去）.故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查選擇結(jié)構(gòu)框圖的應(yīng)用，準(zhǔn)確理解程序框圖的含義是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5. 已知正項(xiàng)等比數(shù)列，向量，若，則( )a. 12b. 16c. 18d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)向量的

4、數(shù)量積公式得出，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】或（舍）故選：c【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列基本性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.6. 已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸正半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則( )a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】先化簡，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求得,結(jié)合余弦的二倍角公式即可求得的值【詳解】因?yàn)椋堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)由三角函數(shù)定義可得 根據(jù)余弦的二倍角公式得 故選:a【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的定義,余弦二倍角公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.7. 若雙曲線與拋物線有相同的焦點(diǎn)，則該雙曲線的兩條漸近線的夾角為( )a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】求出拋物線

5、焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)雙曲線求出b，求出漸近線方程和漸近線傾斜角即可得解.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)，所以，漸近線方程為，兩條漸近線的傾斜角分別為30和150，所以其夾角為60.故選：b【點(diǎn)睛】此題考查求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)求解參數(shù)，結(jié)合漸近線方程求直線夾角.8. 設(shè)函數(shù)與函數(shù)的對稱軸完全相同，則的值為( )a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】分別求出兩個(gè)函數(shù)的對稱軸，利用對稱軸完全相同，即可求得的值【詳解】由題意，求函數(shù)的對稱軸，令，解得函數(shù)，令，解得，因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的對稱軸完全相同，所以，故選：c.【點(diǎn)睛】該題考查的是三角函數(shù)的問題，涉及到的

6、知識點(diǎn)有三角函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于簡單題目9. 已知為平面區(qū)域內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，向量 ，則的最大值是( )a. 1b. 2c. 3d. 4【答案】c【解析】【分析】據(jù)題意，由于m，n為平面區(qū)域內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則不等式組表示的為三角形區(qū)域，根據(jù)向量的數(shù)量積，由于（當(dāng)且僅當(dāng)與共線同向時(shí)等號成立）從而求得最大值.【詳解】由圖知，不等式組表示的為三角形區(qū)域，根據(jù)向量的數(shù)量積，由于（當(dāng)且僅當(dāng)與共線同向時(shí)等號成立），即當(dāng)所在直線平行于所在直線且方向相同的時(shí)候得到大值，與平行的直線是，且的最大長度為直線與的交點(diǎn)與直線和的交點(diǎn)的距離.而，故可知答案為故選：c【點(diǎn)睛】解決的關(guān)鍵是對于不等式區(qū)域的準(zhǔn)確表示

7、，同時(shí)能利用向量的數(shù)量積來表示得到目標(biāo)函數(shù)，利用（當(dāng)且僅當(dāng)與共線同向時(shí)等號成立）得到結(jié)論10. 小明有一卷紙，紙非常的薄且緊緊纏繞著一個(gè)圓柱體軸心卷成一卷，它的整體外貌如圖所示，紙卷的直徑為12厘米，軸的直徑為4厘米.當(dāng)小明用掉的紙后，則剩下的這卷紙的直徑最接近于( )a. 6厘米b. 7厘米c. 8厘米d. 9厘米【答案】b【解析】【分析】根據(jù)卷紙的體積關(guān)系建立等式求解.【詳解】設(shè)小明用掉的紙后，則剩下的這卷紙的直徑為x厘米，卷紙高為h，解得：，則x接近7厘米.故選：b【點(diǎn)睛】此題考查利用圓柱的體積公式解決實(shí)際問題，關(guān)鍵在于熟練掌握體積公式，根據(jù)實(shí)際問題列出方程求解.11. 已知長方體的體積

8、，若四面體的外接球的表面積為s，則s的最小值為( )a b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】設(shè)出，根據(jù)體積可得，借助長方體，表示出四面體的外接球的表面積為s，利用基本不等式可求最小值.【詳解】設(shè)，因?yàn)椋?；根?jù)長方體的對稱性可知四面體的外接球即為長方體的外接球，所以外接球半徑；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值.故選：c.【點(diǎn)睛】本題主要考查多面體的外接球，利用常見模型，建立棱長和外接球半徑間的關(guān)系是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查直觀想象的核心素養(yǎng).12. 已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且當(dāng)時(shí)，.若，則的大小關(guān)系是( )a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移的性質(zhì)判斷出函數(shù)的對

9、稱性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性，最后利用單調(diào)性，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行大小比較即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象向左平移1個(gè)單位長度，得到的圖象，而函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以的圖象關(guān)于對稱，即關(guān)于縱軸對稱，因此是偶函數(shù).因此，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，即，所以在時(shí)，單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋?，?故選：d【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值大小問題，考查了導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.第卷（非選擇題）二、填空題（共4小題）13. 若的二項(xiàng)展開式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則_【答案】6【解析】【分析】寫出的展開式的通項(xiàng)，然后由題意可得當(dāng)時(shí)的指數(shù)為0，從而

10、解出.【詳解】的展開式的通項(xiàng)為因?yàn)檎归_式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以，解得故答案為：6【點(diǎn)睛】本題考查的是二項(xiàng)式定理，準(zhǔn)確的寫出通項(xiàng)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.14. 如圖，是圓o的直徑，假設(shè)向該圓隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為_.【答案】【解析】【分析】求出三角形abc的面積和圓的面積根據(jù)幾何概型公式求解.【詳解】如圖，是圓o的直徑，設(shè)圓的半徑為r，所以，圓o面積為，所以向該圓隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查求幾何概型概率，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求解圓的面積和三角形的面積，根據(jù)面積之比得概率.15. 設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為，若，,則_.【答案】【解析】【分析】建立

11、坐標(biāo)系，寫出向量的坐標(biāo)，根據(jù)建立等量關(guān)系，可求出.【詳解】因?yàn)椋匀c(diǎn)共線；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則；設(shè)，因?yàn)椋?，所以，；因?yàn)?，所以，解得；故答案為?【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的運(yùn)算，向量運(yùn)算優(yōu)先考慮坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)已知條件構(gòu)建等量關(guān)系是求解關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).16. 阿波羅尼斯（古希臘數(shù)學(xué)家，約公元前262-190年）的著作圓錐曲線論是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.若定點(diǎn)為，寫出的一個(gè)阿波羅尼斯圓的標(biāo)準(zhǔn)方程_；

12、中，則當(dāng)面積的最大值為時(shí)，_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)為，則或，化簡即得阿波羅尼斯圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，得到點(diǎn)的軌跡方程是，再求出圓的半徑為，解方程即得解.【詳解】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)為，則或，所以或，化簡得.所以的一個(gè)阿波羅尼斯圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，因?yàn)椋?，所以，點(diǎn)的軌跡是圖中的圓.當(dāng)面積的最大值為時(shí)，軸，此時(shí)就是圓的半徑，所以圓的半徑為.所以.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題主要考查新定義，考查軌跡方程的求法，考查圓的方程的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計(jì)算能力.三、解答題（解答過程應(yīng)寫出必要的文字說明，解答步驟）17. 為等差數(shù)列的前n

13、項(xiàng)和，已知.（1）求及；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)系，利用公式即可求解；（2）根據(jù)通項(xiàng)公式有，用裂項(xiàng)相消法求出，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由得： 又即 由解得： （2）由（1）得： 數(shù)列的前n項(xiàng)和 由，顯然隨n的增大而增大.，即【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)公式基本量的計(jì)算，考查裂項(xiàng)相消法求數(shù)列和，屬于中檔題.18. 州電視臺為了解州衛(wèi)視一檔中華詩詞類節(jié)目的收視情況，抽查東西區(qū)各5個(gè)縣，統(tǒng)計(jì)觀看該節(jié)目的人數(shù)的數(shù)據(jù)得到如下的莖葉圖（單位：百人）.其中一個(gè)數(shù)字

14、被污損.（1）求西部各縣觀看該節(jié)目的觀眾的平均人數(shù)超過東部各縣觀看該節(jié)目的平均人數(shù)的概率；（2）該節(jié)目的播出極大地激發(fā)了觀眾對中華詩詞學(xué)習(xí)的熱情，現(xiàn)從觀看節(jié)目的觀眾中隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了4位觀眾學(xué)習(xí)詩詞的周平均時(shí)間y（單位：小時(shí)）與年齡x（單位：歲）的關(guān)系，如下表所示：x20304050y2.5344.5根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，試求線性回歸方程，并預(yù)測年齡為60歲的觀眾學(xué)習(xí)詩詞的時(shí)間.（參考公式）【答案】（1）；（2），5.25小時(shí).【解析】【分析】（1）計(jì)算平均值，得到不等式，解不等式得到，再計(jì)算概率得到答案.（2）直接利用回歸方程公式得到回歸方程，再代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】（1）設(shè)被污損的數(shù)字為x，則

15、，由題意得：，即，即，所以西部各縣觀看該節(jié)目的觀眾的平均數(shù)超過東部各縣觀看該節(jié)目的觀眾的平均數(shù)的概率為.（2）由已知得：，回歸直線方程為，當(dāng)時(shí)，即年齡為60歲的觀眾學(xué)習(xí)詩詞的時(shí)間為5.25小時(shí).【點(diǎn)睛】本題考查了計(jì)算平均值，概率的計(jì)算，回歸方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.19. 如圖，四面體中，、分別是，的中點(diǎn)，（1）求證：；（2）求銳二面角的余弦值【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理得出平面，最后由線面垂直的性質(zhì)定理得出；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）證明：連接在中，且是的中點(diǎn)且在中，為等腰直角三角形又是的中點(diǎn)，且

16、而，平面，平面平面，（2）解：在中，即又由（1）知平面，平面，則所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面與平面的法向量分別為，則與即與，所以銳二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】本題主要考查了證明線線垂直以及利用向量法求二面角的余弦值，屬于中檔題.20. 已知函數(shù).（1）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，求a的值.（2）若曲線與曲線至少有一條公共切線，求a的取值范圍.【答案】（1）3；（2）.【解析】【分析】(1)先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；(2)先求出函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程，然后與聯(lián)立消去，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次方程，利用表示為關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性即可求出a的取值范圍.【詳解】（1）,.又函

17、數(shù)在處的切線方程為,，即，即.（2）設(shè)公切線l與函數(shù)相切于點(diǎn)，則由，得,公切線l為：,即.由得：,直線l與曲線相切,，即, 設(shè)，則,由，得；又由得,函數(shù)在上單增，在上單減, ,與曲線至少有一條公切線時(shí)，a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，屬于能力提升題.21. 已知橢圓，右頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)為b，左右焦點(diǎn)分別為，且，過點(diǎn)a作斜率為的直線l交橢圓于點(diǎn)d，交y軸于點(diǎn)e.（1）求橢圓c的方程；（2）設(shè)p為的中點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)q，對于任意的都有？若存在，求出點(diǎn)q；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】分析】（1）根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合

18、橢圓的性質(zhì)，得到，從而得到橢圓的方程；（2）解法一，首先設(shè)直線直線，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到p點(diǎn)坐標(biāo)，從而有，假設(shè)存在使得，利用向量數(shù)量積等于零，從而求得結(jié)果.解法二，利用點(diǎn)差法【詳解】（1）由題意得：在中，橢圓方程為 （2）解法一：設(shè)直線令，則，將*代入整理得設(shè)，則， 設(shè)，為的中點(diǎn)， 設(shè)存在使得，則，即對任意都成立，存在使得解法二：設(shè)， ，由-，得為中點(diǎn)， 設(shè)存在使得，則，即對任意都成立，即，存在使得【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)解析幾何的問題，涉及到的知識點(diǎn)有橢圓方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系，關(guān)于是否存在類問題，在解題的過程中，注意假設(shè)存在，利用條件建立等量關(guān)系，進(jìn)而得到結(jié)果.請考生在第22、23兩題中選一題作答注意：只能做所選定的題目如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分，作答時(shí)請用2b鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程2