一元一次方程應(yīng)用題歸類練習(xí)

1、一元一次方程應(yīng)用題是初一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是一個難點(diǎn)。主要困難體現(xiàn)在兩個方面：一是難以從實(shí)際問題中找出相等關(guān)系，列出相應(yīng)的方程；二是對數(shù)量關(guān)系稍復(fù)雜的方程，常常理不清楚基本量，也不知道如何用含未知數(shù)的式子來表示出這些基本量的相等關(guān)系，導(dǎo)致解題時無從下手。列方程解應(yīng)用題，就是要將實(shí)際問題中的一些數(shù)量關(guān)系用這種含有未知數(shù)的等式的形式表示出來。而在這種等式中的每個式子又都有自身的實(shí)際意義，它們分別表示題設(shè)中某一相應(yīng)過程的數(shù)量大小或數(shù)量關(guān)系。由此，解方程應(yīng)用題的關(guān)鍵就是要“抓住基本量，找出相等關(guān)系”。一 行程問題1. 關(guān)系式為：路程=速度時間；速度=；時間=。行程問題中的一種特殊情況，其速度在不同的條

2、件下會發(fā)生變化： 順?biāo)L(fēng)）速度=靜水（無風(fēng)）速度+水流速度（風(fēng)速）； 逆水（風(fēng)）速度=靜水（無風(fēng)）速度水流速度（風(fēng)速）。 由此可得到航行問題中一個重要等量關(guān)系：順?biāo)L(fēng)）速度水流速度（風(fēng)速）逆水（風(fēng)）速度+水流速度（風(fēng)速）靜水（無風(fēng)）速度。例1 汽車從a地到b地，若每小時行駛40km，就要晚到半小時：若每小時行駛45km，就可以早到半小時。求a、b 兩地的距離。例2一艘輪船在甲、乙兩地之間行駛，順流航行需6小時，逆流航行需8小時，已知水流速度每小時2 km。求甲、乙兩地之間的距離。 2.工程問題工程問題的基本量有：工作量、工作效率、工作時間。關(guān)系式為：工作量=工作效率工作時間。工作時間=，工

3、作效率=。例3 加工某種工件，甲單獨(dú)作要20天完成，乙只要10就能完成任務(wù)，現(xiàn)在要求二人在12天內(nèi)完成任務(wù)。問乙需工作幾天后甲再繼續(xù)加工才可正好按期完成任務(wù)？例4 收割一塊麥地，每小時割4畝，預(yù)計(jì)若干小時割完。收割了后,改用新式農(nóng)具收割，工作效率提高到原來的1.5倍。因此比預(yù)計(jì)時間提前1小時完工。求這塊麥地有多少畝？例5. 一水池裝有甲、乙、丙三個水管，加、乙是進(jìn)水管，丙是排水管，甲單獨(dú)開需10小時注滿一池水，乙單獨(dú)開需6小時注滿一池水，丙單獨(dú)開15小時放完一池水?，F(xiàn)在三管齊開，需多少時間注滿水池？三、經(jīng)濟(jì)問題，與生活、生產(chǎn)實(shí)際相關(guān)的經(jīng)濟(jì)類應(yīng)用題，是近年中考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題中的一個突出類型。經(jīng)濟(jì)類問

4、題主要體現(xiàn)為三大類：銷售利潤問題、優(yōu)惠（促銷）問題、存貸問題。這三類問題的基本量各不相同，在尋找相等關(guān)系時，一定要聯(lián)系實(shí)際生活情景去思考，才能更好地理解問題的本質(zhì)，正確列出方程。銷售利潤問題。利潤問題中有四個基本量：成本（進(jìn)價）、銷售價（收入）、利潤、利潤率。基本關(guān)系式有：利潤=銷售價（收入）成本（進(jìn)價）【成本（進(jìn)價）=銷售價（收入）利潤】；利潤率=【利潤=成本（進(jìn)價）利潤率】。在有折扣的銷售問題中，實(shí)際銷售價=標(biāo)價折扣率。打折問題中常以進(jìn)價不變作相等關(guān)系。優(yōu)惠（促銷）問題。日常生活中有很多促銷活動，不同的購物（消費(fèi)）方式可以得到不同的優(yōu)惠。這類問題中，一般從“什么情況下效果一樣分析起”。并以

5、求得的數(shù)值為基準(zhǔn)，取一個比它大的數(shù)及一個比它小的數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，預(yù)測其變化趨勢。存貸問題。存貸問題與日常生活密切相關(guān)，也是中考命題時最好選取的問題情景之一。存貸問題中有本金、利息、利息稅三個基本量，還有與之相關(guān)的利率、本息和、稅率等量。其關(guān)系式有：利息=本金利率期數(shù)；利息稅=利息稅率；本息和（本利）=本金+利息利息稅。例7.某商店先在廣州以每件15元的價格購進(jìn)某種商品10件，后來又到深圳以每件12.5元的價格購進(jìn)同樣商品40件。如果商店銷售這種商品時，要獲利12，那么這種商品的銷售價應(yīng)定多少？講評：設(shè)銷售價每件x 元，銷售收入則為（10+40）x元，而成本（進(jìn)價）為（510+4012.5），利潤率

6、為12，利潤為（510+4012.5）12。由關(guān)系式有（10+40）x（510+4012.5）=（510+4012.5）12 x=14.56例8.某種商品因換季準(zhǔn)備打折出售，如果按定價七五折出售，則賠25元，而按定價的九折出售將賺20元。問這種商品的定價是多少？講評：設(shè)定價為x元，七五折售價為75x，利潤為25元，進(jìn)價則為75x（25）=75x+25；九折銷售售價為90x，利潤為20元，進(jìn)價為90x20。由進(jìn)價一定，有 75x+25=90x20 x = 300例9. 李勇同學(xué)假期打工收入了一筆工資，他立即存入銀行，存期為半年。整存整取，年利息為2.16。取款時扣除20利息稅。李勇同學(xué)共得到本利

7、504.32元。問半年前李勇同學(xué)共存入多少元？講評：本題中要求的未知數(shù)是本金。設(shè)存入的本金為x元，由年利率為2.16，期數(shù)為0.5年，則利息為0.52.16x，利息稅為200.52.16x，由存貸問題中關(guān)系式有 x +0.52.16x200.52.16x=504.32 x = 500例10.某服裝商店出售一種優(yōu)惠購物卡，花200元買這種卡后，憑卡可在這家商店8折購物，什么情況下買卡購物合算？講評：購物優(yōu)惠先考慮“什么情況下情況一樣”。設(shè)購物x元買卡與不買卡效果一樣，買卡花費(fèi)金額為（200+80x）元，不買卡花費(fèi)金額為x元，故有200+80x = x x = 1000當(dāng)x 1000時，如x=20

8、00 買卡消費(fèi)的花費(fèi)為：200+802000=1800（元） 不買卡花費(fèi)為：2000（元 ） 此時買卡購物合算。當(dāng)x 1000時，如x=800 買卡消費(fèi)的花費(fèi)為：200+80800=840（元） 不買卡花費(fèi)為：800（元） 此時買卡不合算。4.溶液（混合物）問題溶液（混合物）問題有四個基本量：溶質(zhì)（純凈物）、溶劑（雜質(zhì)）、溶液（混合物）、濃度（含量）。其關(guān)系式為：溶液=溶質(zhì)+溶劑（混合物=純凈物+雜質(zhì)）；濃度=100=100【純度（含量）=100=100】；由可得到：溶質(zhì)=濃度溶液=濃度（溶質(zhì)+溶劑）。在溶液問題中關(guān)鍵量是“溶質(zhì)”：“溶質(zhì)不變”，混合前溶質(zhì)總量等于混合后的溶質(zhì)量，是很多方程應(yīng)用

9、題中的主要等量關(guān)系。例11.把1000克濃度為80的酒精配成濃度為60的酒精，某同學(xué)未經(jīng)考慮先加了300克水。試通過計(jì)算說明該同學(xué)加水是否過量？如果加水不過量，則應(yīng)加入濃度為20的酒精多少克？如果加水過量，則需再加入濃度為95的酒精多少克？講評：溶液問題中濃度的變化有稀釋（通過加溶劑或濃度低的溶液，將濃度高的溶液的濃度降低）、濃化（通過蒸發(fā)溶劑、加溶質(zhì)、加濃度高的溶液，將低濃度溶液的濃度提高）兩種情況。在濃度變化過程中主要要抓住溶質(zhì)、溶劑兩個關(guān)鍵量，并結(jié)合有關(guān)公式進(jìn)行分析，就不難找到相等關(guān)系，從而列出方程。本題中，加水前，原溶液1000克，濃度為80，溶質(zhì)（純酒精）為100080克；設(shè)加x克水

10、后，濃度為60，此時溶液變?yōu)椋?000+x）克，則溶質(zhì)（純酒精）為（1000+x）60克。由加水前后溶質(zhì)未變，有（1000+x）60=100080 x = 300 該同學(xué)加水未過量。設(shè)應(yīng)加入濃度為20的酒精y克，此時總?cè)芤簽椋?000+300+y）克，濃度為60，溶質(zhì)（純酒精）為（1000+300+y）60；原兩種溶液的濃度分別為100080、20y，由混合前后溶質(zhì)量不變，有（1000+300+y）60=100080+20 y=505.數(shù)字問題數(shù)字問題是常見的數(shù)學(xué)問題。一元一次方程應(yīng)用題中的數(shù)字問題多是整數(shù)，要注意數(shù)位、數(shù)位上的數(shù)字、數(shù)值三者間的關(guān)系：任何數(shù)=（數(shù)位上的數(shù)字位權(quán)），如兩位數(shù)=1

11、0a+b；三位數(shù)=100a+10b+c。在求解數(shù)字問題時要注意整體設(shè)元思想的運(yùn)用。例12. 一個三位數(shù)，三個數(shù)位上的和是17，百位上的數(shù)比十位上的數(shù)大7，個位上的數(shù)是十位上的數(shù)的3倍。求這個數(shù)。講評：設(shè)這個數(shù)十位上的數(shù)字為x，則個位上的數(shù)字為3x，百位上的數(shù)字為（x+7），這個三位數(shù)則為100（x+7）+10x+3x。依題意有（x+7）+x+3x=17 x=2100（x+7）+10x+3x=900+20+6=926例13. 一個六位數(shù)的最高位上的數(shù)字是1，如果把這個數(shù)字移到個位數(shù)的右邊，那么所得的數(shù)等于原數(shù)的3倍，求原數(shù)。講評：這個六位數(shù)最高位上的數(shù)移到個位后，后五位數(shù)則相應(yīng)整體前移1位，即每

12、個數(shù)位上的數(shù)字被擴(kuò)大10倍，可將后五位數(shù)看成一個整體設(shè)未知數(shù)。設(shè)除去最高位上數(shù)字1后的5位數(shù)為x，則原數(shù)為10+x，移動后的數(shù)為10x+1，依題意有 10x+1=10+x x = 42857 則原數(shù)為142857待添加的隱藏文字內(nèi)容36.調(diào)配（分配）與比例問題調(diào)配與比例問題在日常生活中十分常見，比如合理安排工人生產(chǎn)，按比例選取工程材料，調(diào)劑人數(shù)或貨物等。調(diào)配問題中關(guān)鍵是要認(rèn)識清楚部分量、總量以及兩者之間的關(guān)系。在調(diào)配問題中主要考慮“總量不變”；而在比例問題中則主要考慮總量與部分量之間的關(guān)系，或是量與量之間的比例關(guān)系。例14.甲、乙兩書架各有若干本書，如果從乙架拿100本放到甲架上，那么甲架上的

13、書比乙架上所剩的書多5倍，如果從甲架上拿100本書放到乙架上，兩架所有書相等。問原來每架上各有多少書？講評：本題難點(diǎn)是正確設(shè)未知數(shù)，并用含未知數(shù)的代數(shù)式將另一書架上書的本數(shù)表示出來。在調(diào)配問題中，調(diào)配后數(shù)量相等，即將原來多的一方多出的數(shù)量進(jìn)行平分。由題設(shè)中“從甲書架拿100本書到乙書架，兩架書相等”，可知甲書架原有的書比乙書架上原有的書多200本。故設(shè)乙架原有x本書，則甲架原有（x+200）本書。從乙架拿100本放到甲架上，乙架剩下的書為（x100）本，甲架書變?yōu)椋▁+200）+100本。又甲架的書比乙架多5倍，即是乙架的六倍，有 （x+200）+100=6（x100） x=180 x+200

14、=380例15.教室內(nèi)共有燈管和吊扇總數(shù)為13個。已知每條拉線管3個燈管或2個吊扇，共有這樣的拉線5條，求室內(nèi)燈管有多少個？講評：這是一道對開關(guān)拉線的分配問題。設(shè)燈管有x支，則吊扇有（13）個，燈管拉線為條，吊扇拉線為條，依題意“共有條拉線”，有+x=9例16.某車間22名工人參加生產(chǎn)一種螺母和螺絲。每人每天平均生產(chǎn)螺絲120個或螺母200個，一個螺絲要配兩個螺母，應(yīng)分配多少名工人生產(chǎn)螺絲，多少名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)的產(chǎn)品剛好配套？講評：產(chǎn)品配套（工人調(diào)配）問題，要根據(jù)產(chǎn)品的配套關(guān)系（比例關(guān)系）正確地找到它們間得數(shù)量關(guān)系，并依此作相等關(guān)系列出方程。本題中，設(shè)有x名工人生產(chǎn)螺母，生產(chǎn)螺母

15、的個數(shù)為200x個，則有（22x）人生產(chǎn)螺絲，生產(chǎn)螺絲的個數(shù)為120（22x）個。由“一個螺絲要配兩個螺母”即“螺母的個數(shù)是螺絲個數(shù)的2倍”，有 200x=2120（22x） x=12 22x=10例17. 地板磚廠的坯料由白土、沙土、石膏、水按25216的比例配制攪拌而成?，F(xiàn)已將前三種料稱好，公5600千克，應(yīng)加多少千克的水?dāng)嚢?？前三種料各稱了多少千克？講評：解決比例問題的一般方法是：按比例設(shè)未知數(shù)，并根據(jù)題設(shè)中的相等關(guān)系列出方程進(jìn)行求解。本題中，由四種坯料比例25216，設(shè)四種坯料分別為25x、2x、x、6x千克，由前三種坯料共5600千克，有 25x+2x+x=5600x=200 25x=5000 2x=400 x=200 6x=1200 例18. 蘋果若干個分給小朋友，每人m個余14個，每人9個，則最后一人得6個。問小朋友有幾人？講評：這是一個分配問題。設(shè)小朋友x人，每人分m個蘋果余14個，蘋果總數(shù)為mx+14，每人9個蘋果最后一人6個，則蘋果總數(shù)為9（x）+。蘋果總數(shù)不變，有mx+149（x）+x、m均為整數(shù) 9例19. 出口1噸豬肉可以換5噸鋼材，7噸豬肉價格與4噸砂糖的價格相