第八節(jié) Fourier級(jí)數(shù)

1、第八節(jié)第八節(jié) Fourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 二、二、函數(shù)展開(kāi)為函數(shù)展開(kāi)為FourierFourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 三、三、函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù)函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù) 四、四、一般周期函數(shù)的一般周期函數(shù)的FourierFourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 一、一、三角函數(shù)系在空間三角函數(shù)系在空間 的正交性的正交性 2 L, 五、五、FourierFourier級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式 一、三角函數(shù)系在空間一、三角函數(shù)系在空間 的正交性的正交性 KVK VK ,K K 設(shè) 是數(shù)域（實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域）， 是數(shù)域 上的一個(gè) 設(shè) 是數(shù)域（實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域）， 是數(shù)域 上的一個(gè) 線性向量空間，,，有確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)

2、，線性向量空間，,，有確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)， 滿足滿足 1) = 1) = = = 3) =+ 3) =+ 4) 0，當(dāng)且僅當(dāng) =0時(shí)，=0 4) 0，當(dāng)且僅當(dāng) =0時(shí)，=0 其中， ,是任意的向量， 是 中任意的數(shù).稱是其中， ,是任意的向量， 是 中任意的數(shù).稱是 向量 和向量 和 定義1定義1 的內(nèi)積。若 是實(shí)的內(nèi)積。若 是實(shí) 2) 2) K 數(shù)域，稱；若 是數(shù)域，稱；若 是 復(fù)數(shù)域，稱.定義了內(nèi)積的空間稱為復(fù)數(shù)域，稱.定義了內(nèi)積的空間稱為 實(shí)內(nèi)積實(shí)內(nèi)積 復(fù)內(nèi)積內(nèi)積空間復(fù)內(nèi)積內(nèi)積空間。 1、內(nèi)積空間、內(nèi)積空間 2 L, 1212 (,),(,) nn nn zz z ,zww w ,wCCn

3、 例例1 1：, ,其其中中是是 個(gè)個(gè) 復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)有有序序組組全全體體構(gòu)構(gòu)成成的的空空間間， 1 n z,w C 容容易易檢檢驗(yàn)驗(yàn)滿滿足足上上述述條條件件 ） 復(fù)復(fù)內(nèi)內(nèi)積積 空空間間 4 4）, ,因因此此是是 上上的的內(nèi)內(nèi)積積. . 1122 1 n jjnn j z,wz wz wz wz w 定定義義 ， n jj z ,wR .相相應(yīng)應(yīng)地地，若若限限制制為為實(shí)實(shí)實(shí)實(shí)內(nèi)內(nèi)積積空空得得到到間間數(shù)數(shù)，可可 0,V, . 在在內(nèi)內(nèi)積積定定義義中中，若若，且且滿滿足足，則則稱稱 與與（垂垂直直）, ,記記作作 注注： 正正交交 2 2 2 2 ( )( ) 1 ( ) ( ) 1 L,f xdxf

4、 x f ,gL, f ,gf x g x dx f ,gL, - - - - 例2：設(shè)表示滿足的函數(shù)的全體,例2：設(shè)表示滿足的函數(shù)的全體, 并且，定義并且，定義 ， ， 則滿足條件 ）4）,是上的一個(gè)內(nèi)積。則滿足條件 ）4）,是上的一個(gè)內(nèi)積。 000() 2)() 3)() VKV , . KV . . 設(shè)設(shè) 是是數(shù)數(shù)域域 上上的的內(nèi)內(nèi)積積空空間間，記記 稱稱是是向向量量 的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度（或或）, ,它它具具有有下下述述性性質(zhì)質(zhì)： 1 1) )當(dāng)當(dāng)0 0時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，非非負(fù)負(fù)性性 ，這這里里，齊齊次次性性 三三角角 定定2 2 范范數(shù)數(shù) 不不等等式式 義義 1, 若稱 為，這時(shí)稱

5、為向量若稱 為，這時(shí)稱為向量 在在 注： 單位向量注： 單位向量 的的投影投影。 12 12 1 10(1 2) n jjk n e ,e ,eV e,e ,e, j,k, ,n e ,e ,eV 設(shè)是內(nèi)積空間 的一組基底，長(zhǎng)度都為 ，且兩兩設(shè)是內(nèi)積空間 的一組基底，長(zhǎng)度都為 ，且兩兩 正交，即正交，即 則則標(biāo)標(biāo)說(shuō) 說(shuō) 準(zhǔn)準(zhǔn)是 的一組是 的一組正交基正交基。 1 122nn jj x ex ex e , xe 對(duì)對(duì)于于V V中中的的任任意意向向量量 ，可可以以表表示示為為 其其中中，稱稱為為 關(guān)關(guān)于于 的的坐坐標(biāo)標(biāo)。 () kk ,e x 考考慮慮如如何何此此時(shí)時(shí)，成成立立證證明明？著著 12

6、2,cos x,sin x,cos x,sin x,cosnx,sinnx, 三角函數(shù)系: 三角函數(shù)系: 如下關(guān)系，如下關(guān)系， 2 . 三三角角函函數(shù)數(shù)系系的的正正交交性性 2 1 12dx, 21 1cosnx dx, 21 1sinnx dx, 11 00，cosnxdxsinnxdx 1 0 () sinmx cosnxdxmn ， 11 00 () sinmx sinnxdxcosmx cosnxdx mn ， 2 2 2 1 112 1 1 1010 0 0 0() 即即 ， , cosnx,cosnxcosnx, sinnx,sinnxsinnx, ,cosnx,sinnx, si

7、nmx,cosnx, sinmx,sinnx, cosmx,cosnx,mn 2 , L 按按照照例例2 2中中上上的的內(nèi)內(nèi)積積和和范范數(shù)數(shù)定定義義， 2 1 12( (此時(shí)由于，故不是標(biāo)準(zhǔn)正交的)此時(shí)由于，故不是標(biāo)準(zhǔn)正交的)dx 為為了了構(gòu)構(gòu)造造標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交系系， 2 11 1 2 （）（）dx 122 ,cos x,sin x,cos x,sin x, cosnx,sinnx, 正正交交函函數(shù)數(shù)系系 1 1 2 用代替函數(shù)系中的 ，則用代替函數(shù)系中的 ，則 2 1 ,cos ,sin ,cos2 ,sin2 , cos,sin, 2 , 此此時(shí)時(shí)， 構(gòu)構(gòu)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交函函數(shù)數(shù)成成了了

8、上上的的一一個(gè)個(gè)。系系 xxxxnxnx L 3 . 三三角角級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0 11 1 ,cos ,sin ,cos2 ,sin2 , cos,sin, 2 ( )cossincossin 2 階三角多項(xiàng)式階三角多項(xiàng)式 三角函數(shù)系 三角函數(shù)系 的線性組合的線性組合 稱為。稱為。 nnn xxxxnxnx a P xaxbxanxbnx n 0 1 1 (cossin) 2 級(jí)數(shù) 稱為。級(jí)數(shù) 稱為。三角級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù) kk n aakxbkx sin() cossin sin() 由物理學(xué)知識(shí)，一般的波往往可以表示成一系列形如由物理學(xué)知識(shí)，一般的波往往可以表示成一系列形如 的諧波的迭加。的諧波的迭加

9、。 而三角級(jí)數(shù)中的第 項(xiàng) ，可以表示成而三角級(jí)數(shù)中的第 項(xiàng) ，可以表示成 ，也就是,三角級(jí)數(shù)反映了一系列諧波的迭加。，也就是,三角級(jí)數(shù)反映了一系列諧波的迭加。 kk k Ax kakxbkx Akx 意意義義： 問(wèn)題：?jiǎn)栴}： ( ) , 一個(gè)波形函數(shù) ，是否能展開(kāi)成三角級(jí)數(shù)？若能，一個(gè)波形函數(shù) ，是否能展開(kāi)成三角級(jí)數(shù)？若能， 系數(shù)如何確定？展開(kāi)式是否唯一？系數(shù)如何確定？展開(kāi)式是否唯一？ kk f x ab 二、函數(shù)展開(kāi)為二、函數(shù)展開(kāi)為Fourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 2 011 ( ), 1 ( )cossincossin 2 nn f xL f xaaxbxanxbnx 設(shè)設(shè)，且且可可以以用用三三角角

10、級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)表表示示： 再再假假定定以以上上級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)一一致致收收斂斂，則則 0 1 1111 ( ),cos,sin, 22222 kk k a f xakxbkx 0 1 , 22 a 0 11 22 a dx 0 a 0 1 ( ),cos ,cos 2 cos,cossin,cos kk k a f xnxnx akxnxbkxnx cos,cos n anxnx n a 0 1 ( ),sin ,sin 2 cos,sinsin,sin kk k a f xnxnx akxnxbkxnx bsin,sin n nxnx n b 2 0 ( ), 11 ( ),( ) 22 1 ( ),co

11、s( )cos 1 ( ),sin( )sin n n f xL af xf x dx af xnxf xnxdx bf xnxf xnxdx 若 ，若 ，定義定義記記 0 (1,2,Four(i)er nn aab nf x 稱稱、為為的的系系數(shù)數(shù)。 0 1 cossi Fou ( r n 2 ier ) kk k a akxbkxf x 相應(yīng)的三角級(jí)數(shù)稱為的相應(yīng)的三角級(jí)數(shù)稱為的 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)。 00 0 1 1 2( )( ) Fourier ( )cossin 2 kk k aaf x dxf x a f xakxbkx 更更經(jīng)經(jīng)常常的的作作法法是是，令令，此此時(shí)時(shí) 的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) ： 為為

12、注注 0 1 ( )Fourier Fourier ( )cossin, 2 kk k f x a f xakxbkx 若有可能展開(kāi)為級(jí)數(shù)，其系數(shù)一定滿足上述若有可能展開(kāi)為級(jí)數(shù)，其系數(shù)一定滿足上述 定義中的系數(shù)公式，即定義中的系數(shù)公式，即 ( )f x但但上上式式右右端端的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)不不一一定定能能處處處處收收斂斂于于。為為了了得得到到收收斂斂 關(guān)關(guān)系系，必必須須加加上上適適當(dāng)當(dāng)?shù)牡臈l條件件。 2 ( ), ( ), ( ), 2( ), ( )Fourier , ( )( ) 1 ( ) (0)(0) 2 f xLf x f x f xf x xf xf x xf xf xf x 設(shè)，若在滿

13、足下述設(shè)，若在滿足下述 DirichletDirichlet條件：1）在連續(xù)或至多有有限個(gè)第一類間條件：1）在連續(xù)或至多有有限個(gè)第一類間 斷點(diǎn).）在至多只有有限個(gè)極值點(diǎn).則的級(jí)斷點(diǎn).）在至多只有有限個(gè)極值點(diǎn).則的級(jí) 數(shù)在的每點(diǎn)都收斂，當(dāng) 是的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，它收斂于，數(shù)在的每點(diǎn)都收斂，當(dāng) 是的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，它收斂于， 當(dāng) 是的第一類間斷當(dāng) 是的第一類間斷 定理1(收斂定理)定理1(收斂定理) 點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)時(shí)， 于于 它收斂，它收斂， 即即 0 1 cossin( ) 2 ( ) ( ) 1 (0)(0) ( ) 2 kk k a akxbkxS x f xxf x f xf xxf x 當(dāng) 是的連續(xù)點(diǎn)時(shí)當(dāng)

14、是的連續(xù)點(diǎn)時(shí) 當(dāng) 是的間斷點(diǎn)時(shí)當(dāng) 是的間斷點(diǎn)時(shí) ( )Fourier( )( ) Fourier ( )2, ( ) ( ) f xS xf x S xf x f x 這時(shí)，我們說(shuō)可以展開(kāi)為級(jí)數(shù)，表示這時(shí)，我們說(shuō)可以展開(kāi)為級(jí)數(shù)，表示 的級(jí)數(shù)的和函數(shù)。的級(jí)數(shù)的和函數(shù)。 是以為周期的函數(shù)，它在內(nèi)的連續(xù)點(diǎn)處是以為周期的函數(shù)，它在內(nèi)的連續(xù)點(diǎn)處 與相等。與相等。 ( ), , ( ) Fourier f xx f x 可可以以把把 （其其中中），以以2 2 為為周周期期延延拓拓成成( (- -) ) 上上的的周周期期函函數(shù)數(shù)。只只要要滿滿足足定定理理一一的的條條件件，延延拓拓后后的的函函數(shù)數(shù)在在整整 個(gè)

15、個(gè)數(shù)數(shù)軸軸上上作作展展開(kāi)開(kāi)也也會(huì)會(huì)滿滿足足定定理理一一的的結(jié)結(jié)論論。 xx f x x xx x 2 +10 ( ) 10 4 練練習(xí)習(xí)：設(shè)設(shè), ,則則以以2 2 為為周周期期的的傅傅立立葉葉 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在處處收收斂斂于于( ( ) )? ?處處收收斂斂于于( ( ) )? ? 處處收收斂斂于于( ( ) )? ? 2 2 nn n f xxxx a anxbnxb 2 0 3 1 ( )() cossin, 2 練練習(xí)習(xí)2 2：設(shè)設(shè)的的傅傅立立葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開(kāi)開(kāi)式式為為 則則其其中中 的的值值為為？ 1 ( )2- , ) 0 ( ) 0 0 ( )Fourier f x xx f x x

16、 f x 例例設(shè)設(shè)是是周周期期為為的的函函數(shù)數(shù)，它它在在上上的的表表達(dá)達(dá)式式為為 把把展展開(kāi)開(kāi)為為級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)。 ( )Dirichlet(21) k f xxk 函數(shù)滿足條件，點(diǎn)是第一類函數(shù)滿足條件，點(diǎn)是第一類 間斷點(diǎn)。間斷點(diǎn)。 解：解： Fourier 計(jì)計(jì)算算系系數(shù)數(shù)： 0 1 ( )af x dx 0 1 xdx 2 1 ( )cos n af xnxdx 0 1 cosxnxdx 2 1( 1)n n 1 ( )sin n bf xnxdx 0 1 sinxnxdx 1 ( 1)n n 1 2 1 1( 1)( 1) ( ) ()cossin 4 nn n f xnxnx nn 故故 由

17、由收收斂斂定定理理知知， 1 2 1 1( 1)( 1) ()cossin 4 ( ) (21) () (21) 2 nn n nxnx nn f xxk k xk ( )Fourierf xxx例2 把，(-展開(kāi)成級(jí)數(shù)。例2 把，(-展開(kāi)成級(jí)數(shù)。 ( )Dirichletf xx 函函數(shù)數(shù)滿滿足足條條件件，在在- -上上連連續(xù)續(xù)。解：解： 0 1 ( )af x dx 0 2 xdx 1 ( )cos n af xnxdx 0 2 cosxnxdx 2 2 ( 1)1 n n 1 ( )sin n bf xnxdx 0 1 x dx 1 cosxnxdx 1 sinxnxdx 2 0 4 c

18、os(21) 2(21) k kx k 2 1 2 ( ) ( 1)1cos 2 n n f xnx n 22 411 coscos3cos(21) 23(21) xxkx k 故故 )x(-(- ( )f x把把在在數(shù)數(shù)軸軸上上作作周周期期沿沿拓拓后后的的圖圖像像如如下下： 0 x 現(xiàn)現(xiàn)若若令令，則則 2 0 41 0 2(21) k k 即即 2 2222 0 1111 1 () 8(21)35(21) k A kn 記記 ( )-( )BA ，得得 n B nn 2222 1 1111 1 ( ) 23 n nn 2 22222 1 11111 8246(2 )(2 ) n n 2 1

19、11 4 4 解解此此關(guān)關(guān)于于 的的方方程程，得得 又又有有 22 4 386 n n 2 1 1 n n n nn 1 1 22222 1 ( 1)1111 1( 1) 234 nn 22222 11111 (1)2() 224(2 ) nn nn 22 11 111 2 n n 2 1 11 2 2 12 n n n 1 2 1 ( 1) 三、函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù)三、函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù) 1Fourier 奇奇函函數(shù)數(shù)和和偶偶函函數(shù)數(shù)的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) f x ( ), 若若是是定定義義在在上上的的偶偶函函數(shù)數(shù)，則則 正正弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nn aabf xnxdx 0 0 2 0,

20、 0, ( )sin n n f x f xbnx 1 ( )Fourier ( ) sin 故故的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)是是 f x ( ), 若若是是定定義義在在上上的的奇奇函函數(shù)數(shù)，則則 余余弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) n n f x a f xanx 0 1 ( )Fourier ( ) cos 2 故故的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)是是 nn af x dxaf xnxdxb 0 00 22 ( ), ( )sin, 0 基本步驟：基本步驟： f xx F xx fxx ( ) 0 ( )0 0 () 0 如如圖圖，定定義義函函數(shù)數(shù) f x(1)( )將將展展開(kāi)開(kāi)為為正正弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) f xf x f x ,0( )( ) -

21、 , Fourier ( ) 在在(-)(-)上上補(bǔ)補(bǔ)充充函函數(shù)數(shù)的的定定義義，使使成成為為奇奇函函數(shù)數(shù)或或 偶偶函函數(shù)數(shù)，再再在在上上展展開(kāi)開(kāi)為為級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，就就可可相相應(yīng)應(yīng)地地得得 到到的的正正弦弦、余余弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)。 20, 函函數(shù)數(shù)在在展展開(kāi)開(kāi)為為正正弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)或或余余弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) F xF xf x ( )(- , )( )( )是是上上的的奇奇函函數(shù)數(shù)，稱稱是是的的奇奇式式延延拓拓。 n an 0,(0,1,2,) 此此時(shí)時(shí)， n n f x xf xf x bnx xx 1 ( )0, 1 0 (0)(0) sin 2 0 0 在在上上的的正正弦弦展展開(kāi)開(kāi)式式為為 或或 n (1

22、,2,) f xnxdx 0 2 ( )sin n bF xnxdx 1 ( )sin n aF xnxdx 1 ( )cos F xF xf x ( )- , ( )( )是是上上的的偶偶函函數(shù)數(shù)，稱稱是是的的偶偶式式延延拓拓。 aF x dxf x dx 0 0 12 ( )( )此此時(shí)時(shí)， n b 0 f xnxdx 0 2 ( )cos ( ) 0 ( ) () 0 f xx F x fxx 如如圖圖，定定義義函函數(shù)數(shù) f x(2)( )將將展展開(kāi)開(kāi)為為余余弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) n n f x xa anx xf xf x 0 1 ( ) cos 1 2 (0)(0) 2 在在 的的連連續(xù)續(xù)點(diǎn)

23、點(diǎn) 在在 的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) f xxxf x( )0( )0, 若若在在右右連連續(xù)續(xù)，在在左左連連續(xù)續(xù)，則則在在 上上的的正正弦弦展展開(kāi)開(kāi)式式為為 ( )1,(0)f xxx 例例2 2將將函函數(shù)數(shù)分分別別展展開(kāi)開(kāi)為為正正弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)和和 余余弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)。 f xF x ( )- , ( )解解：為為了了得得到到正正弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，將將在在作作奇奇式式延延拓拓變變成成. . 0 12 ( )sin( )sin n bF xnxdxF xnxdx 0 2 (1)sinxnxdx 22 (1coscos)(1(1)( 1) ) n nn nn 1 102 ( ) 1(1)( 1) sin 00 n

24、 n xx f xnx nxx 或或 ( )0, f x 則則在在的的正正弦弦展展開(kāi)開(kāi)式式為為 ( )- , ( )f xF x 為為了了得得到到余余弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，將將在在作作偶偶式式沿沿拓拓變變成成. . 0 12 ( )cos( )cos n aF xnxdxF xnxdx 0 2 (1)cosxnxdx 22 22 (cos1)( 1)1 n n nn 0 00 122 ( )( )(1)2aF x dxF x dxxdx 2 0 2 4 21 (21) nk nk k 2 1 22 1( 1)1cos 2 n n xnx n ( )0, f x 則則在在的的余余弦弦展展開(kāi)開(kāi)式式為為 2

25、 0 42 1cos(21) 2(21) k kx k 四、一般周期函數(shù)的四、一般周期函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 2 0 0 1 ( ) Dirichlet( )( )Fourier ( ) (cossin) 2 ( ) ( ) 1 (0)(0) ( 3 ) 2 T nn n f tT f tdtf t a f tan tbn t f ttf t f tf ttf t 設(shè)設(shè)是是以以 為為周周期期的的函函數(shù)數(shù)，在在任任一一個(gè)個(gè)周周期期內(nèi)內(nèi)滿滿足足 條條件件，且且，則則的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 處處處處收收斂斂： 當(dāng)當(dāng) 是是的的連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn) 的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) 理理 是是 定定 當(dāng)當(dāng) 2 2 22 22 22

26、 22 0 2 ( ), 222 ( )cos( )cos 222 ( )sin( )sin T T TT TT TT TT n n af t dt T n t af tdtf tn tdt TTT n t bf tdtf tn tdt TTT 其其中中， ( )FourierF x作作的的展展開(kāi)開(kāi)，得得 則則 2 , t xt T 再再令令 2 (), T 記記 稱稱圓圓頻頻率率為為 , 22 T T 取取一一個(gè)個(gè)基基本本周周期期區(qū)區(qū)間間為為證證明明： 0 1 ( ) (cossin) 2 ( ) ( ) 1 (0)(0) ( ) 2 kk k a F xakxbkx F xxF x F x

27、F xxF x 當(dāng)當(dāng) 是是的的連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn) 當(dāng)當(dāng) 是是的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) ( ), F x 則則在在上上也也會(huì)會(huì)滿滿足足( )()( ), 2 Tx f tfF x 記記 , 22 xt T T tx Dirichlet條條件件， xt將將上上式式的的 用用 代代換換，得得 證證畢畢 0 1 ( ) (cossin) 2 ( ) ( ) 1 (0)(0) ( ) 2 kk k a f tak tbk t f ttf t f tf ttf t 當(dāng)當(dāng) 是是的的連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn) 當(dāng)當(dāng) 是是的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) 2 2 0 12 ( )( ) T T aF x dxf t dt T 其其中中， 2 2 12 (

28、 )sin( )sin T T n bF xnxdxf tn tdt T 2 2 12 ( )cos( )cos T T n aF xnxdxf tn tdt T 0, Dirichlet( ), 0, lf t l 對(duì)對(duì)于于上上平平方方可可積積且且滿滿足足條條件件的的函函數(shù)數(shù) 如如何何在在上上展展開(kāi)開(kāi)成成正正弦弦或或余余 問(wèn)問(wèn)題題： 弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)？ 2 0 0 1 0 ( )0, Dirichlet( ) ( )0, ( ) ( ) cos 1 2 (0)(0) ( ) 2 2 ( )cos,(0,1, , 2) l n n l n f tlf tdt f tl f ttf t an t a

29、 lf tf ttf t n t af tdtn ll 設(shè)設(shè)在在上上滿滿足足條條件件，且且， 則則在在的的余余弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為 當(dāng)當(dāng) 是是的的連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn) 當(dāng)當(dāng) 是是的的間間 定定 斷斷 其其中中， 4 4 點(diǎn)點(diǎn) 理理 ( ), 23 f tl l Tl 為為了了得得到到的的正正弦弦或或余余弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，只只須須在在上上作作奇奇式式 延延拓拓或或偶偶式式延延拓拓，取取，然然后后套套用用定定理理 。 1 0 ( )0, ( ) ( ) 1 sin (0)(0) ( ) 2 0 2 ( )sin,(1,2, 4 ) n n l n f tl f ttf t n t bf tf ttf t l tt

30、l n t bf tdtn lT 在在的的正正弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為 當(dāng)當(dāng) 是是的的連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn) 當(dāng)當(dāng) 是是 定定理理續(xù)續(xù) 的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) 0 0當(dāng)當(dāng)或或 其其中中， Fourier 2 T l l 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和函函數(shù)數(shù)是是以以 為為周周期期的的周周期期函函數(shù)數(shù)，正正弦弦 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)和和余余弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和函函數(shù)數(shù)是是以以 為為周周期期的的周周期期函函數(shù)數(shù)，而而 注注意意 不不是是 以以 ： 為為周周期期。 解解： 4 ( )20,2)( ) 01 ( ) 112 (1)( )Fourier (2)( )0,2 f tf t tt f t t f t f t 例例設(shè)設(shè)是是以以 為為周周期期的

31、的周周期期函函數(shù)數(shù)，在在區(qū)區(qū)間間，的的 表表達(dá)達(dá)式式是是 求求的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開(kāi)開(kāi)式式 求求在在區(qū)區(qū)間間的的余余弦弦展展開(kāi)開(kāi)式式。 (1)(1) 2 0 ( )cosf tn tdt 2 2 2 ( )cos T T n af tn tdt T 3 2 12 01 1tdtdt 2 0 ( )f t dt 1 1 ( )f t dt 2 2 0 2 ( ) T T af t dt T 2 2,T T 2 0 ( )sinf tn tdt 2 2 2 ( )sin T T n bf tn tdt T (1,2,3,)n 2 1 cos1 () n n 12 01 coscostn tdtn td

32、t (1,2,3,)n 1 n 12 01 sinsintn tdtn tdt 2,l (2)(2) 取取 ()k 2 1 1 2 ( )2 311 (cos1)cossin 4()2 n f ttk nn tn t nntk ( )Fourierf t故故的的展展開(kāi)開(kāi)式式為為 如如圖圖( )f t作作的的偶偶式式延延拓拓， 3 2 12 01 tdtdt 2 0 ( )f t dt 0 0 2 ( ) l af t dt l 按按照照定定理理4 4， (1,2,3,)n 2 4 (cos1) ()2 n n 12 01 coscos 22 n tn t tdtdt 2 0 ( )cos 2

33、n t f tdt 0 2 ( )cos l n n t af tdt ll 02t 2 1 34 ( )(cos1)cos 4()22 n nn t f t n ( )0,2f t故故在在的的余余弦弦展展開(kāi)開(kāi)式式為為 1 2 1 2 5 0 ( ) 122 1 0,1( )( )(1) 2 55 ( )() 42 tx f x tx S xSS SS 例例設(shè)設(shè)將將 在在展展開(kāi)開(kāi)成成余余弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，它它的的和和函函數(shù)數(shù)為為。求求、 、。 ( )S x 這這時(shí)時(shí)的的和和函函數(shù)數(shù)是是 周周期期為為2 2的的函函數(shù)數(shù) 如如圖圖，1,l 取取作作偶偶式式延延拓拓, ,解解： 4按按照照定定理理 ，

34、5 (2) 2 S 5 () 2 S 1 2 3 ( ) 4 f 3 ( ) 4 S 3 () 4 S 5 (2) 4 S 5 ( ) 4 S (1)(10)0Sf 3 4 1 ( ) 2 f 1 ( ) 2 S 1 () 2 S 五、五、Fourier級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式 0 1 11 ()() 222 in tin t nnnn n a aib eaib e 因因此此， 0 1 ( ) () 222 in tin tin tin t nn n aeeee f tab i cos sin 22 in tin tin tin t eeee n tn t i ， cos sinEuler

35、用用公公式式表表示示、 ，有有 0 1 ( ) (cossin) 2 nn n a f tan tbn t 3在在定定理理 的的條條件件下下，有有 0 1 ( )Fourier ( ) () in tin tin t nnn nn f t f tcc ec ec e 則則的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)改改寫寫為為 0 0 11 ,(),(), (1,2,) 222 nnnnnn a ccaibcaibn 記記 2 2 11 ()( ) 2 T T in t nnn caibf t edt T 2 2 11 ()( ) 2 T T in t nnn caibf t edt T 2 2 0 0 1 ( ) 2 T T a cf t dt T 0, , nnn a abc我我們們已已知知的的表表達(dá)達(dá)式式，又又知知與與它它們們的的關(guān)關(guān)系系，故故 2 2 1 ( ) () T T n in t n c cf t edtn T 下下面面推推導(dǎo)導(dǎo) 的的表表達(dá)達(dá)式式， 2 2 1 ( ) () T T in t n cf t e