第八章 假設(shè)檢驗81,82

1、第八章第八章 假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗 第一節(jié)第一節(jié) 假設(shè)檢驗的基本思想和概念假設(shè)檢驗的基本思想和概念 二、假設(shè)檢驗的相關(guān)概念二、假設(shè)檢驗的相關(guān)概念 三、假設(shè)檢驗的一般步驟三、假設(shè)檢驗的一般步驟 一、假設(shè)檢驗的基本思想一、假設(shè)檢驗的基本思想 四、小結(jié)四、小結(jié) 一、假設(shè)檢驗的基本思想一、假設(shè)檢驗的基本思想 在總體的分布函數(shù)完全未知或只知其形式、但不在總體的分布函數(shù)完全未知或只知其形式、但不 知其參數(shù)的情況下知其參數(shù)的情況下, 為了推斷總體的某些性質(zhì)為了推斷總體的某些性質(zhì), 提提 出某些關(guān)于總體的假設(shè)出某些關(guān)于總體的假設(shè). 假設(shè)檢驗就是根據(jù)樣本對所提出的假設(shè)作出判斷假設(shè)檢驗就是根據(jù)樣本對所提出的假設(shè)作出判

2、斷: 是接受是接受, 還是拒絕還是拒絕. 例如例如, 提出總體服從泊松分布的假設(shè)提出總體服從泊松分布的假設(shè); . , 0 假設(shè)等假設(shè)等 的的期望等于期望等于對于正態(tài)總體提出數(shù)學(xué)對于正態(tài)總體提出數(shù)學(xué)又如又如 如何利用樣本值對一個具體的假設(shè)進行檢驗如何利用樣本值對一個具體的假設(shè)進行檢驗? 通常借助于直觀分析和理通常借助于直觀分析和理 論分析相結(jié)合的做法論分析相結(jié)合的做法, 其基本原其基本原 理就是人們在實際問題中經(jīng)常理就是人們在實際問題中經(jīng)常 采用的所謂實際推斷原理采用的所謂實際推斷原理:“一一 個小概率事件在一次試驗中幾個小概率事件在一次試驗中幾 乎是不可能發(fā)生的乎是不可能發(fā)生的”。 下面結(jié)合實

3、例來說明假設(shè)檢驗的基本思想下面結(jié)合實例來說明假設(shè)檢驗的基本思想. 假設(shè)檢驗問題是統(tǒng)計推斷的另一類重要問題假設(shè)檢驗問題是統(tǒng)計推斷的另一類重要問題 例例8-1 某車間用一臺包裝機包裝味精某車間用一臺包裝機包裝味精, 包得的袋裝包得的袋裝糖糖 的的重量是一個隨機變量重量是一個隨機變量X, 它服從正態(tài)分布它服從正態(tài)分布N( , 0.0152). 當機器正常時當機器正常時, 其均值其均值 =0.5=0.5千克千克. .某日開工后為檢驗包某日開工后為檢驗包 裝機是否正常裝機是否正常, 隨機地抽取它所包裝的隨機地抽取它所包裝的袋裝糖袋裝糖9 9袋袋, 稱稱 得凈重為得凈重為( (千克千克):): 0.497

4、 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512, 0.520 0.515 0.512, 問機器是否正常問機器是否正常? ? 問題問題: 根據(jù)樣本值判斷根據(jù)樣本值判斷 . 0.5 0.5 還是還是 問題問題: 根據(jù)樣本值判斷根據(jù)樣本值判斷 . 0.5 0.5 還是還是 提出兩個對立假設(shè)提出兩個對立假設(shè). : 5 . 0: 0100 HH和和 再利用已知樣本作出判斷是接受假設(shè)再利用已知樣本作出判斷是接受假設(shè) H0 ( 拒絕假設(shè)拒絕假設(shè) H1 ) , 還是拒絕假設(shè)還是拒絕假設(shè) H

5、0 (接受假設(shè)接受假設(shè) H1 ). 如果作出的判斷是接受如果作出的判斷是接受 H0, 即認為機器工作是正常的即認為機器工作是正常的; , 0 則則 否則否則, 則認為是不正常的則認為是不正常的. 由于要檢驗的假設(shè)為總體均值由于要檢驗的假設(shè)為總體均值, 故可借助于樣本均值故可借助于樣本均值 來判斷來判斷. , 的的無無偏偏估估計計量量是是因因為為 X , | , 00 不應(yīng)太大不應(yīng)太大則則為真為真所以若所以若 xH ),1 , 0( / , 0 0 N n X H 為為真真時時當當 , / | | 0 0 的的大大小小的的大大小小可可歸歸結(jié)結(jié)為為衡衡量量衡衡量量 n x x 于是可以選定一個適當

6、的正數(shù)于是可以選定一個適當?shù)恼龜?shù)k, , / 0 0 Hk n x x拒絕假設(shè)拒絕假設(shè)時時滿足滿足當觀察值當觀察值 ., / , 0 0 Hk n x x接受假設(shè)接受假設(shè)時時滿足滿足當觀察值當觀察值反之反之 由標準正態(tài)分布分位點的定義取由標準正態(tài)分布分位點的定義取 /2 ,ku ),1 , 0( / 0 0 N n X H 為真時為真時因為當因為當 . , / , / 02/ 0 02/ 0 Hu n x Hu n x 接受接受時時拒絕拒絕時時當當 0.05, 在實例中若取定在實例中若取定 0.015, , 9 n又已知又已知 0.511, x由由樣樣本本算算得得 1.96,2.2 / 0 n

7、 x 即即有有 于是拒絕假設(shè)于是拒絕假設(shè)H0, 認為包裝機工作不正常認為包裝機工作不正常. 假設(shè)檢驗過程如下假設(shè)檢驗過程如下: ,96. 1 025. 02/ uuk 則則 以上所采取的檢驗法是符合實際推斷原理的以上所采取的檢驗法是符合實際推斷原理的 0.05, 0.01, , 一一般般取取總總是是取取得得很很小小由由于于通通常常 . , / , , , / , , 2/ 0 0 2/ 0 00 幾乎是不會發(fā)生的幾乎是不會發(fā)生的的觀察值的觀察值 等式等式由一次試驗得到滿足不由一次試驗得到滿足不為真為真 就可以認為如果就可以認為如果根據(jù)實際推斷原理根據(jù)實際推斷原理小概率事件小概率事件 是一個是一

8、個時時即即為真為真因而當因而當 x u n x H u n X H . , , / , 0 0 2/ 0 H Hx u n x 因而拒絕因而拒絕正確性正確性 的的的假設(shè)的假設(shè)則我們有理由懷疑原來則我們有理由懷疑原來的觀察值的觀察值 得到了滿足不等式得到了滿足不等式在一次試驗中在一次試驗中 . , , / 00 2/ 0 HH u n x x 因而只能接受因而只能接受沒有理由拒絕假設(shè)沒有理由拒絕假設(shè) 則則滿足不等式滿足不等式若出現(xiàn)觀察值若出現(xiàn)觀察值 上述假設(shè)檢驗的判別轉(zhuǎn)化為判斷上述假設(shè)檢驗的判別轉(zhuǎn)化為判斷 在哪一在哪一 個范圍內(nèi)取值：個范圍內(nèi)取值： / 0 n x u= = ， 2/ u 若若

9、|u| |拒絕拒絕H0 ， 2/ u 若若 |u| 不拒絕不拒絕H0 二、假設(shè)檢驗的相關(guān)概念二、假設(shè)檢驗的相關(guān)概念 1. 統(tǒng)計假設(shè)統(tǒng)計假設(shè) 在許多實際問題中在許多實際問題中,需要根據(jù)理論與經(jīng)驗對總體需要根據(jù)理論與經(jīng)驗對總體 X的分布函數(shù)或其所含的一些參數(shù)作出某種假設(shè)的分布函數(shù)或其所含的一些參數(shù)作出某種假設(shè)H0, 這種假設(shè)稱為這種假設(shè)稱為統(tǒng)計假設(shè)統(tǒng)計假設(shè)(簡稱簡稱假設(shè)假設(shè))。 當統(tǒng)計假設(shè)當統(tǒng)計假設(shè)H0僅僅涉及總體分布的未知參數(shù)時僅僅涉及總體分布的未知參數(shù)時 （如假設(shè)（如假設(shè)H0 ： =0.5）, 稱之為稱之為參數(shù)假設(shè)參數(shù)假設(shè); 當統(tǒng)計假設(shè)當統(tǒng)計假設(shè)Ho涉及總體的分布函數(shù)形式時（如涉及總體的分布函

10、數(shù)形式時（如 假設(shè)假設(shè)H0 ：總體總體X服從泊松分布服從泊松分布）, 稱之為稱之為非參數(shù)假設(shè)非參數(shù)假設(shè)。 2. 顯著性水平顯著性水平 / , , , 0 來作決定。來作決定。還是小于還是小于值大于等于值大于等于 的觀察值的絕對的觀察值的絕對然后按照統(tǒng)計量然后按照統(tǒng)計量定定 就可以確就可以確 數(shù)數(shù)后后選定選定當樣本容量固定時當樣本容量固定時 n x u u /2 u /2u /2 , , / 0 0 0 H x n x u 則我們拒絕則我們拒絕 的差異是顯著的的差異是顯著的與與則稱則稱如果如果 u /2 . 0 之之下下作作出出的的著著性性水水平平 在在顯顯有有無無顯顯著著差差異異的的判判斷斷是

11、是與與上上述述關(guān)關(guān)于于 x .稱稱為為顯顯著著性性水水平平數(shù)數(shù) , , , / , 0 0 0 H x n x u 則我們接受則我們接受不顯著的不顯著的 的差異是的差異是與與則稱則稱如果如果反之反之 u /2 3. 檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量 4. 原假設(shè)與備擇假設(shè)原假設(shè)與備擇假設(shè) . / 0 稱為稱為檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量統(tǒng)計量統(tǒng)計量 n X u . : , : 0100 HH檢驗假設(shè)檢驗假設(shè) . , 10 稱為稱為備擇假設(shè)備擇假設(shè)稱為稱為原假設(shè)原假設(shè)或零假設(shè)或零假設(shè)HH 5. 拒絕域與臨界值拒絕域與臨界值 當檢驗統(tǒng)計量取某個區(qū)域當檢驗統(tǒng)計量取某個區(qū)域C中的值時中的值時, 我們我們 拒絕原假設(shè)拒絕原

12、假設(shè)H0, 則稱區(qū)域則稱區(qū)域C為為拒絕域拒絕域(記為記為W), 拒拒 絕域的邊界點稱為絕域的邊界點稱為臨界值臨界值或或臨界點臨界點. 如在前面實例中如在前面實例中, 拒絕域為拒絕域為W= | 2/ u u 2/2/ u和和u 臨界值為臨界值為 6. 兩類錯誤及記號兩類錯誤及記號 假設(shè)檢驗的依據(jù)是假設(shè)檢驗的依據(jù)是: 小概率事件在一次試驗中小概率事件在一次試驗中 很難發(fā)生很難發(fā)生, 但很難發(fā)生不等于不發(fā)生但很難發(fā)生不等于不發(fā)生, 因而假設(shè)檢驗因而假設(shè)檢驗 所作出的結(jié)論有可能是錯誤的所作出的結(jié)論有可能是錯誤的. 這種錯誤有兩類這種錯誤有兩類: (1) 當原假設(shè)當原假設(shè)H0為真為真, 觀察值卻落入拒絕

13、域觀察值卻落入拒絕域, 而作而作 出了拒絕出了拒絕H0的判斷的判斷, 稱做稱做第一類錯誤第一類錯誤, 又叫又叫拒真錯誤拒真錯誤, 這類錯誤是這類錯誤是“以真為假以真為假”. 犯第一類錯誤的概率是犯第一類錯誤的概率是 顯著性水平顯著性水平. P |H0成立成立 = | 2/ u u P(x1,x2,xn) W|H0成立成立 = 犯第二類錯誤的概率記為犯第二類錯誤的概率記為 (2) 當原假設(shè)當原假設(shè) H0 不真不真, 而觀察值卻落入接受域而觀察值卻落入接受域, 而作出了接受而作出了接受 H0 的判斷的判斷, 稱做稱做第二類錯誤第二類錯誤, 又叫又叫取取 偽錯誤偽錯誤, 這類錯誤是這類錯誤是“以假為

14、真以假為真”. 當樣本容量當樣本容量 n 一定時一定時, 若減少犯第一類錯誤的概若減少犯第一類錯誤的概 率率, 則犯第二類錯誤的概率往往增大則犯第二類錯誤的概率往往增大. 若要使犯兩類錯誤的概率都減小若要使犯兩類錯誤的概率都減小, 除非增加樣除非增加樣 本容量本容量. P |H1成立成立 = | 2/ u u P(x1,x2,xn) W|H1成立成立 = 7. 顯著性檢驗顯著性檢驗 只對只對犯第一類錯誤的概率加以控制犯第一類錯誤的概率加以控制, 而不考而不考 慮犯第二類錯誤的概率的檢驗慮犯第二類錯誤的概率的檢驗, 稱為稱為顯著性檢驗顯著性檢驗. 8. 雙邊備擇假設(shè)與雙邊假設(shè)檢驗雙邊備擇假設(shè)與雙

15、邊假設(shè)檢驗 . : , : , , , , : : 0100 00 10100 為為雙邊假設(shè)檢驗雙邊假設(shè)檢驗 的假設(shè)檢驗稱的假設(shè)檢驗稱形如形如假設(shè)假設(shè) 稱為稱為雙邊備擇雙邊備擇也可能小于也可能小于可能大于可能大于表示表示 備擇假設(shè)備擇假設(shè)中中和和在在 HH HHH 9. 右邊檢驗與左邊檢驗右邊檢驗與左邊檢驗 右邊檢驗與左邊檢驗統(tǒng)稱為右邊檢驗與左邊檢驗統(tǒng)稱為單邊檢驗單邊檢驗. . : , : 0100 稱為稱為右邊檢驗右邊檢驗 的假設(shè)檢驗的假設(shè)檢驗形如形如 HH . : , : 0100 稱為稱為左邊檢驗左邊檢驗 的假設(shè)檢驗的假設(shè)檢驗形如形如 例例 某切割機在正常工作時某切割機在正常工作時, 切

16、割每段金屬棒的平均長切割每段金屬棒的平均長 度為度為10.5cm, 標準差是標準差是0.15cm, 今從一批產(chǎn)品中隨機的今從一批產(chǎn)品中隨機的 抽取抽取15段進行測量段進行測量, 其結(jié)果如下其結(jié)果如下: 7 .102 .107 .105 .108 .106 .109 .10 2 .103 .103 .105 .104 .101 .106 .104 .10 假定切割的長度服從正態(tài)分布假定切割的長度服從正態(tài)分布, 且標準差沒有變化且標準差沒有變化, 試試 問該機工作是否正常問該機工作是否正常?)05. 0( 解解 0.15, , ),( 2 NX因因為為 5 .10:, 5 .10: 10 HH要檢

17、驗假設(shè)要檢驗假設(shè) ,15 n,48.10 x,05. 0 15/15. 0 5 .1048.10 / 0 n x 則則,516. 0 0 10.4810.5 /0.15/15 x n ,516. 0 查表得查表得 0.025 1.96,u 0 0.025 0.5161.96, / x u n 拒絕域的形式為拒絕域的形式為W= )1( 2/ ntt 拒絕域為拒絕域為W= 在實際中在實際中, 正態(tài)總體的方差常為未知正態(tài)總體的方差常為未知, 所以常用所以常用 t 檢驗法來檢驗關(guān)于正態(tài)總體均值的檢驗問題檢驗法來檢驗關(guān)于正態(tài)總體均值的檢驗問題. 上述利用上述利用 t 統(tǒng)計量得出的檢驗法稱為統(tǒng)計量得出的檢

18、驗法稱為t 檢驗法檢驗法. 例例8-2 車輛廠生產(chǎn)的螺桿直徑車輛廠生產(chǎn)的螺桿直徑X服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布N( ( , 2),), 現(xiàn)從中抽取現(xiàn)從中抽取5 5支支, ,測得直徑測得直徑( (單位單位: :毫米毫米) )為為: : 22.3, 21.5, 22.0, 21.8, 21.4 22.3, 21.5, 22.0, 21.8, 21.4 如果方差如果方差 2 2未知，試問直徑均值未知，試問直徑均值 =21=21是否成立？是否成立？)05. 0( 解解 , , ),( 22 均為未知均為未知依題意依題意 NX 5,n 21.8,x ,05. 0 2 0.135s 0 / x t sn 4.

19、87 查表得查表得 /20.025 (1)(4)tnt 2.776 4.87t t 故接受故接受H0，即平均長度是為，即平均長度是為10.5 單個總體單個總體 均值均值的檢驗的檢驗 )( ,. 2 2 檢驗檢驗的檢驗的檢驗關(guān)于關(guān)于為未知為未知t 0 . / x u n 用來作為檢驗統(tǒng)計量 ),( 2 N 2 1., ()u 為為已已知知 關(guān)關(guān)于于 的的檢檢驗驗檢檢驗驗 0 . / x t sn 用來作為檢驗統(tǒng)計量 二、單個總體二、單個總體 的方差情況的方差情況 ),( 2 N , , ),( 22 均均為為未未知知設(shè)設(shè)總總體體 NX , : , : 2 0 2 1 2 0 2 0 HH要求檢驗

20、假設(shè)要求檢驗假設(shè): . 0 為已知常數(shù)為已知常數(shù)其中其中 , 0 為真時為真時當當H 1,1 ,1 2 0 2 或過分小于或過分小于不應(yīng)過分大于不應(yīng)過分大于附近擺動附近擺動在在比值比值 s 12 , , n xxxX為來自總體的樣本為來自總體的樣本 , 22 的無偏估計的無偏估計是是由于由于 s 根據(jù)根據(jù)第六章定理第六章定理6.26.2（P131） ),1( )1( , 2 2 0 2 0 n sn Hc c 為真時為真時當當 , )1( 2 0 2 2 作為統(tǒng)計量作為統(tǒng)計量取取 c c s n , 給定顯著水平為給定顯著水平為)1( 2 2/1 和和 n )1( 2 2/ n c cc c查

21、附表查附表4 4可得可得 2222 1/2/2 (1)(1)/ 2PnPn c cc cc cc c 從而得拒絕域為從而得拒絕域為: 2 2 0 (1) 0 ns )1( 2 2/1 n c c )1( 2 0 2 sn 或或 . )1( 2 2/ n c c 例例 某廠生產(chǎn)的某種型號的電池某廠生產(chǎn)的某種型號的電池, 其壽命長期以來服從其壽命長期以來服從 方差方差 =5000 (小時小時2) 的正態(tài)分布的正態(tài)分布, 現(xiàn)有一批這種電池現(xiàn)有一批這種電池, 從它生產(chǎn)情況來看從它生產(chǎn)情況來看, 壽命的波動性有所變化壽命的波動性有所變化. 現(xiàn)隨機的取現(xiàn)隨機的取 26只電池只電池, 測出其壽命的樣本方差測出其壽命的樣本方差 =9200(小時小時2). 問根問根 據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命的波動性較以往的據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命的波動性較以往的 有顯著的變化有顯著的變化? 解解 ,5000:,5000: 2 1 2 0 H