熱力學統(tǒng)計物理課后作業(yè)講稿ppt

1、1.1 試求理想氣體的體脹系數(shù)試求理想氣體的體脹系數(shù)a a，壓力系數(shù)，壓力系數(shù)b b和等溫壓縮系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)k kT。 TnRT nR p nR Vp nRT TVT V V p p 1111 a TnRT nR V nR pV nRT TpT p p V V 1111 b pVp RT p nRT Vp nRT pVp V V T T T 1111 22 k 解：由理想氣體的狀態(tài)方程pV=nRT和a，b和kT的定義式可得： (1) (2) (3) 證明任何一種具有兩個獨立參量證明任何一種具有兩個獨立參量T，p的物質(zhì)，其物態(tài)方程可由的物質(zhì)，其物態(tài)方程可由 實驗測得的體脹系數(shù)實驗測得的體脹系

2、數(shù)a a及等溫壓縮系數(shù)及等溫壓縮系數(shù)k kT，根據(jù)下述積分求得：，根據(jù)下述積分求得： )(dpkdTInV T a ， T 1 a p kT 1 如果如果，試求物態(tài)方程。，試求物態(tài)方程。 1.8 滿足滿足pVn=C的過程稱為多方過程，其中常數(shù)的過程稱為多方過程，其中常數(shù)n名為多方指數(shù)。試證，理想氣名為多方指數(shù)。試證，理想氣 體在多方過程中的熱容量體在多方過程中的熱容量Cn為為 Vn C n n C 1 1.12 設理想氣體的設理想氣體的Cp和和CV之比之比 是溫度的函數(shù)，試求在準靜態(tài)絕熱過程中是溫度的函數(shù)，試求在準靜態(tài)絕熱過程中T和和V 的關(guān)系。這個關(guān)系式中要用到一個函數(shù)的關(guān)系。這個關(guān)系式中要

3、用到一個函數(shù)F(T)，其表達式為，其表達式為 T dT TInF ) 1( )( 1.14 根據(jù)熱力學第二定律證明兩條絕熱線不能相交根據(jù)熱力學第二定律證明兩條絕熱線不能相交 解：用反證法來證明。解：用反證法來證明。 兩條絕熱線交于一點兩條絕熱線交于一點C，一條等溫線，一條等溫線T與兩條絕熱線分別交于與兩條絕熱線分別交于A和和B兩點兩點 （這樣的等溫線總能找到，因為等溫線的斜率總是比絕熱線的斜率（這樣的等溫線總能找到，因為等溫線的斜率總是比絕熱線的斜率 ?。?。把小）。把ABCA認為是可逆循環(huán)，在循環(huán)中，僅在等溫過程中系認為是可逆循環(huán)，在循環(huán)中，僅在等溫過程中系 統(tǒng)吸收熱量統(tǒng)吸收熱量Q，系統(tǒng)對外作

4、功的量值等于面積，系統(tǒng)對外作功的量值等于面積ABC。因此在循環(huán)過程中，。因此在循環(huán)過程中， 系統(tǒng)從單一熱源吸收熱量完全轉(zhuǎn)化為有用的功而不引起其他變化，這系統(tǒng)從單一熱源吸收熱量完全轉(zhuǎn)化為有用的功而不引起其他變化，這 違背了熱二定律的開氏表述。因而，兩條絕熱線不能相交。違背了熱二定律的開氏表述。因而，兩條絕熱線不能相交。 此外還有很多種證明的方法。此外還有很多種證明的方法。 p V A B C 1.15 熱機在循環(huán)中與多個熱源交換熱量。在熱機從其中吸收熱量的熱源中，熱機在循環(huán)中與多個熱源交換熱量。在熱機從其中吸收熱量的熱源中， 熱源的最高溫度為熱源的最高溫度為T1，在熱機向其放出熱量的熱源中，熱源

5、的最低溫度為，在熱機向其放出熱量的熱源中，熱源的最低溫度為T2. 試根據(jù)克氏不等式證明，熱機的效率不超過試根據(jù)克氏不等式證明，熱機的效率不超過 1 2 1 T T 物體的初溫物體的初溫T1高于熱源的溫度高于熱源的溫度T2。有一熱機在此物體與熱源之間工作，直到將。有一熱機在此物體與熱源之間工作，直到將 物體的溫度降低到物體的溫度降低到T2為止。若熱機從物體吸取的熱量為為止。若熱機從物體吸取的熱量為Q，試根據(jù)熵增加原理，試根據(jù)熵增加原理 證明，此熱機所能輸出的最大功為證明，此熱機所能輸出的最大功為 其中其中S1-S2是物體的熵減少量。是物體的熵減少量。 )( 212max SSTQW 1.23 簡

6、單系統(tǒng)有兩個獨立參量，如果以簡單系統(tǒng)有兩個獨立參量，如果以T，S為獨立參量，可以縱坐標表示溫度為獨立參量，可以縱坐標表示溫度 T，橫坐標表示熵，橫坐標表示熵S，構(gòu)成，構(gòu)成T-S圖。圖中的一點與系統(tǒng)的一個平衡態(tài)、一條曲線圖。圖中的一點與系統(tǒng)的一個平衡態(tài)、一條曲線 與一個可逆過程相應。試在圖中畫出可逆卡諾循環(huán)過程的曲線，并利用與一個可逆過程相應。試在圖中畫出可逆卡諾循環(huán)過程的曲線，并利用T-S圖圖 求卡諾循環(huán)的效率。求卡諾循環(huán)的效率。 解：分析，在T-S圖上，可逆等溫過程是平行于橫縱的曲線，而可逆絕熱過 程由于熵不變，因此是平行于縱軸的曲線。T-S圖上的卡諾循環(huán)曲線為 S T T1 T2 12 3

7、 4 0 H p S 0 U V S 2.3 求證：(a) ; (b) 0 T V U 0 T p U 2.4 已知，求證 2.5 試證明一個均勻物體在準靜態(tài)等壓過程中的熵隨體積的增減試證明一個均勻物體在準靜態(tài)等壓過程中的熵隨體積的增減 取決于等壓下溫度隨體積的增減。取決于等壓下溫度隨體積的增減。 VT C T C V T V V T T S T V T V T T S T T V T S V T T S V S p p p p p p p p ppp aa 1 1 1 VT C T C V T V V T T S T V T V T T S T T V T S pT pV pT pS pV

8、pS V S p p p p p p p p p aa 1 1 1 ),( ),( ),( ),( ),( ),( 符號一致。和對于均勻物體 pp T V V S VT , 0, 0 ， pT p V T V T V T p C T p T V C 2 2 2 2 , , 0 2 2 0 V V V VV dV T p TCC p p p pp dp T V TCC 0 2 2 0 2.8 證明證明 并由此導出并由此導出 根據(jù)上兩式證明，理想氣體的定容熱容量和定壓熱容量只是溫根據(jù)上兩式證明，理想氣體的定容熱容量和定壓熱容量只是溫 度度T的函數(shù)。的函數(shù)。 2.12 一彈簧在恒溫下的恢復力一彈簧在

9、恒溫下的恢復力X與伸長與伸長x成正比，即成正比，即X=-Ax，比，比 例系數(shù)例系數(shù)A是溫度的函數(shù)。今忽略彈簧的熱膨脹，試證明彈簧的自是溫度的函數(shù)。今忽略彈簧的熱膨脹，試證明彈簧的自 由能由能F，熵，熵S和內(nèi)能和內(nèi)能U的表達式分別是：的表達式分別是： , 2 1 )0 ,(),( 2 AxTFxTF, 2 )0 ,(),( 2 dT dAx TSxTS ).( 2 )0 ,(),( 2 dT dA TA x TUxTU AxdxSdTdF - 7.16 已知粒子遵從經(jīng)典波爾茲曼分布，其能量表達式為已知粒子遵從經(jīng)典波爾茲曼分布，其能量表達式為 bxaxppp m zyx 2222 2 1 其中，其

10、中，a, b是常量，求粒子的平均能量。是常量，求粒子的平均能量。 將能量表達式進行配方，將能量表達式進行配方， a b a b xappp m zyx 422 1 2 2 222 a b a b xappp m zyx 422 1 2 2 222 共含共含4個平方項個平方項 由能量均分定理得，由能量均分定理得， a b kT 42 1 4 2 8.8 證明: (1) 根據(jù)普朗克公式，可知平衡輻射內(nèi)能按圓頻率的分布： d e c dTu kT 1 1 ),( 3 32 再根據(jù) c2 可得， d c d 2 2 代入，可得 平衡輻射內(nèi)能密度按波長的分布： 1 8 ),( 5 kT hc e dhc

11、 dTu (2) 令 ，式變?yōu)椋?kT hc x 1 8 ),( 5 44 55 x e x ch Tk Tu 則，使u(,T)取極大值的波長m由下式確定： 由于上式數(shù)值解為x=4.9651, 則，代入 ，有 kT hc x k hc T m 9651. 4 0 1 5 x e x dx d 解得， 55 xe x 8.14 求絕對零度下金屬自由電子氣體中電子的平均速率求絕對零度下金屬自由電子氣體中電子的平均速率 解：根據(jù)絕對零度下金屬自由電子氣體的性質(zhì)，可知絕對零度下金屬自由電子氣體的性質(zhì)，可知T=0K時時 一個量子態(tài)上的平均電子數(shù)：一個量子態(tài)上的平均電子數(shù)： )0(, 0 )0(, 1 f

12、 f 考慮到 ，可將上式改為用動量表示的形式：mp2 2 )0(, 0 )0(, 1 ppf ppf 其中p(0)為費米動量，是0K下電子具有的最大動量。且p(0)2=2m 由于在體積V內(nèi)，T=0K，能量在pp+dp內(nèi)的量子態(tài)數(shù)為： dpp h V 2 3 8 則，電子的平均動量為： )0( 4 3 )0( 3 1 )0( 4 1 8 8 3 4 )0( 0 2 3 )0( 0 3 3 p p p dpp h V dpp h V p p p 因此，電子的平均速率為： m p m p v )0( 4 3 8.18 求極端相對論條件下自由電子氣體在求極端相對論條件下自由電子氣體在0K時的費米能量、時的費米能量、 內(nèi)能和簡并壓。內(nèi)能和簡并壓。 解：已知極端相對論條件下的能量動量關(guān)系：=cp 由于在體積V內(nèi)，+d的能量范圍內(nèi)的量子態(tài)數(shù)： d ch V dD 2 3 8 )( (此處考慮的電子自旋的影響) 絕對零度下金屬自由電子氣體一個量子態(tài)上的平均