微分中值定理及其應(yīng)用

1、樂山師范學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計） 本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）系（院）數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專 業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 論文題目 微分中值定理及其應(yīng)用 學(xué)生姓名 賈孫鵬 指導(dǎo)教師 黃寬娜（副教授） 班 級 11級數(shù)應(yīng)1班 學(xué) 號 11290056 完成日期：2015年4月微分中值定理及其應(yīng)用賈孫鵬數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 11290056【摘要】 微分中值定理是研究復(fù)雜函數(shù)的一個重要工具，是數(shù)學(xué)分析中的重要內(nèi)容。我們可以運用構(gòu)造函數(shù)的方法來巧妙的運用微分中值定理解決問題。本文主要研究微分中值定理的內(nèi)容和不同形式之間的關(guān)系，以及它的推廣形式。并歸納了它在求極限，根的存在性，級數(shù)等方面的應(yīng)用。最后對中間點

2、的問題進行了討論?！娟P(guān)鍵詞】 微分中值定理 應(yīng)用 輔助函數(shù) 1引言微分中值定理主要包括羅爾（Roll）定理，拉格朗日（Lagannge）中值定理，柯西(Cauchy)中值定理，以及泰勒(Taylor)公式。他們之間層層遞進。研究了單個函數(shù)整體與局部，以及多個函數(shù)之間的關(guān)系。對掌握函數(shù)的性質(zhì)，以及根的存在性等方面具有重要的作用。學(xué)微分中值定理這節(jié)同我們要掌握為什么要學(xué)這節(jié)，和不同定理之間的關(guān)系和應(yīng)用。從教材來看，我們已經(jīng)明白了導(dǎo)數(shù)微分重要性，但沒講明如何運用，因此有必要加強導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，而微分中值定理是導(dǎo)數(shù)運用的理論基礎(chǔ)。所以這部分內(nèi)容很重要。它是以后研究函數(shù)極限，單調(diào)，凹凸性的基礎(chǔ)。從微分中值定

3、理的產(chǎn)生來看，其中一個基礎(chǔ)問題就是函數(shù)最值問題。而解決此類問題就是能熟練的運用微分中值定理。此文為加深對中值定理的理解，在它推廣的基礎(chǔ)上詳細解釋了定理間的關(guān)系，對它的應(yīng)用作了5個大方面的歸納。并對最新研究成果作了解釋。2柯西與微分中值定理2.1柯西的證明首先在柯西之前就有很多科學(xué)家給出了導(dǎo)數(shù)的定義，當(dāng)然他們對導(dǎo)數(shù)的認識存在著差異。比如說歐拉在定義導(dǎo)數(shù)的時候就用了差商的形式，如將的導(dǎo)數(shù)定義為當(dāng)趨于0時的極限。對于拉格朗日他對導(dǎo)數(shù)的認識開始是建立在錯誤觀點的，他認為任意的函數(shù)都可以展開成冪級數(shù)的形式，但是事實并不是這樣。而柯西采用的是極限來定義并將其轉(zhuǎn)化成了不等式的語言。我們來看下柯西的證明，它開

4、始于： 定理： 如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在上有最小和最大值C,B則會有下面的 以下是柯西對上式的證明分析: 當(dāng)時在證明的時候Cauchy用和表示很小的數(shù)。把區(qū)間劃分為: （表示相鄰區(qū)間長度且） 對于劃分的小區(qū)間我們有 整理得 就可以有這樣如果和它的導(dǎo)函數(shù)在上連續(xù)，則 （）2.2柯西證明分析 柯西在做此證明的時候，假設(shè)了具有連續(xù)性，這樣就保證了導(dǎo)函數(shù)具有介值性。但是當(dāng)時他沒有認識到此時的已經(jīng)具有了連續(xù)性。華東師范第三版數(shù)學(xué)分析教材中給出的達布定理就說明了導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性質(zhì)。而且柯西的這種證明方法對于一些函數(shù)并不實用，比如說具有有限個間斷點的函數(shù)（這類函數(shù)也是連續(xù)的），說明柯西對連續(xù)和一致連續(xù)在開始階

5、段還不太明白所以認識存在缺陷，到1840它才區(qū)分開來。公式中逐漸的用來代替了，這樣看來這個量就不太明確，這樣就證明了微分中值定理。這里我介紹這種方式主要是因為再后來科學(xué)家都用這種方式來證明微分中值定理，原因是這種方式很嚴格。隨著認識的深入，到后來微分中值定理證明到后來就基本成熟了。由上面的例子也可以看出一個概念思想的產(chǎn)生，被接受是困難的。這就需要我們深入的去探究。3 微分中值定理3.1 微分中值定理不同形式。 我這里簡單的描述幾種不同的中值定理。羅爾中值定理：函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，在其開區(qū)間可導(dǎo)，并在的值相等 ，則在內(nèi)至少有一點使得。拉格朗日定理：若函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，在其開區(qū)間可導(dǎo)，則在可其區(qū)間至

6、少有一點使的得 柯西中值定理：函數(shù)和在上連續(xù)，在其開區(qū)間可導(dǎo)。函數(shù)在其開區(qū)間內(nèi)有 則 泰勒微分中值：函數(shù)在的某開區(qū)間內(nèi)有階導(dǎo)數(shù)，則對任意有 3.2 幾何意義(1)羅爾幾何意義 羅爾定理的幾何意義：在連續(xù)可導(dǎo)的曲線上，若端點值相等則在曲線上存在水平曲線。（2）拉格朗日微分中值的幾何意義拉格朗日微分中值定理：表示在連續(xù)可導(dǎo)的曲線上若它們的端點的函數(shù)值不相等，則在曲線上存在一點出的切線平行函數(shù)兩端點連線。（3）柯西微分中值定理幾何意義 柯西中值微分中值定理：表示由函數(shù)和確定的參數(shù)方程上至少存在一點，并在這點的切線平行于曲線端點出的連線3.3 微分中值定理不同形式間的關(guān)系 首先這幾種不同形式的中值定理

7、都給出了函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，都做了定量的刻化，這對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用起著推動性作用。同時也描述出了函數(shù)整體與局部之間的關(guān)系。它們之間所不同的是，羅爾微分中值定理是基礎(chǔ)。同時也是構(gòu)造輔助函數(shù)的基本原理。若羅爾定理的條件去掉則推廣成了拉格朗日微分中值定理，反之則羅爾定理是拉格朗日定理的特殊情況。我們來看拉格朗微分表訴的意思就是這就是導(dǎo)數(shù)與函數(shù)值增量之間的關(guān)系如多我們更詳細的表示： 這就表示的是平均變化率和瞬時變化率之間的關(guān)系。如果要表示兩個函數(shù)之間變化率的關(guān)系就推廣到了柯西微分中值定理。這是表訴上的推廣。二有反過來柯西中值定理的特例就是朗格朗日微分定理。前面研究的只是函數(shù)值與其一階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。若果

8、推廣到了階則是泰勒定理（就是對函數(shù)反復(fù)的運用拉格朗日中值定理）。其中對于柯西中值定理應(yīng)用最典型的就是羅必達法則。對泰勒定理的應(yīng)用時馬克勞林公式。4 微分中值定理的推廣4.1 微分中值定理的新形式 定義1若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且有存在。則在內(nèi)至少有，有. 定理2 若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且 則在內(nèi)至有一點，有4.2 有限個函數(shù)微分中值定理 （羅爾定理推廣） 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在其開區(qū)上可導(dǎo)，且 則在內(nèi)至少有一點有： 證明：根據(jù)題意設(shè)函數(shù) 在連續(xù)，在其開區(qū)間可微，并且有 所以有羅爾中值定理至少有一點 若將上面的去掉，其余條件不變則會得到：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在其開區(qū)間上則在內(nèi)至少有一點使 關(guān)于多元

9、函數(shù)的微分中值定理這里就不例舉出來了5微分中值定理的應(yīng)用5.1微分中值定理在等式中的應(yīng)用。 微分中值中最基本的結(jié)論是,為常數(shù)的充分必要條件是。來看下面這個基礎(chǔ)例子：例1 若在R上可到導(dǎo)，而且，證明。分析：題目是不是就需要證明 也就是證明是一個常數(shù)。然后根據(jù)題目中的條件來求解。 證明：構(gòu)造輔助函數(shù)， 注意：若題目證明的等式兩邊是積分，要證明他們相等。方式就是構(gòu)造函數(shù) =左邊函數(shù)右邊函數(shù)，證明的導(dǎo)數(shù)等于0就可以了。例2 已知在上連續(xù)，證明下面的積分式子成立： 證明：令則 所以要求證明的式子成立例3若g(x)在閉區(qū)間a,b連續(xù)，在其開區(qū)間內(nèi)有2階導(dǎo)數(shù).證明存在 ,使得。證明：由已知得到: 構(gòu)造輔助函

10、數(shù)則有上式等于 （5.2微分值定理在不等式中的應(yīng)用. 實際上微分中值定理可以解決一些不等式的問題，使一些問題解決起來就比較方便。我們來看下面這個題目例題 1 讓我們證明證明：我們令則就是求 對用在（0,1）上用柯西中值定理有： 當(dāng)即所以原式成立。從上面我們可以看出，用微分中值定理來解決一些不等式的問題比較簡單，達到很好的效果。和以前方式比起來更簡單，更加快的得到我們所需要的結(jié)果。例 2估值計算In2的值，使其誤差不超過0.001.解：對In(1+X)進行泰勒展開 當(dāng)x=-1時， 當(dāng)n=7時有 所以求得In2的值等于例 3 若和在閉區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，它們在的端點值相等，在開區(qū)間 則所以構(gòu)造的函數(shù)是增函

11、數(shù)。任意的對于x屬于（a,b）有 5.3 證明根的存在性例題1 若g(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在其開區(qū)間可導(dǎo)，證明：在（a,b）內(nèi) 構(gòu)造的函數(shù)在a,b內(nèi)連續(xù)，在其開區(qū)間可導(dǎo)。 在（a,b）原方程至少有一根存在。 注意：在證明根的存在性的時候，能夠構(gòu)造出我們所需要的函數(shù)。這樣對解決問題比較有利用。例2 設(shè)在非負區(qū)間可導(dǎo)，并且有下面的關(guān)系式子:分析：討論根的存在性可以用零點定理，羅爾定理和拉格朗日中值定理，此題目如果使用零點定理則還需要找一點使得 證明：（1）首先證明根的存在性質(zhì). （2）唯一性。 我們就可以知道g(x)=0,就只有一個根。例 3：在上可微，證明一定存在屬于中的點使的分析：我們來

12、看這個問題，我們對證明的式子變形有： 我們構(gòu)造與運用柯西中值定理有這個問題就分析到這里，接下來的工作就可以套用公式就可以完成了。證明根的存在性，是微分中值定理中比較重要的作用。要學(xué)會用中值定理去證明問題，就要學(xué)會從問題的結(jié)論出發(fā)?？闯鍪阶舆\用的是什么形式的中值定理。并能構(gòu)造出輔函數(shù)。這樣的話要解決根的存在性的問題就比較簡單了。接下來我們來看哈微分中值定理在求極限方面的應(yīng)用。文章一開始我們提到過有羅比達法則，但事實上有些問題用起來比較麻煩，可以直接的運用微分中值定理。5.4 微分中值定理在求極限方面的應(yīng)用例1: 求極限 這個問題用羅比達法則，求導(dǎo)量就比較大我們可以根據(jù)問題形式構(gòu)造輔助函數(shù)來解決問

13、題。解：設(shè)在用柯西中值定理有 由此題目我們可以看出。運用微分中值定理解決問題比較簡單，可以達到事半攻倍的效果。例2 求極限： 分析：此題目運用羅比達法則就比較簡單。其他中值定理的形式在此題目表現(xiàn)的不明顯解：用有 微分中值定理在求極限上的運用就是羅比達法則和直接運用公式，我們要具體問題具體分析。5.5 微分中中值定理在級數(shù)方面的應(yīng)用。例 1 設(shè)g(x)在點x=0的某領(lǐng)域內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，并且有下面的極限： 分析：由于g(x)在x=0有二階導(dǎo)數(shù)，我們可以考略用拉格朗日泰勒公式。寫出g(x)在x=0的一階泰勒展開。在求出g(x)的表達式，最后做出判斷。 這節(jié)我們看到了微分中值定理在不同的方面都起著很

14、重要的作用。我們要學(xué)好微分中值定理就要不斷的歸納終結(jié)。解決這方面的問題關(guān)鍵就是在于要認清問題用的那種中值定理可以解決，適當(dāng)?shù)臉?gòu)造輔函數(shù)，這樣問題就可以解決了。以上我們介紹了未封閉中值定理在等式，不等式，根的存在性，求極限，估值計算等方面的應(yīng)用。在接下來我們將去探討中值點的問題，一提到中值點，我們就會去考略它受到了什么的影響，一遍能準確的去刻畫中值點。我們開始來探討中值點的最新研究的成果。6 微分中值定理中值點的漸進性最新研究成果。 自從來微分中值定理提出以來，很多科學(xué)家就對中值點產(chǎn)生了濃厚的興趣，他們不斷深入的研究取得了很大的成就。對于拉格朗日定理，Alfonso G.Azpeitia得到了如

15、下結(jié)論：6.1中值點的估算定理定理 1：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間二階可導(dǎo)， (1)在a處右連續(xù)。 (2) 。定理1推廣：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上存在直到n+1階導(dǎo)數(shù)滿足以下條件： (1) 在a處右連續(xù) (2) 對于柯西定理我們有定理 2 ：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間階梯可導(dǎo)，對于任意t屬于 (1) (2) 定理2的推廣和定理1的推廣得到的結(jié)論不同，只是條件不同這里就不加敘述了，有興趣的同學(xué)下來可以查閱資料。6.2 中值點的性質(zhì)對于滿足朗格朗日的中值點，對于任意的屬于,當(dāng)固定式對于有如下性質(zhì)定理3：設(shè)f(x)在閉區(qū)a,b內(nèi)可導(dǎo)，在其開區(qū)間連續(xù)在其開區(qū)間嚴格單調(diào)有（1）是x的單值函數(shù)，記：（2）是x單調(diào)增加函數(shù)。定理4：設(shè)函數(shù)

16、在閉區(qū)間a,b可導(dǎo)，開區(qū)間連續(xù)，f(x)在開區(qū)間有二階導(dǎo)數(shù)。在（a,b）內(nèi)保號。有：（1）是連續(xù)函數(shù)。（2）是x的可導(dǎo)函數(shù)。 中值點在幾年的研究比較多，雖然在題目分析的時候不許要對中值點進行詳細的討論，但這些總激勵著科學(xué)家不斷地探索問題。這篇論文主要為了讓大家對微分中值定理有能夠深入的了解。能夠熟練的掌握微分中值定理在不同方面的應(yīng)用?！緟⒖嘉墨I】1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編 數(shù)學(xué)分析第四版 北京高等教育出版社 20102天京師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 楊雪婷 淺談微分中值定理的應(yīng)用 20113淮陰師范學(xué)院數(shù)學(xué)系 程希旺 微分中值定理漸進性研究新進展 20094同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué) 高等數(shù)學(xué)學(xué) 北京師范大學(xué)學(xué)出版社

17、 20025瀟樹鐵 微積分 上冊(1)版：清華大學(xué)出版社 20026Sun Jiayong.Calcuus with Related Topics 西北工業(yè)大學(xué)出版社 19887王志平 高等數(shù)學(xué)大講堂 大連 ，大連理工出版社。 2004 8錢昌本 高等數(shù)學(xué)范例分析 西安 西安交通大學(xué)出版 2004 9數(shù)學(xué)分析選講 陳新亞 同濟大學(xué)出版 2008 10Crabriel Klambauer Aspects of Galculus 1986The Different MeanValue Theorem and Its ApplicationJia Sun-peng(Department of Mat

18、hematics and Information Science, Mathematics and Applied Mathematics ,11290056)Abatract: The different mean value theorem is not an important tool to research the complex. It also a important content of mathematical analysis.we can solve thedifferential mean value theorem by constructing auxiliary functions to solve problemThis paper mainly studies the relationship between the differential mean value theorem and different forms.also rese