直角三角形中線、中位線的性質(zhì)

1、平行四邊形、矩形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用平行四邊形、矩形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用 實驗中學(xué)實驗中學(xué) 李新東李新東 三角形的三角形的中位線定理中位線定理 直角三角形斜邊上中線直角三角形斜邊上中線性質(zhì)性質(zhì)定理定理 B D A C O 邊邊 平行四邊形的對邊平行平行四邊形的對邊平行 平行四邊形的對邊相等平行四邊形的對邊相等 角角 平行四邊形的對角相等平行四邊形的對角相等 平行四邊形的鄰角互補平行四邊形的鄰角互補 對角線對角線 平行四邊形的對角線互平行四邊形的對角線互 相平分相平分 從從邊邊來判定：來判定： 1、兩組、兩組對邊對邊分別平行分別平行的四邊形是平行四邊形的四邊形是平行四邊形 2、兩組對邊分別相等、兩組

2、對邊分別相等的四邊形是平行四邊形的四邊形是平行四邊形 從從角角來判定：來判定：兩組對角分別相等兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形的四邊形是平行四邊形 從從對角線對角線來判定：來判定：兩條對角線互相平分兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形的四邊形是平行四邊形 平行四邊形的判定方法平行四邊形的判定方法 3、一組對邊平行且相等一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的四邊形是平行四邊形 B D A C O 矩形的幾種判定方法矩形的幾種判定方法 有有一個一個角是角是直角直角的的平行四邊形平行四邊形是矩形是矩形 對角線相等對角線相等的的平行四邊形平行四邊形是矩形是矩形 有有三個三個角是角是直角直角的的

3、四邊形四邊形是矩形是矩形 方法方法1： 方法方法2： 方法方法3： A B C D O 依次連接互相平分的兩線段四端點 會出現(xiàn)什么圖形 當(dāng)OA=OC OB=OD時通俗說法是AC與BD A B C D O 互相平分互相平分 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半. 已知：已知：ABC中，中，ACB=90，AD = BD 求證：求證：CD = AB 2 1 A BC D 直角三角形斜邊中線的性質(zhì)直角三角形斜邊中線的性質(zhì) 猜想猜想： 證倍分關(guān)系通常用接截法 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半. 已知：已知：ABC中，中，ACB=

4、90，AD = BD 求證：求證：CD = AB 2 1 證明：證明：延長延長CD到到E使使DE=CD， 連結(jié)連結(jié)AE、BE. AD = BD ， DE =CD 四邊形四邊形ACBE是平行四邊形是平行四邊形 E 又又ACB = 90 ACBE是矩形是矩形 CE = AB（ ） 由于由于CD= CE 所以所以CD = AB 2 1 2 1 ? ? 直角三角形斜邊中線的性質(zhì)定理：直角三角形斜邊中線的性質(zhì)定理： A BC D D C B A 已知已知ABC是是Rt，ABC=Rt， BD是斜邊是斜邊AC上的中線上的中線 若若BD=3則則AC 2 若若C=30，AB5，則，則AC ， BD ，BDC 6

5、 5 10 120 簡單應(yīng)用簡單應(yīng)用 A BC D E DE是是 ABC的的中位線中位線 連接三角形連接三角形兩邊中點的線段兩邊中點的線段叫做叫做 三角形的中位線三角形的中位線。 A B C 畫出畫出ABCABC中所有的中中所有的中線線 D E F 觀察猜想觀察猜想 如圖，如圖，DE是是ABC的中位線，的中位線， DE與與BC有怎樣的關(guān)系？有怎樣的關(guān)系？ DE 兩條線段的關(guān)系兩條線段的關(guān)系 位置關(guān)系位置關(guān)系數(shù)量關(guān)系數(shù)量關(guān)系 分析：分析： DE與與BC的關(guān)系的關(guān)系 猜想：猜想： DEBC ？1 2 DEBC 已知：如圖，點已知：如圖，點D、E分別是分別是ABC的邊的邊AB、AC的中點的中點. 求

6、證：求證：DEBC 且且 DE= BC 2 1 F 證明：延長證明：延長DE到到F,使使EF=DE,連接連接FC、DC、AF 四邊形四邊形ADCF是平行四邊形是平行四邊形 四邊形四邊形DBCF是平行四邊形是平行四邊形 AE=EC CFDA，CF=DA CFBD，CF=BD DFBC，DF=BC 又又DE= DF 2 1 DEBC且且DE= BC 2 1 B C A D E 四邊形四邊形DBCF是平行四邊形是平行四邊形 DFBC，DF=BC 又又DE= DF 2 1 四邊形四邊形DBCF是平行四邊形是平行四邊形 DFBC，DF=BC DEBC且且DE= BC 2 1 又又DE= DF 2 1 四

7、邊形四邊形DBCF是平行四邊形是平行四邊形 DFBC，DF=BC 又又DE= DF 2 1 四邊形四邊形DBCF是平行四邊形是平行四邊形 DFBC，DF=BC 又又DE= DF 2 1 四邊形四邊形DBCF是平行四邊形是平行四邊形 DFBC，DF=BC 又又DE= DF 2 1 四邊形四邊形DBCF是平行四邊形是平行四邊形 DFBC，DF=BC 又又DE= DF 2 1 四邊形四邊形DBCF是平行四邊形是平行四邊形 DFBC，DF=BC 又又DE= DF 2 1 四邊形四邊形DBCF是平行四邊形是平行四邊形 三角形的中位線平行于三角形的第三邊，三角形的中位線平行于三角形的第三邊， 且等于第三邊

8、的一半。且等于第三邊的一半。 三角形中位線定理三角形中位線定理： A BC DE DE是是ABC的中位線，的中位線， DEBC且且DE= BC 2 1 符號語言符號語言： 有何作用？有何作用？ （ AD=BD, AE=CE ) 這個這個定理定理提供了證明提供了證明線段平行線段平行以及以及 線段成倍分關(guān)系線段成倍分關(guān)系的根據(jù)的根據(jù). . 如圖，如圖，D、E、F分別是分別是ABC的三邊的的三邊的 中點，那么，中點，那么，DE、DF、EF都是都是ABC的中的中 位線。位線。 一、你看到了哪些線段關(guān)系一、你看到了哪些線段關(guān)系 CEDF 這四個小三角形全等、面積相等、且都是大三角形面積的這四個小三角形全

9、等、面積相等、且都是大三角形面積的 BFED ADFE 1 4 同理同理:DFAC且且DF= AC； 2 1 2 1 EFAB且且EF= AB 2 1 2 1 DEBC且且DE= BC 2 1 三三、圖中有幾個平行四邊形圖中有幾個平行四邊形： 二、有幾個三角形、它們有什么關(guān)系二、有幾個三角形、它們有什么關(guān)系 F A BC DE 識別識別 圖形圖形 A B C D E F A B C D E F 思考思考1：如圖，如圖，D、E分別是分別是ABC的邊的邊AB、AC的中的中 點，點點，點O是是ABC內(nèi)部任意一點，連接內(nèi)部任意一點，連接OB、 OC，點，點G、F分別是分別是OB、OC的中點，順次的中點

10、，順次 連接點連接點D、G、F、E. 求證：四邊形求證：四邊形DGFE是平行四邊形是平行四邊形. CEAEBDADABC，中， A BC GF E D O CFOFBGOGOBC，中， 四邊形四邊形DGFE是是 BCDE 2 1 / = BCGF 2 1 / = GFDE / = 證明：證明： 同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補兩直線平行 平行于同一直線、垂直于同一直線的兩直線平行 平行四邊形（矩形、菱形、正方形）的對邊平行 三角形的中位線平行第三邊 30度所對直角邊是斜邊的一半 三角形的中位線等于第三邊的一半三角形的中位線等于第三邊的一半 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半直角三角形斜邊

11、上的中線等于斜邊的一半. 1、探索并掌握、探索并掌握“直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)定理定理” 3、探索并掌握、探索并掌握“三角形的三角形的中位線定理中位線定理” 4、進一步理解、進一步理解轉(zhuǎn)化思想（轉(zhuǎn)化思想（線段的倍分線段的倍分 2理解理解中位線概念中位線概念，明確中線與中位線的，明確中線與中位線的 區(qū)別與聯(lián)系；區(qū)別與聯(lián)系； 作業(yè)作業(yè) 例例7：已知已知: 如圖如圖,點點E、F、G、H分別是四邊形分別是四邊形 ABCD各邊中點。各邊中點。 求證：四邊形求證：四邊形EFGH為平行四邊形。為平行四邊形。 證明：證明：連接連接AC E、F是是AB、BC邊中點邊中點 EFAC且且EF AC 同理：同理：HG AC且且HG AC EF HG且且EF HG 四