北京工業(yè)大學線性代數第六章第七節(jié)正定二次型第八節(jié)正交替換化標準形

1、北京工業(yè)大學線性代數第六章第七 節(jié)正定二次型第八節(jié)正交替換化標 準形 1 第七節(jié)第七節(jié) 正定二次型正定二次型 一正定二次型一正定二次型 二正定二次型的判別法二正定二次型的判別法 三正定矩陣在求多元函數極值中的應用三正定矩陣在求多元函數極值中的應用 北京工業(yè)大學線性代數第六章第七 節(jié)正定二次型第八節(jié)正交替換化標 準形 2 我們知道一元二次函數我們知道一元二次函數f f( (x x)=)=x x2 2 在 在x x=0=0處處 達到最小值，達到最小值， 這表明一元二次函數的極值問題這表明一元二次函數的極值問題 與一元二次型與一元二次型f (x)=x2的性質密切相關。的性質密切相關。 問題：一般地，

2、問題：一般地，n元函數的極值問題是否也元函數的極值問題是否也 與與n元二次型的性質有關系？與元二次型的性質有關系？與n元二次型元二次型 的什么性質有關？的什么性質有關？ a0, 都都有有 f aa 2 ( )0, 這是因為對任意實數這是因為對任意實數 北京工業(yè)大學線性代數第六章第七 節(jié)正定二次型第八節(jié)正交替換化標 準形 3 一正定二次型一正定二次型 定義定義: : 設設 f (X )=XT AX是是 n 元實二次型元實二次型, 如果對任何一個非零向量如果對任何一個非零向量X ，恒有，恒有f (X ) 0, 則稱實二次型則稱實二次型f (X )正定二次型正定二次型. 如果二次型如果二次型f (X

3、 )=XT AX 是正定二次型是正定二次型 則矩陣則矩陣A稱為稱為正定矩陣正定矩陣 北京工業(yè)大學線性代數第六章第七 節(jié)正定二次型第八節(jié)正交替換化標 準形 4 22 12312 (,)2f xxxxx 不是正定二次型不是正定二次型. (0,0,3)0,X (0,0,3)0f 00 如如 ： f xxxxxx 222 123123 (,)35. 是正定二次型是正定二次型. f xxxxxx 222 123123 (,)2 不是正定二次型不是正定二次型. 北京工業(yè)大學線性代數第六章第七 節(jié)正定二次型第八節(jié)正交替換化標 準形 5 n元實二次型正定的充要條件為它的正元實二次型正定的充要條件為它的正 慣性

4、指數等于慣性指數等于n n元實二次型元實二次型 XT AX 正定正定 它的規(guī)范形中它的規(guī)范形中n個系數均為個系數均為1 它的標準形中它的標準形中n個系數均為正數。個系數均為正數。 定理定理1: 1: 推論推論1: n元實正定二次型元實正定二次型 XT AX 的秩是的秩是n說明說明: 2.2. 正定二次型的性質正定二次型的性質 北京工業(yè)大學線性代數第六章第七 節(jié)正定二次型第八節(jié)正交替換化標 準形 6 任意實二次型經過可逆線性替換保持任意實二次型經過可逆線性替換保持 正定性不變正定性不變 設實二次型設實二次型 f (X )=XT AX 是是正定的，正定的， 作可逆線性替換作可逆線性替換X= CY

5、(C 是可逆矩陣是可逆矩陣)， 變成實二次型變成實二次型 定理定理2: 2: 證證: g (Y )=YTCTACY . 對任意對任意 0 ,Y 設設 00 XCY , 北京工業(yè)大學線性代數第六章第七 節(jié)正定二次型第八節(jié)正交替換化標 準形 7 f (X )=XT AX是是正定的，正定的， 000 () T f XX AX 0, 000 () TT g YY C ACY 00 ()() T CYA CY 00 T X AX 0, g (Y )=YTCTACY是是正定的正定的. 與正定矩陣合同的實對稱與正定矩陣合同的實對稱矩陣也是正矩陣也是正 定矩陣定矩陣. 推論推論3： 北京工業(yè)大學線性代數第六章

6、第七 節(jié)正定二次型第八節(jié)正交替換化標 準形 8 二正定二次型的判別法二正定二次型的判別法 方法一方法一 用定義用定義 222 121122 (,) nnn f xxxd xd xd x 是是正定的正定的 di 0 , i =1,2,n 為標準形為標準形 由推論由推論1可知實二次型可知實二次型 方法二方法二 用配方法或初等變換法化二次型用配方法或初等變換法化二次型 北京工業(yè)大學線性代數第六章第七 節(jié)正定二次型第八節(jié)正交替換化標 準形 9 n階實對稱矩陣階實對稱矩陣A 正定正定 A的正慣性指數等于的正慣性指數等于n A的合規(guī)范形是單位矩陣的合規(guī)范形是單位矩陣E，即存在可逆，即存在可逆 定理定理3:

7、 由定義知，由定義知，f (X )=XT AX是是正定正定 A是是正定矩陣正定矩陣 所以所以, 判別判別A的正定性可知二次型的正定性可知二次型f (X)的正定性的正定性 方法三方法三 判定二次型的矩陣是否是正定矩陣判定二次型的矩陣是否是正定矩陣 A的合同標準形中的合同標準形中,主對角元素均為正數。主對角元素均為正數。 矩陣矩陣P,使得使得 A=PTP . 北京工業(yè)大學線性代數第六章第七 節(jié)正定二次型第八節(jié)正交替換化標 準形 10 對于對于n階實對稱矩陣階實對稱矩陣A，能找到正交矩陣，能找到正交矩陣 T使得使得 實對稱實對稱矩陣矩陣A正定正定 A 的所有特征值全的所有特征值全 大于零大于零. 推

8、論推論1： (特征值法特征值法) T nn T ATdiag 1212 , 其其中中 是是A的全部特征值。因此我們有的全部特征值。因此我們有 實對稱實對稱矩陣矩陣A正定正定0.A推論推論2 證：證： 由由A的行列式等于其特征值乘積得證。的行列式等于其特征值乘積得證。 北京工業(yè)大學線性代數第六章第七 節(jié)正定二次型第八節(jié)正交替換化標 準形 11 注：注：0A A正定正定. 如：如： 10 , 01 A 10 10 01 A 有有， 但以但以A 為矩陣的二次型為矩陣的二次型 22 1212 (,)f xxxx 不是正定二次型，所以不是正定二次型，所以A不是不是正定正定矩陣矩陣. 北京工業(yè)大學線性代數

9、第六章第七 節(jié)正定二次型第八節(jié)正交替換化標 準形 12 定義定義: :() ij Aa 設設 是是 n 階方陣，階方陣，k 階子式階子式 11121 21222 12 ,1,2, k k k kkkk aaa aaa kn aaa 稱為矩陣稱為矩陣A的順序主子式的順序主子式 為了從子式的角度研究矩陣正定的條為了從子式的角度研究矩陣正定的條 件，我們引入下述概念：件，我們引入下述概念： n階矩陣階矩陣A的順序主子式共有的順序主子式共有n個個.說明說明: : 北京工業(yè)大學線性代數第六章第七 節(jié)正定二次型第八節(jié)正交替換化標 準形 13 如：如： (P204-例例) 123 214 340 A ， 1

10、 1 1 ， 為矩陣為矩陣A的三個順序主子式的三個順序主子式 2 12 3 21 ， 3 123 214 340 =23，=23， 實對稱陣實對稱陣A為正定為正定 A的各階順序主子的各階順序主子定理定理: : 式式都大于零都大于零. (順序主子式法順序主子式法) 北京工業(yè)大學線性代數第六章第七 節(jié)正定二次型第八節(jié)正交替換化標 準形 14 例例1 判斷下列二次型是否正定？判斷下列二次型是否正定？ 222 123123121323 (,)255448f xxxxxxx xx xx x 解：解：方法一方法一 配方法配方法 222 123112132323 (,)244558f xxxxx xx xx

11、xx x 22 112323 222 232323 24()2() 2()558 xxxxxx xxxxx x 222 1232323 2()334xxxxxx x 北京工業(yè)大學線性代數第六章第七 節(jié)正定二次型第八節(jié)正交替換化標 準形 15 1123 223 33 2 , 3 yxxx yxx yx 令令 xyyy xyy xy 1123 223 33 1 3 2 , 3 或或 222 123 5 23, 3 fyyy f 是是正定二次型正定二次型. 22222 123223333 444 2()3()3 393 xxxxx xxxx 222 123233 25 2()3() 33 xxxxx

12、x 北京工業(yè)大學線性代數第六章第七 節(jié)正定二次型第八節(jié)正交替換化標 準形 16 方法二：矩陣的特征值法方法二：矩陣的特征值法 222 254 245 A ，二次型二次型f 的矩陣為的矩陣為 2 222 254(1) (10) 245 EA 12 1(),10二二重重， f 是是正定二次型正定二次型. A 的特征值都是正的，的特征值都是正的， 北京工業(yè)大學線性代數第六章第七 節(jié)正定二次型第八節(jié)正交替換化標 準形 17 各階順序主子式為各階順序主子式為 20 1 1 ， 二次型二次型f 是是正定二次型正定二次型. 二次型二次型f 的矩陣為的矩陣為 方法三：順序主子式法方法三：順序主子式法 222

13、254 245 A ， 2 22 60 25 ， 3 222 254 245 =100，=100， 北京工業(yè)大學線性代數第六章第七 節(jié)正定二次型第八節(jié)正交替換化標 準形 18 例例2 判斷矩陣判斷矩陣 (P205-例例6.7.3) 120 221 013 A ， 是否正定？是否正定？ 解解: 2 12 20 22 ， A 不不是正定矩陣是正定矩陣 例例3 試證：實數域上任一試證：實數域上任一n 階可逆矩陣階可逆矩陣A ， 都有都有ATA是正定矩陣是正定矩陣 北京工業(yè)大學線性代數第六章第七 節(jié)正定二次型第八節(jié)正交替換化標 準形 19 證：方法一證：方法一 (), TTT A AA A T A A

14、是實對稱陣，是實對稱陣， , 任任意意可可逆逆，XOAAX ()() TT f XXA A X f 是是正定二次型，正定二次型， T A A是是正正定定矩矩陣 陣. , O () () T AXAX 2 0,AX 北京工業(yè)大學線性代數第六章第七 節(jié)正定二次型第八節(jié)正交替換化標 準形 20 方法二方法二 (), TTT A AA A T A A是實對稱陣，是實對稱陣， , TT A AA EA , T A AE與與 合合同同 ATA是正定矩陣是正定矩陣 且且A是可逆矩陣是可逆矩陣 北京工業(yè)大學線性代數第六章第七 節(jié)正定二次型第八節(jié)正交替換化標 準形 21 例例4 t 滿足什么條件時，下列二次型正

15、定滿足什么條件時，下列二次型正定 222 123123121323 (,)222222f xxxxxxtx xtx xtx x 解：解： 2 2 2 tt Att tt ， 要使要使 f 正定，則正定，則A 的各階順序主子式的各階順序主子式 二次型二次型 f 的矩陣為的矩陣為 都大于零都大于零. (P206-例例6.7.5) 北京工業(yè)大學線性代數第六章第七 節(jié)正定二次型第八節(jié)正交替換化標 準形 22 220, 1 1 2 3 2 2(22 )(2)0, 2 tt tttt tt 2 40 , 220 t t 22 , 1 t t 21t 時，時，f 是是正定二次型正定二次型. 2 2 2 40

16、, 2 t t t 北京工業(yè)大學線性代數第六章第七 節(jié)正定二次型第八節(jié)正交替換化標 準形 23 三正定矩陣在求多元函數極值中的應用三正定矩陣在求多元函數極值中的應用 設設n n元函數元函數 12 (,) n f xxx 導數構成的導數構成的n階對稱矩陣為階對稱矩陣為 (1) X*是是f(X)極小值點極小值點 H(X*)是正定矩陣是正定矩陣 的的n2個二階偏個二階偏 是是f(X)的駐點，則的駐點，則 2 * () ()(), n n ij f X H XX x x (2) X*是是f(X)極大值點極大值點-H(X*)是正定矩陣是正定矩陣 例例5 5設三元函數設三元函數 222 ( , , )65

17、14482f x y zxyzxyxzyz 求其極值。求其極值。 北京工業(yè)大學線性代數第六章第七 節(jié)正定二次型第八節(jié)正交替換化標 準形 24 12480 10420 28820 f xyz x f yxz y f zxy z 222 2 222 2 222 2 fff xx yx z fff H y xyy z fff z xz yz 解：解： 先求駐點，即解如下方程組先求駐點，即解如下方程組 其系數行列式不等于其系數行列式不等于0，有唯一解，得駐點，有唯一解，得駐點(0,0,0)T f 的二階偏導數矩陣的二階偏導數矩陣 北京工業(yè)大學線性代數第六章第七 節(jié)正定二次型第八節(jié)正交替換化標 準形 2

18、5 1248 4102 8228 H 123 120,1040,23520 在駐點處為在駐點處為 其各階順序主子式其各階順序主子式 從而是正定矩陣，于是從而是正定矩陣，于是(0,0,0)T是是f(x,y,z)的極小的極小 值點，值點，極小值是極小值是 f (0,0,0)=0。 北京工業(yè)大學線性代數第六章第七 節(jié)正定二次型第八節(jié)正交替換化標 準形 26 實二次型除了正定的以外，還有其他一些實二次型除了正定的以外，還有其他一些 類型。類型。 定義定義: : 設設 f (X )=XT AX是是 n 元實二次型元實二次型, 如果對如果對 任何一個非零向量任何一個非零向量X ，恒有，恒有 正定正定(負定

19、，半負定負定，半負定)的，不定的。的，不定的。 ()0( ()0,()0)f Xf Xf X 則稱實二次型則稱實二次型f (X )是半是半正定正定(負定，半負定負定，半負定)的的. 若若f (X )既不是半既不是半正定的，也不是半負定的，則正定的，也不是半負定的，則 稱它是不定的。相應的實對稱矩陣分別稱為半稱它是不定的。相應的實對稱矩陣分別稱為半 北京工業(yè)大學線性代數第六章第七 節(jié)正定二次型第八節(jié)正交替換化標 準形 27 例例6 判別下列三元實二次型屬于那種類型：判別下列三元實二次型屬于那種類型： 222222 121123 22222 12312 (1)(2)(3) (4)(5) yyyyy

20、y yyyyy 解：解： (4)負定負定 (5)半負定半負定 (1)半正定半正定 (2)半正定半正定 (3)不定不定 北京工業(yè)大學線性代數第六章第七 節(jié)正定二次型第八節(jié)正交替換化標 準形 28 第八節(jié)第八節(jié) 正交替換化二次型為標準形正交替換化二次型為標準形 設設 f (X )=XT AX是是 n 元實二次型元實二次型, A為為實實 對稱矩陣，對稱矩陣， 1 1 2 12 (,), n n TATdiag 12 , n An 的的為為 個特征值，個特征值， 由由T-1 =TT, 12 (,), T n T ATdiag 因此可求出正交替換將二次型因此可求出正交替換將二次型 f 化為標準形化為標準

21、形 則一定存在正交陣則一定存在正交陣T，使得使得 北京工業(yè)大學線性代數第六章第七 節(jié)正定二次型第八節(jié)正交替換化標 準形 29 對任意一個對任意一個 n 元實二次型元實二次型f (X )=XT AX, 都存在一個正交替換都存在一個正交替換 X =TY , 使得使得 222 1122 () nn f Xyyy 12n 其其中中， ， ， 為為 A 的全部特征值的全部特征值, T 的的 n 個個 列向量是列向量是A 的相應的的相應的 n個單位正交特征向量個單位正交特征向量. 定理定理5 北京工業(yè)大學線性代數第六章第七 節(jié)正定二次型第八節(jié)正交替換化標 準形 30 例：用正交替換化二次型例：用正交替換化

22、二次型 22 121212 (,)332f xxxxx x 為標準形，并求出所用的正交替換為標準形，并求出所用的正交替換 (P207-例例6.8.2) 解：解：二次型二次型 f 的矩陣為的矩陣為 31 , 13 A 31 (2)(4), 13 EA 12 2,4,為為A 的兩個特征值的兩個特征值. 北京工業(yè)大學線性代數第六章第七 節(jié)正定二次型第八節(jié)正交替換化標 準形 31 1 2, 1 2 110 , 110 x x 基礎解系基礎解系 1 1 , 1 2 4, 1 2 110 , 110 x x 基礎解系基礎解系 2 1 , 1 12 , 顯然顯然 正交，只需將正交，只需將 單位化即可，單位化

23、即可， 12 , 北京工業(yè)大學線性代數第六章第七 節(jié)正定二次型第八節(jié)正交替換化標 準形 32 1 1 2 , 1 2 12 11 22 (,), 11 22 T 2 1 2 1 2 ， 1 1 1 2 1 1 北京工業(yè)大學線性代數第六章第七 節(jié)正定二次型第八節(jié)正交替換化標 準形 33 正交替換為正交替換為 xyy xyy 112 212 11 22 11 22 20 , 04 T T AT 二次型的標準形為二次型的標準形為 22 12 24.fyy 北京工業(yè)大學線性代數第六章第七 節(jié)正定二次型第八節(jié)正交替換化標 準形 34 典型習題典型習題 1 1231232 3 145 (,)(,) 625

24、 938 x f xxxxxxx x 222 123112132233 (,)1014288f xxxxx xx xxx xx 二次型的矩陣為二次型的矩陣為 157 524 748 1 寫出如下二次型的矩陣寫出如下二次型的矩陣 解：方法一解：方法一 先寫成和式再寫矩陣先寫成和式再寫矩陣 北京工業(yè)大學線性代數第六章第七 節(jié)正定二次型第八節(jié)正交替換化標 準形 35 () TTTTT fX BXX BXX B X 1 () 22 T TTTT BB fX BXX B XXX 方法二方法二 用公式用公式 注意到注意到f是一個數，因此有是一個數，因此有fT=f，即，即 則則 2 T BB A 這里這里

25、是對稱矩陣，為是對稱矩陣，為f 的矩陣。的矩陣。 北京工業(yè)大學線性代數第六章第七 節(jié)正定二次型第八節(jié)正交替換化標 準形 36 22 123112233 (,)22f xxxxx xx xax 二次型的矩陣為二次型的矩陣為 110 011 01a 2 已知如下二次型的秩是已知如下二次型的秩是2，求常數，求常數a的值。的值。 解：解： ( )2|101R AAaa 北京工業(yè)大學線性代數第六章第七 節(jié)正定二次型第八節(jié)正交替換化標 準形 37 3 設設G、H為為n階矩陣，則有結論（階矩陣，則有結論（ ） （A）若）若G與與H等價，則等價，則G與與H合同合同 B （B）若）若G與與H合同，則合同，則G與與H等價等價 （C）若）若G與與H相似，則相似，則G與與H合同合同 （D）若）若G與與H合同，則合同，則G與與H相似相似 4 設設A